THEMA. Research of suitable optimization strategies for the implementation of an intelligent charging management for electric vehicles

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1 THEMA Untersuchung geeigneter Optimierungsstrategien zur Umsetzung eines intelligenten Lademanagements für Elektrofahrzeuge Research of suitable optimization strategies for the implementation of an intelligent charging management for electric vehicles Recherche de stratégies d'optimisation appropriées pour la mise en œuvre d'une gestion de charge intelligente pour véhicules électriques Bachelor-Arbeit von Betreut von: Prof. Dr.-Ing. A. Schlüter, HM. M. Sc. Michael Dronia, FfE e.v. Tag der Einreichung: München 2014

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3 ABSTRAKT Im Rahmen der vorliegenden Bachelor-Arbeit wurde eine Untersuchung geeigneter Optimierungsstrategien zur Umsetzung eines intelligenten Lademanagements für Elektrofahrzeuge durchgeführt. Zu diesem Zweck wurden zuerst Anforderungen für die Optimierung der Lademanagementsstrategie analysiert, d.h. die Eingangsgrößen, -formate und dynamik wurden erfasst. Verschiedene Optimierungstypen und ihre vielfältigen Lösensverfahren wurden danach theoretisch untersucht und präzis mit Hilfe von Beispielen erklärt. Im Gefolge dieser Recherche wurden die Ergebnisse schließlich miteinander verglichen und eine gute Lösung für das Forschungsprojekt wird vorgeschlagen. ABSTRACT The purpose of this bachelor is to search optimization strategies that can be applied to provide a smart charging system for electric vehicles. To do so, the needed data for the optimization of the charge, their format and their evolution will be analyzed. Then, the different types of optimization and their resolution methods will be searched and explained theoretically using examples. Lastly, the results of the research will be compared and an appropriate solution for the problem will thus be identified. RESUME Le but de ce bachelor est de rechercher des stratégies d optimisation permettant l instauration d un système de charge intelligent pour véhicules électriques. Pour cela, les données nécessaires à l optimisation de la charge seront analysées ainsi que leur format et leur évolution dans le temps. On recherchera ensuite les différents types d optimisation et leurs procédés de résolution. Ils seront expliqués théoriquement et à l aide d exemples. Enfin, on comparera les résultats de cette recherche et la solution la plus adaptée au problème pourra ainsi être déterminée. I

4 INHALTSVERZEICHNIS Abstrakt... I Inhaltsverzeichnis... II Abbildungsverzeichnis... IV Abkürzungsverzeichnis... V Einleitung... 1 Grundlagen Beschreibung des Projekts Wind- und PV-Prognose... 6 Hauptteil Konvexität Konvexe Optimierungsprobleme Nicht-konvexe Optimierungsprobleme Verschiedene Typen von Optimierungsproblemen Lineare Optimierung Beschreibung Beispiele von linearen Optimierungsproblemen a. Minimierung Lösen von linearen Optimierungsproblemen a. Das Schnittebenenverfahren b. Das Simplex-Verfahren c. Innere-Punkte-Verfahren d. Vergleich der zwei Verfahren Quadratische Optimierung Beschreibung Beispiel eines quadratischen Optimierungsproblems Das Mean-Variance Portfolio Lösen von quadratischen Optimierungsproblemen Gemischt-ganzzahlige Optimierung Beschreibung Lösen von gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblemen Branch and Bound Verfahren II

5 Beispiel des Branch-and-Bound Verfahrens für ein gemischt-ganzzahliges Problem Constraint-Programmierung Beschreibung Beispiel von einem Constraint-Programmierungsproblem Lösen von Constraint-Programmierungsproblemen Beispiel des Branch-and-Bound Verfahrens für ein Constraint- Programmierungsproblem Nichtlineare Optimierung Beschreibung Lösen von NLO-Problemen Lösungsvorschlag für eplanb Zusammenfassung Literaturverzeichnis Anhang A: Grafiken über EE-Erzeugung Anhang B: GANTT Diagramm III

6 ABBILDUNGSVERZEICHNIS Abbildung 1: Ziel des eplanb-projekts... 2 Abbildung 2: Ablauf eines Ladevorgangs... 3 Abbildung 3: Übersicht der Kommunikationsverbindungen... 4 Abbildung 4: Entwicklung des täglichen Strompreises über eine Woche... 5 Abbildung 5: Entwicklung des täglichen Strompreises über einen Monat... 5 Abbildung 6: Vergleichstabelle der verschiedenen Prognoseanbieter... 7 Abbildung 7: Blockdiagramm der Eingangsgrößen... 8 Abbildung 8: Beispiele von konvexen Mengen Abbildung 9: Die von x zu y Sehne Abbildung 10: Beispiele von nicht-konvexen Mengen Abbildung 11: Die Sinusfunktion Abbildung 12: Beispiele vom Verhalten von linearen Funktionen Abbildung 13: Schnelle Lösung des oben beschriebenen Maximierungsproblems dank des Schnittebenenverfahrens Abbildung 14: Ablauf des Simplex-Verfahrens Abbildung 15: Ablauf des Innere-Punkte-Verfahrens Abbildung 16: Strecken des Simplex-Verfahrens Abbildung 17: Strecken des Innere-Punkte-Verfahrens Abbildung 18: Beispiele vom Verhalten von quadratischen Funktionen Abbildung 19: Ablauf des Branch-and-Bound Algorithmus für ein Maximierungsproblem. 30 Abbildung 20: Strecken des Branch-and-Bound Verfahrens Abbildung 21: Beispiel von einem 4-Ecken Graph für das Problem des Handlungsreisenden Abbildung 22: Beispiel von einem 5-Ecken Graph für das Problem des Handlungsreisenden und eine optimale Fahrt Abbildung 23: Beispiel vom Verhalten von einer nichtlinearen Funktion Abbildung 24: Stromverbrauch entsprechend den Uhrzeiten Abbildung 25: Tarifprofil und Ladestrategie zur Minimierung der Kosten Abbildung 26: Entwicklung der jährlichen Produktion (Solar und Wind) zwischen 2011 und Abbildung 27: Monatliche Produktion (Solar und Wind) im Jahr Abbildung 28: Tatsächliche Produktion (Solar und Wind) am Abbildung 29: GANTT Diagramm der Bachelor-Arbeit IV

7 ABKU RZUNGSVERZEICHNIS EFZ EE PV FfE LMS EEX CSV XML EDI FTP HTTP LEW SOC ZFZ IPV QO GGO B&B CP NLO GRG Elektrofahrzeug Erneuerbare Energie Photovoltaik Forschungsstelle für Energiewirtschaft Lademanagementssystem European Energy-Exchange Comma-Separated Values Extensible Markup Language Electronic Data Interchange File Transfer Protocol Hypertext Transfer Protocol Lechwerke AG State Of Charge Zielfunktionszeile Innere-Punkte-Verfahren Quadratische Optimierung Gemischt-Ganzzahlige Optimierung Branch-and-Bound Constraint-Programmierung Nichtlineare Optimierung Generalized Reduced Gradient V

8 EINLEITUNG Heute gibt es immer mehr Elektrofahrzeuge bei den Privatkunden. Ihr Einsatz verspricht eine nachhaltige und emissionsarme Mobilität, weil ihres Ziel ist, den CO 2 -Ausstoß zu reduzieren. Aber die Energieerzeugung stößt selbst schon CO 2 : wenn ein Elektrofahrzeug (EFZ) mit Strom betrieben wird, der aus Steinkohle gewonnen wurde, wird die CO 2 -Bilanz mit 250g CO 2 /km schlechter als die eines Benzin getriebenen Fahrzeuge (1). Aber wenn die Energieerzeugung aus erneuerbaren Energien (EE) sowie Photovoltaik (PV) - oder Solarenergie herkommt, konsumieren die EFZ kein Kohlendioxyd. Die Zahl der Anlagen für EE nimmt immer zu aber diese EE sind leider nicht allzeit verfügbar und heute können sie nicht gespeichert sein. Ihre Verfügbarkeit hängt vom Zeitraum ins besondere für die Solarenergie (nachts oder winters z.b.). Deshalb sind diese EE intermittierende Energien genannt. Im Anhang A stehen verschiedene Grafiken über die Entwicklung der Stromproduktion in unterschiedlichen Zeiträumen. Die Forschungsstelle für Energiewirtschaft (FfE) hat mit dem Kooperationspartner Lechwerke (LEW) AG das Forschungsprojekt eplanb aufgebaut, um dagegen zu bekämpfen. Sein Ziel ist die Entwicklung ein intelligentes Lademanagement für den Pendlerverkehr mit EFZ. EFZ sind nicht nur sauber und leise, sie können bei einem in Zukunft weiter zunehmenden Anteil der EE auch zur Stabilisierung der Stromnetze beitragen. Außerdem eignen sie sich ideal für Pendler, weil deren Fahrzeuge meist länger parken als fahren und viel Spielraum für ein flexibles Laden bieten. Die Idee ist deshalb, das Laden des EFZs so zu steuern, dass möglichst viel Öko-Strom verwendet wird. Mittels eines intelligenten Lademanagementssystems wird die Ladung werden Faktoren wie Netzzustand oder externe Preissignale berücksichtigt. Beispielsweise soll das Fahrzeug dann geladen werden, wenn viel Strom aus PV-Anlagen gewonnen wird - und dies erreicht man tagsüber, wenn das Pendlerfahrzeug auf einem Parkplatz steht. Die Energiewende und die daraus resultierende zunehmende Einspeisung von regenerativ erzeugtem Strom stellen die Netzbetreiber vor eine große Herausforderung, denn die Energieerzeugung aus Sonne und Wind richtet sich nicht nach dem Verbrauch (2) : Leistungsspitzen, die durch das zeitgleiche Laden von EFZ verursacht werden, können vermieden werden. Ein optimiert betriebenes Stromnetz erhöht die Netzeffizienz. Zum Aufladen der EFZ wird vorrangig der in der Region erzeugte erneuerbare Strom genutzt. Durch die Nutzung heimischer regenerativer Energie zum Laden wird der CO 2 - Ausstoß reduziert. 1

9 Abbildung 1: Ziel des eplanb-projekts (3) Im Rahmen der vorliegenden Bachelor-Arbeit wurde eine Untersuchung geeigneter Optimierungsstrategien zur Umsetzung dieses intelligenten Lademanagements für EFZ durchgeführt. Die Gliederung dieses Berichtes wird in derselben Reihenfolge wie die Untersuchungen erfolgt (Siehe den Anhang B für das GANTT Diagramm dieser Bachelor-Arbeit): zuerst werden die Eingangsgrößen, -formate und dynamik des Systems vorgelegt und dann werden die verschiedenen Optimierungstypen und ihre vielfältigen Lösensverfahren in Details ermittelt und mit Beispielen erklärt. Schließlich werden alle die untersuchten Optimierungstypen und -verfahren verglichen, um die geeignetsten für das Lademanagementssystem des Projekts zu finden. 2

10 GRUNDLAGEN 1. BESCHREIBUNG DES PROJEKTS Damit das Lademanagementssystem (LMS) genau optimiert wird, ist es wichtig zu verstehen, wie es funktioniert und was Einfluss darauf hat. Das eplanb Projekt kann dank des nachfolgenden Schemas beschrieben werden: Ankunft an der Parkanlage ecable anstecken Fahrzeug automatisch identifizieren Positiv Benutzereingaben über Webportal Ja Nein Abfahrtszeitpunkt planen [Uhrzeit] Reichweite planen [km] State Of Charge (SOC) -Ist-Stand [%] Default-Eingaben abnehmen Ladeplan erstellen oder aktualisieren Ladevorgang beenden ecable abstecken Abfahrt von der Parkanlage Abbildung 2: Ablauf eines Ladevorgangs 3

11 Der Teil des eplanb-systems, der optimiert wird, ist das LMS, d.h. der Teil, der den Ladeplan erstellt. Das folgende Bild erklärt konkreter sein Funktionieren und wovon es abhängt. Abbildung 3: Übersicht der Kommunikationsverbindungen (4) Das Hauptprinzip des LMS besteht in der Bestimmung der besten Zeit, in der das Fahrzeug geladen werden muss. Wie man in der Abbildung 3 sehen kann, ist diese Bestimmung insbesondere abhängig vom Strompreis und von der Menge von verfügbaren EE, die aus externen Quellen kommen. Der Strompreis für den folgenden Tag (Day-Ahead Auktion) und die Strompreisentwicklung tagsüber (Intraday Auktion) werden dank der PHELIX-Daten bekannt. PHELIX steht für PHysical ELectricity IndeX. Es ist der Stromindex für Deutschland und Österreich an der Strombörse European Energy Exchange (EEX) (5). Man kann auch alle die Strompreisdaten ab 2005 auf der Website der EEX finden. 4

12 Folgend stehen Beispiele aus der Website der EEX. Preise werden in /MWh angegeben und Volumen in MWh. Abbildung 4: Entwicklung des täglichen Strompreises über eine Woche (6) Abbildung 5: Entwicklung des täglichen Strompreises über einen Monat (6) Wie man auf den zwei Abbildungen sehen kann, ist der Strompreis sehr unbeständig. Aus diesem Grund ist es wichtig, so viele Informationen wie möglich darüber zu bekommen. Das Ziel dieses LMS ist auch, möglichst viel Öko-Strom zu verwenden, um den CO 2 -Ausstoß zu verringern. Deshalb muss man die EE-Erzeugung in jedem Moment des Tages im Voraus kennen. Dann kann das LMS den günstigsten Moment für die Ladung entscheiden. All diese Informationen bekommt man dank Prognoseunternehmen. 5

13 2. WIND- UND PV-PROGNOSE Die EE-Erzeugung hängt von vielen Kriterien an: Die Temperatur Die Feuchte Der Niederschlag Der Luftdruck Die Einstrahlung Der Sonnenaufgang und untergang Die Bewölkung Die Windgeschwindigkeit Die Windrichtung Usw. Um die erzeugte und verfügbare Menge von EE tagsüber zu kennen, muss man Prognoseanbieter hinzuziehen. Heutzutage gibt es viele Anbieter und jeder bietet verschiedene Dienstleistungen. So muss man suchen, welcher Anbieter am besten zum Forschungsprojekt gehört. Dafür wurden alle die interessantesten Anbieter per oder telefonisch kontaktiert. Es gab vielfältige Auswahlkriterien, nämlich die Folgenden: Die Zeitabstände zwischen die Prognose (Wochen-, Day-Ahead-, Intraday- und Echtzeitprognose) Die räumliche Auflösung Die Datenanlieferungsformate (z.b. CSV, XML oder ) Die Kosten 6

14 Einige dieser Daten können auf den Webseiten jedes Anbieters gefunden werden aber es war trotzdem notwendig, alle von ihnen telefonisch zu erreichen, um so viel Informationen wie möglich zu bekommen. Am Ende wurde die folgende Vergleichstabelle hergestellt: Enercast Meteocontrol Meteoblue LEW Prognosen Wochenprognose X Day-Ahead Prognose X X X Intraday-Prognose X X X X Echtzeitprognose X X X X Räumliche Auflösung Genau Einzelne Anlagen, Versorgungsgebiete, Netzregelzonen oder landesweit 3km Genau Datenanlieferung Format CSV, XML oder EDI CSV, FTP Server oder CSV oder HTTP Request CSV, FTP Server oder Automatisch X X X X Kosten 1250 (einmalig) 1180 (jährlich) 4 Geschäftsmodelle 0 Abbildung 6: Vergleichstabelle der verschiedenen Prognoseanbieter Schließlich wurde den LEW-Anbieter ausgewählt, unter anderem da LEW am Forschungsprojekt teilnimmt. 7

15 Dank seines LMS erlaubt eplanb so, ein Nutzer-, Netz- und Strompreisoptimiertes Laden zu haben. Alle die Eingangsgrößen, die Einfluss darauf haben, und ihre Informationen können in der folgenden Abbildung dargestellt werden: Abbildung 7: Blockdiagramm der Eingangsgrößen Alle die Problemdaten sind von jetzt an gekannt. So kann den besten Optimierungsweg untersucht werden. 8

16 HAUPTTEIL Das Ziel der Optimierung einer Funktion ist, ein Optimum (Maximum oder Minimum) dieser Funktion zu finden. Im Regelfall kann es sein, dass die Funktion kein Optimum hat (7). Die Optimierung hat zahlreiche Anwendungsbereiche (als Mathematik, Industrie, Ökonomie oder Informatik). Man nutzt auch Optimierung im Alltagsleben, wenn man z.b. den allernächsten Weg zwischen zwei Orte entscheidet. In einem Optimierungsproblem bestimmen die Beziehungen zwischen die Zielfunktion und Beschränkungen und die Variablen, wie schwer es wurde, dieses Problem aufzulösen. Sie bestimmen auch die Lösungsmethoden oder Algorithmen, die verwendet wurden, und die Sicherheit, dass die Lösung wirklich optimal ist. Eine Schlüsselfrage dafür ist, ob die Funktionen konvex oder nicht-konvex sind. Wenn die Zielfunktion und Beschränkungen konvex sind, existiert die Problemlösung und dann kann man vertrauend sein, dass das Optimum gefunden wird. Wenn irgendeine Funktion nichtkonvex ist, wird das Problem schwieriger. Nachfolgend steht die Liste von den Optimierungstypen, die in diesem Bericht erklärt werden: Lineare Optimierung Quadratische Optimierung Gemischt-ganzzahlige Optimierung Constraint-Programmierung Nichtlineare Optimierung Alle lineare Funktionen und einige quadratische oder nichtlineare Funktionen sind konvex. Andererseits sind gemischt-ganzzahlige Optimierung und Constraint-Programmierung nichtkonvex (8). Zuerst wird der Begriff «Konvexität» erklärt, wie man die Konvexität einer Funktion bestimmt und welchen Einfluss hat sie. Dann werden die verschiedenen Optimierungstypen und ihre Lösungsverfahren theoretisch und mit Beispielen beschrieben. Schließlich werden alle die untersuchten Optimierungstypen und -verfahren verglichen, um die geeignetsten für das LMS des Projekts zu finden. 9

17 1. KONVEXITÄT In Optimierung ist der große Wendepunkt eigentlich nicht zwischen Linearität und Nichtlinearität, sondern Konvexität und Nicht-konvexität. (R. Tyrrell Rockafellar, in SIAM Review, 1993) In der Tat sind konvexe Optimierungsprobleme viel mehr allgemeiner als lineare Optimierungsprobleme. Allerdings haben sie trotzdem die gleiche begehrenswerte Eigenschaften: beide können schnell gelöst werden und sind zuverlässig, auch wenn die Variablen- und Beschränkungenzahl sehr groß ist (Hunderttausende) (9). Daher stellen sich die folgenden Fragen: Was ist Konvexität und wie kann man wissen, ob eine Funktion konvex oder nicht ist? 1.1. Konvexe Optimierungsprobleme Ein konvexes Optimierungsproblem ist ein Problem, dessen alle die Beschränkungen konvexe Funktionen sind. Die Zielfunktion ist konvex (wenn man minimieren will) oder nicht-konvex (wenn man maximieren will). Lineare Funktionen sind konvex, deshalb sind lineare Optimierungsprobleme auch konvex. In einem solchen Optimierungsproblem ist der zulässige Bereich (die Kreuzung der konvexen Constraint-Funktionen) ein konvexer Bereich wie auf dem nachfolgenden Bild: Abbildung 8: Beispiele von konvexen Mengen Geometrisch ist eine Funktion konvex, wenn ein Segment von jedem beliebigen Punkt (x, f (x)) zu einem anderen beliebigen Punkt (y, f (y)) die sogenannte von x zu y Sehne - gezogen wird und wenn dieses Segment auf oder oben der graphischen Darstellung von f liegt (9). Abbildung 9: Die von x zu y Sehne 10

18 Mit einer konvexen Zielfunktion und einem konvexen zulässigen Bereich kann es nur eine optimale Lösung (die die globale optimale Lösung ist) geben (10). Dank ihrer begehrenswerten Eigenschaften können konvexe Optimierungsprobleme mit vielfältigen Methoden gelöst werden. Mehrere Methoden insbesondere das Innere-Punkte- Verfahren (das später detailliert wird) werden entweder die globale optimale Lösung finden oder beweisen, dass es keine durchführbare Lösung für das Problem gibt. Konvexe Probleme können effizient gelöst werden, auch wenn sie sehr groß sind Nicht-konvexe Optimierungsprobleme (9) Ein nicht-konvexes Optimierungsproblem ist ein Problem, dessen die Zielfunktion oder irgendeine Beschränkung nicht-konvex ist. Abbildung 10: Beispiele von nicht-konvexen Mengen Eine nicht-konvexe Funktion kurvt auf- und absteigend. Ein bekanntes Beispiel dafür ist die Sinusfunktion: Abbildung 11: Die Sinusfunktion Nachdem man den wichtigen Begriff Konvexität erklärt hat kann die Untersuchung der besten geeigneten Optimierungsstrategie durchgeführt werden. 11

19 2. VERSCHIEDENE TYPEN VON OPTIMIERUNGSPROBLEMEN 2.1. Lineare Optimierung Beschreibung Ein lineares Optimierungsproblem ist ein Problem, dessen die Zielfunktion und alle die Beschränkungen lineare Funktionen sind (11). Die Standardform von linearen Optimierungsproblemen ist (11): ( ) ist das Kriterium des Problems (T heißt «transponiert»). (die Kosten des Problems) und ( ) sind beide Vektoren. ist eine Matrix, deren Größe ist. Folgend steht ein Beispiel für eine lineare Funktion: 20 x x x 3 x 1, x 2 und x 3 sind hier Variablen, die mit konstanten Koeffizienten (20, 10 und 45) multipliziert werden. Die lineare Optimierung hat vielfältige Anwendungsbereiche wie z.b. Materialwirtschaft oder Management eines Verteilernetzes (Wasser, Strom, Gas, usw.) (11). Weil alle linearen Funktionen konvex sind, wird die Lösung von linearen Optimierungsproblemen einfacher als nichtlinearen Problemen. Diese können tatsächlich nicht-konvex sein und es kann also mehr als einen zulässigen Bereich geben. Folglich könnte die optimale Lösung irgendwo in solchen Bereichen gefunden werden. Im Gegensatz dazu haben lineare Probleme höchstens einen zulässigen Bereich mit glatten Oberflächen, deshalb wird die optimale Lösung immer gefunden sein (12). 12

20 Abbildung 12: Beispiele vom Verhalten von linearen Funktionen Beispiele von linearen Optimierungsproblemen a. Minimierung (13) Eine Fluggesellschaft möchte eine Flugverbindung zwischen zwei Städten einrichten. Ziel ist es, 1600 Personen und 96 Tonnen Ladung in einem bestimmten Zeitraum zu transportieren. Derzeit sind zwei Flugzeugetypen verfügbar: 11 Flugzeuge des Typs A und 8 Flugzeuge des Typs B. Typ A kostet pro Flug und kann 200 Personen sowie 6 Tonnen Ladung transportieren. Typ B kostet pro Flug und kann 100 Personen und 15 Tonnen Ladung transportieren. Wie viele Flugzeuge von jedem Typ wird die Fluggesellschaft unter Einhaltung der Nebenbedingungen einsetzen, um ihre Kosten zu minimieren? Personen Ladung Kosten Verfügbarkeit Typ A Typ B Variablen: x und y sind die von Typ A und Typ B gebrauchten Flugzeugmengen Minimierte Zielfunktion: o min (x;y) [F(x; y) = 4000x y] 13

21 Beschränkungen : o Minimale Zahl der transportierten Personen : 200x + 100y 1600 o Minimale Ladung : 6x + 15y 96 o Verfügbarkeit der Flugzeuge : x 11 y 8 o Variablen müssen positiv (oder gleich Null) sein: x 0 y 0 14

22 b. Maximierung (14) Eine Fabrik produziert 2 Produkte P 1 und P 2, die Einsatzmitteln wie Arbeitsgeräte, Arbeitskräfte und Grundstoffe brauchen. Diese Einsatzmittel haben eine begrenzte Verfügbarkeit. P 1 und P 2 werden mit 6 und 4 pro Stück verzinst. Wie viel Produkte P 1 und P 2 soll die Fabrik produzieren, um den Profit zu maximieren? P 1 P 2 Verfügbarkeit Arbeitsgeräte Arbeitskräfte Grundstoffe Variablen: x und y sind von P 1 und P 2 produzierten Produktmengen Maximierte Zielfunktion: o max (x;y) [F(x; y) = 6x + 4y] Beschränkungen : o Verfügbarkeit der Einsatzmittel : 3x + 9y 81 4x + 5y 55 2x + y 20 o Variablen müssen positiv sein: x 0 y 0 15

23 Lösen von linearen Optimierungsproblemen a. Das Schnittebenenverfahren Wenn wenigen Variablen eingesetzt werden, kann ein solches Problem ziemlich leicht graphisch aufgelöst werden. Die verwandte Methode heißt das Schnittebenenverfahren (15). Das Prinzip ist das folgende. Die Beschränkungen des Problems werden mit Halbebenen dargestellt. Die verschiedenen Abschnitte dieser Halbebenen sind die Variablenmenge, die die Bedingungen erfüllen (16). Normalerweise die ganze Beschränkungensmenge stellt ein konvexes Polygon auf (14). Wenn man dieses konvexe Polygon stichelt und wenn man Linien zeichnet, die parallel zur minimierten (oder maximierten) Funktion sind, bekommt man die optimale Lösung. Sie gehört zu einer Spitze des konvexen Polygons (15). Abbildung 13: Schnelle Lösung des oben beschriebenen Maximierungsproblems dank des Schnittebenenverfahrens (14) Aber sehr häufig haben die Optimierungsprobleme mehr Variablen und sie müssen möglichst schnell aufgelöst werden. Für diese existieren leistungsstärkere Auflösungsverfahren. 16

24 b. Das Simplex-Verfahren Lineare Optimierungsprobleme werden gewöhnlich dank des Simplex-Verfahrens aufgelöst. Diese Methode wurde 1947 von George Dantzig (17) entwickelt und wurde dann drastisch mit der numerischen linearen Algebra verbessert. Dank dieser Methode ist es heute möglich, lineare Probleme mit mehr als Hunderttausenden Variablen und Beschränkungen aufzulösen (12). Nachfolgend stehen die Hauptschritte des Simplex-Verfahren: Ungleichungen in Gleichungen umsetzen Erste zulässige Basislösung ermitteln Spitzen der konvexen Menge abschreiten, um eine bessere Lösung zu finden Weitermachen, bis keine Verbesserung mehr möglich ist Abbildung 14: Ablauf des Simplex-Verfahrens Beispiel für das Simplex-Verfahren : Maximierung einer linearen Funktion (18) Das Simplex-Verfahren wird durch das folgende Beispiel konkreter erklärt. Gegeben wird das folgende Optimierungsproblem: 17

25 1) Einführung von Schlupfvariablen Dank der Einführung von neuen Variablen (die Schlupfvariablen) werden die Ungleichungen in Gleichungen umgesetzt: Der Wert einer Schlupfvariable hängt von dem Punkt (x 1, x 2 ). Falls er die Beschränkungen einhält, wird eine Schlupfvariable größer oder gleich Null sein (gleich Null falls der Punkt auf dem Rand der Halbebene liegt). Falls er die Beschränkungen nicht einhält, wird sie negativ sein. 2) Der zulässige Bereich Wie vorher gesagt ist der zulässige Bereich eines linearen Problems eine konvexe Menge. Das Optimum liegt immer in einer von den Spitzen dieses zulässigen Bereichs und diese Spitze sind die Schnittpunkte der Begrenzungsgeraden. In dieser sind immer zwei von der fünf Variablen x 1, x 2, s 1, s 2 und s 3 gleich Null. Falls es n Variablen x 1, x 2,, x n und m Ungleichungen gibt, werden n der Variablen x 1, x 2,, x n ; s 1, s 2, s m gleich Null gesetzt. Derartige erzielte Lösungen sind Basislösungen genannt. Eine Basislösung, die die Nichtnegativitätsbedingung erfüllt, heißt zulässige Basislösung. Falls man eine Funktion maximieren will, muss man aus der Menge aller zulässigen Basislösungen jene ermitteln, in der die Zielfunktion den größten Wert hat. 3) Zahl der Basislösungen Folgend steht eine Formel, mit der man die Zahl der Basislösungen eines linearen Problems mit n Variablen und m Ungleichungen berechnen kann: z.b.: 9 Variablen und 21 Ungleichungen ergeben Basislösungen: 18

26 4) Der Algorithmus Eine zulässige Basislösung kann einfach aus dem linearen Gleichungssystem abgelesen werden: der Punkt (0,0; 100,80,40). Nun ist das Prinzip des Simplex-Algorithmus, dank dieser zulässigen Basislösung das Gleichungssystem von Spitze zu Spitze zu umformen, um eine neue und bessere Lösung zu finden, die den Wert der Zielfunktion verbessert würde. 5) Die Simplex-Tabelle Das lineare Gleichungssystem wird in Matrixform angeschrieben und die Simplex-Tabelle wird dann hergestellt: Die letzte Zeile ist die Zielfunktion z, die in Form der Gleichung angeschrieben worden ist: Jetzt kann man die Werte der Schlupfvariablen und der Zielfunktion ablesen: Wenn x 1 = 0 und x 2 = 0: s 1 = 100 s 2 = 80 s 3 = 40 z = 0 6) Die Pivotschritte Zuerst muss das Pivotelement ermittelt werden. Als Pivotspalte wird konventionell die Spalte mit dem kleinsten Koeffizient in der Zielfunktionszeile (ZFZ) ausgewählt (sie verspricht den schnellsten Weg zum Maximum). Als Pivotzeile wird immer die Zeile mit dem kleinsten nichtnegativen Quotient ausgewählt. Das Element in der Pivotspalte und Pivotzeile heißt Pivotelement. 19

27 Dann wird die Pivotzeile durch dieses Pivotelements dividiert und jede andere Zeile wird von einem geeigneten Vielfachen der Pivotzeile subtrahiert, sodass die entsprechenden Komponenten in der Pivotspalte gleich Null werden. Dieser Pivotschritt lässt zu, zu einer nahegelegenen Spitze des zulässigen Bereichs zu gelangen, in der der Zielfunktionswert verbessert wird. Hier lautet die zulässige Basislösung: (40,20; 20,40,0) Die Pivotspalte bestimmt die Richtung, in der die nächste Spitze gesucht wird. Falls eine Spalte mit negativem Eintrag in der ZFZ ausgewählt worden ist, ist es sicher, dass der Zielfunktionswert zunimmt. Die Wahl der Pivotzeile (mit der stärksten Einschränkung) garantiert, dass man nicht aus dem zulässigen Bereich herausfällt. So x 2 muss größer oder gleich Null werden. Die optimale zulässige Basislösung ist erreicht, wenn alle Einträge in der ZFZ nichtnegativ sind. 20

28 Oben in der Tabelle sind alle die Koeffizienten in der ZFZ größer oder gleich Null, d.h. das Maximum erreicht worden ist. s 1 und s 2 setzt man gleich Null und hier ist die maximale zulässige Basislösung: (20,60; 0,0,20) So liegt das Maximum der Funktion im Punkt (20,60). Aus der ZFZ kann auch den optimalen Zielfunktionswert erhalten werden: z max =

29 Beispiel für das Simplex-Verfahren : Minimierung einer linearen Funktion (19) Zielfunktion: o min(x; y) [F(x; y) = 235x + 160y] Beschränkungen : o 18x + 2y 175 o 9x + 14y 100 Variablen müssen positiv (oder gleich Null) sein: o x 0 o y 0 Im Gegensatz zum ersten Beispiel für das Simplex-Verfahren muss eine Zielfunktion diesmal minimiert werden. Da der Simplex-Algorithmus nur für die Maximierung ausgelegt ist, muss dieses Minimierungsproblem in ein Maximierungsproblem umgesetzt werden. Das lineare Gleichungssystem wird in Matrixform angeschrieben: ( ) Dann wird eine Matrix transponiert, indem man aus den Zeilen Spalten macht: ( ) Endlich kann das neue Ungleichungssystem aus der Matrix herausgelesen werden: 22

30 Zielfunktion: o min(x; y) [F(x; y) = 175x + 100y] Beschränkungen : o 18x + 9y 235 o 2x + 14y 160 Variablen müssen positiv (oder gleich Null) sein: o x 0 o y 0 Jetzt ist das Minimierungsproblem ein lösbares Maximierungsproblem geworden. Das Simplex-Verfahren ist auf das folgende Prinzip aufgebaut: die optimale Werte eines linearen Problems ist erreicht in mindestens einer Spitze des zulässigen Bereichs, der ein konvexes Polygon ist. So besteht das Simplex-Verfahren daraus, von einer Spitze des Polygons zur nächsten zu laufen, bis die optimale Lösung gefunden ist. Ein alternatives Verfahren wurde 1984 von Narendra Karmarkar entwickelt: das Innere-Punkte-Verfahren. Diese Methode geht aus einem inneren Punkt des zulässigen Bereichs heraus und ermittelt einen Näherungswert der optimalen Lösung (7). Sie wurde auch viel verbessert und ist heute sehr konkurrenzfähig mit dem Simplex-Verfahren (vor allem für sehr große Probleme) (20). Deshalb ist es auch interessant, diese Methode zu untersuchen. 23

31 c. Innere-Punkte-Verfahren Wie vorher ausgelegt geht das Innere-Punkte-Verfahren (IPV) aus einem inneren Punkt des zulässigen Bereichs heraus und ermittelt einen Näherungswert der optimalen Lösung. Damit dieses Verfahren genauer wird, braucht es einen strikt-inneren Ansatzpunkt. Das IPV besteht aus der iterativen Bewegung dieses Punktes zu der optimalen Lösung des Problems. Anders gesagt, eine Folge x 0, x 1, x 2,, x i von iterativen Werten, die auf eine Lösung hindeuten, wird hergestellt. Dieses Prinzip ist grundsätzlich unterschiedlich von dem im Simplex-Verfahren. Mit dem Simplex-Verfahren wird tatsächlich eine genaue optimale Lösung gefunden, sondern mit dem IPV wird einen Näherungswert der optimalen Lösung gefunden. Eigentlich kann die optimale Lösung mit dem IPV nie erreicht werden, weil nur strikt-inneren Punkten des Polygons benutzt werden. Allerdings ist es wichtig zu sagen, dass es überhaupt kein Nachteil ist, weil der Näherungswert genau-genug für die praktischen Anwendungen ist. Wenn man nur eine großzügige Lösung (mit z.b. einer 10-2 relativen Präzision) ist das IPV besonders interessant, weil es mit weniger Iterationen (und folglich schneller) einen Näherungswert geben wird (20). Abbildung 15: Ablauf des Innere-Punkte-Verfahrens (21) Aber die Innere-Punkte-Methode ist besonders entsprechend, weil sie mit den linearen, quadratischen und nichtlinearen Funktionen gleich umgeht. Die theoretischen Ergebnisse und praktischen Erfahrungen zeigen, dass die Innere-Punkte-Methode eine relativ kleine Schrittzahl (wenig als 50) braucht, um eine optimale Lösung zu finden (12). Die Innere-Punkte-Methoden können allgemeiner konvexe Probleme lösen. (Y.E. Nesterov, A.S. Nemirovskii, in Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming, 1994). 24

32 d. Vergleich der zwei Verfahren Abbildung 16: Strecken des Simplex-Verfahrens (23) Abbildung 17: Strecken des Innere-Punkte- Verfahrens (24) Das Simplex-Verfahren läuft von einer Ecke eines konvexen Polyeders zur nächsten, bis keine Verbesserung mehr möglich ist. Innere-Punkt-Verfahren nähern sich einer optimalen Lösung durch das Innere des Polyeders. Schließlich ist das IPV der Gegensatz des Simplex-Verfahrens. Das IPV hat den Vorteil, schneller wegen der wenigen Iterationen zu sein aber diese sind ziemlich teuer. Und das Simplex-Verfahren ist billiger aber es kann eine große Zahl von Iterationen haben und folglich langsamer sein (22). 25

33 2.2. Quadratische Optimierung Beschreibung Ein quadratisches Optimierungsproblem ist ein Problem, dessen die Zielfunktion eine quadratische Funktion ist und dessen die Beschränkungen alle lineare Funktionen sind. Die Standardform von quadratischen Optimierung (QO) -Problemen ist (25) (11): ( ) ist das Kriterium des Problems (T heißt «transponiert»). (die Kosten des Problems) und ( ) sind beide Vektoren. ist eine Matrix, deren Größe ist. und ist eine symmetrische Matrix. Folgend steht ein Beispiel für eine quadratische Funktion: 2 x x x 1 x 2 Die quadratischen Probleme (wie die linearen Probleme) haben nur einen zulässigen Bereich mit glatten Oberflächen (wegen der linearen Beschränkungen) aber die optimale Lösung könnte irgendwo im Bereich oder auf der Oberfläche gefunden sein. Eine quadratische Zielfunktion kann konvex oder nicht-konvex sein (12). Die QO hat vielfältige Anwendungsbereiche wie z.b. die Planung von luftfahrttechnischen Missionen, die Optimierung eines Portfolios oder die Optimierung einer Form (Flasche, Flugzeugflügel, Brücke, usw.) (26). 26

34 Abbildung 18: Beispiele vom Verhalten von quadratischen Funktionen (27) Beispiel eines quadratischen Optimierungsproblems Das Mean-Variance Portfolio Ein Beispiel, das häufig in der QO verwendet ist, ist das Mean-Variance Portfolios. Durch dieses Beispiel beschäftigt man sich mit der Frage, wie ein Investor sein Vermögen zusammenstellen muss, damit es nicht nur maximalen Verdienst generiert, sondern auch den möglichen Verlust minimiert (28). Die moderne Portfoliotheorie kommt aus einem Artikel von Harry Markowitz 1952: Portfolio Selection. Für sie wurde er 1990 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet (29). 27

35 Lösen von quadratischen Optimierungsproblemen Weil quadratische Probleme ein Sonderfall von nichtlinearen Problemen sind, können sie auch mit Methoden wie z.b. die Generalized Reduced Gradient-Methode aufgelöst werden. Diese Methode wird später im Teil der nichtlinearen Optimierung mehr detailliert sein. Allerdings ist es interessanter, mit den Simplex- oder Innere-Punkte-Verfahren die QO- Probleme aufzulösen, weil sie schneller und sicherer sind (12) Gemischt-ganzzahlige Optimierung Beschreibung Ein gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem ist ein Problem, dessen einige Variablen ganzzahlig (z.b. -3, 0, 2, 5, usw.) sind. Der Nutzen von solchen Variablen reichert bedeutend den Spielraum von verwendbaren Optimierungsproblemen an. Die Standardform von gemischt-ganzzahligen Optimierung (GGO) -Problemen ist (30) (11) : ( ) ist das Kriterium des Problems (T heißt «transponiert»). (die Kosten des Problems) und ( ) sind beide Vektoren. ist eine Matrix, deren Größe ist. Ein wichtiges Beispiel für die GGO ist eine Beschlussvariable x, die auf die Werte 0 oder 1 beschränkt sind. Solche Variablen werden Binärvariablen genannt und repräsentieren Entscheidungen, wie z.b. etwas kaufen oder nicht kaufen. Aber die GGO hat auch andere Anwendungsbereiche (30): Produktionsplanung Mobilfunknetze Personalmanagement Und viele andere 28

36 Allerdings sind die GGO-Probleme nicht-konvex (ein Grund für das liegt darin, dass die Funktion nicht stetig ist) und sie sind folglich viel schwieriger zu lösen. Die Auflösungszeit nimmt exponentiell zu, wenn man mehr ganzzahlige Variablen hinzufügt. Eben mit stark-hochentwickelten Algorithmen gibt es Modelle mit nur ein paar Hunderten ganzzahliger Variablen, die nie zur Optimalität aufgelöst werden (31) Lösen von gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblemen Branch and Bound Verfahren Weil die GGO-Probleme nicht-konvex sind, müssen sie dank einer systematischen und möglicherweise vollständigen Untersuchung aufgelöst werden. Die gewöhnliche Methode für das Lösen von solchen Problemen ist die Branch-and-Bound (B&B)-Methode (32). Mit der werden die Aufzählung und die progressive Beseitigung der Lösungen eines Optimierungsproblems durchgeführt sein. Diese Methode fängt mit der Ermittlung der optimalen Lösung von der Relaxation (via die lineare oder nichtlineare Optimierungsmethode) des Problems ohne die ganzzahlige Beschränkungen an. Wenn die Variablen mit ganzzahligen Beschränkungen der erzielten Lösung ganzzahlige Werte haben, ist die Auflösung fertig. Aber wenn eine oder mehr ganzzahlige Variablen nicht ganzzahlige Lösungen haben, wählt die B&B-Methode eine dieser Variablen und teilt das Problem auf, um zwei oder mehr Teilprobleme zu erstellen, in denen der Wert der Variable mehr beschränkt wird. Das Ziel ist also, dieses Problem zu simplifizieren (33). Die neuen Teilprobleme werden aufgelöst und das Verfahren wird wiederholt bis eine Lösung, die alle die ganzzahligen Beschränkungen erfüllt, gefunden ist. Dank der B&B- Methode bekommt man oft diese Lösung in zumutbaren Zeiten (33). 29

37 Abbildung 19: Ablauf des Branch-and-Bound Algorithmus für ein Maximierungsproblem (34) P i : Teilproblem i. Das Ursprungsproblem ist P 0. P i : relaxiertes Teilproblem i. Ein Teilproblem nennt man relaxiert, wenn die Ganzzahligkeitsbedingungen außer Acht lassen. Diese Fälle kann man mit bekannten Werkzeugen, z.b. den Simplex-Algorithmus oder grafisch, bearbeiten. i: obere Schranke von P i. Diese ist das Optimum des relaxierten Teilproblems P i. Deshalb spricht man von oberer Schranke, weil das Optimum von P i niemals besser sein kann als das Optimum von P i. : untere Schranke von P 0. Das ist die beste bisher gefundene zulässige Lösung von P 0. Etwas schlechter wird nicht akzeptiert sein. D.h., stößt man während der Iterationen auf Lösungsbereiche, deren obere Schranke i nicht besser als ist, wird dort gar nicht mehr gebraucht, zu suchen. Ist am Ende der gesamte Lösungsbereich untersucht, ist das gesuchte Optimum. 30

38 Im Regelfall wird der B&B-Algorithmus dank eines Entscheidungsbaums dargestellt (33). Abbildung 20: Strecken des Branch-and-Bound Verfahrens (33) Beispiel des Branch-and-Bound Verfahrens für ein gemischt-ganzzahliges Problem (35) Um das B&B-Verfahren präziser zu erläutern, wird das folgende Beispiel von einem GGO-Problem genommen. In diesem Beispiel gibt es eine Binärbeschränkung. 31

39 Zuerst wird eine Variable ausgewählt, deren Lösung die Binärbeschränkung nicht erfüllt Dann wird der Algorithmus eine Aufteilung machen (Branch) und die neuen erzielten Lösungen werden ausgelotet x In diesem Beispiel ist die beste Lösung schon eine zulässige Lösung zu einem frühen Zustand des Baums. Aber es ist nur die beste Lösung bisher x Dann wird der andere Knoten (-2.5 im Beispiel) seinerseits aufgeteilt x x

40 Weil kein neuer Knoten die Beschränkung erfüllt, wählt der Algorithmus den aussichtsvolleren Knoten aus und teilt ihn auf. Der Knoten kann abgeschnitten werden, wenn er nicht zu einer besseren Lösung führt (Bound) x x x 4-2 Die optimale Lösung wird gefunden, wenn der Baum nicht weiter wachsen kann x x x

41 2.4. Constraint-Programmierung Beschreibung Der Begriff Constraint-Programmierung kommt aus künstlicher Intelligenz- Untersuchungen, bei der es viele Probleme gibt, die Zuordnungen von symbolischen Werten für Variablen (wie z.b. Standorte auf einem Schachbrett) brauchen. Außerdem sollen diese Variablen einige Beschränkungen erfüllen. Die symbolischen Werte kommen aus einer endlichen Möglichkeitenmenge und diese Möglichkeiten können mit Ganzzahlen gezählt werden (36). Constraint-Programmierung (CP) definiert übergeordnete Beschränkungen. Die gewöhnlichste Beschränkung für diesen Optimierungstyp ist die alldifferent constraint (die alle unterschiedlich-beschränkung ), die eine Menge von n Variablen braucht, um Permutation von Ganzzahlen von 1 bis n anzunehmen. Zum Beispiel, für eine Menge von 5 Variablen, werden Werte wie 1, 2, 3, 4, 5 oder 5, 4, 3, 2, 1 die alldifferent constraint erfüllen. Aber mit Werten wie z.b. 1, 2, 1, 3, 4 würde die Beschränkung nicht erfüllt. Die Zuordnung soll also eine Permutation von den Ganzzahlen 1 und 5 werden (31). Die CP hat vielfältige Anwendungsbereiche wie z.b. die Analyse von Optionshandeln, die DNS-Sequenzierung, die Zeitplanung oder sogar bestimmte Spiele (Mastermind, Sudoku, usw.) Beispiel von einem Constraint-Programmierungsproblem Ein klassisches Beispiel für ein CP-Problem ist das Problem des Handlungsreisenden (auch Rundreiseproblem oder auf Englisch Traveling Salesman Problem ): Ein Händler will n Städte besichtigen und muss unterschiedliche Distanzen dazwischen fahren. In welcher Reihenfolge sollte er die Städte besuchen, um die gesamte gefahrene Distanz zu minimieren, als er nur einmal jede Stadt besichtigt? (37) Dieses Problem kann mit einem Graph mit Ecken und Kanten dargestellt werden. Jedes Eck ist eine Stadt und jede Kante ist der Durchgang zwischen zwei Städte. Es wird mit jeder Kante eine Bedeutung (wie z.b. eine Distanz, eine Zeit oder einen Preis) verknüpft. Das Lösen des Problems des Handlungsreisenden besteht daraus, einen Zyklus, der durch alle die Ecke nur einmal und mit einer minimalen Distanz durchführt, zu finden. Für den nebenstehenden Graph wäre das Zyklus 1, 2, 3, 4 und 1 die optimale Lösung. 34

42 Abbildung 21: Beispiel von einem 4-Ecken Graph für das Problem des Handlungsreisenden (38) CP-Probleme haben alle die Vor- und Nachteile (wie Nicht-Konvexität) der Gemischtganzzahligen Optimierungsprobleme und die zusätzliche Anforderungen wie alldifferent erschweren im Allgemeinen solche Probleme Lösen von Constraint-Programmierungsproblemen Beispiel des Branch-and-Bound Verfahrens für ein Constraint-Programmierungsproblem (39) Das Problem des Handlungsreisenden wird gewöhnlich mit dem B&B-Verfahren aufgelöst (die CP-Probleme sind auch nicht konvex). Der Algorithmus wird verschiedene Wege abschreiten, um dank der verschiedenen Aufgabenstellungen des Problems den allernächsten Weg mit demselben Prozess als im oberen Beispiel zu wählen. Es wird eine Strecke mit fünf Städten als Beispiel genommen. Das folgende Bild zeigt alle die Wahlmöglichkeiten und was wäre dann der allernächste Weg. Die Kanten sind hier Kosten. Abbildung 22: Beispiel von einem 5-Ecken Graph für das Problem des Handlungsreisenden und eine optimale Fahrt 35

43 Alternative Methoden (wie z.b. genetische und evolutionäre Algorithmen) generieren wahllose Kandidatenlösungen, die die ganzzahligen Beschränkungen erfüllen. Solche anfängliche Lösungen sind meistens weit entfernt von der optimalen Lösung aber diese Methoden verwandeln danach die bestehenden Lösungen in neue Kandidatenlösungen, die die ganzzahligen Beschränkungen weitererfüllen und die normalerweise bessere Zielwerte haben. Das Verfahren wird wiederholt bis eine gut-genug Lösung gefunden wird. Aber im Allgemein können diese Methoden nicht die Optimalität einer Lösung beweisen, im Gegensatz zur B&B-Methode (31) Nichtlineare Optimierung Beschreibung Ein nichtlineares Optimierungsproblem ist ein Problem, dessen die Zielfunktion oder mindestens eine der Beschränkungen eine nichtlineare Funktion ist. Die Standardform von nichtlinearen Optimierung (NLO) -Problemen ist (7): Die NLO ist also eine Generalisierung der quadratischen Optimierung und der linearen Optimierung (7). Folgend steht ein Beispiel für eine nichtlineare Funktion: 2 x x log x 3 Die nichtlinearen Funktionen können konvex oder nicht-konvex sein. Wie vorher dargelegt sind QO-Probleme ein Sonderfall von NLO-Problemen aber normalerweise sind sie via fachkundige und effizientere Methoden aufgelöst. Nichtlineare Funktionen, im Gegensatz zu linearen Funktionen, können Variablen involvieren, die potenziert, multipliziert oder dividiert werden. Außerdem können sie auch transzendente Funktionen (exp, log, Sinus und Cosinus) verwenden (40). 36

44 Abbildung 23: Beispiel vom Verhalten von einer nichtlinearen Funktion (41) Die Hauptanwendungsbereiche der NLO sind Technik, Wirtschaftswissenschaften und Naturwissenschaften. Konkreter sind sie z.b. (41): Maximierung der Effizienz eines Produktionsprozesses Minimierung der gesamten potenziellen Energie in einem isolierten chemischen System Minimierung der Reisezeit von Lichtstrahlen Und viele andere 37

45 Lösen von NLO-Problemen NLO-Probleme und ihre Auflösungsmethoden brauchen nichtlineare Funktionen, die stetig sind und üblicherweise brauchen sie auch Funktionen, die glatt sind, d.h. die Ableitungen dieser Funktionen müssen stetig sein. Ein NLO-Problem, dessen die Zielfunktion und alle die Beschränkungen konvex sind, kann zur globalen Optimalität leistungsfähig aufgelöst werden (eben mit sehr großen Problemen). Die Innere-Punkte-Methode ist normalerweise sehr effizient mit solchen konvexen Problemen. Aber wenn die Zielfunktion oder eine der Beschränkungen nichtkonvex ist, kann das Problem vielfache zulässige Bereiche und vielfache lokal optimale Punkte in diesen Bereichen haben. Es kann sehr lang sein (exponentielle Zeit), um festzustellen, ob ein nicht-konvexes NLO- Problem nicht machbar ist, ob die Zielfunktion unbegrenzt ist oder ob eine optimale Lösung das globale Optimum ist. Obwohl Funktionen nichtglatt aber konvex (oder glatt aber nicht-konvex) sein können, kann man eine viel bessere Effizienz erwarten, wenn die Funktionen des Problems alle glatt und konvex sind. Wie vorher dargelegt, wenn das Problem nicht-konvex ist, kann man normalerweise nur eine lokal optimale Lösung finden. Manchmal ist es möglich die globale optimale Lösung, zu finden, aber es ist wesentlich schwieriger (40). Es gibt viele verschiedene Methoden, um NLO-Problemen aufzulösen, und keine einzige ist besser als die andere für alle die Probleme. Am häufigsten gebraucht ist die Innere- Punkte-Methode. Man kann auch das Generalized Reduced Gradient (GRG) benutzen (42). Aber dieses Verfahren ist nicht stichhaltiger als die IPV-Methode. Das Prinzip der IPV-Methode ist schon im Teil des Lösens von linearen Problemen erklärt worden. Jetzt kann man alle die Recherchen in den Zusammenhang des Problems von eplanb stellen. 38

46 Stromverbrauch (MW) 3. LÖSUNGSVORSCHLAG FÜR EPLANB Das Forschungsprojekt eplanb wird den Privatkunden erlauben, ihre Elektrofahrzeuge mit möglichst viel erneuerbare Energie zu laden. Folgenderweise werden den ökologischen Fußabdruck und den Ladungspreis beide optimiert. Wie vorher gesagt hängt die Optimierung der Ladung am meisten von der EE-Erzeugung und dem Strompreis ab. Im Allgemein variiert der Strompreis viel tagsüber. Im Durchschnitt gibt es zwei Leistungsspitzen während eines Tages. Die erste ist morgens zwischen 07:00 Uhr und 09:00 Uhr und die zweite ist abends zwischen 18:00 Uhr und 21:00 Uhr (43) Der Strompreis verändert sich mit dem Verbrauch: je höher ist der Verbrauch, desto teurer ist der Strom. Außerhalb von diesen Zeiten gibt es mehr verfügbare EE. Deshalb ist der Strompreis günstiger. So hat seine Entwicklungskurve das folgende Aussehen: Uhrzeiten Abbildung 24: Stromverbrauch entsprechend den Uhrzeiten (43) Damit die Ladung so günstig wie möglich ist, soll man das globale Minimum dieser Funktion suchen. Verschiedene Optimierungstypen wurden vorher mit ihren Lösensverfahren vorgestellt. Die Kurve des Strompreises ist nicht konvex und sieht wie eine nichtlineare Funktion aus. 39

47 Das Lösensverfahren, das am geeignetsten zum intelligenten Lademanagementssystem scheint, ist das Innere-Punkte-Verfahren. In der Tat ist es am häufigsten gebraucht und schnellsten im Bereich der nichtlinearen Optimierung. Leider funktioniert das IPV nicht, wenn man eine Funktion minimieren will. So sollen die Nebenbedingungen auf die gleiche Weise wie für eine Minimierung mit dem Simplex-Verfahren geändert werden. So wird die Minimierung eine Maximierung sein. Weil die Funktion nicht-konvex ist, wird es nicht immer einfach, das globale Optimum zu finden aber man kann ein lokales Optimum zwischen die Ankunft- und Abfahrtzeiten suchen. Die folgende Abbildung erklärt konkreter dieses Prinzip: Abbildung 25: Tarifprofil und Ladestrategie zur Minimierung der Kosten (44) 40

48 ZUSAMMENFASSUNG Im Rahmen dieser Bachelor-Arbeit sollte eine Optimierungsstrategie für ein Lademanagementssytem für Elektrofahrzeuge vorgeschlagen werden. Um sie zu finden, war es notwendig alle die Problemstellungen und alle die Daten, die Einfluss auf das System haben, zu kennen. Im ersten Teil wurde erklärt, wie es funktioniert und was das Grundprinzip des Projekts ist. Es wurde beobachtet, dass die wichtigsten Daten sind der Strompreis und die Wind- und PV-Energieerzeugung. Prognoseanbieter, die mit eplanb gern arbeiten würden, wurden gefunden. Dann wurden die verschiedenen Optimierungstypen untersucht, um den, der am besten für das Problem geeignet ist, zu finden. Diese sind lineare, quadratische, gemischtganzzahlige, constraint- und nichtlineare Optimierung. Selbstverständlich gibt es noch andere Optimierungstypen, die nicht in dieser Bachelor-Arbeit beschrieben wurden. Es bestehen mehrere Verfahren, um diese Typen aufzulösen. Entsprechend des Problems einige sind interessanter als andere. Nach dem Suchen und den Beschreibungen dieser Optimierungstypen und verfahren wurde eine mögliche Lösung für das Lademanagementssystem von eplanb ermittelt. Angesichts des Problems behandelt man ein nichtlineares Problem. Es wurde vorgeschlagen, das Innere-Punkte-Verfahren zu verwenden, um das Problem aufzulösen. Das Thema dieser Bachelor-Arbeit ist heute relevant und aktuell wegen der wachsenden Idee der Smart Grids (intelligente Netze). In zehn Jahren wird vielleicht jeder Privatkunde können, seinen täglichen Stromverbrauch dank seines Smartphones kontrollieren. 41

49 LITERATURVERZEICHNIS 1. Enercast. Smart Mobility. Enercast. [Online] eplanb. Das Projekt. [Online] [Zitat vom: ] Umwelt- und netzoptimiertes Lademanagement an P&R-Parkplätzen Übersicht der Kommunikationsverbindungen im Projekt eplanb EEX. [Online] [Zitat vom: ] EPEX SPOT. [Online] [Zitat vom: ] 7. Mohammed, Ouriemchi. Résolution de problèmes non linéaires par les méthodes de points intérieurs. s.l. : Université du Havre, Frontline Solvers. Optimization Problem Types - Overview. [Online] [Zitat vom: ] Optimization Problem Types - Convex Optimization. [Online] [Zitat vom: ] Ye, Yinyu. Optimization Review. s.l. : Stanford University. 11. Gilbert, Jean-Charles. Optimisation linéaire: théorie et algorithme du simplexe Frontline Solvers. Optimization Problem Types - Linear and Quadratic Programming. [Online] [Zitat vom: ] Mathebibel. Lineare Optimierung. [Online] [Zitat vom: ] Scheid, Jean-François. Chapitre 1: Programmation linéaire. s.l. : TELECOM Nancy. 15. Smets, Didier. Programmation linéaire et optimisation. 16. Maquin, Didier. Programmation linéaire. s.l. : Institut National Polytechnique de Lorraine. 17. Nash, John C. The (Dantzig) Simplex Method for Linear Programming Leydold, Josef. Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung. s.l. : Wirtschafts Universität Wien, Mathebibel. Simplex-Algorithmus. [Online] [Zitat vom: ] Glineur, François. Etudes des méthodes de point intérieur appliquées à la 42

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51 38. Li, Yifang, Kergosien, Yannick und Billaut, Jean-Charles. Le problème du voyageur de commerce. [Online] [Zitat vom: ] Le problème du voyageur de commerce Frontline Solvers. Optimization Problem Types - Smooth Nonlinear Optimization. [Online] [Zitat vom: ] Gerdts, Matthias. Einführung in die lineare und nichtlineare Optimierung. s.l. : Institut für Mathematik und Rechneranwendung, Ladson, Leon S. Nonlinear Optimization Using the Generalized Reduced Gradient Method. s.l. : Office of Naval Research, Manoliu, Adrian-Victor. Les Smart-Grids et l'exemple d'à côté. [Online] [Zitat vom: ] Büdenbender, Kathrin, et al. Ladestrategien für Elektrofahrzeuge. s.l. : Fraunhofer Institut für Windenergie und Energiesystemtechnik, Burger, Bruno. Stromerzeugung aus Solar- und Windenergie im Jahr s.l. : Fraunhofer Institut,

52 ANHANG A: GRAFIKEN U BER EE-ERZEUGUNG (45) Abbildung 26: Entwicklung der jährlichen Produktion (Solar und Wind) zwischen 2011 und 2012 Abbildung 27: Monatliche Produktion (Solar und Wind) im Jahr 2012 Abbildung 28: Tatsächliche Produktion (Solar und Wind) am