Integrierte Linien- und Taktfahrplanung

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1 Integrierte Linien- und Taktfahrplanung D. Schmidt 21. September 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Problemstellung Modellierung Nebenpfad: Periodic Event Scheduling Problem (PESP) Verfahren vollständige Enumeration und PESP Verfahrenserläuterung Rechenaufgabe Lösung PESP mit disjunktiven Bedingungen Verfahrenserläuterung Rechenaufgabe und Lösung Literatur und Programme Literaturverzeichnis Programmverzeichnis

2 1 Einleitung 1.1 Problemstellung Problemstellung Die Zeiten von mit nur ein oder zwei Zügen verkehrenden Traditionslinien, wie dem Orient Express oder der Transsibirischen Eisenbahn, als Verkehrsmittel an sich sind lange vorbei. Heutzutage bedienen mehrere Züge die stark miteinander verzahnten Linien. Anfang des letzten Jahrhunderts wurden im öffentlichen Personennahverkehr periodische Fahrpläne eingeführt. Man spricht immer dann von einem periodischen Fahrplan, wenn die Abfahrts- und Ankunftszeiten der Züge einer Linie immer den gleichen Abstand zueinander haben. Auch im Fernverkehr fanden die linienbezogenen periodischen Fahrpläne Einzug, so führte zum Beispiel die Deutsche Bahn 1971 den linienbasierten InterCity-Verkehr ein. Aufgrund der enormen Größe und Komplexität der heutigen nationalen und internationalen Verkehrsnetzwerke ist es notwendig, den Planungsprozess in fünf beherrschbare Phasen aufzuspalten. Dabei handelt es sich um die Ermittlung des Passagieraufkommens, die Linienplanung, die Erstellung eines Fahrplans, die Fahrzeug- und die Personaleinsatzplanung. Ermittlung des Passagieraufkommens Um einen kundenorientierten Eisenbahnverkehr etablieren zu können, muss man erst einmal wissen, von und zu welchen Orten die Fahrgäste fahren möchten. Eine Art den Kundenwunsch zu repräsentieren, ist die Quelle-Ziel-Matrix, welche auch OD-Matrix für Origin-Destination-Matrix genannt wird. In ihr werden für jedes mögliche Paar von Bahnhöfen in einem Netz die Anzahl der Passagiere notiert, die von dem einen Bahnhof zu einem anderen Bahnhof innerhalb einer gewissen Zeitspanne fahren wollen. Eine Möglichkeit die Quelle-Ziel-Matrix zu erhalten, ist über Verkehrszählungen. Man kann zum Beispiel auf bestimmten Kanten des Netzwerkes, z. B. Gleisabschnitte oder Straßen, die Fahrgäste zählen und dann eine erwartete Quelle- Ziel-Matrix schätzen bzw. hochrechnen, siehe [CASCETTA/NGUYEN 1987]. Anstelle dessen kann man aber auch über die verkauften Tickets oder über Fahrgastbefragungen auf die Quelle-Ziel-Matrix schließen. Linienplanung Ziel der Linienplanung ist es, Routen zwischen verschiedenen Endbahnhöfen (Linien) und ihre Häufigkeiten der Bedienung (Frequenz) zu bestimmen. Dabei ist diese Linienauswahl so zu treffen, dass alle Passagiere befördert werden können. 2

3 Des Weiteren wird die Auswahl der Linie mit ihren Frequenzen hinsichtlich einer Zielfunktion (siehe Optimierungskriterien in 1.2) optimiert. Fahrplanung Die Aufgabe der Fahrplanung besteht darin, Ankunfts- und Abfahrtszeiten an allen markanten Orten, zum Beispiel an Bahnhöfen oder an den Anfangs- und Endpunkten eingleisiger Abschnitte, für alle Linien festzulegen. Dabei sind neben den Vorgaben aus dem Linienplan weitere Bedingungen wie Eingleisigkeiten, Sicherheitsabstände zwischen den Zügen oder Kehrzeiten an den Endbahnhöfen zu berücksichtigen. Eine spezielle Art der Fahrpläne sind die Taktfahrpläne. Das besondere eines Taktfahrplanes ist, dass sich alle Ereignisse nach einer gewissen Zeitspanne, der Taktzeit T, wiederholen.. Fahrzeugeinsatzplanung Um einen Fahrplan implementieren zu können, werden Züge benötigt. Die Züge bestehen aus Lokomotiven und Waggons. Die Fahrzeugplanung beschäftigt sich damit, diese für die verschiedenen Linien zu planen. Dabei müssen unter anderem verschiedene Linien-, Zug- und Waggontypen wie Speisewagen, Doppeldecker, Diesel- oder Elektrolokomotiven, ICE-Linien, Schlafwagen u. s. w., berücksichtigt werden. Des Weiteren können sich baugleiche Zugzusammenstellungen in der Anzahl ihrer Waggons unterscheiden. Ein Zug muss auch nicht den ganzen Tag einer bestimmten Linie zugeordnet sein, d.h. es ist explizit erlaubt, dass Züge in Endbahnhöfen ihre Linienzugehörigkeiten ändern können. Ein weiterer zu berücksichtigender Aspekt der Fahrzeugplanung ist es, dass die Züge in regelmäßigen Abständen, entweder kilometer- oder zeitabhängig, gewartet werden müssen. Aufgrund dessen müssen sie in einem dafür ausgestatteten Depot disponiert und zugeführt werden. Die Fahrzeugplanung versucht nun, unter den gegebenen Einschränkungen die entstehenden Kosten zu minimieren. Für das weitere Studium dieses Themas ist [GRÖTSCHEL/LÖBEL et al. 1997] empfehlenswert. Personaleinsatzplanung Die nun bereits geplanten Fahrzeuge müssen gewartet, bedient, gesäubert, kontrolliert u. s. w. werden. Für diese Tätigkeiten benötigt man spezialisiertes Personal wie Zugführer, Schaffner, Reinigungskräfte, Rangierer und viele andere mehr. Die Personalplanung plant die Arbeitszeiten und -orte der Mitarbeiter. Dabei muss unter anderem auf die Qualifizierung, Arbeits- und Pausenzeitenregelungen und darauf, dass die Arbeiter auch wieder nach Hause kommen, Rücksicht genommen werden. Auch in diesem Zusammenhang gilt, dass zum Beispiel ein Zugführer nicht die gesamte Tagesarbeitszeit in ein und demselben Zug oder der gleichen Linie verbringen muss. Neben all diesen Bedingungen wird wiederum versucht, die Planung zu optimieren. Dies kann zum Beispiel in Hinsicht auf die Minimierung der Personalkosten oder die Maximierung der Zufriedenheit der Belegschaft geschehen. Weitere Informationen zu 3

4 diesem Thema findet man in [CAPRARA/FISCHETTI et al. 1997]. Aufgrund der kleineren Größe der Netzwerke im städtischen Personennahverkehr ist es möglich, diese strikte Fünfteilung des Planungsprozesses aufzulockern und mehrere Planungsschritte zu Einem zusammenzufassen. Zum Beispiel ist es möglich, die Fahrzeug- und die Personaleinsatzplanung simultan durchzuführen, siehe [DREIER/BROCKMANN 1996]. Dieses Fallbeispiel befasst sich mit einem Ansatz für die integrierte Planung von Linien und Taktfahrplänen. 4

5 1.2 Modellierung Modellierung Linienplanung Eigentlich beschäftigt sich die Linienplanung mit der Definition der gesamten Linien, d.h. mit der abzufahrenden Route, den Haltebahnhöfen und der dazugehörigen Frequenz. In dem hier betrachteten Modell wird jedoch angenommen, dass bereits sich in einem oder mehreren markanten Orten treffende und dort zu verbindende Teillinien existieren. Taktfahrplanung Das Problem der Fahrplanung besteht darin, einen Fahrplan zu generieren, der für alle markanten Orte in einem Transportnetz Ankunftsund Abfahrtszeitpunkte festlegt. Das besondere eines Taktfahrplanes ist, dass sich alle Ereignisse nach einer gewissen Zeitspanne, der Taktzeit T, wiederholen. Für die vollständige Modellierung dieses Sachverhaltes wird in diesem Fallbeispiel das Periodic Event Scheduling Problem (PESP) betrachtet. Optimierungsaufgabe Optimierungskriterien Fahrzeuganzahlminimierung: Ein betriebwirtschaftliches Ziel bei der Optimierung von Taktfahrplänen ist es, die Anzahl der notwendigen Fahrzeuge (Umläufe) zu minimieren. Um dieses Ziel mit Hilfe einer linearen PESP-Zielfunktion zu erreichen, werde alle Fahr-, Halte- und Wendebögen mit dem gleichen Faktor c versehen. Dadurch steigt die Zielfunktion mit jedem eingesetzten Fahrzeug um c T. Fahrzeitminimierung: Das kundenorientierte Ziel der Fahrzeitminimierung zielt bei relativ konstanten Nettofahrzeiten (Fahrzeiten ohne Wartezeiten) auf die Vermeidung von unnötigen Wartezeiten ab. Hiefür werden für alle Fahr-, Halteund Umsteigebögen jeweils ein zu der Passagieranzahl proportionales Strafgewicht für die Zielfunktion festgelegt und somit ein unnötiges Überschreiten der Mindestanforderung im Verhältnis zu der Belastung der Kanten bestraft. Mischungen aus beiden Zielen: Durch ein gezieltes Setzen der Strafgewichte ist auch eine Verknüpfung der beiden genannte Ziele möglich. Hierbei ist allerdings sehr auf die Balance zwischen den beiden gegenläufigen Zielen zu achten. Entscheidungsvariablen Bei der Formulierung des Modells gibt es zwei Herangehensweisen: ereignisorientiert (zeitpunktsorientiert): Bei der ereignisorientierten Beschreibung einer Instanz des Problems wird 5

6 für jedes markante Ereignis eine Variable, die den Zeitpunkt innerhalb des Grundintervalls [0, T) festlegt, benötigt. übergangsorientiert (zeitdauerorientiert): Bei der übergangsorientierten Beschreibung einer Instanz des Problems wird für jeden Übergang eine Variable, die die Übergangsdauer angibt, benötigt Beide Formulierungsalternativen sind mathematisch äquivalent, d.h. man kann Probleminstanzen der eine in Instanzen der anderen Schreibweise überführen. Die auf Ereignissen aufbauende Formulierung wird aufgrund der leichten Vorstellung häufig für das Modellieren von Problem verwenden. Für das Lösen hat sich hingegen gezeigt, dass die Formulierung mittels Kantenvariablen zweckdienlicher ist, d. h. die Probleme im Allgemeinen schneller gelöst werden können. siehe Randbedingung Eingangsgrößen Randbedingungen Die Randbedingungen werden mit Hilfe zweier verschiedener Kriterienarten unterschieden. Zum einen werden allgemeine und sicherheitsrelevante Randbedingungen unterschieden und zum anderen erfolgt eine Unterteilung in harte und weiche Bedingungen. allgemeine Randbedingungen: minimale und maximale Fahrzeiten für alle Fahrten minimale und maximale Haltezeiten für alle Aufenthalte minimale und maximale Umsteigezeiten für alle Umsteigerelationen minimale und maximale Wendezeiten an allen vorab definierten Endbahnhöfen Anschlüsse an benachbarte Systeme (z. B. U-Bahn, Tram oder andere Netzausschnitte) sicherheitsrelevante Randbedingungen: Eingleisigkeiten Kreuzungen Mindestabstände folgender Züge harte Randbedingungen: Hierbei handelt es sich um Bedingungen, die jeder Taktfahrplan einhalten muss. Sie werden mittels unterer und oberer Schranken auf den entsprechenden Bögen modelliert, z. B.: 6

7 Eingleisigkeiten Kreuzungen weiche Randbedingungen: Wenn eine Bedingung nicht immer erfüllt sein muss, dann wird sie mit Hilfe einer weichen Bedingung in die Problemformulierung aufgenommen. Anstelle eines Bogens wird hierfür ein zusätzlicher Strafterm für das Abweichen von der Idealbelegung in die Zielfunktion aufgenommen, z. B.: maximale Umsteigezeiten an Umsteigerelationen niedriger Priorität maximale Haltezeiten an unkritischen Orten Nebenpfad: Periodic Event Scheduling Problem (PESP) Periodic Event Scheduling Problem (PESP) Bei dem PESP handelt es sich um ein von [SERAFINI/UKOVICH 1989] konzipiertes Modell, das für die Optimierung von sich wiederholenden Ereignissen vorgesehen ist. Das PESP kann als Problemformulierung auf einem gerichteten Graphen oder als gemischt ganzzahliges lineares Programm (MIP) interpretiert werden. verkehrliche Anwendungsgebiete Da das PESP zur Erstellung von zeitlich wiederholten Ereignissen konzipiert wurde, findet es neben dem Einsatz bei der Taktfahrplanerstellung unter anderem auch bei der Optimierung von Lichtsignalplänen und bei der Personal- und Fahrzeugeinsatzplanung seine Anwendung. PESP als gerichteter Graph: Die Knoten V des gerichteten Graphen repräsentieren die zeitlich wiederkehrenden Ereignisse. Bei der Erstellung von Taktfahrplänen sind solche relevanten Ereignisse zum Beispiel die Ankünfte (rote Quadrate) oder Abfahrten (grüne Quadrate) der Züge einer Linie in einer Haltestelle, das Einfahren oder Verlassen eines eingleisigen Stareckenabschnittes oder das Passieren einer Weiche. Bei der Optimierung von Lichtsignalplänen haben die Knoten die Bedeutung von Anfangs- bzw. Endzeitpunkten von Sperr-, Rot/Gelb-, Freigabe- und Gelbzeiten. Durch die Bögen A des gerichteten Graphen werden die zeitlichen Abhängigkeiten zwischen den modellierten Ereignissen dargestellt. Für jeden dieser Bögen a = (v, w) gibt es eine untere l a und eine obere Schranke u a für den Übergang vom Start- v zum Zielereignis w. Exemplarisch sind für die Taktfahrplanung die Aufenthaltsdauern in jedem Bahnhof (rote Bögen) oder in eingleisigen Abschnitten, Fahr- (blaue Bögen) und Umsteigezeiten (grüne Bögen) zu nennen. Bei der Optimierung von Lichtsignalplänen repräsentieren die Bögen unter anderem die Dauer der einzelnen Signalisierungszustände. 7

8 PESP als MIP: Neben der graphentheoretischen Interpretation des PESPs gibt es auch die Darstellungs-alternative als gemischt-ganzzahliges lineares Programm (MIP). Dabei werden die beiden Formulierungen mit Hilfe von Knoten- und Kantenvariablen unterschieden. mit Knotenvariablen: Für die Darstellung des PESP mittels Knoten-variablen wird für jeden Knoten v V eine Variable π v benötigt. Sie repräsentiert den Zeitpunkt des Eintretens des zugehörigen Ereignisses in dem Intervall des Grundtakts [0, T). Zusätzlich wird für jeden Bogen a eine Varibale p a definiert, die die Einhaltung des Definitionsbereiches der Knotenvariablen π v ermöglicht. unter den Nebenbedingungen: min c a (π j π i + p a T ) a=(i,j) A a π j π i + p a T a = (i, j) A π j π i + p a T u a a = (i, j) A p a Z a = (i, j) A π i R i V 8

9 Neben der Wahl der linearen Zielfunktion haben die einzelnen Nebenbedingungen folgende Bedeutungen: 1. Nebenbedingungen: Einhalten der unteren Schranke für je zwei benachbarte Knoten 2. Nebenbedingungen: Einhalten der oberen Schranke für je zwei benachbarte Knoten 3. Nebenbedingungen: Einhalten des Definitionsbereiches für p a 4. Nebenbedingungen: Einhalten des Definitionsbereiches für π i mit Bogenvariablen: Bei der auf Bogenvariablen basierenden Formulierung des PESP werden für jeden Bogen a A eine Variable x a, die für die Übergangsdauer zwischen den angrenzenden Ereignissen steht und eine künstliche Variable p a Z, die das Umrechnen der Übergangsdauern in das Intervall [0, T) gewährleistet, herangezogen. unter den Nebenbedingungen: min a A c a (x a + p a T ) l a x a + p a T a A x a + p a T u a a A γ C,a x a = k C T C C a C p a Z a A x a R a A Neben der Wahl der linearen Zielfunktion haben die einzelnen Ungleichungen folgende Bedeutungen: 1. Nebenbedingungen: Einhalten der unteren Schranke auf jedem Bogen 2. Nebenbedingungen: Einhalten der oberen Schranke auf jedem Bogen 3. Nebenbedingungen: Einhalten der Kreisbedingung 4. Nebenbedingungen: Einhalten des Definitionsbereiches für p a 5. Nebenbedingungen: Einhalten des Definitionsbereiches für x a 9

10 Zielfunktion Damit es sich bei dem PESP um ein MIP handelt, darf die Zielfunktion nur linearer Natur sein,d. h. es werden konstante Faktoren gesucht, die aufsummiert multipliziert mit den Problemvariabeln zur Bestrafung von nicht optimalen bzw. unerwünschten Zustände führen. Hierfür werden in der Regel die Überschreitung der unteren Schranke der Kanten mit verschieden großen Straffaktoren versehen. Infoseite Modulo Bei der Modellierung des PESP als MIP wird für die Variablen der periodisch eintretenden Ereignisse i als Definitionsbereich der Grundtakt [0, T) gewählt. Damit aber auch Vorgangsdauern modelliert werden können, muss die Zeitdifferenzen zwischen zwei aufeinander folgenden Ereignissen i und j in den Grundtakt mit Hilfe der modulo-opearation umgerechnet werden. l ij (π j π i )T u ij Da jedoch der modulo-operator nicht Bestandteil der allgemeinen MIP-Formulierung ist, wird folgende äquivalente Beschreibung unter Zuhilfenahme einer ganzzahligen Variable p ij je Bogen (i, j) verwendet: l ij π j π i + p ij T u ij Infoseite Kreise Bei der Formulierung des PESP mit Hilfe von Bogenvariablen muss für die Sicherstellung der Ein-haltbarkeit der Periodizität zusätzlich die Kreisbedingungen γ C,a x a = k C T für alle Kreise C gefordert werden. Der Inzidenzvektor a C des Kreises γ C,a kann hierbei für jede Kante den Wert 1 oder -1 annehmen, je nach dem ob die Kante a in Vorwärts- oder Rückwärtsrichtung im Kreis C enthalten ist. Für die Verdeutlichung dieses Sachverhaltes ist das folgende kleine Beispielnetz hilfreich. In ihm sind drei Stationen welche mit einer Linie betrieben werden abgebildet. 10

11 Neben den in der Grafik aufgezeigten zulässigen Fahr-, Halte- und Wendezeiten sind noch der Takt zehn Zeiteinheiten (ZE) und der Mindestabstand drei ZE einzuhalten. Eine mögliche Lösung dieses Problems ohne Betrachtung der Kreisbedingung lautet: Die Summe der Einzelzeiten beträgt 51 ZE, so dass genau eine ZE nach einem Zug ein weiterer Zug verkehren würde. Damit dieses Phänomen verhindert wird, wird die Kreisbedingung in die Problemformulierung mit Bogenvariablen aufgenommen. Bei der PESP-Formulierung mit Knotenvariablen ist diese zusätzliche Bedingung nicht notwendig, da sich die Ereignisse per Definition nur nach ganzzahligen Vielfachen der Taktzeit wiederholen können. 11

12 1.3 Verfahren Geeignete Verfahren Für die gemeinsame Optimierung der Linien und der Taktfahrpläne wurden bisher folgende zwei auf das PESP aufbauende Vorgehensweisen angewendet: Erweiterung des PESP mit disjunktiven Bedingungen (Kapitel 2) vollständige Enumeration und PESP (Kapitel 3) Beiden Verfahren ist gemein, dass sie für die Erstellung der jeweils optimalen Taktfahrpläne auf das PESP und für die Lösung der Probleminstanzen auf die unten genannten Optimierungsverfahren zurückgreifen. Sie unterscheiden sich jedoch in der Art der Modellierung der Zusammenschlüsse von Teillinien zu Linien. Optimierungsverfahren: Für das Lösen der PESP-Instanzen können alle Algorithmen verwendet werden, die mit gemischt-ganzzahligen linearen Programmen umgehen können, wie z. B.: heuristische Verfahren: Genetische Verfahren, Simulated Annealing dynamische Programmierung, graphentheoretische Verfahren und Entscheidungsbaumverfahren: Branch-and-Bound, Branch-and-Cut. siehe auch Fallbeispiel Anschlusssicherung 12

13 2 vollständige Enumeration und PESP 2.1 Verfahrenserläuterung Einleitung Die Idee dieser Vorgehensweise ist es, mit Hilfe der vollständigen Enumeration alle Zuordnungsmöglichkeiten der Teillinien untereinander zu ermitteln. Für jede dieser Linienausprägungen ist dann jeweils eine PESP-Instanz zu erstellen und zu lösen. Durch das Lösen aller Instanzen ergibt sich für jede Zuordnung ein optimaler Taktfahrplan mit einem zugehörigen optimalen Zielfunktionswert. Dadurch sind die verschiedenen Zuordnungen miteinander vergleichbar und es ist nun möglich, die das Gesamtproblem optimierende(n) Zuordnung(en) der Teillinien durch den Vergleich der Zielfunktionswerte zu identifizieren. 13

14 2.2 Rechenaufgabe Situationsbeschreibung Ein Planer hat folgendes einfache Netz bestehend aus drei westlichen und drei östlichen Linienabschnitten so aufzubereiten, dass es mit Hilfe des PESPs gelöst werden kann. Die sechs Teillinien W1, W2, W3, O1, O2 und O3 treffen sich in einer zentralen Station M und sollen dort untereinander zu drei Linien verbunden werden, wobei der Zusammenschluss von W1 und O1 nicht möglich ist. Des Weiteren sind die Fahrzeiten der Teillinien wie in der Tabelle angegeben. Dieses Netz soll mit einem Takt T von zehn Zeiteinheiten (ZE), einem Mindestabstand d von zwei Zeiteinheiten und eine bereits in den Fahrzeiten enthaltener Umkehrzeit von einer Zeiteinheit bedient werden. Strecke (M M) kompl. Fahrzeit in ZE W1 W2 W3 O1 O2 O Wie viele zulässige Linienverknüpfungsmöglichkeiten gibt es in diesem Netz? a) ohne Berücksichtigung des Zusammenschlussverbotes von W1 - O1? 6 b) mit Berücksichtigung des Zusammenschlussverbotes von W1 - O1? 4 14

15 2.3 Lösung Einleitung Ziel dieses Abschnittes ist es, die fünfstufige Vorgehensweise ( Erstellen der allgemeinen PESP-Bedingungen, Aufstellen aller Zuordnungen, Erstellen der PESP-Bedingungen der Zuordnung, Lösen aller PESP-Instanzen und Finden des optimalen Taktfahrplanes ) des Lösungsschemas vollständige Enumeration und PESP anhand des in der vorigen Aufgabe aufgezeigten Beispielnetzwerkes nachzuvollziehen. Erstellen der allgemeinen PESP- Bedingungen Als erstes wird aus den betrieblichen Randbedingungen eine für alle Linien allgemeingültige PESP-Instanz erstellt. Hierfür werden die Fahr-, Halte-, Umsteigeund Wendebögen, siehe Unterseite PESP modelliert. Reale Bedingung Dauer PESP-Bedingung Fahrbogen je Fahrrichtung für W1 Wendebogen bei W1 schneller Umstieg von O1 nach O3 5 ZE [5, 5] 1 ZE [1, 1] 0-1 ZE [0, 1] Aufstellen aller Zuordnungen Als nächster Schritt werden alle zulässigen Zuordnungen aufgestellt. Da ein blindes Probieren aller theoretischen Zuordnungsmöglichkeiten und das Lösen der zugehörigen PESP-Instanzen viel zu zeitaufwendig wären, muss man unter Verwendung von zusätzlichen Informationen (z. B: Zusammenschlussverbote) die Anzahl der Zuordnungsmöglichkeiten reduzieren. Durch die Beachtung dieses sehr einfachen Sachverhaltes des Verbotes des Zusammenschlusses einer einzigen Linie sind in dem obigen Beispiel bereits 33,3% der Zuordnungen weggefallen. Das sich auch in der Praxis gravierenden Reduktion der Anzahl der Zusammenschussmöglichkeiten ergibt, ist bei einer Studie an einem Teil des Berliner S-Bahn-Netzes herausgekommen. In dieser Studie konnte unter Verwendung zweier Verknüpfungspunkte und weiterer einschränkender Randbedingungen die Anzahl der Zuordnungsmöglichkeiten von auf 342 reduziert werden, was einer Reduzierung um 99,9% entspricht. 15

16 Stellen Sie alle in der obigen Aufgabe möglichen Zuordnung des Falles b) auf! Und markieren Sie die korrekten Lösungen! true true false true true false Erstellen der PESP- Bedingungen der Zuordnung Für jede Zuordnungsmöglichkeit wird ein Satz von PESP-Bedingungen erzeugt, der die gewählten Zusammenschlüsse widerspiegelt. Für je zwei Teillinien, die zu einer Linie zusammengefasst werden sollen, wird [0,0] als zusätzliche PESP- Bedingung und bei zwei nicht zusammenzuschließenden Teillinien wird die Mindestabstandbedingung [d, T d] in die PESP-Instanz aufgenommen. Stellen Sie alle zusätzlichen PESP-Bedingungen für den Fall W1-O2, W2-O3, W3-O1 auf! Markieren Sie hierfür Ihre Lösung durch einen Mausklick. 16

17 Verknüpfung Bedingung W1H - O1H HOTSPOT Lösung: 4 W1H - O2H HOTSPOT Lösung: 1 W1H - O3H HOTSPOT Lösung: 4 W2H - O1H HOTSPOT Lösung: 4 W2H - O2H HOTSPOT Lösung: 4 W2H - O3H HOTSPOT Lösung: 1 W3H - O1H HOTSPOT Lösung: 1 W3H - O2H HOTSPOT Lösung: 4 W3H - O3H HOTSPOT Lösung: 4 W1R - O1R HOTSPOT Lösung: 4 W1R - O2R HOTSPOT Lösung: 1 W1R - O3R HOTSPOT Lösung: 4 W2R - O1R HOTSPOT Lösung: 4 W2R - O2R HOTSPOT Lösung: 4 W2R - O3R HOTSPOT Lösung: 1 17 W3R - O1R HOTSPOT Lösung: 1 W3R - O2R HOTSPOT Lösung: 4 W3R - O3R HOTSPOT Lösung: 4

18 Lösen aller PESP- Instanzen Nachdem die PESP-Instanzen aller Zuordnungsmöglichkeiten aufgestellt wurden, können diese nun mithilfe gängiger Algorithmen zur Lösung gemischtganzzahliger linearer Probleme gelöst werden. Detaillierter Informationen über diese Lösungsalgorithmen sind im Fallbeispiel Anschlusssicherung, Kapitel Optimierungsverfahren und in dem Fallbeispiel Ganzzahlige und gemischtganzzahlige Optimierung zu finden. Das Lösen der PESP-Instanzen liefert für jede Zuordnung von Teillinien eine objektive Bewertung des besten mit diesen Linien zu erreichenden Taktfahrplanes. Dieser spiegelt sich in dem errechnetten Zielfunktionswert der bei allen Anwendungen des Lösungsalgorithmus gleichbleibenden Zielfunktion wider. Lösung: Bei dem Lösen der vier PESP-Instanzen kamen folgende Werte heraus: Zuordnung der Teillinien benötigte Fahrzeuge Zielfunktionswert W1-02, W2-O1, W3-O3 W1-02, W2-O3, W3-O1 W1-03, W2-O1, W3-O2 W1-03, W2-O2, W3-O1 2, 2, , 2, , 2, , 3, Finden des optimalen Taktfahrplanes Bei einem Vergleich der Zielfunktionswerte der verschiedenen Linienzusammenstellungen, kann man den objektiv besten Taktfahrplan ermitteln und erhält somit die Information, welche Linien realisiert werden müssen, um diesen zu erhalten. Lösung: Die Linienzusammenstellung der 2. Zeilen in der obigen Tabelle ist für diese Zielfunktion optimal. 18

19 3 PESP mit disjunktiven Bedingungen 3.1 Verfahrenserläuterung Einleitung Bei diesem Verfahren werden die Zusammenschlüsse der Teillinien zu Linien über so genannte disjunktive Bedingungen (logische ODER-Verknüpfung) in das PESP aufgenommen. Die zu modellierende Bedingungen lautet: Entweder werden zwei Teillinien an einem vorher festgelegten Ort zu einer Linien zusammengefasst und müssen folglich zur gleichen Zeit an diesem Ort sein [0, 0] oder sie müssen zueinander einen betrieblich bedingten Mindestabstanddeinhalten [d, T d]. [0, 0] [d, T-d] (in Grafik grün dargestellt) Damit die disjunktiven Bedingungen in die Problemformulierung des PESPs aufgenommen werden können, müssen sie zunächst in eine konjunktive Bedingungen (logische UND-Verknüpfung) überführt werden. [0, T-d] [d, T] (in Grafik gelb bzw. blau dargestellt) Die Übereinstimmung der beiden logischen Aussagen ist anhand der folgenden Grafik leicht nachvollziehbar. 19

20 Falls es Teillinien gibt, die nicht zusammengeschlossen werden dürfen, dann wird für die beiden zu den Teillinien gehörenden Ereignissen nur die Mindestabstandsforderung [d, T-d] in die Problemformulierung aufgenommen. Nach dem Einfügen der zusätzlichen PESP-Bedingungen kann das Problem wiederum mit den gängigen Verfahren zum Lösen gemischt-ganzzahliger linearer Programmen gelöst und somit ein optimaler Taktfahrplan und die zu verwendenden Linien ausgerechnet werden. 20

21 3.2 Rechenaufgabe und Lösung Als Rechenaufgabe wird weiterhin das in Kapitel 2.2 aufgezeigte Netz und dessen Randbedingungen genutzt. Im Vergleich zu dem im vorangegangenen Kapitel beleuchteten Verfahren benötigt die hier erläuterte Herangehensweise nur vier Teilschritte: Erstellen der allgemeinen PESP-Bedingungen, Aufstellen aller PESP-Bedingungen für die Linienzusammenstellung, Lösen der PESP-Instanz und Interpretation der Lösung. Dabei sind der erste und dritte Schritt identisch mit denen des vorigen Kapitels und deshalb wird an dieser Stelle nur der zweite und vierte Schritt erläutert. Aufstellen aller PESP- Bedingungen für die Linienzusammenstellung Der große Unterschied dieses Verfahren ist es, dass nicht wie im vorangegangenen Kapitel für jede Linienzusammenstellung ein Satz von PESP-Bedingungen erstellt wird, sondern alle Linienzusammenschlüsse modellierende PESP Bedingungen. Wie bereits in der Verfahrenerläuterung aufgezeigt, werden dafür erneut die beiden Fälle Zusammenschluss ist erlaubt und Zusammenschluss ist nicht erlaubt unterschieden. Anhand der grünen und roten Kanten in der folgenden Grafik ist die Umsetzung der konjunktiven Bedingungen in dem Beispiel zu sehen. 21

22 Interpretation der Lösung Nachdem das PESP gelöst wurde muss der ausgerechnete Taktfahrplan interpretiert werden. Es muss herausgefunden werde Linien anzubieten sind, um den optimalen Taktfahrplan implementieren zu können. Dafür müssen sich die Übergänge der Teillinien in den Übergangsknoten noch einmal genauer angeschaut werden. Auch hier gilt abermals, dass innerhalb von Linien die Überganzzeit der zugehörigen Teillinien null Zeiteinheiten und für alle anderen Übergänge 22

23 zwischen d und T d Zeiteinheiten liegen. optimale Lösung der Rechenaufgabe Für das Ausrechen der optimalen Lösung ist zum Beispiel das auf cplex aufbauende an der TU Berlin in Zusammenarbeit mit der ptv AG entwickelte Programm TVO (TaktVersatzOptimierung) [LIEBCHEN/NÖKEL 2002] anwendbar. Für das obige Beispiel ergibt sich folgende optimale Lösung. Die angegebenen Zeitpunkte der Ankunfts- und Abfahrtsereignisse sind in der Einheit Zeiteinheiten zu verstehen: Der Aufwand für ein händisches Nachvollziehen der Modellierung und die auftretende Komplexität der Lösungsalgorithmen ist für ein Nachvollziehen aller Schritte an dieser Stelle bereits bei diesem kleinen Beispiel zu groß. Nachteile des integrierten Verfahrens Weiterer Nachteile des nur eine PESP-Instanz nutzenden Verfahrens mit disjunktiven Bedingungen im Vergleich zu der Summe der Laufzeiten aller PESP- Instanzen des alle zulässigen Zusammenschlüsse durchrechnenden Verfahrens sind die höhere Laufzeit und dass nur ein optimaler Taktfahrplan berechnet werden kann. Bei dem Verfahren mit der vollständigen Enumeration wird für jede Zusammenschlussalternative ein optimaler Taktfahrplan berechnet. Da sich in der Praxis gezeigt, dass die rechnerisch optimale Lösung jedoch nicht immer praktikabel ist, hat man bei dem erst genannten Verfahren noch ein paar suboptimale alternative Lösungen zur Verfügung. 23

24 4 Literatur und Programme 4.1 Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis [BARBOUR/FRICKER 1994] Barbour R., Fricker J. D. Estimating an origin-destination table using a method based in shortest augmenting path Transportation Research Part B 28(2): [CAPRARA/FISCHETTI et al. 1997] Caprara A., Fischetti M., et al. Algorithms for railway crew management Mathematical Programming 79(1-3): [CASCETTA/NGUYEN 1987] Cascetta E., Nguyen S. A unified framework for estimating or updating origin/detination matricies from traffic count Transportation Research Part B 21: [DREIER/BROCKMANN 1996] Dreier J., Brockmann U. Integreted system planning for railways Computer in Railways V 1: [GRÖTSCHEL/LÖBEL et al. 1997] Grötschel M., Löbel A., et al. Optimierung des Fahrzeugumlaufes im öffentlichen Nahverkehr Hoffmann, K.-H., Jäger, W., Lohmann, T. und Schnuck, H [LIEBCHEN/NÖKEL 2002] Liebchen C., Nökel K. Überführung eines mathematischen Modells zur Taktversatzoptimierung in die Praxis. HEUREKA 02 Optimierung in Verkehr und Transport: [LÖBEL 1997] Löbel A. Optimal vehicle scheduling in public transit Dissertation at TU Berlin Berlin, 1997 [SERAFINI/UKOVICH 1989] P., Ukovich W. A Mathematical Model for Periodic Scheduling Problems SIAM Journal on Discrete Mathematics 2(4):

25 [SHERALI/SIVANANDAN et al. 1994] Sherali H. D., Sivanandan R., et al. A Linear-Programming Approach for Synthesizing Origin-Destination Trop Tables from Link Traffic Volumes Transportation Research Part B-Methodological 28(3): Programmverzeichnis cplex Ein Programm zur Lösung mathematischer Optimierungsprobleme, insb. linearer Programme ( Hastus MICROBUS TVO Eine Softwarelösung für die integrierte Erstellung von effizienten Fahr- und Dienstplänen ( Ein Programm zur Planung und Optimierung sämtlicher Betriebsabläufe in öffentlichen Verkehrsunternehmen für Satdt- Reginoal- und Bahnverkehre ( Eine Weiterentwicklung der gleichnamigen Software zur TaktVersatzOptimierung, welche in einer Zusammenarbeit der TU Berlin mit der PTV AG entstandenen ist. 25