Lösung Übungsblatt 6

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1 Aufgabe 1: Konvergenz a) Zu zegen: Lösung Übungsblatt 6 M < 1 st für ene belebge Matrxnorm ene hnrechende Bedngung für de Konvergenz des Iteratonsverfahrens Begründung: x (+1) = Mx + b (1.1) Banachscher Fxpunktsatz: Se G R N und G : G kontraherend, dann konvergert x +1 := G (x ), N 0 gegen enen Fxpunkt x. G heßt kontraherend wenn glt: G (x) G (y) L x y x, y G und L < 1 (1.2) De Abbldung G se defnert durch G (x) := Mx + b mt M R N N und x, b R N. G st lnear und folglch stetg und selbstabbldend auf R N. Für belebge Vektoren x, y R N glt allgemen: G (x) G (y) = M (x y) M x y Der Verglech mt (1.2) zegt, dass M de Lpschtz-Konstante L darstellt. Somt st G garantert kontraherend, wenn M < 1 st. Dann st aber der Banachsche Fxpunktsatz erfüllt, das Iteratonsverfahren folglch konvergent. Dese Bedngung st hnrechend, aber ncht notwendg, da de Kontraktonsbedngung von der verwendeten Matrxnorm abhängt. So st bespelswese für ( ) M = de Zelensummennorm M = 1, 3 > 1, während de Spektralnorm hngegen M < 1 st. bobbysteels@gmx.tm Sete 1 von 13 S. Flaschlen

2 b) Gegeben seen folgende Matrzen: M 1 = , M 2 = , M 3 = Das Iteratonsverfahren (1.1) konvergert für jede der gegebenen Matrzen, denn es st stets M < 1 für ene geegnete Matrxnorm. Bewes: M 1 = max{0.9, 0.8, 0.9} = 0.9 < 1 M 2 S = max{0.9, 0.8, 0.9} = 0.9 < 1 M 3 F = ( ) 1 2 = < 1 bobbysteels@gmx.tm Sete 2 von 13 S. Flaschlen

3 Aufgabe 2: Relaxatonsverfahren Im Folgenden wrd das JOR-Verfahren behandelt, en Relaxatonsverfahren welches aus dem Jacob-Verfahren zur teratven Lösung von lnearen Glechungssystemen abgeletet werden kann. De Iteratonsvorschrft lautet: x (k+1) = (1 ω)x (k) a) Für den Spezalfall ω = 1 wrd (2.1) zu: x (k+1) Des st das Jacob-Verfahren. + ω N a b j=1 j = = 1 N a b j=1 j = a j x (k) j a j x (k) j (2.1) b) Das JOR-Verfahren (2.1) st en Iteratonsverfahren zur Lösung der Glechung Ax = b. De Matrx A kann als Summe dreer Matrzen dargestellt werden: A := D + L + U Dabe st D ene Dagonalmatrx mt D := dag(a 11, a 22,..., a nn ) R N N, L ene untere Dreecksmatrx mt L := a j, > j und U ene obere Dreecksmatrx mt U := a j, < j. Aus (2.1) folgt: a x (k+1) = a (1 ω)x (k) + ω b N j=1 j = a j x (k) j Dx (k+1) = D(1 ω)x (k) + ωb ω(l + U)x (k) x (k+1) = 1 (1 ω)x (k) + ωd 1 b ωd 1 (L + U)x (k) = [ (1 ω)1 ωd 1 (L + U) ] } {{ } M Jω = M Jω x (k) + c Jω x (k) + ωd 1 b }{{} c Jω bobbysteels@gmx.tm Sete 3 von 13 S. Flaschlen

4 c) Zu zegen: Des ergbt sch so: M Jω = ω M J + 1 ω (2.2) M Jω = ω 1 N max 1 ω δ j + a j + a j a j=1 j=+1 = 1 1 N max 1 ω δ j + ω max a j + a j a j=1 j=+1 = ω M J + 1 ω Aufgrund der vorausgesetzten dagonalen Domnanz st 0 M J < 1. Gnuplot-Skrpt für 0 ω 2 mt q := M J : set term postscrpt color set out b6a2c.ps set xlabel w set ylabel q splot [w = 0:2][q = 0:1] abs(q * w) + abs(1 - w), 1 unset out abs(q * w) + abs(1 - w) w q Abbldung 1.1: Konvergenzverhalten des JOR-Verfahrens. Das Mnmum von M Jω wrd für ω = 1 angenommen. bobbysteels@gmx.tm Sete 4 von 13 S. Flaschlen

5 d) und e) C++ Quellcode: 1 /* 2 M4 Numerk fuer Physker Sommersemester Uebungsblatt 6 - A Ttel : Relaxatonsverfahren 6 Date : relax. cpp 7 Erstellt : Autor : Stefan Flaschlen 9 */ # nclude <cmath > 12 # nclude <ostream > 13 # nclude <omanp > 14 # nclude <fstream > usng namespace std ; // Funktonen deklareren : 19 vod jacob (nt, double **, double *, double *, nt ); 20 vod Jacob_Relax ( double **, double *, double *, nt, nt, 21 double ); 22 vod GaussSedel_Relax ( double **, double *, double *, nt, nt, 23 double ); 24 bool Load_Matrx ( char *, double **&, double *&, nt &); 25 bool Load_Vector ( char *, double *&, nt ); 26 double * sub_vector ( double *, double *, nt ); 27 double abs_vector ( double *, nt ); 28 vod Delete_Matrx ( double **, nt ); 29 vod Delete_Vector ( double *); 30 vod Dsplay_Matrx ( double **, nt, char ); 31 vod Dsplay_Vector ( double *, nt, char *); 32 vod Dsplay_Specals ( nt ); // Hauptfunkton : 35 nt man () { double ** A; // Koeffzentenmatrx 38 double * b; // De rechte Sete des LGS 39 double * x; // der Loesungsvektor 40 double * x_w ; // de " wahre " Loesung nt N; 43 nt teratons = 30; char * dfle = " relax. res "; // Output - Stream oeffnen um de Ergebnsse 48 // n ene Date zu schreben : 49 ofstream out ( dfle ); // Ttel ausgeben : 52 Dsplay_Specals (0) ; // Matrx und Vektor b enlesen : 55 f (! Load_Matrx (" matrx2. dat ", A, b, N)) goto ErrHandler ; bobbysteels@gmx.tm Sete 5 von 13 S. Flaschlen

6 56 57 // Vektor x dmensoneren : 58 x = new double [ N]; // Matrx A, Vektor b und de Anzahl der Iteratonen 61 // ausgeben : 62 Dsplay_Matrx (A, N, A ); 63 Dsplay_Vector (b, N, " b"); 64 cout << "\ niteratonsschrtte : " << teratons << "\ n"; // Jacob - Iteraton : 67 jacob (N, A, b, x, teratons ); cout << "\ n\ nloesungsvektor nach dem Jacob - Verfahren \ n"; 70 Dsplay_Specals (1) ; 71 Dsplay_Vector (x, N, " x"); // Relaxerte Jacob - Iteraton : 74 Jacob_Relax (A, b, x, N, teratons, 1.11) ; cout << "\ n\ nloesungsvektor nach dem relaxerten " 77 << " Jacob - Verfahren mt w = 1.11\ n"; Dsplay_Specals (1) ; 80 Dsplay_Vector (x, N, " x"); // Relaxerte Gauss - Sedel - Iteraton : 83 GaussSedel_Relax (A, b, x, N, teratons, 1.2) ; cout << "\ n\ nloesungsvektor nach dem relaxerten " 86 << " Gauss - Sedel - Verfahren mt w = 1.20\ n"; Dsplay_Specals (1) ; 89 Dsplay_Vector (x, N, " x"); cout << "\ n\ nfehlerberechnung \ n"; 93 Dsplay_Specals (1) ; // " Wahre " Loesung n Vektor laden : 96 f (! Load_Vector (" soluton. dat ", x_w, N)) goto ErrHandler ; Dsplay_Vector (x_w, N, "x*"); for ( double w = 0.8; w <= 1.2; w += 0.005) { // Loesungsvektor bestmmen : 103 Jacob_Relax (A, b, x, N, teratons, w); // Fehler berechnen : 106 double tval = abs_vector ( sub_vector (x, x_w, N), N); out << setw (4) << fxed << setprecson (3) << w << " " 109 << setprecson (16) << scentfc << tval << "\ n"; } cout << "\n- > De Tabelle wurde n der Date \"" << dfle 114 << "\" gespechert.\n"; 115 bobbysteels@gmx.tm Sete 6 von 13 S. Flaschlen

7 116 ErrHandler :; // Specher fregeben 119 Delete_Matrx (A, N); 120 Delete_Vector ( b); 121 Delete_Vector ( x); 122 Delete_Vector ( x_w ); // Date schlessen : 125 out. close (); } // Funkton : Jacob - Verfahren vod jacob ( nt N, double ** A, double * b, double * x, 131 nt teratons ) { // Jacob Verfahren zur Loesung von Ax=b 134 // N: Dmenson von Matrx und Vektoren A, x, b 135 // teraton : Anzahl der Iteratonsschrtte nt, j; 138 double * xo; 139 xo = new double [ N]; // Hlfsvarabel, // Intalserung xo = b; 142 for ( =0; <N; ++) xo[ ]=b[ ]; // de Iteratonsschlefe 145 for ( nt ter =0; ter < teratons ; ++ ter ){ 146 for ( =0; <N; ++){ 147 double sum =0.0; 148 for ( j =0; j<n; ++j) { 149 f (j!=) sum +=A[][j]* xo[j]; 150 } 151 x[] = 1./ A[][]*( b[]- sum ); 152 } 153 for ( =0; <N; ++) xo[ ]=x[ ]; 154 } delete [] xo; 157 } // Funkton : Relaxertes Gauss - Sedel - Verfahren vod GaussSedel_Relax ( double ** A, double * b, double * x, nt N, 161 nt teratons, double w) { /* 164 Engabe : Dmenson N der Matrx, de Matrx A, der Vektor b, 165 der Loesungsvektor x sowe de Relaxatonszahl w. 166 Funkton : Itteratves loesen der Glechung Ax = b mt dem 167 relaxerten Gauss - Sedel - Verfahren. 168 */ double sum ; 171 double tmp_w = (1 - w); // Als Startwert den rechtsetgen Vektor benutzen : 174 for ( nt = 0; < N; ++) x[ ] = b[ ]; 175 bobbysteels@gmx.tm Sete 7 von 13 S. Flaschlen

8 176 // Iteraton : 177 for ( nt ter = 0; ter < teratons ; ter ++) { 178 for ( nt = 0; < N; ++) { 179 sum = -A[ ][ ] * x[ ]; 180 for ( nt j = 0; j < N; j ++) { 181 sum += A[ ][ j] * x[ j]; 182 } 183 x[] = tmp_w * x[] + w / A[][] * (b[] - sum ); 184 } 185 } 186 } // Funkton : Relaxertes Jacob - Verfahren vod Jacob_Relax ( double ** A, double * b, double * x, nt N, 190 nt teratons, double w) { /* 193 Engabe : Dmenson N der Matrx, de Matrx A, der Vektor b, 194 der Loesungsvektor x sowe de Relaxatonszahl w. 195 Funkton : Itteratves loesen der Glechung Ax = b mt dem 196 relaxerten Jacob - Verfahren. 197 */ nt ; 200 double sum ; 201 double tmp_w = (1 - w); double * tmpvector = new double [ N]; // Als Startwert den rechtsetgen Vektor benutzen : 206 for ( = 0; < N; ++) tmpvector [ ] = b[ ]; // Iteraton : 209 for ( nt ter = 0; ter < teratons ; ter ++) { 210 for ( = 0; < N; ++) { 211 sum = -A[ ][ ] * tmpvector [ ]; 212 for ( nt j = 0; j < N; j ++) { 213 sum += A[ ][ j] * tmpvector [ j]; 214 } 215 x[ ] = tmp_w * tmpvector [ ] + w / A[ ][ ] * ( b[ ] - sum ); 216 } 217 for ( = 0; < N; ++) tmpvector [ ] = x[ ]; 218 } delete [] tmpvector ; 221 } // Hlfsfunkton : Erweterte Matrx aus Date laden bool Load_Matrx ( char * sfle, double **& dmatrx, double *& v_b, 225 nt & N) { /* 228 Engabe : Datename, Matrx und de Dmenson. 229 Funkton : Werte ener Matrx, dessen Dmenson sowe den 230 rechts angehaengten Vektor aus ener Date laden. 231 */ N = 0; fstream n( sfle ); bobbysteels@gmx.tm Sete 8 von 13 S. Flaschlen

9 f (! n) { 238 cerr << "\ nde Quelldate exstert ncht!\ n\ n"; 239 return false ; 240 } n >> N; dmatrx = new double *[ N]; 245 v_b = new double [ N]; for ( nt = 0; < N; ++) { 248 dmatrx [ ] = new double [ N]; 249 for ( nt j = 0; j < N; j ++) { 250 n >> dmatrx [ ][ j]; 251 } 252 n >> v_b []; 253 } n. close (); return true ; 258 } // Hlfsfunkton : Vektor aus Date laden bool Load_Vector ( char * sfle, double *& d_v, nt N) { /* 264 Engabe : Datename, Vektor und dessen Dmenson. 265 Funkton : Lest de Komponenten enes Vektors aus ener 266 Date en. 267 */ fstream n( sfle ); f (! n) { 273 cerr << "\ nde Quelldate exstert ncht!\ n\ n"; 274 return false ; 275 } d_v = new double [ N]; for ( nt = 0; < N; ++) { 280 n >> d_v []; 281 } n. close (); return true ; 286 } // Hlfsfunkton : Subtrahert zwe Vektoren double * sub_vector ( double * sv1, double * sv2, nt N) { double * d_v = new double [ N]; for ( nt = 0; < N; ++) { 294 d_v [] = sv1 [] - sv2 []; 295 } bobbysteels@gmx.tm Sete 9 von 13 S. Flaschlen

10 return d_v ; 298 } // Hlfsfunkton : Eukldsche Norm enes Vektors double abs_vector ( double * sv, nt N) { double erg = 0; for ( nt = 0; < N; ++) { 306 erg += sv[ ] * sv[ ]; 307 } return sqrt ( erg ); 310 } // Hlfsfunkton : Matrx loeschen vod Delete_Matrx ( double ** sa, nt N) { for ( nt = 0; < N; ++) { 316 Delete_Vector ( sa[ ]); 317 delete [] sa; 318 } 319 } // Hlfsfunkton : Vektor loeschen vod Delete_Vector ( double * sv) { delete [] sv; 325 } // Hlfsfunkton : Matrx ausgeben vod Dsplay_Matrx ( double ** sa, nt N, char mttle ) { cout << " Matrx " << mttle << ": " << "\ n"; for ( nt = 0; < N; ++) { 333 cout << setw (12) << "[" 334 << setprecson (3) << setw (2) << sa[ ][0]; 335 for ( nt j = 1; j < N; j ++) { 336 cout << " " << setprecson (3) << setw (2) << sa[ ][ j]; 337 } 338 cout << "]" << "\n"; 339 } 340 cout << "\n"; 341 } // Hlfsfunkton : Vektor ausgeben vod Dsplay_Vector ( double * sv, nt N, char * vttle ) { /* 347 Engabe : Vektor sv und Zechen vttle 348 Funkton : Ausgabe des Vektors. 349 */ cout << " Vektor " << vttle << ": [" 353 << setprecson (5) << sv [0]; for ( nt = 1; < N; ++) { bobbysteels@gmx.tm Sete 10 von 13 S. Flaschlen

11 356 cout << ", " << setprecson (5) << sv[ ]; 357 } cout << "]" << "\n"; 360 } // Hlfsfunkton : Ttel, Lnen vod Dsplay_Specals ( nt ntype ) { nt cwdth = 73; swtch ( ntype ) { 368 case 0: 369 cout << setfll ( - ) << setw ( cwdth ) << "\n" << setfll ( ) 370 << setw (46) << " Relaxatonsverfahren " << "\ n" 371 << setfll ( - ) << setw ( cwdth + 1) << "\n\n" 372 << " Loesung von Ax = b mt dem relaxerten Jacob - Verfahren." 373 << "\n\n\n" << " Engabe " << "\n" 374 << setfll ( - ) << setw ( cwdth ) << "\n" << setfll ( ); 375 break ; 376 case 1: 377 cout << setfll ( - ) << setw ( cwdth ) << "\n" << setfll ( ); 378 break ; 379 } 380 } Ausgabe: Relaxatonsverfahren Loesung von Ax = b mt dem relaxerten Jacob-Verfahren. Engabe Matrx A: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Vektor b: [1, 1, 1, 1, 1, 1] Iteratonsschrtte: 30 Loesungsvektor nach dem Jacob-Verfahren Vektor x: [ , , , 0.47, , ] Loesungsvektor nach dem relaxerten Jacob-Verfahren mt w = 1.11 Vektor x: [ , , , , , ] bobbysteels@gmx.tm Sete 11 von 13 S. Flaschlen

12 Loesungsvektor nach dem relaxerten Gauss-Sedel-Verfahren mt w = 1.20 Vektor x: [0.2329, , , , , ] Fehlerberechnung Vektor x*: [0.2329, , , , , ] -> De Tabelle wurde n der Date "relax.res" gespechert. Gnuplot-Skrpt: set term postscrpt color set out b6a2e.ps set ttle Relaxertes Jacob-Verfahren set xlabel Relaxatonsparameter w set ylabel Fehler set logscale y plot relax.res unset out bobbysteels@gmx.tm Sete 12 von 13 S. Flaschlen

13 0.1 Relaxertes Jacob-Verfahren relax.res 0.01 Fehler Relaxatonsparameter w Abbldung 1.2: Fehler des JOR-Verfahrens n Abhänggket von ω. Man erkennt, dass das Verfahren auf jeden Fall für ω [0.8, 1.2] konvergert. De optmale Konvergenzgeschwndgket legt be ω 1.11, d.h. das relaxerte Jacob- Verfahren konvergert be geegneter Wahl von ω schneller als das herkömlche Jacob-Verfahren (mt ω = 1). Des schent m Wderspruch zur Untersuchung n Aufgabentel c) zu stehen, zegte sch doch en optmaler Relaxatonsparameter von ω = 1. Des hängt mt der verwendeten Matrxnorm zusammen. De n Aufgabentel c) verwendete Zelensummennorm dent nur als Abschätzung des Konvergenzbereches (Sehe Aufgabe 1), lässt aber kene genaueren Schlüsse zu. Tatsächlch würde de Spektralnorm das n der emprschen Untersuchung ermttelte ω lefern. bobbysteels@gmx.tm Sete 13 von 13 S. Flaschlen