Formelsammlung zum Skriptum Modellbildung

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1 Insttut für Automatserungs- und Regelungstechnk Formelsammlung zum Skrptum Modellbldung Verson vom 25. Jänner 28 Kaptel Mechansche Ssteme Polarkoordnaten: Kugelkoordnaten: xt = rt cosϕt und t = rt snϕt xt = rt snθt cosϕt, t = rt snθt snϕt, zt = rt cosθt Resulterende Kraft n enem zentralen Kräftesstem: n f R = Drehmoment: = x f x f z zf τ = r f = f = zf x xf z z f z xf f x Resulterendes Moment bezüglch des Punktes A: Masse enes Starrkörpers: τ A m = R = n V = f τ A ρx,, z dv Schwerpunkt enes zusammengesetzten Körpers: r S = Impulserhaltung ener Punktmasse: N r S m = N m = d dt p = d dt mv = f Impulserhaltung für Körper mt veränderlcher Masse: mt d dt v = f µwt d dt m = µ

2 Drehmpulserhaltung: d dt l = d r p = τ dt Massenträghetsmoment Für Drehungen um de e z -Achse m Schwerpunkt S : θ zz S = r S 2 x dm = S 2 + S 2 dm V Verschebung n enen allgemenen Aufpunkt A Satz von Stener: 2 2 θ zz A = θ zz S + m x A + V S A S Translatorsche knetsche Energe enes Starrkörpers: Potentelle Energe: V r = r T = 2 mṙt SṙS r I f R r d r mt V r I = Rotatorsche knetsche Energe enes Starrkörpers: Dsspatve Kräfte T r = 2 θ zz ϕ 2 Körper n Flud: f D e v = c W A ρ f 2 v2 e v Wderstandsbewert c W > Haftrebung: f H = µ H f N Haftrebungskoeffzent µ H > Trockene Gletrebung: f C = µ C f N sgnẋ Gletrebungskoeffzent µ C > Rollwderstand: f R = µ R f V Rollrebungskoeffzent µ R > Vskose Rebung: f r = µ V v vskoser Rebungskoeffzent µ V > Selrebung: f S2 = f S expµα Haftrebungskoeffzent µ = µ H > Euler-Lagrange Glechungen: Lagrange-Funkton: Generalserte Kräfte: d L L = f np,, dt q q f q, = L = T V N = f e T r =,..., n q f q, = f np, q V 2

3 Kaptel Wärmeübertragung Wärmeletgesetz: Fourersche Wärmeletglechung: T t, x ρc p x, T t qt, x = Λx, T T t, x = Λx, T T t, x + gt, x, T Fourersche Wärmeletungsglechung für en sotropes, homogenes Materal mt temperaturunabhängger Wärmeletfähgket λ n kartesschen Koordnaten: T 2 ρc p t = λ T x + 2 T T + gt, x,, z, T 2 z 2 Zlnderkoordnaten: ρc p T t = λ Kugelkoordnaten: T ρc p t =λ r 2 r r gt, r, θ, ϕ, T r r 2 T + r r T + 2 T r r 2 ϕ + 2 T + gt, r, ϕ, z, T 2 z 2 r 2 snθ θ snθ T + θ 2 T r 2 sn 2 + θ ϕ 2 Temperaturletfähgket: Wärmestromdchte be Konvekton: a = λ ρc p q = αt T Dmensonslose Kennzahlen zur Berechnung erzwungener Konvekton: Renolds-Zahl: Prandtl-Zahl Nußelt-Zahl Re x = u x ν Pr = ν a x Nu x = q x T T λ Wärmestromdchte an der Kontaktfläche zweer Festkörper: q = αt A T B

4 Spektrale spezfsche Ausstrahlung enes schwarzen Körpers: E λ,b λ, T = 2πhc 2 λ 5 e hc λkt Wensches Verschebungsgesetz: λ = Emssons- und Absorptonsvermögen: m K T Spektrale Emssvtät ε λ λ, T = E λλ,t E λ,b λ,t Spektraler Absorptonsgrad Spektraler Reflexonsgrad Spektraler Transmssonsgrad [, ] α λ λ = G λ,aλ G λ λ [, ] ρ λ λ = G λ,rλ G λ λ [, ] τ λ λ = G λ,tλ G λ λ [, ] Totale Ausstrahlung: Allgemen: ET = E λ λ, T dλ = ε λ λ, T E λ,b λ, T dλ Für enen schwarzen Strahler Stefan-Boltzmann Gesetz: E b T = mt den Konstanten E λ,b λ, T dλ = 2πhc 2 dλ = σt λ 5 e hc λkt Konstante Wert Plancksche Konstante h = J s Lchtgeschwndgket c = m s Boltzmann Konstante k =.8 2 J/K Stefan-Boltzmann Konstante σ = 2 π 5 k 5 c 2 h = W/m 2 K Nettowärmestromdchte zufolge thermscher Strahlung: q = E F E E dag{ε}f dag{ε}σt = dag{ε} E FE dag{ε} E FσT mt q = [ q ] =,...,N, ε = [ε ] =,...,N, T = [T ] =,...,N und F = [F ] =,...,N,=,...,N Berechnung von Schtfaktoren:

5 Defnton: Rezproztätsgesetz: F = A A cosθ cosθ A s 2 π A F = A F da da Summatonsregel: = N F {, 2,..., N} = Schtfaktoren für zwe-dmensonale Strukturen: F = cosθ cosθ da da = snθ, snθ, da a a 2s 2a a a = a LR + a RL a L a R 2a Länge der gekreuzten Schnüre Länge der setlchen Schnüre = 2 abgewckelte Länge der Ausgangsfläche Enge Bespele snd n nachfolgender Tabelle aufgelstet: F = 2L 2 + x + L x L x + L L x 2 x L L x F = 2L L x L x 2 L x L F = L + 2L 2 + x x + L 2 L x L F = L + L L 2 2L + L2 2L L cosθ L θ L 2 + x 2 x F = + x 5

6 Statonäre Wärmeletung n ener ebenen Wand: Temperaturprofl: T x = T + T L T x L d x λ x d x λ x Wärmestromdchte und Wärmedurchgangskoeffzent be mehrschchtgem Wandaufbau: q = kt, T,L mt k = α + N L = λ + α L Statonäre Wärmeletung be mehrschchtgem zlnderförmgem Wandaufbau: Wärmestromdchte: qr = T F T r r α + N r = λ ln r + r N α N }{{} =kr Auf de Rohrlänge bezogener Wärmestrom vom Radus unabhängg: q = T F T 2π r α + N r = λ ln r + r N α N }{{} =k Statonäre Wärmeübertragung n enem Wärmetauscher: Temperaturprofl: T h x = T h, + c p,cṁ c T c, T h, c p,h ṁ h + c p,c ṁ c T c x = T c, + c p,hṁ h T h, T c, c p,h ṁ h + c p,c ṁ c exp + Kx c p,h ṁ h c p,c ṁ c exp + Kx c p,h ṁ h c p,c ṁ c mt Gesamtwärmestrom: Kx = x k xb x d x Q = ṁ h c p,h T h, T h,2 = ṁ c c p,c T c,2 T c, = KL T log mt T log = T T 2 ln T T 2 wobe T = T h, T c, und T 2 = T h,2 T c,2 6

7 Dfferenzenquotenten für glechförmge Schrttweten:. Abletung, Vorwärtsdfferenz x =. Abletung, Rückwärtsdfferenz x =. Abletung, zentrale Dfferenz x = 2. Abletung, zentrale Dfferenz x = x + x x x x x x x + O x + O x x + x x x 2 x + O x 2 x x 2x + x + x x 2 + O x 2 Fnte Dfferenzen Methode für -dmensonales Wärmeletproblem: T + = T + ta x 2 T 2T + T + Cauer Modell für -dmensonales Wärmeletproblem: xaρc }{{} p T t = A λ T t T t + A λ T + t T t }{{ x}}{{ x} = = R, R,+ =C Analoge zwschen elektrschen und thermschen Netzwerken: Elektrsche Größe Enhet Thermsche Größe Varable Enhet Potentaldfferenz V Temperaturdfferenz T K Elektrscher Strom A Wärmestrom Q W Elektrsche Ladung C Enthalpe H J Elektrscher Wderstand Ω Thermscher Wderstand R K/W Elektrsche Kapaztät F Thermsche Kapaztät C J/K Temperaturabfall an thermschem Wderstand: T = R Q Temperaturentwcklung n thermscher Kapaztät: T = Q C 7

8 Enge trgonometrsche Bezehungen sn = cos = tan = π 2 π 2 + π sn = cos = tan = π sn = π π cos = tan = π 2 π 2 π sn = cos = tan = 2 2 π π sn = cos = π tan = 2 2 5π 2 + 5π 2 5π sn = cos = tan = π π π sn = cos = tan =