Handout 2. Divide et impera Veni, vidi, vici Julius Caesar

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1 Datestruture & Algorithme 9 März 2016 Sebastia Millius, Sadro Feuz, Daiel Graf Hadout 2 Thema: Divide & Coquer (Mergesort, Biäre Suche), Hashig Divide et impera Vei, vidi, vici Julius Caesar Divide & Coquer Divide & Coquer (dt Teile ud Herrsche ) ist ei algorithmisches Desig Prizip/ Löseasatz Das eigetliche Problem wird so lage i leiere ud eifachere Teilprobleme zerlegt (Divide), bis ma diese löse (Coquer) a Aschliessed wird aus diese Teillösuge eie Lösug für das Gesamtproblem (re)ostruiert (Combie) 1 Divide: Teile des Problems i (uabhägige) Teilprobleme (der gleiche Art) 2 Coquer: Löse leie Teilprobleme(die triviale) ad hoc (diret)(veraerug) Aderfalls löse die Teilprobleme reursiv 3 Combie: Kombiatio der Teillösuge zu eier Lösug des Gesamtproblems Klassische Beispiele für eie Divide & Coquer Asatz sid Biary Search ud Mergesort: die zu sortierede Liste wird i zwei Teile aufgetret, die jede eizel sortiert wird Daach werde die beide sortierte Liste i eier Schleife i liearer Zeit zusammegeführt (Merge) split merge sort MergeSort(A[1]) Merge(MergeSort(A[1,, /2 ]),MergeSort(A[ /2 +1,,])) M E R G E S O R T M E R G E S O R T M E M E R G E S O R T M E R G E S O R T E M E M R E G O S R T E E G M R O R S T E E G M O R R S T Abb: Mergesort i Atio Vergleiche: O( log ) (Bestcase: O( log )) Verschiebuge: O( log ) (Bestcase: O( log )) i place?: Nei (es ist möglich, Mergesort i place zu implemetiere) stabil?: Ja 2-1

2 Aufgabe Gegebe ist ei Grid, ist eie 2er Potez, eie Ece fehlt Zeige, dass es vollstädig bedect werde a mit Teilche der folgede Art Abb: lis: Beispiel Brett, rechts: verfügbare Teile Biäre Suche Biäre Suche ist ei scheller Algorithmus für die Suche ach Schlüssel i eiem sortierte Array A Um eie Schlüssel i A zu suche, vergleicht ma mit dem Media A[ 2 ] Ist vor A[ 2 ] so muss es i der erste Hälte liege, asoste i der zweite Hälfte des Arrays Durch Wiederholug dieses Prozesses, a der Schlüssel i O(log ) gefude werde Biary Search(A, ) // Biäre Suche im sortierte Array A ach dem Schlüssel 1 l = 1 2 r = legth[a] 3 while l r 4 middle = (l+r)/2 5 if A[middle] < 6 l = middle+1 7 else if A[middle] > 8 r = middle 1 9 else retur gefude 10 retur icht gefude Dies a als Divide & Coquer Asatz gesehe werde: erlaube ostate Aufwad, werfe die Hälfte des Iputs weg ud fahre auf dem Rest fort Wir öe die Laufzeit agebe als { T(/2)+c falls 2 T() c sost Aufgabe: Zeige, dass für obige Reursiosgleichug gilt: T() = O(log ) Stop ad Thi: Variate vo Biärer Suche: Fide eie möglichst effiziete Algorithmus für folgede Probleme (alle lösbar i subliearem/logarithmischem Zeitaufwad): 1 Zähle die Azahl gleicher Elemete zu eiem Schlüssel i eiem sortierte Array i O(log ) 2 Gegebe ist ei Array A[1] vo folgeder Form: [0,0,11] (eie ubeate Azahl Nulle, gefolgt vo 1e Fide Übergagsput i eiem solche Array A[1] i O(log ) 3 Oe-Sided Biary Search I: Gegebe ist ei Array A bestehed aus eiem Ru vo 0e gefolgt vo eier ubegrezte Azahl vo 1e Bestimme de Übergagsput p i O(log p) 2-2

3 4 Oe-Sided Biary Search II: Gegebe ist eie uedliche sortierte Sequez vo Zahle A = (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,) Etscheide ob ei Schlüssel i der Sequez vorommt 5 Pea Fider I: uimodal search Gegebe ist ei Array A mit verschiedee Eiträge Das Array ist vo folgeder spezieller Form (uimodal): Für eie (ubeate) Idex p zwische 1 ud gilt: A[i] < A[i+1] für 1 i < p ud A[i] > A[i+1] für p i < dh die Eiträge wachse zuächst a, erreiche eie Pea bei A[p] ud ehme da wieder ab Fide de Pea i O(log) 6 Pea Fider II: Gegebe ist ei usortiertes Array A[1] mit Zahle Ei Pea ist ei loales Maximum, dh we der Eiträg grösser gleich als seie Nachbar ist A[i 1] A[i] A[i+1] falls 1 < i < A[i] ist Pea we A[1] A[2] falls i = 1 A[] A[ 1] falls i = Etscheide ob (gibt es immer eie?) ud fide eie Pea i A i O(log) 7 Pea Fider III: Where s the max? GegebeisteiArrayAvosortierteZahle,diecircular shifted um PositioeachrechtswurdeAlsozumBeispiel{35,42,5,15,27,29}ist ei sortiertes Array das um = 2 zirulär verschobe wurde, währed {27,29,35,42,5,15} um = 4 verschobe wurde Uter der Aahme das beat ist, fide das Maximum (eifach!) Uter der Aahme das icht beat ist, fide das Maximum i O(log) 8 Sei A[1] ei Array vo verschiedee gaze Zahle, sortiert, so dass A[1] < A[2] < < A[] Jedes A[i] a daher positiv, egativ oder Null sei Fide eie effiziete Algorithmus (i O(log)) der ei i zurücgibt so dass A[i] = i, falls ei solches existiert 9 Sei u A[1] ei sortiertes Array vo verschiedee positive gaze Zahle; jedes A[i] ist aus {1,2,} Fide eie schellere Algorithmus der ei i zurücgibt, so dass A[i] = i, falls ei solches existiert (Tipp: eifach dee) 10 Gegebe ist ei sortiertes Array mit verschiedee Zahle aus {1,,m}, wobei < m Gebe eie O(log) Algorithmus a, der ei Elemet aus {1,,m} fidet, welches icht im Array vorommt Hashig Lis Hashig: MIT Lectures 8-10: Hashig Visualizatio: Hash Tabelle sid eie Datestrutur um ei Wörterbuch zu realisiere Beim Hash-Verfahre wird versucht, durch Berechug festzustelle, wo der Datesatz mit Schlüssel gespeichert ist Die Idee ist, dass das Nachschaue eies Elemetes i eiem Array Θ(1) ist, we ma seie Idex weiss Bei eier Suchafrage wird der Schlüssel mitgegebe ud falls das Schlüssel/Wert Paar existiert, wird der Wert zurücgegebe Ma a damit aber beispielsweise auch eifache Mege modelliere Hier a ma Elemete eifüge ud teste ob ei bestimmtes Elemet vorhade ist Dabei wird versucht Schlüssel aus eiem grosse Schlüsselbereich/Uiversum U i eier Hashtabelle der Grösse m abzuspeicher Eie Hash-Table ist grudsätzlich mal ei Array Das Array 2-3

4 } sollte geüged grosssei, so dass ur bis zu ca 75% der Plätze belegt sid Je ach Implemetatio (zb i Java) wird die Arraygrösse auch dyamisch agepasst, was aber ziemlich aufwädig ist, da ormalerweise alle Elemete eu eigefügt werde müsse Eie Hash Futio ist eie mathematische Futio die Schlüssel auf eie Idex (Hashadresse) abbilde Die Hashfutio sollte schell (sicher O(1)) zu bereche sei, ud gleichzeitig die Schlüsselstrutur aufbreche Im optimale Fall a somit ach eier Auswertug dieser Futio sofort ei Elemet gespeichert oder darauf zugegriffe werde Das Problem ist aber, dass die Hashfutio mehrere Schlüssel auf die gleiche Stelle im Array abbilde a, da es üblicherweise viel mehr mögliche Schlüssel als Plätze im Array hat ( Adressollisio, Syoyme) Falls also beim Eifüge der Platz scho belegt ist oder sich beim Suche ei aderer Schlüssel a diesem Ort befidet, muss ei Verfahre existiere das besagt, wo u weiterzusuche ist Dabei gibt es verschiedee Möglicheite welche atürlich sehr uterschiedliche Eigeschafte habe: Verettug: I jedem Feld des Arrays befidet sich wiederum eie Datestrutur die mehrere Elemete aufehme a (zb Liste, Baum, ) Uiversum U atuelle Schlüssel 3 h Tabelle m slots 1 3 Kollisioe 4 2 erwartete Läge α = m Zugriff: Θ(1+α) Mehrere Hashfutioe: Bei eier Kollisio wird eifach die ächste Hashfutio probiert Offee Hashverfahre Aders als beim Verette werde die Überläufer diret i der Tabelle abgelegt Eie Sodierugsreihefolge gibt dabei a, wo Syoyme gespeichert werde Lieares Sodiere: Bei Kollisioe eifach die ächste Felder probiere (absteiged oder aufsteiged) Ei Problem bei diesem Verfahre a die primäre Häufug sei: Teile vo bereits besetzte Bereiche werde immer grösser, so dass immer läger sodiert werde muss Quadratisches Sodiere: Astatt die Felder liear aufzufülle / zu durchsuche wird mit quadratisch steigede Abstäde gesucht Doppeltes Hashig: Eie zweite Hashfutio h 0 (x) wird beutzt um de Abstad beim Sodiere zu bestimme Die zusammegesetzte Futio lautet da: h i (x) = (h(x) h 0 (x) i) mod m Es gibt auch och ei paar weitere Methode Die wichtigste sid aber obe aufgeführt Bemerug: Ob jeweils (zuerst) ach lis oder ach rechts sodiert wird ist Geschmacssache Wichtig ist eifach, dass es immer osequet gleich gemacht wird Dies gilt isbesodere auch für die Prüfug (hier evtl och hischreibe i welche Richtug ma sodiert, falls icht sowieso scho vorgegebe) 2-4

5 Aufgabe Führe Sie die ute gegebee Sequez vo Eifüge-Operatioe auf eier afags leere Hashtabelle der Grösse 11 mit Hashfutio h() = mod 11 aus Verwede Sie als Kollisios-Auflösugs-Strategie eimal lieares Sodiere, eimal quadratisches Sodiere ud eimal Double Hashig mit h 0 () = 1 + ( mod 9) aus Zähle Sie die Azahl betrachteter Eiträge der Operatiosfolge Welche Variate ist für diese Sequez die beste? Die Sequez, die eigefügt werde soll, ist: 20,34,26,33,11,16,47,4,14,17 2-5