Grundlagen der Physik Lerneinheit 4. Einführung in die Fluidmechanik

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1 Grundlagen der Physik Lerneinheit 4 Grundlagen der Physik Lerneinheit 4 Einführung in die Fluidmechanik Rheinfall bei Schaffhausen Dieter Bangert September 05 3

2 Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 4 Grundlagen der Physik - Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 4 Grundlagen der Physik - orwort 6 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen Druckeinheiten Schweredruck einer Flüssigkeit Druck durch äußere Belastung (Pressdruck oder Stempeldruck) Statischer Druck uftrieb Oberflächenspannung und Oberflächenenergie Grenzflächenspannung Kapillarität... 3 Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen olumen- und Massenstromstärke Kontinuitätsgleichung Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen Stokessches Gesetz Strömungswiderstand Kirchhoffsche Strömungsgesetze Hagen-Poiseuillesches Gesetz Reale Strömungen und Turbulenz Ideale und reale Strömungen Bernoullische Gleichung nwendungen der Bernoulli-Gleichung Bernoulli-Gleichung bei reibungsbehafteter Strömung Druckverlust bei turbulenter Strömung Pumpleistung bei reibungsbehafteter Strömung uftrieb an umströmten Körpern Energieeinsatz bei ntriebssytemen im erkehrssektor usströmen von Fluiden aus Behältern

3 Inhaltsverzeichnis Lerneinheit 4 Grundlagen der Physik - 4 iederholungstest Testfragen Lösungen der Testfragen Zusammenfassung Übungen Übungsaufgaben Lösungen der Übungsaufgaben nhang Griechisches lphabet 04 Formelzeichen 05 3 Literaturauswahl 07 5

4 orwort orwort Die Fluidmechanik ist eine physikalische Basiswissenschaft mit großer Bedeutung für die Ingenieurpraxis. So spielen beispielsweise Benetzungsvorgänge bei der Schmierung der Kolben und Lager durch Motorenöl eine wichtige Rolle. Dies gilt auch für die Herstellung von faserverstärkten erbundwerkstoffen, bei der flüssige Kunststoff-Matrixwerkstoffe Kohlenstoff-Fasern benetzen und dadurch zu einem Faserverbund verkleben. eitere nwendungsbeispiele der Fluidmechanik sind Rohrströmungen und die Berechnung von Rohrnetzen. on großer praktischer Bedeutung ist auch der iderstand umströmter Körpern, der den Pkw-Fahrern in Form des Luftwiderstandbeiwertes vertraut ist. Die vorliegende Lerneinheit soll eine orientierende Einführung in die Physik der ruhenden und strömenden Flüssigkeiten und Gase liefern. Für Maschinenbauer, erfahrenstechniker und Energietechniker gehören wegen der Kompliziertheit der Strömungsphänomene eigenständige Lehrveranstaltungen über Technische Strömungslehre und Strömungsmaschinen zum Studienangebot. erbesserungsvorschläge, Fehlermeldungen und sonstige Kommentare oder Hinweise sind erwünscht. Bitte richten Sie diese an folgende -dresse: Marburg, September 05 Dieter Bangert 6

5 . Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik Die makroskopische Materie in Form der Flüssigkeiten und Gase stellt ein fluides Medium dar. Die Fluidmechanik beschäftigt sich mit den mechanischen Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase und leistet damit einen wichtigen Beitrag zur Lösung technischer Probleme in den Hauptanwendungsgebieten Maschinen- und nlagenbau, Energietechnik, Lüftungs- und Klimatechnik sowie erfahrenstechnik. Flüssigkeiten und Gase werden dabei als Kontinua betrachtet. Sie sind nicht formstabil, sie besitzen keine Gestaltselastizität und haben im Unterschied zu Festkörpern kein Gestaltgedächtnis. Sie weisen keine statischen Schubspannungen auf. Ihre Moleküle können daher leicht gegeneinander verschoben werden und besitzen deswegen Fließ- oder Strömungseigenschaften. Sie werden deshalb Fluide genannt. Im idealisierten Fall der reibungslosen Fluide ist diese erschiebung sogar ohne Kraftaufwand möglich. Fluide besitzen jedoch eine olumenelastizität, deren Größe durch die Kompressibilität κ gegeben ist. κ wird folgendermaßen definiert: κ = =. (.) K p ährend die Gase eine hohe Kompressibilität aufweisen, ist die Komprimierbarkeit der Flüssigkeiten gering. So besitzt beispielsweise asser bei einer Temperatur von 0 C eine Kompressibilität von 0 κ = 4,6 0 Pa. Flüssigkeiten sind daher praktisch inkompressibel. Ihre Dichte ist dann unabhängig vom Druck. Nur der absolut starre Körper besitzt keine Kompressibilität ( κ = 0 ). Da Flüssigkeiten größenordnungsmäßig die gleiche Dichte wie Festkörper besitzen, wirken zwischen benachbarten Flüssigkeitsmolekülen wie in festen Körpern kurzreichweitige Kräfte, die so genannten Kohäsionskräfte, die die Moleküle in makroskopischen erbänden zusammenhalten. egen der Kurzreichweitigkeit der Kohäsionskräfte treten diese in Gasen nur bei Molekülzusammenstößen auf. Gase besitzen nämlich eine im ergleich zu den Flüssigkeiten etwa 000fach kleinere Dichte, so dass ihre Moleküle im Mittel einen zehnfach größeren bstand voneinander aufweisen. Im Gegensatz zu Gasen weisen Flüssigkeiten infolge der Kohäsionskräfte freie Oberflächen auf, wodurch das Phänomen der Oberflächenspannung auftritt. Die Lehre von den Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase im ruhenden Zustand wird als Hydrostatik bezeichnet (gr. hydor, hydatos: asser). Sie soll im ersten Teil dieses Kapitels behandelt werden. Die Eigenschaften der strömenden Flüssigkeiten und Gase werden im zweiten Teil dieses Kapitels im Rahmen einer Einführung in die Hydrodynamik beschrieben. ährend die Hydrodynamik ursprünglich die Bewegungslehre des assers, als der wichtigsten Flüssigkeit bezeichnete, stellt die erodynamik die Lehre der Bewe- 7

6 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik gung von Luft und anderen Gasen dar. Beide Teilgebiete werden unter dem Oberbegriff Fluiddynamik zusammengefasst. Hier sollen im Rahmen einer physikalischen Einführung einige Grundprinzipien der Fluidmechanik vorgestellt und diskutiert werden. Für praktische Fragestellungen wesentliche Details müssen daher der einschlägigen Literatur zur technischen Strömungslehre vorbehalten bleiben.. Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen.. Druckeinheiten ls Druck p wird der Quotient aus dem Betrag einer senkrecht auf eine Fläche wirkenden Kraft F und der Größe der Fläche bezeichnet. F p = (.) Der Druck ist eine skalare Größe. Er stellt den Betrag der Normalkraft pro Flächeneinheit dar. Die Einheit des Druckes ergibt sich zu: N [ p] = = Pa (Pascal) (.3) m Die Druckeinheit Pa (Blaise Pascal 63-66) stellt somit den Druck dar, den eine Kraft mit dem Betrag von N senkrecht auf eine Fläche von m ausübt. Da der Druck von p = Pa relativ klein ist, wird in der Praxis häufig eine größere SI-fremde Druckeinheit benutzt: 5 bar = 0 Pa. (.4) Die SI-fremde Druckeinheit Bar mit dem Einheitenzeichen bar stellt gemäß dem Gesetz über die Einheiten im Messwesen und die Zeitbestimmung (EinhZeitG) sowie der Einheitenverordnung (Einh) eine allgemein anwendbare gesetzliche Druckeinheit dar... Schweredruck einer Flüssigkeit Der Schweredruck stellt einen Druck dar, den eine Flüssigkeit aufgrund ihrer eigenen Gewichtskraft ausübt. Er wird daher auch als Eigengewichtsdruck bezeichnet. Ruht oberhalb einer Fläche eine Flüssigkeitssäule mit einer Höhe h und der Masse m, so gilt für den Schweredruck p der Flüssigkeit: s 8

7 . Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen F mg p s = =. (.5) Besitzt die Flüssigkeit die Dichte ρ, so gilt: m = ρ = ρh. (.6) Damit folgt für den Schweredruck: p s ρhg = = ρgh. (.7) Der Schweredruck einer Flüssigkeit ist somit nur abhängig von der Tiefe (Höhe der Flüssigkeitssäule h) unterhalb der Flüssigkeitsoberfläche, in der er gemessen wird (bb. ). 0 p ρ h h p p p= ρgh h h 3 p 3 bb. : Schweredruck einer Flüssigkeit Flüssigkeiten und Gase üben somit einen Druck p S auf den Gefäßboden aus. Dieser Druck wirkt jedoch nicht nur auf die Gefäßwände, sondern überall im Innern einer Flüssigkeit tritt in einer Tiefe h unterhalb des Flüssigkeitsspiegels ein allseitiger Druck der Größe p s = ρgh auf. uf eine in die Tiefe h gebrachte horizontale Platte der Fläche wirkt daher eine nach unten gerichtete Kraft vom Betrag F = p. Infolge dieser Kraft müsste sich die Platte nach unten bewegen. Die Flüssigkeit befindet sich jedoch in Ruhe, da von unten eine entsprechend der Elastizität der zusammengedrückten Flüssigkeit gleich große nach oben gerichtete Gegenkraft wirkt. Dieser Tatbestand führt zu dem Pascalschen Gesetz: Der Druck an einem beliebigen Punkt einer ruhenden Flüssigkeit ist in alle Richtung gleich. Der in allen Richtungen gleichermaßen (isotrop) wirkende Druck stellt daher eine skalare physikalische Größe dar. s 9

8 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik Gemäß der Beziehung p s = ρgh hängt der Schweredruck, der auch als geodätischer Druck bezeichnet wird, nur von der Tiefe h ab und bleibt auch für eine beliebige Gestalt des Gefäßes erhalten (bb. ). h bb.: Hydrostatisches Paradoxon Die experimentelle Erfahrung zeigt, dass der Schweredruck p in s der Tiefe h unabhängig von der Flüssigkeitsmenge ist, die sich oberhalb der Bodenfläche befindet. Diese scheinbar merkwürdige Tatsache wird als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet. Der Bodendruck p ist in den drei in bb. dargestellten Gefäßen identisch, s obwohl die Flüssigkeitsmengen oberhalb der Grundfläche in den verschiedenen Gefäßen von links nach rechts zunehmen. Hinweis: Die Dichte ρ kann allerdings von der Höhe h der Flüssigkeitssäule abhängig sein, wenn die Flüssigkeit kompressibel ist. Bei der bleitung der obigen Beziehung für den Schweredruck p wurde unausgesprochen angenommen, dass die über der Fläche lastende Flüs- s sigkeitsmasse nur einen Druck ausübt, dabei aber nicht das darunter befindliche Flüssigkeitsvolumen komprimiert...3 Druck durch äußere Belastung (Pressdruck oder Stempeldruck) Durch äußere Krafteinwirkung auf die Begrenzungen eines Flüssigkeitsvolumens kann beispielsweise über einen beweglichen Kolben oder Stempel in einer Flüssigkeit ein Druck erzeugt werden. Entsprechend seiner erursachung wird er Kolben- oder Stempeldruck genannt. ufgrund der elastischen Kräfte zwischen den Flüssigkeitsmolekülen ist der Kolbendruck im gesamten Flüssigkeitsvolumen vorhanden und besitzt im Innern des Fluids überall die gleiche Größe. ird in einem Fluid z. B. bei konstanter Temperatur durch erdichtung das olumen verkleinert, so erhöht sich der Druck im Innern des Fluids (bb. 3). 0

9 . Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen Kolben F P amb F Gas F 3 P bb. 3: Press-, Kolben- oder Stempeldruck uf den Kolben in bb. 3 wirken in skalarer Schreibweise folgende Kräfte: F an der Kolbenstange, F an der Rückseite des Kolbens, F an der Kolbeninnenseite. 3 In bb. 3 stellt p den tmosphärendruck der umgebenden Luft amb dar. Er stellt einen Umgebungsdruck dar und wird gemäß DIN 34 mit p (lat. ambiens: umgebend) bezeichnet. Dann ist: amb F = p amb F 3 = p. Dabei ist die Kolbenfläche und p ist der Druck im Innern des Fluids. Für das Kräftegleichgewicht gilt: r F r r +. F = F 3 Die Kräfte F r und F r wirken von außen auf den beweglichen Kolben ein und rufen dadurch einen Kolbendruck hervor. Da die drei Kräfte entlang einer chse wirken folgt für deren Beträge: F + = 3 F F p = F + p amb. Für den Druck p im Innern des gasförmigen Fluids erhält man F p = + p. (.8) amb Hinweise: enn mehrere Druckkomponenten zu unterscheiden sind, dann soll zur ermeidung von erwechselungen der durch die Einwirkung von äußeren Kräften auf einen Kolben hervor gerufene Kolbendruck

10 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik mit dem Symbol p bezeichnet werden. Im Rahmen der Hydrostatik/erostatik werden ruhende Flüssigkeiten/Gase unter der Einwir- K kung von äußeren Kräften untersucht. Der Gesamtdruck aus Kolbendruck und Schweredruck wird dann als hydrostatischer Druck bezeichnet. Bei Gasen kann wegen ihrer geringen Dichte ρ der Schweredruck p im llgemeinen vernachlässigt werden. Es spielt dann nur noch s der Kolbendruck eine Rolle. Bei vernachlässigbarem Schweredruck herrscht an jedem Ort innerhalb des fluiden Mediums der gleiche Druck p = p. K abs Es sind der "gesamte" Druck eines Fluids, der auch als bsolutdruck p bezeichnet wird, und der relative Druck eines Fluids zu unterscheiden. enn keine erwechselungsgefahr vorhanden ist, wird der bsolutdruck ohne Index einfach mit p bezeichnet. Im materiefreien Raum (akuum) ist der Druck null. Gemäß DIN 34 ist der absolute Druck p der Druck gegenüber dem Druck null im leeren Raum. abs Der relative Druck wird immer auf einen anderen Druck bezogen. iele Druckmessgeräte verwenden den Umgebungsdruck (tmosphärendruck) p als Bezugsdruck. Da der Druck der tmosphäre amb mit dem Barometer gemessen wird, wird dieser Druck auch als Barometerdruck p bezeichnet ( p = p ). Druckmessgeräte werden b b amb sonst Manometer genannt. Die auf den tmosphärendruck p bezogenen Drücke von Systemen heißen Überdrücke p (lat. exedens: überschreitend). amb e Für den Überdruck p gilt: e p e = p p (.9) abs amb Überdrücke können sowohl positiv ( p > p ) als auch negativ p < p ) sein. In der Technik ist folgende Bezeichnungsweise ( abs amb geläufig: p > p abs amb, p ist positiv und wird als Überdruck p bezeichnet. e ü p < p abs amb, p ist negativ und wird als Unterdruck p bezeichnet. e u Der jeweilige tmosphärendruck (Luftdruck) amb p ist je nach etterlage und Temperatur verschieden und muss daher für jeden nwendungsfall neu gemessen werden. Dies geschieht mit Hilfe von Druckmessgeräten, die Barometer genannt werde. In bb. 4 ist ein Quecksilber-Barometer dargestellt. Ein evakuiertes und oben geschlossenes Steigrohr taucht in ein Quecksilber-orratsgefäß. uf der Hg-Oberfläche lastet der äußere Luftdruck. Nach dem Pascal- abs amb

11 . Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen schen Gesetz wirkt dieser Druck allseitig. Der Hg-Spiegel steigt im Steigrohr bis zu einer Höhe h an, bei welcher der Hg-Schweredruck dem äußeren Luftdruck die aage hält. Es gilt dann: p = ρhg gh (.0) amb akuum P amb h h=0 bb. 4: Quecksilber-Barometer Der tmosphärendruck weist Schwankungen von etwa 0 % auf. Die Normatmosphäre ist nach DIN 5450 festgelegt. Diese Festlegung entspricht im esentlichen auch der Internationalen Standardatmosphäre, wie sie von der ICO definiert wurde. Demnach beträgt der Normdruck der Luft in Meereshöhe im Jahresdurchschnitt p = n 03,5 hpa. Bei einer Bezugstemperatur von ϑ = 5 C entspricht dies einer Normdichte von ρ =,930 kg/m 3. Dieser ert entspricht gemäß DIN 306 der Dichte der trockenen Luft im Normzu- n stand (Normdichte). Hinweis: tmosphärische Luft ist stets feucht, da sie immer asserdampf enthält. Geräte zur Messung der Luftfeuchtigkeit heißen Hygrometer. Die Befeuchtung oder Trocknung von Raumluft ist ein wichtiges Gebiet der Klimatechnik. uch der Luftdruck ist ein Schweredruck, nämlich der Eigengewichtsdruck der Erdatmosphäre. egen der Kompressibilität der Luft ist die Luftdichte im Gegensatz zu Flüssigkeiten keine Konstante, sondern höhenabhängig. Die bnahme des Luftdrucks p mit wachsender Höhe h über dem Erdboden wird durch die Barometrische Höhenformel beschrieben. p(h) 0 ρ g 0 h p 0 = p e (.) p stellt den Luftdruck in Bodenhöhe (h = 0) dar; ρ ist die zugehörige Luftdichte. Misst ein Druckmessgerät den jeweiligen Überdruck, 0 0 so ergibt sich der bsolutdruck als Summe von tmosphärendruck und Überdruck. Der thermodynamische Zustand eines Systems, wie beispielsweise eines Gases, wird immer durch den bsolutdruck p abs = p beschrieben. 3

12 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik Eine wichtige technische nwendung des Pascalschen Gesetzes der allseitig gleichmäßigen Druckausbreitung in Flüssigkeiten stellt die Hydraulik dar. Komprimierte Gase werden in der Pneumatik zur Energieübertragung und zur Steuerung von Maschinen eingesetzt. Die Hydraulik nutzt die Isotropie des Druckes zur Kraftübertragung und -verstärkung beispielsweise in hydraulischen Bremsen, hydraulischen Pressen und Hebebühnen aus. Dies soll am Beispiel der hydraulischen Presse näher erläutert werden (bb. 5), bei der durch einen beweglichen Kolben ein konstanter Druck im gesamten mit einer Flüssigkeit gefüllten Innenraum der Presse erzeugt wird. F F bb. 5: Hydraulische Presse ufgrund des Prinzips der allseitigen Gleichheit des Druckes (hier werde ausschließlich der Kolbendruck betrachtet), verursacht eine kleine äußere Kraft F r, die auf den kleinen Kolben K mit der Flä- che einwirkt eine große Kraft F r, die am großen Kolben K angreift, der eine Fläche besitzt. Die hydraulische Presse stellt somit einen Transformator zur Kraftverstärkung dar. Für den Druck p im Innern der Flüssigkeit gilt: F F p = =. (.) Daraus folgt: F = (.3) F egen der Energieerhaltung muss allerdings der Kolben K über einen größeren eg s heruntergedrückt werden, als der eg s, 4

13 . Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen um den der Kolben K gleichzeitig nach oben angehoben wird. Dann ist die am Kolben K verrichtete rbeit gleich der rbeit, die der Kolben K an der Last verrichtet. = F s = = F s oder p s = p s. Damit folgt für den Kolbenhub s : s = (.4) s Der Kolbenhub s am großen Kolben K ist um den Faktor / geringer als der Kolbenhub s am kleinen Kolben K. In kleinen Flüssigkeitsvolumina kann der Schweredruck der Flüssigkeit vernachlässigt werden und es herrscht dann an jeder Stelle im Innern der Flüssigkeit der gleiche Kolben- oder Stempeldruck. Eine weitere wichtige nwendung des Prinzips der allseitigen Gleichheit des Stempeldrucks stellen Kolbenpumpen dar, die zur Förderung von Fluiden eingesetzt werden. Sie bestehen im esentlichen aus einem Kolbenraum mit einem sich periodisch auf und ab bewegenden Kolben sowie zwei entilklappen, nämlich einem Einlassventil und einem uslassventil. Der Pumpvorgang besteht aus zwei sich periodisch wiederholenden Pumptakten, dem nsaugtakt und dem usstoßtakt (bb. 6). ährend des nsaugtaktes bewegt sich der Kolben nach oben. Dabei fällt der Druck p im Kolbenraum unterhalb den sich aus Schweredruck und tmosphärendruck zusammensetzenden Druck p im orratsgefäß. Die dabei entstehende Druckdifferenz p = p p bewirkt eine Öffnung des Einlassventils wodurch das zu transportierende Fluid in den Kolbenraum strömen kann. K K vp P vp P E E nsaugtakt usstoßtakt bb. 6: Prinzip der Kolbenpumpe Dieser organg endet am oberen Umkehrpunkt des Kolbens. Bei der dann einsetzenden bwärtsbewegung des Kolbens erhöht sich der 5

14 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik Druck p im Kolbenraum. Dadurch schließt sich das Einlassventil während sich gleichzeitig das bislang geschlossene uslassventil öffnet und das Fluid aus dem Kolbenraum in die Rohrleitung gedrückt wird...4 Statischer Druck Der Druck p in einer ruhenden Flüssigkeit ist stets gleich der Summe aus Kolbendruck oder äußeren Druck p und Schweredruck p : K s p = p + p = p + ρgh (.5) K s K Dieser Gesamtdruck p wird statischer Druck oder auch hydrostatischer Druck genannt. Beispiel: K Es soll der auf einen sich in 0 m Tiefe befindlichen Taucher einwirkende hydrostatische Druck p berechnet werden. Der äußere Druck p ist durch den Umgebungsdruck (tmosphärendruck) p über den asserspiegel gegeben. Es seien: amb p 5 = p 0 Pa, = K amb m g 0 und s ρ = 000 kg 3 m p = p K + p s = p amb + ρg h = 0 5 Pa Der Druck auf den sich in 0 m Tiefe befindlichen Taucher hat sich im ergleich zu dem Druck an der asseroberfläche verdoppelt...5 uftrieb uf jeden festen Körper, der in ein fluides Medium eingetaucht wird, wirkt eine nach oben gerichtete uftriebskraft Fr, die auch kurz als uftrieb bezeichnet wird. ls Beispiel sei ein zylindrischer Körper vom Radius R und der Höhe H sowie der Dichte ρ betrachtet, der K in eine Flüssigkeit der Dichte ρ vollständig eintaucht (bb. 7). Entsprechend des am jeweiligen Ort herrschenden Schweredruckes wirken auf den eingetauchten Körper Druckkräfte, die überall senkrecht auf der Körperoberfläche stehen. uf den Zylindermantel des eingetauchten Körpers wirkt in jeder Eintauchtiefe x allseitig der gleiche Druck p i = ρgx. ird der Zylinder in dünne Kreisscheiben zerlegt, i so gilt beispielsweise für die in der Tiefe i x befindliche Kreisschei- i 6

15 . Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen be: Die Kraft F r auf ein seitliches Flächenelement ist betragsmäßig gegeben durch F = p. Sie wirkt in Richtung des Mit- i i i telpunktes der Kreisscheibe. Jede Kraft F r wird genau durch eine i gegenüberliegende Kraft F r kompensiert. Die Kräfte, die auf die i ringförmige Seitenfläche der Kreisscheibe wirken heben sich gegenseitig auf. Damit verschwindet die Gesamtkraft F r auf die zylindrische Mantelfläche der sich in der Tiefe x befindlichen Kreisschei- i i be: r F i i r r F = 0 =. i 0 h x i o P i P i P i P i H=h -h u o P i P i h u ρ x h 0 o x i H h u x ρ bb. 7: Berechnung des uftriebes Dies gilt für alle Kreisscheiben des eingetauchten Körpers. uf den Zylindermantel wirkt somit keine resultierende Kraft. uf den oberen Zylinderdeckel (Index o für oben) in der Tiefe x = h wirkt der Druck p o Betrag F = ρgh und damit die nach unten gerichtete Kraft mit dem o = o p. In vektorieller Schreibweise gilt: o o 7

16 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik r F o r = ρh g o uf den unteren Zylinderdeckel (Index u für unten) in der Tiefe x = h u wirkt der Druck p = ρgh und damit die nach oben gerichtete u u Kraft r F u r = ρh g. u g r ist dabei der zum Erdmittelpunkt gerichtete ektor der Erdbeschleunigung. Zur mathematischen Beschreibung der ektoren wurde ein Koordinatensystem eingeführt, dessen positive x-chse gemäß bb. 7 nach unten weist. Die resultierende Kraft stellt die uftriebskraft dar. r F r = F o r + F u = ρ(h o h u r )g egen h o h = (h h ) = H und H = folgt: u u o K r F r = ρ g. K ist das olumen des eingetauchten Körpers. Es ist gleichzeitig K das olumen der durch den eingetauchten Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge mit der Masse m. Die Masse der verdrängten Flüssigkeitsmenge ergibt sich mit Hilfe der Flüssigkeitsdichte ρ zu: m = ρ K. Damit folgt für die uftriebskraft: r F r = ρ g = mg r. (.6) K Die uftriebskraft ist eine entgegen der Schwerkraft gerichtete Kraft, die auf alle Körper wirkt, die von einem fluiden Medium umgeben sind. Das Minuszeichen bringt zum usdruck, dass die uftriebskraft entgegen der zur Erdbeschleunigung g r parallelen Schwerkraft nach oben gerichtet ist. Die uftriebskraft, die ein Körper in einer Flüssigkeit oder in einem Gas erfährt, ist betragsmäßig gleich der Gewichts- oder Schwerkraft der von dem Körper verdrängten Flüssigkeitsmasse bzw. Gasmasse. Diese ussage wird als rchimedisches Prinzip bezeichnet. Die uftriebskraft ist nur von der Dichte des fluiden Mediums und dem olumen des eingetauchten Körpers abhängig. Sie ist jedoch von der Eintauchtiefe h unabhängig. uf den gesamten eingetauchten Körper 8

17 . Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen wirkt dann die resultierende Gesamtkraft r r r r F = F. Dabei + 0 F + F u S gilt für die auf den festen Körper mit der Masse m wirkenden Schwerkraft: r F S r r = m g = ρ g. (.7) K K K Damit erhält man für die resultierende Gesamtkraft: r r r r F = F + F = ( ρ ρ) g. (.8) S K K Für den in das fluide Medium mit der Dichte ρ eingetauchten Körper mit der Masse m und dem olumen ergeben sich somit K K drei Möglichkeiten: ρ > ρ : Der Körper sinkt nach unten ( F K S ρ K F > ). = ρ : Der Körper schwebt vollständig eingetaucht in der Flüssigkeit ( F = F ). S ρ < ρ : Der Körper schwimmt ( F K S F < ). K Beim Schwimmen taucht der feste Körper nur teilweise in das fluide Medium ein, und zwar so weit, dass sich uftriebskraft und Schwerkraft gerade die aage halten. uch in Gasen wie der Luft erfahren ausgedehnte Körper eine uftriebskraft, die betragsmäßig der Schwerkraft der verdrängten Luftmasse entspricht. Dies wird von Luftschiffen (Zeppeline) und Luftfahrzeugen (Ballons) ausgenutzt, die durch die uftriebskraft in der Luft gehalten werden. Ihre Flugfähigkeit basiert auf der erwendung von leichten Füllgasen wie Helium oder erhitzte Luft, die eine geringere Dichte aufweisen als die der Umgebungsluft. Beispiel: räometer (Senkwaage) Eine technische nwendung des rchimedischen Prinzips stellt das räometer dar. Es handelt sich dabei um eine Senkspindel (Senkwaage), die zur Bestimmung der Dichte von Flüssigkeiten dient. Ein an seinem unteren Ende durch ein Gewicht beschwerter Tauchkörper aus Glas taucht dabei so weit in eine Flüssigkeit unbekannter Dichte ein, bis die Spindel schwimmt. Dann wird die Gewichtskraft F der Spindel gerade durch die uftriebskraft F der verdrängten Flüssigkeitsmenge kompensiert und es S gilt: F = F S = ρg E 9

18 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik E FS =. ρ g ist das Eintauchvolumen der Spindel und entspricht der verdrängten Flüssigkeitsmenge. Da die Gewichtskraft F der Senk- E S spindel gegeben ist, ist die Eintauchtiefe umso größer, je kleiner die Dichte ρ der Flüssigkeit ist. us der Höhe des Flüssigkeitsspiegels kann dann mit Hilfe einer kalibrierten Skala die Dichte abgelesen werden. Die Flüssigkeit muss dabei allerdings die Bezugstemperatur aufweisen, auf die das räometer kalibriert ist. In bb. 8 ist das Messprinzip für die Bestimmung des lkohol- olumenanteils einer lkohol-asser-mischung gezeigt. 00 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 0 % 0 % bb.8: räometer (Senkspindel) In ähnlicher eise funktioniert die von Ferdinand Öchsle (774-85) konstruierte Mostwaage zur Bestimmung des Zuckergehaltes (Mostgewichtes) von Traubenmost. Mit zunehmendem Zuckergehalt nimmt nämlich die Dichte ρ von Traubenmost zu. Die Öchslegra- M de geben dabei an, um wie viel l Most bei 0 C schwerer ist als l asser mit der Dichte ρ =,00 g/cm3. Es gilt die Definition: Öchslegrade = ( ρ ρ 000 ). (.9) M So muss beispielsweise eine Beerenauslese mindestens 5 Öchsle aufweisen. Dies entspricht einer Mostdichte von ρ M =,5 bei 4 C und g / cm 3. Der exakte ert der Dichte luftfreien assers p n = 03,5 hpa beträgt ρ = 999,97 kg / m. 3 0

19 . Fluidstatik Druck in Flüssigkeiten und Gasen In Tab. ist die Temperaturabhängigkeit der Dichte von reinem asser aufgeführt. Temperatur 3 ϑ / C Dichte ρ /(kg/m ) 0 999, , , , , , , , , , , , , ,35 Tab. : Dichte von luftfreiem reinen asser räometer werden beispielsweise zur Bestimmung der Dichte von Meerwasser eingesetzt. Salzwasser stellt einen elektrischen Leiter dar, dessen elektrische Leitfähigkeit bei gegebener Referenztemperatur mit steigendem Salzgehalt zunimmt. Es ist daher möglich die Salinität s von Meerwasser auch durch die Messung des elektrischen Leitwertes G zu bestimmen. Die Dichte von Salzwasser unterschiedlicher Salinität s bei einer Temperatur von ϑ = 4 C ist in Tab. aufgelistet. Unter der Salinität s versteht man die Masse des gelösten Salzes in einer Standardmasse Seewasser von kg. Damit stellt s ein Konzentrationsmaß für die im asser gelösten Salze dar. Bei festgehaltener Temperatur folgt für die Dichteabhängigkeit ρ ) S (s des Salzwassers von der Salinität s: ρ = ρ s) S ( + β. (.0) β wird als Koeffizient der halinen Kontraktion bezeichnet und es gilt: dρ β = = 0,76 (.) ρ ds p,t

20 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik Meerwasser hat eine mittlere Salinität von s = 0,035. Salinität s in 0 / 00 Dichte ρ in 0 (Süßwasser) 999,9 9,4 (Ostsee) (Nordsee) (Totes Meer) 7 3 kg / m Tab. : Dichte von Salzwasser bei ϑ = 4 C Der Salzgehalt der Meere ist Schwankungen unterworfen und nimmt grundsätzlich mit wachsender Tiefe zu. ährend für Sylt beispielsweise ein ert von s = 3 0 / gilt, weist die Ostsee in der Kieler 00 Bucht einen ert von s = 5 0 / auf. Durch den Salzgehalt wird 00 ein haliner Dichtegewinn hervorgerufen. Das im asser gelöste Salz führt zudem zu einer olumenzunahme und es gilt: S = ( + βs)( s) (.) Ohne diese olumenzunahme, d.h. bei olumenkonstanz = würde bei einer Salinität von z. B. s = 0,035 die errech- S nete Dichte, im Gegensatz zum tatsächlichen Messwert von ρ S =06 kg / m ρ =036 kg / m ergeben. S 3 3, den wesentlich höheren Rechenwert von

21 . Oberflächenspannung und Oberflächenenergie. Oberflächenspannung und Oberflächenenergie Eine Flüssigkeit stellt eine nsammlung einer sehr großen Zahl von gleichartigen Molekülen dar, die durch molekulare nziehungskräfte, die sog. Kohäsion zusammengehalten werden. Kohäsionskräfte bestimmen die iskosität und die Oberflächenspannung eines Stoffes. Je nach Lage der Moleküle innerhalb des Flüssigkeitsvolumens lassen sich zwei verschiedene Fälle unterscheiden. Dazu sind in bb. 9 symbolisch zwei Moleküle gezeigt. F > 0 Res F = 0 Res bb. 9: Kohäsionskräfte in Flüssigkeiten Ein im Innern einer Flüssigkeit befindliches Molekül ist symmetrisch in allen Richtungen von Nachbarmolekülen umgeben. Die molekularen echselwirkungskräfte heben sich gegenseitig auf, so dass auf dieses Molekül keine resultierende Kraft wirkt. Für ein in der Nähe der Oberfläche der Flüssigkeit befindliches Molekül fehlen jedoch echselwirkungspartner im oberen Halbraum. Das Molekül erfährt daher eine resultierende Kraft, die senkrecht zur Oberfläche steht und die in das Innere der Flüssigkeit weist. Um ein Flüssigkeitsmolekül aus dem Inneren an die Oberfläche zu bringen, muss gegen diese Kraft rbeit verrichtet werden. ird ein Molekül unter reversiblen rbeitsaufwand zusätzlich an die Oberfläche gebracht, so wird dadurch gleichzeitig die Oberfläche vergrößert. Diese rbeit wird von den Molekülen an der Flüssigkeitsoberfläche in Form von potentieller Energie gespeichert. Soll die Oberfläche einer Flüssigkeit um den Betrag vergrößert werden, so muss gegen die anziehenden Kohäsionskräfte eine stoffspezifische rbeit verrichtet werden. Der Quotient σ = (.3) heißt spezifische Oberflächenenergie. Für die Einheit von σ ergibt sich: 3

22 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik [ ] J Nm N [ σ ] = = = =. (.4) [ ] m m m Die Oberfläche einer Flüssigkeit versucht in analoger eise zu einer Gummihaut sich so weit wie möglich zusammenzuziehen, d. h. die Kohäsionskräfte in einer Flüssigkeit versuchen die Größe der Flüssigkeitsoberfläche zu minimieren. Da die Moleküle im Flüssigkeitsinneren eine geringere potentielle Energie besitzen, weist die bei gegebenen olumen kleinste Oberfläche ein Minimum der potentiellen Energie auf. Eine sich selbst überlassene Flüssigkeitsmenge versucht daher die Oberfläche so klein wie möglich zu machen, um dadurch den stabilen Zustand des Minimums der potentiellen Energie zu erreichen. Die geometrische Form mit der kleinsten Oberfläche bei vorgegebenem olumen ist die Kugel. ufgrund dieses Effektes wachsen beispielsweise die in einer olke schwebenden kleinen assertropfen durch ereinigung zu großen kugelförmigen Tropfen, da deren Oberflächen und potentielle Energien kleiner sind als die Summe der Oberflächen bzw. potentiellen Energien der einzelnen kleineren Tropfen. Mit wachsender Größe nimmt die Masse der Tropfen zu, so dass die Schwerkraft allmählich über die uftriebskraft überwiegt und die assertropfen in Form von Regen zu Boden fallen. Diese rbeit muss auch beim Zerstäuben oder Dispergieren einer Flüssigkeit in feinste Tröpfchen aufgewendet werden. Die spezifische Oberflächenenergie σ kann auch als eine flächenbezogene Oberflächenenergiedichte aufgefasst werden. Sie ist die Energie, die notwendig ist, um eine Flüssigkeitsoberfläche um m zu vergrößern. Gebräuchlich ist für sie auch der Name Oberflächenspannung. Sie wirkt an der Grenzfläche der Flüssigkeit zum Gasoder Dampfraum. Die gasförmige Phase ist meistens die Luft oberhalb des Flüssigkeitsspiegels. Die spezifische Oberflächenenergie oder Oberflächenspannung von Flüssigkeiten wird mit Hilfe der breißmethode (z. B. Ring-Methode oder Bügel-Methode) experimentell bestimmt. Dazu wird ein Messkörper mit der Form eines Drahtrings (Ring-Methode) oder eines Bügels unter die Flüssigkeitsoberfläche getaucht. Beim Herausziehen des Messkörpers aus der Flüssigkeit wird dann die Maximalkraft gemessen, die vor dem briss des Flüssigkeitsfilms auftritt. Das Messverfahren ist gemäß DIN 5394 genormt und ist in bb. 0 am Beispiel der Bügel-Methode skizziert. 4

23 . Oberflächenspannung und Oberflächenenergie D l F C s B F bb. 0: Messung der Oberflächenspannung ird ein über Ösen befestigter beweglicher Steg (CD) eines zuvor vollständig eingetauchten Drahtbügels senkrecht aus einer Flüssigkeit gezogen, so bildet sich eine rechteckförmige Flüssigkeitslamelle (BCD). und B stellen die beiden Eintauchstellen des Drahtbügels in die Flüssigkeit dar. ird der verschiebbare Steg mit der Steglänge l durch eine Kraft F um die egstrecke s angehoben, so verrichtet die dabei aufzuwendende Kraft F die rbeit = F s und vergrößert die Oberfläche der Flüssigkeitslamelle um = l s. Die Oberfläche der Flüssigkeitslamelle besteht aus zwei Teilflächen, nämlich der order- und Hinterfläche. Es tritt daher ein Faktor auf. = F s = σ = σ l s Durch Kürzen mit s folgt für die zur ergrößerung der Oberfläche erforderliche Kraft F = σ l. (.5) Die Kraft vom Betrag F, mit der sich die Flüssigkeitsoberfläche zu verkleinern sucht ist zu ihrer Randlänge (Steglänge) l proportional und unabhängig vom Stegmaterial. Der Proportionalitätsfaktor σ ist der Koeffizient der Oberflächenspannung. σ F = l (.6) Die Einheit der Oberflächenspannung ergibt sich zu [F] N [ σ ] = =. (.7) [l] m Für die Messung der Oberflächenspannung von hochviskosen Flüssigkeiten, wie z. B. von Polymerschmelzen, Kunstharzen und Lacken sind besondere Messverfahren erforderlich. 5

24 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik In Tabelle 3 sind einige Zahlenwerte der Oberflächenspannung aufgeführt. Sie wurden an der Grenzfläche Flüssigkeit/Gas (Luft) bei einer Temperatur von ϑ = 0 C gemessen. Flüssigkeit σ /0 3 N m Quecksilber 465 asser 73 Glyzerin 64 Benzol 9 Terpentinöl 7 Seifenwasser 5 Äthylalkohol Tab. 3: Oberflächenspannung von Flüssigkeiten gegen Luft erunreinigungen in der Flüssigkeitsoberfläche setzen die Oberflächenspannung herab. Hierauf beruht unter anderem die irkung von oberflächenaktiven Substanzen wie aschmitteln (sog. Tenside), die sich bevorzugt in der asseroberfläche anreichern und die durch Herabsetzung der asserstoffbrücken-bindungsstärke die Oberflächenspannung des assers reduzieren. Dadurch wird ihr Benetzungsverhalten, d. h. die Fähigkeit einer Flüssigkeit sich auf einer Oberfläche auszudehnen, erhöht. Ein mit Seifenlösung entspannter assertropfen dringt leichter in kapillare Hohlräume wie das Textilgewebe ein. ufgrund der im ergleich zu asser niedrigeren Oberflächenspannung werden zu Reinigungszwecken auch organische Lösungsmittel eingesetzt. Die Oberflächenspannung ist nicht konstant, sondern temperaturabhängig. m Gefrierpunkt der Flüssigkeit ist sie am größten, nimmt dann mit wachsender Temperatur ab und verschwindet bei der kritischen Temperatur T, bei der σ 0 K = ist. Diese bhängigkeit ist in Tabelle 4 am Beispiel von asser dargestellt. In wässrigen Lösungen von Salzen, wie z. B. NaCl, wird eine Erhöhung der Oberflächenspannung gegenüber reinem asser beobachtet. Die Oberflächenspannung σ von Flüssigkeiten ist von der mechanischen Spannung σ der Elastomechanik zu unterscheiden. Beide Größen besitzen beispielsweise verschiedene Einheiten. Die mechanische Spannung besitzt die Einheit [ σ ] = im Gegensatz zur N m N Einheit [ σ ] = der Oberflächenspannung. m 6

25 . Oberflächenspannung und Oberflächenenergie Temperatur / C ϑ Oberflächenspannung 3 σ / 0 N / m 0 75,6 5 74,9 0 74, 0 7,8 30 7, 50 67,9 90 6, ,9 Tab. 4: Temperaturabhängigkeit der Oberflächenspannung von asser Soll beispielsweise der Durchmesser eines Gummiballons vergrößert werden, so muss der Druck erhöht werden, wobei die elastische Spannung der Gummimembran nach Maßgabe des Hookeschen Gesetzes anwächst. erden zwei verschieden stark aufgeblasene aber ansonsten identische Gummiballons durch ein Röhrchen miteinander verbunden, so findet ein Druckausgleich statt bis die elastischen Spannungen beider Ballons und damit ihre Durchmesser gleich groß sind. Seifenblasen verhalten sich dagegen völlig anders. Reißt in einem Seifenschaum beispielsweise bei Berührung zweier verschieden großer Seifenblasen die Berührfläche auf, so verschwindet die kleinere vollständig, während die größere anwächst. Die kleinere Seifenblase besitzt offensichtlich einen durch ihre Oberflächenspannung hervorgerufenen größeren Innendruck. Bei kugelförmigen Flüssigkeitstropfen oder Blasen zeigt die resultierende Kraft der zwischenmolekularen Kohäsionskräfte an jedem Oberflächenelement radial in Richtung des Mittelpunktes. Die auf die Flächeneinheit bezogene Kraft ergibt einen Binnendruck, den sog. Kohäsionsdruck, der das Bestreben der Flüssigkeitsoberfläche sich zu verkleinern, kompensiert. Zur Erläuterung der Berechnung der Radiusabhängigkeit des Innendruckes von Flüssigkeitsblasen dient bbildung. Soll die Oberfläche einer Hohlkugel (Blase) vom Radius r um d vergrößert werden, so ist dazu eine Radiusänderung r notwendig. Die dabei zu verrichtende rbeit berechnet sich wie folgt: = F r = p r = p4πr r 7

26 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik P r r bb. : Berechnung des Innendruckes Diese rbeit dient der ergrößerung der Oberflächenenergie um = σ. Dabei ändert sich die innere und äußere Blasenoberfläche um = [(r + r) (r)]. usgehend von p4π r r = σ folgt p4π r r = σ [4π(r + r) oder nach Umformung p4π r r = σ 8π(r r + r ). 4πr ) egen << r r, gilt r r + r r r. Damit erhält man r pr r = σ 4r r. Für den Überdruck p in einer Blase mit innerer und äußerer Oberfläche folgt dann 4 σ p =. (.8) r Da ein Flüssigkeitstropfen bzw. eine Gasblase in einer Flüssigkeit im Gegensatz zu einer gleich großen Blase in Luft (Seifenblase) nur eine Oberfläche besitzt, ist der auf den ußendruck p bezogene a Überdruck (Kohäsionsdruck) nur halb so groß und es gilt σ p =. (.9) r 8

27 .3 Grenzflächenspannung Bei einem ussendruck p wirkt dann im Innern des Tropfens oder a der Blase in einer Flüssigkeit der Gesamtdruck oder bsolutdruck p = p p. + i a.3 Grenzflächenspannung Die Grenzflächenspannung tritt im engeren Sinne in der Grenzfläche zwischen kondensierten Phasen auf. ls Grenzfläche soll hier die Kontaktfläche von zwei Medien mit unterschiedlichen ggregatzuständen (z. B. fest/flüssig) oder von zwei nicht mischbaren unterschiedlichen Flüssigkeiten (z. B. asser und Öl) verstanden werden. Im Gegensatz zur Kohäsion beschreibt die dhäsion die anziehenden Kräfte zwischen den Molekülen zweier verschiedener Stoffe. Sie kann zwischen festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen auftreten. dhäsionskräfte bewirken die Haftreibung und die Benetzung, auf der das neinanderhaften von verschiedenen Stoffen beim Kleben und beim Lackieren von Materialien basiert. Bei der Berührung einer Flüssigkeit mit einem festen Stoff, wie beispielsweise einer Behälterwand, besitzt ein Flüssigkeitsmolekül zwei rten von Nachbarmolekülen; gleichartige Flüssigkeitsmoleküle und andersartige Festkörpermoleküle der begrenzenden Behälterwand. Je nachdem, in welchem erhältnis die Kohäsions- zu den dhäsionskräften stehen sind zwei Fälle zu unterscheiden: Überwiegt die dhäsion, so breitet sich die Flüssigkeit über die ganze Festkörperoberfläche der Behälterwand aus. Es findet Benetzung statt. Unter Benetzung versteht man die Ersetzung der Grenzfläche fest-gasförmig durch die Grenzfläche fest-flüssig. Dabei schiebt sich die benetzende Flüssigkeitsschicht zwischen die feste und gasförmige Phase. Die Benetzung wird dabei durch die dhäsionskräfte zwischen Flüssigkeit und Festkörper begünstigt. Eine große Oberflächenspannung der Flüssigkeit reduziert dagegen die Benetzung. Die Glas-asser-Grenzfläche stellt ein Beispiel für Benetzung dar. Dabei gilt: Je kleiner der bei der Benetzung auftretende Randwinkel ϕ, desto besser die Benetzung. bb. : Randwinkel eines benetzenden Flüssigkeitstropfens 9

28 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik Tropfen benetzender Flüssigkeiten bilden spitze Randwinkel ( ϕ < 90 ) aus. Bei vollständiger Benetzung ist ϕ = 0. on großer praktischer Bedeutung ist die Benetzung bei der Schmierung von Kolben in erbrennungsmotoren durch Motoröle bzw. von Lagern drehender Maschinenteile durch Fette. Überwiegt dagegen die Kohäsion, so zieht sich die Flüssigkeit tropfenförmig zusammen. Sie ist nicht-benetzend, wie das Beispiel einer Quecksilber-Glas-Grenzfläche zeigt. Tropfen nicht-benetzender Flüssigkeiten bilden stumpfe Randwinkel ϕ 90 ) aus. Je größer der Randwinkel, umso schlechter ist die Benetzung. ollständige Nichtbenetzung liegt bei ϕ = 80 vor. bb. 3: Randwinkel eines nicht-benetzenden Flüssigkeitstropfens ird die Größe einer Grenzfläche z. B. zwischen Flüssigkeit und berührenden Festkörper um geändert, so ist dazu eine reversible rbeit gegen die dhäsionskräfte aufzuwenden und es gilt = σ G. (.30) Der Proportionalitätsfaktor σ stellt eine spezifische Grenzflächenenergie dar und wird auch als Koeffizient der Grenzflächen- G spannung bezeichnet. Sie entspricht der rbeit, die zur ergrößerung der Grenzfläche zwischen den beiden Phasen pro Flächeneinheit verrichtet werden muss. σ hat die Einheit G [ ] Nm N [ σ ] = = =. (.3) G [ ] m m Damit stellt sich die für die Grenzfläche flüssig/gasförmig definierte Oberflächenspannung als ein Spezialfall der Grenzflächenspannung dar. Die Oberflächenspannung ist die Grenzflächenspannung zwischen Flüssigkeit und nicht-kondensierter Umgebung. Diese Umgebung kann aus Dampf oder Luft bestehen oder im Extremfall auch das akuum sein. Die Grenzflächenspannung an der Phasengrenze fest/gasförmig liegt bei Metallen im Bereich von N / m bis N / m. Bei weichen Festkörpern wie z. B. bei polymeren 3 erkstoffen ist σ 50 0 N / m. σ hängt von dem Stoffpaar G G ab und ist zwischen den Phasen fest/gasförmig und flüssig/gasförmig 3 30

29 .4 Kapillarität immer positiv. Die Grenzflächenspannung zwischen zwei flüssigen, nicht mischbaren Flüssigkeiten wird gemäß DIN ebenfalls mit der Ring- bzw. Bügel-Methode bestimmt. Für σ 0 (dhäsion G < überwiegt Kohäsion) wird bei ergrößerung der Grenzfläche Flüssigkeit/Festkörper Energie frei. Die Flüssigkeit benetzt den Festkörper, wobei dieser organg unter Energieabgabe von selbst erfolgt. Für σ 0 (Kohäsion überwiegt dhäsion) muss dagegen bei er- G > größerung der Grenzfläche rbeit verrichtet werden. Die Flüssigkeit ist in diesem Fall nicht benetzend und zieht sich zu kugelförmigen Tropfen zusammen. Für Details der insbesondere für die erfahrenstechnik wichtigen Grenzflächenchemie muss auf die einschlägige Fachliteratur der Physikalischen Chemie verwiesen werden..4 Kapillarität Die Erscheinung, dass eine Flüssigkeit in einem dünnen Rohr (Kapillare), dessen Innenfläche vorher mit der Flüssigkeit benetzt wurde bis auf eine Höhe h aufsteigt, wird Kapillarität genannt. ufgrund der vorherigen Benetzung handelt es sich hierbei um eine Folgewirkung der auf den Kohäsionskräften beruhenden Oberflächenspannung σ. Die Steighöhe h erweist sich dabei umso größer, je gerin- ger der Kapillarenradius r ist (bb. 4). Dieser an benetzenden Flüssigkeiten beobachtbare organg wird auch als Kapillaraszension (lat. ascendere: hinaufsteigen) bezeichnet. Die Steighöhe h stellt sich so ein, dass die aus der Oberflächenspannung resultierende und am inneren Rand der Kapillare angreifende Zugkraft F = σ l = σ πr gerade durch die Schwerkraft der Flüssigkeitssäule F S = mg = πr hρg ausgeglichen wird. us der Gleichgewichtsbedingung F = F folgt s σ πr = πr hρg. Daraus folgt schließlich für die Steighöhe σ h =. (.3) rρg Hierbei ist ρ die Dichte der Flüssigkeit, g die Erdbeschleunigung und r der Kapillarenradius. Die Kapillaraszension erlaubt damit über die Messung der Steighöhe die Bestimmung der Oberflächenspannung σ. 3

30 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik bb. 4: Kapillaraszension Die freie Oberfläche der Flüssigkeit in der Kapillare weist eine Krümmung auf, die als Meniskus bezeichnet wird. Bei der Kapillaraszension liegt ein nach oben konkaver Meniskus vor. Der Zusammenhang zwischen Steighöhe und Kapillarenradius lässt sich auch aus einer Energiebetrachtung ableiten. Beim Eintauchen einer Glaskapillare in asser findet eine vollständige Benetzung vor der szension statt und die Kapillare überzieht sich dabei mit einer dünnen asserhaut, die in bbildung 4 durch eine gestrichelte Linie dargestellt ist. Durch das nsteigen des Flüssigkeitsspiegels (szension) auf die Höhe h in der Kapillare wird die freie asseroberfläche verkleinert. Beim weiteren nsteigen der assersäule um die Höhe h wird die Oberflächenenergie verringert, und zwar um = σ = σ πr h Die dabei freiwerdende Energie wird als Hubarbeit verwendet um die Masse m = ρπr h der Flüssigkeitssäule um h anzuheben und um dabei ihre potentielle Energie um = mg h zu vergrößern. Infolge der Energieerhaltung gilt σ πr h = ρπr hg h. Daraus ergibt sich wieder für die Steighöhe h σ h =. rρg Die Steighöhe in Kapillaren liefert somit eine weitere Methode zur Messung der Oberflächenspannung. Sie setzt allerdings eine vollständige Benetzung der inneren Kapillarenoberfläche voraus. uch die Saugwirkung von Schwämmen, Dochten und Löschpapieren beruht auf der Kapillarität. 3

31 .4 Kapillarität Beispiel: In einem Glasrohr mit r = 5 mm beträgt die Steighöhe etwa 3 mm, während in einer Kapillare mit r = 0,05 mm ohne äußeren Druck eine Steighöhe von ca. 30 cm erzielt wird. Bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten überwiegt die Kohäsion die dhäsion. Dies führt zu einer bsenkung des Flüssigkeitsspiegels einer eingetauchten Kapillare. Dieser Effekt wird als Kapillardepression bezeichnet und beispielsweise beim Eintauchen einer Glaskapillare in Quecksilber (Hg) beobachtet (bb. 5). Die freie Oberfläche der nicht-benetzenden Flüssigkeit in der Kapillare weist einen nach oben konvexen Meniskus auf. bb. 5: Kapillardepression Die Oberflächenspannung einer Flüssigkeit kann auch unter usnutzung einer Kapillare mit Hilfe der so genannten Tropfengewichtsmethode bestimmt werden. Dazu lässt man aus einem orratsgefäß die zu untersuchende Flüssigkeit durch eine Kapillare mit bekanntem Radius r heraustropfen (bb. 6). r m 6: Tropfengewichtsmethode (Stalagmometer) Ein Tropfen mit dem olumen reißt in dem Moment vom Kapillarrand ab, indem seine Gewichtskraft F = mg = ρ g die am T Um- S T 33

32 Fluidmechanik Einführung in die Fluidstatik und -dynamik fang des Tropfens π r angreifende Oberflächenspannungskraft F = πrσ überwiegt. Für das Kräftegleichgewicht im Moment des breißens gilt betragsmäßig ρ g = πrσ. T Misst man das olumen = N von N Tropfen, so folgt daraus T die Oberflächenspannung σ zu ρg σ =. (.33) Nπr Bei einer Flüssigkeit mit bekannter Dichte ρ und Oberflächenspannung σ kann durch ahl des Kapillarenradius r das Tropfenvolumen T und damit auch die Tropfenmasse m = ρ eingestellt werden. Die Tropfenmethode wird daher in der chemischen Messtechnik und nalytik als quantitatives Mengenmaß eingesetzt. Für die Masse m von insgesamt N Tropfen erhält man die Beziehung Nσ πr m = Nm =. (.34) T g Die Dosierung vieler Medikamente erfolgt durch die Einnahme von Tropfen, deren Größe durch die Oberflächenspannung bestimmt wird. T T 34

33 .4 Kapillarität Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen Flüssigkeiten und Gase besitzen die auf der freien erschiebbarkeit ihrer Moleküle beruhende Fließeigenschaft. Geordnete Bewegungen von Flüssigkeiten oder Gasen stellen fluide Strömungen dar, die beispielsweise in Flüssigkeiten durch die Bewegung aufgeschwemmter Schwebeteilchen sichtbar gemacht werden können. In diesem bschnitt sollen einfache Gesetzmäßigkeiten von Strömungen unter erzicht auf eine Beschreibung unter Zuhilfenahme der ektoranalysis vorgestellt werden. erfolgt man die verschiedenen Positionen P, P, P,... die zu 3 unterschiedlichen Zeiten t, t, t,... ein bestimmtes Teilchen in 3 einer Strömung durchläuft, so erhält man die Bahnkurve oder Bahnlinie dieses Teilchens. Im oberen Teil der bbildung 7 sind mehrere Bahnlinien einer Strömung dargestellt. erden dagegen zu einem festen Zeitpunkt t, beispielsweise durch eine Momentaufnahme die i Geschwindigkeitsvektoren eines Ensembles von Teilchen an ihrem jeweiligen Ort innerhalb der Strömung dargestellt, so erhält man eine Stromliniendarstellung der Strömung. Dies ist im unteren Teil der bbildung 7 skizziert. lle sich zu einer geschlossenen Linie zusammenfügenden Geschwindigkeitsvektoren bilden eine Stromlinie. Bei einer stationären Strömung ist das Stromlinienbild nicht zeitabhängig, sondern konstant, d. h. an einem festen Ort bleibt die Geschwindigkeit betrags- und richtungsmäßig zeitlich konstant. Diese ussage gilt für alle Orte innerhalb der Strömung. In einer solchen stationären Strömung sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. In zeitlich veränderlichen Strömungen sind dagegen Bahn- und Stromlinien verschieden. 7: Bahnlinien und Stromlinien einer Strömung Jede stationäre Strömung kann somit durch ein Stromlinienbild dargestellt werden. Die durch die Geschwindigkeitsvektoren v r bestimmte Richtung der Strömung ergibt sich jeweils als Tangente an eine Stromlinie. Die Dichte der Stromlinien stellt ein Maß für die 35

34 Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen Größe der Geschwindigkeit dar und es gilt: Je dichter die Stromlinien, umso größer ist die Strömungsgeschwindigkeit.. olumen- und Massenstromstärke Zur mathematischen Beschreibung von Strömungen geht man von der Modellvorstellung des inkompressiblen Fluids aus. Man nimmt dabei an, dass die Dichte ρ des strömenden Mediums überall konstant ist. Diese nnahme ist in Flüssigkeiten aufgrund ihrer geringen Kompressibilität sehr gut erfüllt. Obwohl Gase im Gegensatz zu Flüssigkeiten kompressibel sind, können Gasströmungen, deren Geschwindigkeiten v wesentlich unterhalb der Schallgeschwindigkeit c bleiben ebenfalls als inkompressibel angesehen werden. s ird ein die Fläche umspannender dünner Ring senkrecht zur Strömungsrichtung in eine mit konstanter Geschwindigkeit v strömende Flüssigkeit gebracht, so kann das in der Zeit dt durch die Fläche fließende Flüssigkeitsvolumen d ermittelt werden. d = ds = vdt ls olumenstromstärke I wird das in der Zeiteinheit dt durch die Fläche fließende Flüssigkeitsvolumen d definiert: d I = = & = v. (.) dt Die SI-Einheit lautet: [I 3 [d] m ] =. (.) [dt] s = Das Flüssigkeitsvolumen d, das im Zeitintervall dt durch die Fläche tritt besitzt die Masse dm: dm = ρd. Diese Masse tritt in der Zeiteinheit dt durch die Querschnittsfläche. Die Strömung kann somit auch durch eine Massenstromstärke I charakterisiert werden: M dm I M =. (.3) dt Die Massenstromstärke besitzt die Einheit: [dm] kg [ I M ] = = (.4) [dt] s 36