STATISTIK, ÖKONOMETRIE, OPTIMIERUNG

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1 Thorsten Poddig/ Hubert Dichtl/ Kerstin Petersmeier STATISTIK, ÖKONOMETRIE, OPTIMIERUNG Methoden und ihre praktischen Anwendungen in Finanzanalyse und Portfoliomanagement 4. vollständig überarbeitete Auflage UHLENBRUCH Verlag, Bad Soden/Ts.

2 V Vorwort zur vierten Auflage Vorwort zur ersten Auflage I I 1. Einleitung 1 TeilA: Statistik 7 2. Statistische Grundlagen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.^ Begriffe und Definitionen Verschiedene Definitionen des Begriffs Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach LAPLACE Die Wahrscheinlichkeitsdefmition nach VON MlSES Die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach KOLMOGOROFF Elementare Rechenregeln Verschiedene Ansätze zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Zufallsvariablen, Realisationen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Empirische Verteilungen Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Rechenregeln Der Erwartungswert Varianz und Standardabweichung Die Ungleichung von TSCHEBYSCHEFF Kovarianz und Korrelationskoeffizient Empirische Kennzahlen Lagemaße Streuungsmaße Empirische Kovarianz und Korrelationskoeffizient Wichtige Verteilungen in der Ökonometrie Die Normalverteilung Die Chi-Quadrat-Verteilung Die t-verteilung Die F-Verteilung Grenzwertsätze Gesetz der großen Zahlen Der zentrale Grenzwertsatz 88

3 VI 3. Fmanzmathematische Grundlagen und Anwendung statistischer Konzepte Kurse und Renditen als Zufallsvariablen Kursverläufe als Zeitreihen Stationaritätseigenschaften einer Zeitreihe Autokovarianz und Autokorrelation Statistische Eigenschaften diskreter und stetiger Renditen Historisch basierte Renditeprognose Random-Walk-Hypothese Renditearten bei der Performancemessung Arithmetische und geometrische Renditeberechnungen Wertgewichtete und zeitgewichtete Renditen Weitere Renditearten Statistische Kennzahlen als finanzwirtschaftliche Risikomaße Volatilität Semivarianz und Ausfallwahrscheinlichkeit Value-at-Risk Schiefe und Wölbung einer Renditeverteilung Korrelationskoeffizient Tracking Error Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ Statistische Kennzahlen eines Portfolios Modelldarstellung Kritische Würdigung des Modells Monte-Carlo-Simulation Grundlagen und Prinzip der Monte-Carlo-Simulation Simulation von Renditen und Kursentwicklungen Simulation von korrelierten Renditen Monte-Carlo-Simulation zur Schätzung des Value-at-Risk Punkt- und Intervallschätzungen Punktschätzungen Eigenschaften guter Schätzer Schätzung des Erwartungswerts und der Standardabweichung Intervallschätzungen Grundlagen und Konstruktionsprinzip von Konfidenzintervallen Konfidenzintervalle für den Erwartungswert Zweiseitige Konfidenzintervalle bei normalverteilter Stichprobe Einseitige Konfidenzintervalle bei normalverteilter Stichprobe Asymptotische Konfidenzintervalle Konfidenzintervalle für die Varianz bei normalverteilter Stichprobe 209

4 VII TeilB: Ökonometrie Einfache und multiple lineare Regression Das ökonometrische Grundmodell Parameterschätzung mittels,ordinary least Squares' (OLS) Vereinfachte Parameterschätzung bei der Einfachregression Bestimmung und Analyse der Residuen Güteeigenschaften der OLS-Schätzung Klassische Güteeigenschaften Asymptotische Güteeigenschaften Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient Grundidee und Definition des Bestimmtheitsmaßes Zusammenhang zwischen Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient Das korrigierte Bestimmtheitsmaß Fallstudie: CAPM, Marktmodell und Schätzung von Beta-Faktoren Erklärung von Renditen im Marktgleichgewicht mit Hilfe des CAPM Schätzung des zukünftigen' Beta-Faktors mit Hilfe des Marktmodells Risikoanalyse mit Hilfe des Marktmodells Beispiel: Schätzung des Beta-Faktors der BASF-Aktie Fallstudie: Performancemessung Grundlagen der Performancemessung Aufgaben und Konstruktion geeigneter Benchmarks Verfahren der zweidimensionalen Performancemessung Berücksichtigung des Gesamtrisikos mit Hilfe des Sharpe-Maßes Berücksichtigung des systematischen Risikos mit Hilfe des Treynor-Maßes Anwendungsbeispiel: Sharpe-Ratio und Treynor-Maß Analyse des Regressionsmodells mittels Hypothesentests Grundlagen und Konstruktionsprinzip eines Hypothesentests Ergänzung der Annahmen des ökonometrischen Grundmodells Analyse eines geschätzten Regressionsmodells Test auf Signifikanz einzelner Regressoren mittels Mest Test auf Signifikanz des Gesamtmodells mittels T^-Test Test der Annahmen des Regressionsmodells bezüglich der Residuen Ausgangslage Autokorrelation: Ursachen, Auswirkungen und Tests Ursachen und Auswirkungen der Autokorrelation Durbin- Watson-Test zum Test auf Autokorrelation erster Ordnung Heteroskedastizität: Ursachen, Auswirkungen und Tests Ursachen und Auswirkungen Breusch-Pagan- und White-Test zum Test auf Heteroskedastizität Test auf Normalverteilung mittels Jarque-Bera-Test 331

5 VIII 6.5. Fallstudie: Test der Annahmen und der statistischen Signifikanz des Marktmodells Überprüfung der Residuen des Marktmodells Überprüfung des Marktmodells auf Signifikanz Fallstudie: Performanceattribution Messung des Selektionsbeitrags mit Hilfe des Jensen-Alpha-Maßes Beispiel zur Bestimmung des Jensen-Alpha-Maßes Messung des Timingbeitrags mit Hilfe einer quadratischen Regression Beispiel zur Bestimmung der Timing-Fähigkeit Weitere Probleme bei der Regressionsanalyse Einsatz schwach stationärer Zeitreihen bei der Regressionsanalyse Das Phänomen der,spurious Regressions' Verstoß gegen die Stationaritätseigenschaft durch deterministische Trends Verstoß gegen die Stationaritätseigenschaft durch stochastische Trends Überprüfung der Stationariätseigenschaft Fallstudie: Überprüfung der Stationarität der Variablen des Marktmodells Das Problem der Multikollinearität Formen, Auswirkungen und Kennzeichen der Multikollinearität Verfahren zur Messung von Multikollinearität Einfache Korrelationsanalyse Das Konzept der,variance Inflation Factors' {VIF) Behandlung der Multikollinearität Fallstudie: Überprüfung eines Multi-Index-Modells auf Multikollinearität Strukturbrüche und Fehlspezifikationen Test auf Strukturbruch mit Hilfe des Tests nach CHOW Test auf Fehlspezifikation mittels des RESET-Tests von RAMSEY Fallstudie: Überprüfung des Marktmodells auf Strukturbruch und Fehlspezifikation Test auf einen möglichen Strukturbruch Test auf eine mögliche Fehlspezifikation Fallstudie: Renditeprognose mit Hilfe von Regressionsmodellen Grundprinzip der Kurs- bzw. Renditeprognose mit Hilfe eines Regressionsmodells Problemstellung, Datenaufbereitung und Aufteilung des Datenmaterials Überprüfung der Stationaritätseigenschaften der Variablen Analyse des Datenmaterials mit Hilfe der Korrelationsanalyse Auswahl der erklärenden Variablen und Überprüfung der Multikollinearität Schätzung der Regressionsparameter des Prognosemodells Test der Annahmen und der statistischen Signifikanz des Renditeprognosemodells Überprüfung der Residuen Überprüfung des Renditeprognosemodells auf Signifikanz 428

6 IX 8.8. Evaluierung der Prognosegüte des Renditeprognosemodells Generierung der Renditeprognosen Evaluierung der Prognosegüte mit Hilfe statistischer Maßzahlen Vergleich mit geeigneten Benchmark-Strategien Ökonomische Evaluierung der Prognosegüte Eindimensionale Performancemessung Zweidimensionale Performancemessung 447 TeilC: Optimierung Optimierungsverfahren im Überblick Die formale Struktur eines Optimierungsproblems Überblick über verschiedene Optimierungsverfahren Lineare Optimierung Quadratische Optimierung Suchverfahren First-Order Verfahren Second-Order Verfahren Schlussbemerkungen Lineare Optimierung Einführung Lösung einer speziellen Form des linearen Optimierungsproblems Die allgemeine Lösung des linearen Optimierungsproblems Beispielhafte Implementation des Lösungsverfahrens Fallstudie 1: Index Tracking mit Hilfe der linearen Optimierung Fallstudie 2: Downside-Risk Optimierung Die Lösung der Fallstudien mit Hilfe einer ausgewählten Tabellenkalkulation Fallstudie 1: Index Tracking mit Hilfe der linearen Optimierung Fallstudie 2: Downside-Risk Optimierung mit Hilfe der linearen Optimierung Exkurs: Simultane Investitions- und Finanzplanung Quadratische Programmierung Überblick Das Lagrange-Verfahren Vorbemerkungen Die Methode der direkten Substitution Die Lösung mit dem Lagrange-Ansatz Die Lösung eines einfachen Beispiels mit dem Lagrange-Ansatz Weitere Betrachtungen zum Lagrange-Ansatz Fallstudien zur Portfoliooptimierung Das Datenmaterial Das Minimum-Varianz-Portfolio 578

7 Ein effizientes Portfolio Das nutzenoptimale Portfolio Das nutzenoptimale Portfolio bei risikoloser Anlagemöglichkeit Eine eingeschränkte Variante der Quadratischen Programmierung Vorbemerkungen Die Kuhn-Tucker-Bedingungen Die Lösungsbedingungen des Optimierungsproblems Das Verfahren nach WOLFE Beispielhafte Implementation Fallstudie: Bestimmung des nutzenoptimalen Portfolios Quadratische Programmierung mit beliebigen linearen Nebenbedingungen Berücksichtigung beliebiger linearer Nebenbedingungen Ein einfaches Beispiel Anmerkungen zur beispielhaften Implementation Fallstudie: Bestimmung des nutzenoptimalen Portfolios mit zusätzlichen Nebenbedingungen Abschließende Bemerkungen zur Quadratischen Programmierung Lösung der Fallstudien mit dem Solver Nichtlineare Optimierung Eindimensionale Optimierung Verfahren ohne Gradienten Schachtelung des Minimums Erstmalige Schachtelung des Minimums Implementation zur eindimensionalen Optimierung Beispiel zur eindimensionalen Optimierung Verfahren mit Gradienten Das einfache Gradientenabstiegverfahren Beispielhafte Implementation des einfachen Gradientenabstiegverfahrens Beispielhafte Anwendung des einfachen Gradientenabstiegverfahrens Gradientenabstiegverfahren mit variabler Schrittweite Verfahren mit Gradienten und zweiter Ableitung Grundlegender Ansatz des Newton-Verfahrens Beispielhafte Implementation des Newton-Verfahrens Beispielhafte Anwendung des Newton-Verfahrens Optimierung im mehrdimensionalen Fall Gradientenabstiegverfahren im mehrdimensionalen Fall Gradientenabstiegverfahren mit Linienminimierung Theoretische Grundlagen Beispielhafte Implementation Beispielhafte Anwendung Zusammenfassung und Schlussbemerkungen 689

8 Konjugierter Gradientenabstieg Theoretische Grundlagen Beispielhafte Implementation des konjugierten Gradientenabstiegs Beispielhafte Anwendung Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall Probleme der nichtlinearen Optimierung Abschließende Bemerkungen zu den Implementationen Fallstudie 1: Nichtlineare Kleinste-Quadrate Schätzung Der grundlegende Ansatz der nichtlinearen Kleinste-Quadrate Schätzung Die Bestimmung der Standardfehler Fallstudie 2: Die Bestimmung impliziter Volatilitäten Die Lösung der Fallstudien mit Hilfe einer ausgewählten Tabellenkalkulation Fallstudie 1: Nichtlineare Kleinste-Quadrate Schätzung Fallstudie 2: Die Bestimmung impliziter Volatilitäten 747 Anhänge 751 A.l. Grundlagen der Matrizenrechnung 751 A.l.l. Addition und Subtraktion von Matrizen 751 A.1.2. Multiplikation von Matrizen 752 A.l.3. Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalarmultiplikation) 755 A.1.4. Transponieren von Matrizen 755 A.l.5. Multiplizieren und Transponieren von Matrizen 756 A.l.6. Quadratische und symmetrische Matrizen 757 A.l.7. Einheitsmatrix 757 A.l.8. Invertieren von Matrizen 758 A.l.9. Rechenregeln bei der Bildung von Ableitungen 759 A.l.10. Matrizen mit Zufallsvariablen 761 A.2. Tabellen 762 A.3. Regressionsanalyse mit Excel 771 A.3.1. Vorbemerkungen 771 A.3.2. Eingebaute Funktionen versus VBA-Analysefunktionen 771 A.3.3. Regressionsanalyse mittels eingebauter Funktionen 772 A.3.4. Regressionsanalyse mittels VBA-Analysefunktionen 775 A.3.5. Durchführung der Fallstudie des Kap. 8. mit Excel 776 A Vorbereitende Schritte zu Regressionsanalysen 776 A Schätzung der Regressionsfunktion 777 A.3.6. Freie statistische Softwarelösungen im Internet 779 Literaturverzeichnis 781 Stichwortverzeichnis 787 XI