Finanzdienstleistungen [Anwendungen]

Transkript

1 Finanzdienstleistungen [Anwendungen] Mag. Tomáš Sedliačik Lehrstuhl ür Finanzdienstleistungen Universität Wien 1

2 Organisatorisches Insgesamt wird es 14 Termine geben (12 Einheiten + 2 Klausuren) Verlau der Lehrveranstaltung (Ort, Zeit, Programm) Zwischenklausur indet [Anang Mai; noch nicht ix] statt Endklausur indet am Mi 24. Juni 2009 statt. Nach bestimmten Einheiten (insgesamt 8) gibt es ein Augabenblatt zu lösen; Zeit zum Lösen bis zur nächsten Übungseinheit. 2

3 Organisatorisches Die Beurteilung setzt sich zu 20% aus dem Lösen der Augaben (16% Ankreuzen + 4% aktive Taelmeldung) und zu 80% aus den beiden Klausuren (mit gleicher Gewichtung) zusammen. Als Basis dient das Buch Risk Evaluation, Management and Sharing, Harvester Wheatshea, von Louis Eeckhoudt and Christian Gollier, Kapitel: 2-6, 10. [Es existiert leider nur eine englische Version]. Diese wird in eingescannter Form au der Kurshomepage bereitgestellt. Zusätzlich ist der Sto in den Folien von mir zusammengeasst 3

4 Themenübersicht 1. Risikoevaluierung i. Erwartungswertkriterium und Erwartungswert-Varianz-Kriterium ii. Nutzentheorie [Erwartungsnutzenkriterium] a. Sicherheitsäquivalent, asking price und bid price b. Risikoprämie c. Grad der absoluten Risikoaversion d. [Diverse] Klassen von Nutzenunktionen iii. iv. White noise und Integralbedingung Stochastische Dominanz 2. Applikationen i. Portolio Management ii. Optimaler Versicherungsschutz 4

5 Risikoevaluierung: Lotterien Was ist eine Lotterie? Eine Zuallsvariable x mit Auszahlungen x 1, x 2 x n mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2 p n (alls diskret) bzw. x ~ (x) au einem Intervall [a, b] (alls stetig). Dabei repräsentiert (x) die Wahrscheinlichkeitsverteilungsunktion von x. Eine sichere Auszahlung kann man auch als eine Lotterie betrachten, wobei die entsprechende Wahrscheinlichkeit 1 beträgt. Wann bzw. wo treen wir uns mit Lotterien? 5

6 Risikoevaluierung: Lotterien Wir sind ständig mit Lotterien konrontiert! (Gründung eines Unternehmens, [Schwarz] Fahrt mit U-Bahn, Kau von Kodex, Hochzeit, etc.) Daher müssen wir uns ständig zwischen Lotterien entscheiden! Ein Subjekt, welches eine Entscheidung zwischen Lotterien trit, nennen wir Entscheidungsträger! Der Entscheidungsträger verügt vor der Entscheidung über ein Anangsvermögen, w 0. 6

7 Risikoevaluierung: Lotterien Seine Entscheidung über eine Lotterie x [und die Evaluierung der Lotterie x] bezieht sich grundsätzlich au sein Endvermögen, w. Wir nehmen an, die Auszahlungen von Lotterie x werden so gemessen, dass sie additiv zum Vermögen sind. Daher können wir schreiben: w = w 0 + Das Endvermögen w ist daher auch eine Lotterie mit gewissen Auszahlungen und entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. x 7

8 Risikoevaluierung: Lotterien Der Entscheidungsträger kann sich nach diversen Kriterien entscheiden, d.h. die Lotterien nach diversen Kriterien beurteilen und dann die mit der höchsten Bewertung wählen! Es gibt also immer eine sog. Wertunktion (value unction), V(w ), die grundsätzlich von den angewendeten Entscheidungskriterien abhängt. Bei seiner Entscheidung versucht der Entscheidungsträger die Wertunktion zu maximieren. Entsprechend wählt er zwischen zwei Lotterien die jenige, die einen höheren Wert der Wertunktion lieert, d.h. V(x) > V(y) x y. 8

9 Erwartungswertkriterium Hier entscheidet sich der Entscheidungsträger (ET) ausschließlich nach dem Erwartungswert (EW). Daher gilt hier Dabei ist bekannt, dass V ( w ) = Ε( w ) = Ε( w + x) = w + Ε( x) 0 0 n Ε( x) = p x bzw. i= 1 i i Ε( x) = b a x ( x) dx 9

10 Erwartungswertkriterium Dieses Kriterium zieht kein Risiko in Betracht! Ein solcher ET kann daher als risikoneutral bezeichnet werden. Beispiel: Die olgenden zwei Lotterien werden gleich bewertet x i p(x i ) 50 0, ,5 y i p(y i ) obwohl sie unterschiedliches Risiko auweisen! 10

11 Erwartungswertkriterium Welche der beiden Lotterien würden Sie wählen? Wären Sie da auch indierent? Das Erwartungswertkriterium ist nicht immer unplausibel. Es ist geeignet, wenn viele unabhängige Variablen in der Lotterie involviert sind (etwa beim durchschnittlichen Schaden bei einer Versicherung). Handelt es sich jedoch um eher einmalige Entscheidungen, die von einem einzigen Ausgang (oder wenigen Ausgängen) abhängig sind, ist das Erwartungswertkriterium nicht besonders geeignet (und eher irreührend). 11

12 Erwartungswertkriterium Beispiel: Versicherung Nehmen wir an, jeder Versicherungsnehmer (VN) stellt olgende Lotterie dar x i p(x i ) 0 0, ,01 Etwa ein potentieller Schaden beim Diebstahl eines Wagens. 12

13 Erwartungswertkriterium Angenommen es werden im Rahmen einer Versicherungs- Gesellschat solche VN versichert. Was ist nun die Varianz bzw. Standardabweichung von dem durchschnittlichen Schaden? Var n x n j= 1 1 = Var = Var 2 n n j= 1 σ x σ = x n nvar( x) n Var( x = n j ) ( x) ( x ) = j 2 13

14 Erwartungswertkriterium Oensichtlich sinkt die Varianz proportional mit der Anzahl der unabhängigen Lotterien. Var x) = und Var( x) = = ( daher Die Standardabweichung von dem Durchschnittsschaden beträgt also weniger als 10. Bei 1 Million von VN würde sie bereits unter 1 liegen. Wenn das Risiko so klein ist, ist die Orientierung [allein] nach dem Erwartungswert relativ plausibel. Sonst aber nicht! 14

15 Erwartungswertkriterium In diesem Beispiel liegt der erwartete Schaden bei 100, also der erwartete Gesamtschaden bei 100 * = 1 Mio. Wird dieser Schaden [air] au alle VN augeteilt, so müsste jeder 100 Versicherungsprämie zahlen. Natürlich wird es VN geben, bei denen ein Schaden eintritt und andere, wo kein Schaden eintritt. Aggregiert gleichen sich jedoch die Risiken aus und daher ist der Erwartungswert eine relativ gute Maßzahl zur Beurteilung von dieser, von vielen unabhängigen Einzelrisiken bestehenden, Lotterie. Ein einziger [unversicherter] ET könnte jedoch die Lotterie im Zusammenhang mit dem Diebstahl von seinem Wagen kaum rein anhand von deren Erwartungswert beurteilen. 15

16 Sankt Petersburg Paradox Ein besonders geeignetes Beispiel daür, dass das EWK kaum ausreichend ist, zur Beurteilung von Lotterien, ist das bekannte Sankt Petersburg Paradox! Dabei wird eine Münze geworen, solange Kop ällt. Falls das erste Mal Zahl ällt, ist das Spiel zu Ende. Der Spieler bekommt am Ende des Spiels 2 n Geldeinheiten ausbezahlt, wobei n der Anzahl der geallenen Köpe entspricht. Der Erwartungswert dieses Spiels (Lotterie) ist zwar unendlich, trotzdem kaum jemand unendlich viel ür das Spiel bezahlen wollen! Zeichnen Sie die Ausgänge von dem Spiel! 16

17 Erwartungswert-Varianz- Kriterium Kommen wir nun wieder zu den beiden Lotterien von Folie 10. Falls ein ET die beiden Lotterien unterschiedlich bewertet, entscheidet er sich au keinen Fall nach dem EW-Kriterium. Er zieht also bereits auch das Risiko in Betracht. Das EWV-Kriterium erlaubt eine Betrachtung von Risiko, jedoch nur in Form von Varianz [der Lotterie]. Konkret ist die Wertunktion gegeben als eine Funktion von E(x) und Var(x), also { Ε( w ), Var( w )} V ( w ) = 17

18 Erwartungswert-Varianz- Kriterium Es ist plausibel anzunehmen, dass V ( w Ε( w ) > 0 ) Die erste Ableitung nach Var(w) ist wohl nicht so eindeutig und ihr Zeichen bietet Aussagen über die Risikoeinstellung des ETs V ( w Var( w V ( w Var( w V ( w Var( w ) ) ) ) ) ) > < = Risikoreude Risikoaversion Risikoneutralität Vorsicht! Risiko wurde nur in Form von Varianz gemessen! 18

19 Erwartungswert-Varianz- Kriterium In der Praxis wird meistens eine vereinachte [speziische] Form von dem EWV-Kriterium verwendet: V ( w ) = Ε( w ) kvar( w ) Dabei ist k eine Konstante. Es ist oensichtlich, dass bei k > 0 (k < 0) sich die Varianz negativ (positiv) au die Bewertung der Lotterie auswirkt. Bei k = 0 spielt das Risiko [gemessen als Varianz] keine Rolle mehr, daher kann man also das EW-Kriterium als einen Spezialall von dem EWV- Kriterium betrachten. 19

20 Erwartungswert-Varianz- Kriterium Vergleichen wir nun die beiden Lotterien x und y von Folie 10 bei einem Entscheidungsträger A mit k = 2 und einem anderen Entscheidungsträger B mit k = -1! V ( x) V ( x) A B = 100 2*2500 < V ( y) = 100 ( 1)*2500 > V ( y) A = 100 2*0 B = 100 ( 1)*0 Daher heißt es bei A x p y bzw. bei B x Es ist wohl oensichtlich, dass bei k = 0 ein ET zwischen x und y indierent wäre. y 20

21 Erwartungswert-Varianz- Kriterium In diesem Beispiel könnte man argumentieren, dass A risikoavers und B risikoreudig ist. Jedoch muss man sich bewusst sein, dass hier das Risiko ausschließlich durch die Varianz repräsentiert wird. Bei einer solchen Betrachtung von Risiko kann man also sagen, dass ein risikoaverser (risikoreudiger) ET bei zwei Lotterien mit dem gleichen Erwartungswert und unterschiedlicher Varianz sich ür die Lotterie mit der geringeren (höheren) Varianz entscheidet. Eine solche Einstuung der Risikoeinstellung allein durch die Varianz gilt jedoch nur bei dem EWV-Kriterium, nicht allgemein! 21