RamseySpektroskopieexperimente. mit langsamen Atomen. Diplomarbeit von Kai Dieckmann

Transkript

1 RamseySpektroskopieexperimente mit langsamen Atomen Diplomarbeit von Kai Dieckmann Arbeitsgruppe Prof. Dr. G. Rempe Fakulta t fu r Physik Universita t Konstanz Februar 1996

2 Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit beschreibt Experimente mit lasergekühlten Atomen. Dafür stand eine magnetooptische Dampfzellenfalle für Rubidiumatome zur Verfügung, in der ca Atome eingefangen und auf eine Temperatur von ca. 10 µk gekühlt werden können. Eine gepulste Quelle für langsame Atome (mit einer Geschwindigkeit von wenigen m/s) läßt sich realisieren, indem die Atome aus der Falle heraus fallengelassen werden. Ziel der Arbeit war es, mit den langsamen Atomen ein atomoptisches Experiment zur verzögerten Lokalisation von Atomen in einer optischen Stehwelle zu demonstrieren. Um dieses Experiment vorzubereiten, wurde eine Mikrowellenspektroskopie nach Ramseys Methode der getrennt oszillierenden Felder durchgeführt. Dafür wurde ein für ein Ultrahochvakuum geeigneter Mikrowellenresonator mit einer Resonanzfrequenz von 3 GHz aufgebaut, durch den die Atome fallen. Zur Realisierung der optischen Stehwelle befindet sich im Inneren des Resonators ein dielektrischer Spiegel, an dem die Atome im Abstand von etwa 1 mm vorbeifliegen. Die Resonanzfrequenz des Resonators kann auf die Eigenfrequenz eines atomaren Hyperfeinübergangs abgestimmt werden. Der an die Impedanz des Mikrowellengenerators angepate Mikrowellenresonator besitzt einen Gütefaktor von Q L = 530. In ersten Messungen wurde zunächst während des Flugs der Atome durch den Resonator ein kurzer Mikrowellenpuls variabler Dauer erzeugt. Dabei wurden auf dem Hyperfeinstrukturübergang des Rubidiumgrundzustandes Rabioszillationen mit einer Frequenz von 3, 1 khz beobachtet. Danach wurde mit zwei zeitlich getrennten Mikrowellenpulsen ein Ramsey-Spektroskopieexperiment durchgeführt, bei dem nach 600 s Meßzeit die Frequenz des Überganges mit einer Genauigkeit von δν =1, 3 ν bestimmt werden konnte. Schließlich wurde noch ein Experiment durchgeführt, bei dem die Bewegung der Atome mit einem optischen Stehwellenfeld manipuliert wurde, das zwischen den beiden Mikrowellenpulsen eingestrahlt wird. Dabei wurde die Beugung der atomaren de Broglie-Welle an einem messungsinduzierten Gitter untersucht. Dieses Gitter entsteht, wenn beim Nachweis des Beugungsmusters nur Atome in einem der beiden Grundzustandsniveaus beobachtet werden.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 Theoretische Grundlagen 4.1Das Zwei-Niveau-Atom in einem äußeren elektromagnetischen Wechselfeld Rabioszillationen Ramsey-Resonanzspektroskopie Magnetischer Dipolübergang im Rubidium Grundzustand Das elektromagnetische Feld in einem Hohlraumresonator Experimentelle Realisation 1 3.1Apparatur für Experimente mit frei fallenden Rubidiumatomen 1 3. Aufbau einer Wechselwirkungszone für die Ramsey-Spektroskopie DerMikrowellenresonator MechanischerAufbau Impedanzanpassung und Gütefaktoren bei einem Mikrowellenresonator Mikrowellenkomponenten für die Durchführung einer Ramsey-Spektroskopie i

4 3.3 OptischesPumpen Messungen Rabioszillationen Ramsey-Spektroskopie Beobachtung messungsinduzierter Beugungsphänomene Verschränkung zwischen Ort und internem Zustand eines Atoms ExperimentelleAnforderungen ResultateundZusammenfassung... 5 A Besetzungswahrscheinlichkeiten beim optischen Pumpen 56 ii

5 Kapitel 1 Einleitung Seit der Verfügbarkeit von Lasern als Lichtquellen hoher spektraler Reinheit und Leistungsdichte sind Lichtkräfte auf Atome basierend auf dem Rückstossimpuls bei der Absorbtion und Emission von Photonen zu einem vielseitig einsetzbaren Werkzeug zur Manipulation von Atomen geworden. So ist es zum Beispiel möglich, mit Hilfe von gegenüber der atomaren Übergangsfrequenz verstimmten Lichtfeldern, unter Ausnutzung des Dopplereffektes, die Bewegung einzelner Atome in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit zu verlangsamen. Dabei kann eine Verringerung der Breite der Geschwindigkeitsverteilung eines Ensembles von Atomen und somit eine Erniedrigung der Temperatur des Ensembles erzielt werden. Diese sogenannte Laserkühlung von Atomen wurde experimentell an einem Atomstrahl mit neutralen Atomen zuerst von [And81] nachgewiesen. Bei der Realisation der ersten magnetooptischen Falle [Raa87] für Atome gelang es durch geschickte Ausnutzung des Zeemaneffektes in einem inhomogenen Magnetfeld in Verbindung mit geeignet polarisiertem Laserlicht Atome innerhalb eines bestimmten Raumbereiches festzuhalten. In auf die magnetooptische Falle aufbauenden Experimenten werden heute durch immer weiter verfeinerte Methoden des Laserkühlens Temperaturen erreicht, bei denen der mittlere Impuls der Atome in die Nähe des aus einem Photonenrückstoß resultierenden Impulses gelangt. Die magnetooptische Falle in Verbindung mit den Methoden der Laserkühlung stellt eine Quelle für langsame Atome dar, die in vielen Experimenten die Verwendung eines Atomstrahls ersetzen kann. Zum Beispiel können Atome aus einer magnetooptischen Falle gleich einer Fontäne senkrecht nach oben beschleunigt werden. Die Atome stehen dabei während des Aufstiegs und des Herabfallens innerhalb einer relativ langen Zeit für Experimente zur Verfügung. Dies wird bei modernen, hochpräzisen Frequenzstandards 1

6 [Kas89],[Cla91] ausgenutzt, bei denen mit Hilfe der Ramseymethode Mikrowellenspektroskopie an atomaren Hyperfeinstrukturübergängen durchgeführt wird. Bei der von Ramsey eingeführten Methode der getrennt oszillierenden Felder [Ram50] treten die Atome in zwei zeitlich voneinander getrennten Bereichen in Wechselwirkung mit zwei elektromagnetischen Hochfrequenzfeldern, zwischen denen eine konstante Phasenbeziehung besteht. Dabei ist die Genauigkeit der Frequenzbestimmung über das Fourierlimit durch den zeitlichen Abstand der beiden Wechselwirkungen gegeben. An Atomen, die aus einer magnetooptischen Falle heraus fallengelassen werden, lassen sich im Rahmen atomoptischer Experimente Phänomene studieren, die die Wellennatur von Materie widerspiegeln. So lassen sich z. B. Beugungserscheinungen einer Materiewelle an einer stehenden Lichtwelle beobachten [Dü95]. In der Arbeitsgruppe von Prof. Rempe wurde ein Experiment durchgeführt, bei dem eine verzögerte Positonsmessung eines Atoms in einer optischen Stehwelle mit einer Auflösung geringer als ein zwanzigstel der Wellenlänge stattfindet. Dabei passiert eine Zwei-Niveau-Atom ein nah resonantes, stehendes Lichtfeld, wobei in den Bäuchen und Knoten die dynamische Starkverschiebung der zwei Energieniveaus in Abhängigkeit von der Position auftritt. Dies führt zu einer positionsabhängigen Phasenmodulation und so zu einer Beugung der atomaren de Broglie-Welle. Mit Hilfe der Ramsey-Spektroskopiemethode, mit der die positionsabhängige Phasenmodulation zwischen den beiden Pulsen ausgelesen werden kann, läßt sich Information über die Position des Atoms innerhalb des stehenden Lichtfeldes gewinnen. Zunächst wird das Zwei-Niveau-Atom mit einem π -Puls in eine kohärente Überlagerung der zwei Zustände gebracht. Die Wechselwirkung mit dem stehenden Lichtfeld führt zu einer Phasenverschiebung der Wahrscheinlichkeitsamplituden der beiden Zustände, über die nach einem zweiten π -Puls und einem darauffolgenden zustandsselektiven Nachweis die Position des Atoms gemessen werden kann. Findet keine Messung der Position des Atoms statt, indem auf die Messung des internen Zustandes verzichtet wird, so bleibt das Beugungsmuster unverändert. Wird hingegen das Atom nur in einem der beiden Zustände nachgewiesen, so wird das Atom periodisch innerhalb des stehenden Lichtfeldes lokalisiert, was ein verändertes Beugungsmuster zur Folge hat. Dabei ist zu beachten, daß die Entscheidung, ob die Position des Atoms gemessen werden soll, auch nach der Wechselwirkung getroffen werden kann. Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Aufbau und der Durchführung der Ramsey-Spektroskopie. Zuerst wird in Kapitel die Theorie zu dieser Spektroskopiemethode und zu den in einem quaderförmigen Mikrowellenresonator möglichen Moden des elektromagnetischen Feldes dargestellt. Danach wird

7 in Kapitel 3 auf die experimentelle Realisierung der Hochfrequenzfelder mit Hilfe eines Mikrowellenresonators eingegangen, wobei die Anforderungen für das Experiment mit der optischen Stehwelle berücksichtigt werden. Im darauffolgenden Kapitel 4 werden die Ergebnisse der Messungen zur Ramsey- Spektroskopie dargestellt und diskutiert. Im abschließenden Kapitel 5 wird das Experiment zur Positionsmessung einzelner Atome in einer optischen Stehwelle in den Grundzügen beschrieben und es werden Ergebnisse präsentiert. 3

8 Kapitel Theoretische Grundlagen.1 Das Zwei-Niveau-Atom in einem äußeren elektromagnetischen Wechselfeld Im folgenden soll die Wechselwirkung eines Zwei-Niveau-Atoms mit einem äußeren, klassischen, elektromagnetischen Wechselfeld beschrieben werden. Dabei wird das zeitliche Verhalten der Besetzungswahrscheinlichkeiten für die beiden atomaren Zustände betrachtet. Die zeitliche Entwicklung des Systems wird mittels des Blochvektormodells veranschaulicht..1.1 Rabioszillationen Im folgenden soll ein Zwei-Niveau-System bestehend aus angeregtem Zustand a und Grundzustand g betrachtet werden, deren Energieeigenwerte E a und E g sich um E a E g = hω 0 unterscheiden. ω 0 wird als Übergangs- Winkelfrequenz bezeichnet. Der Hamiltonoperator dieses (ungestörten) Systems lautet damit in der Basis { a, g }: H 0 = h ω 0 ( ) (.1) Die Kopplung an das elektromagnetische Wechselfeld wird durch einen zeitabhängigen Operator repräsentiert, der durch eine harmonische Oszillation mit der Kreisfrequenz ω und der Amplitude V 0 beschrieben wird: H S = V 0 cos ωt (.) 4

9 Die Verstimmung = ω 0 ω soll dabei klein gegenüber der Übergangsfrequenz sein ( ω 0 ). Hier soll lediglich der Fall betrachtet werden, daß die Diagonalelemente a H S a bzw. g H S g des Störoperators H S verschwinden. Durch die Festlegung einer geeigneten Phase von g und a können die Außerdiagonalelemente g H S a bzw. a H S g des Störoperators H S reell gewählt werden. Als Maß für die Amplitude der Störung wird die sogenannte Rabifrequenz ω R definiert ω R = a V 0 g, (.3) h deren Bedeutung im folgenden deutlich wird. Für den Störoperator ergibt sich nun die Form: H S = cos(ωt) ( 0 hωr hω R 0 Der Gesamthamiltonoperator H des gestörten Systems ) (.4) H = H 0 + H S (.5) ist aufgrund der Zeitabhängigkeit des Störpotentials explizit zeitabhängig. Diese Zeitabhängigkeit läßt sich durch eine unitäre Transformation mit der Transformationsmatrix ( U(t) =e ī ω H h ω 0 t e i ω 0 = t ) 0 0 e i ω t (.6) partiell abseparieren 1. Daraus ergibt sich der Hamiltonoperator: H WW = U (H ω ) H 0 U 1 (.7) ω0 = h ( ) + h ω R ( 0 1 +e i ωt 1+e i ωt 0 ) (.8) Die Terme in H WW mit e ±iωt bedeuten eine verbleibende Zeitabhängigkeit, mit hoher Frequenz. Bei der Betrachtung des Systems auf Zeitskalen, die langsam im Vergleich zu ω sind, können diese Terme vernachlässigt werden. Diese Näherung wird als Rotating Wave Approximation (RWA) bezeichnet [All75]. (Die vollständige Theorie führt zu einer geringen Verschiebung der Übergangsfrequenz ω 0, der sogenannten Bloch-Siegert-Shift.) Man erhält schließlich den zeitunabhängigen Hamiltonoperator: H WW = h ( ) ωr (.9) ω R 1 Da die Einführung der Transformation U(t) dem Übergang in ein Wechselwirkungsbild entspricht, wird zur Indizierung von Zuständen und Operatoren, die aus der Transformation hervorgegangen sind, der Index WW benutzt. 5

10 Für die durch die unitäre Transformation erzeugte Wellenfunktion gilt somit die zeitabhängige Schrödingergleichung: Ψ WW (t) = U(t) Ψ(t) (.10) i h d dt Ψ WW(t) = H WW Ψ WW (t) (.11) Diese kann nun, um zu einer Anschauung für die Zeitentwicklung des Zwei- Niveau-Atoms zu gelangen, in eine Bewegungsgleichung für einen Vektor im R 3 überführt werden. Zunächst läßt sich Ψ WW (t) mit Hilfe der unitären Transformation in der Basis { a, g } darstellen: Ψ WW (t) = g(t)u(t) g + a(t)u(t) a (.1) Mit den komplexen Koeffizienten g(t) und a(t) wird der sogenannte Blochvektor m definiert, dessen Komponenten reel sind: m(t) = Re (g(t)a(t)) Im(g(t)a(t)) g(t) a(t) = g(t)a(t) + g(t) a(t) i (g(t)a(t) g(t) a(t)) g(t)g(t) a(t)a(t) (.13) Da Ψ WW (t) normiert ist, ergibt sich auch für den Blochvektor eine konstante Länge: m(t) = (g(t)g(t) + a(t)a(t) ) =1(.14) Die Terme g(t)g(t) und a(t)a(t) geben die Wahrscheinlichkeit an, das System im Grund- bzw. angeregten Zustand zu finden. Befand sich das System zur Zeit t = 0 im Grundzustand, also g(0)g(0) = 1, so gilt für die Wahrscheinlichkeit P (t), daß zur Zeit t ein Übergang in den angeregten Zustand stattgefunden hat, mit der Komponente m 3 des Blochvektors: P (t) =a(t)a(t) = 1 (1 m 3(t)) (.15) Die Interpretation der Komponenten m 1 und m des Blochvektors hängt von der Art der Wechselwirkung ab. Zum Beispiel sind m 1 und m bei einem magnetischen Dipolübergang direkt proportional zu dem Anteil des induzierten magnetischen Moments, das sich mit dem magnetischen Wechselfeld in Phase befindet, bzw. um π phasenverschoben ist [All75]. Durch Multiplikation der Schrödingergleichung (.11) von links mit g U (t) ergibt sich mit (.9) und (.1) aufgrund der Unitarität von U(t) und der Orthonormalität der Basis { a, g }: d dt g(t) = 1 i ( g(t)+ω R a(t)) (.16) 6

11 Analog erhält man durch Multiplikation mit a U (t): d dt a(t) = 1 i (ω R g(t) a(t)) (.17) Mit (.16),(.17) und den zugehörigen komplex-konjugierten Gleichungen ergeben sich die die zeitliche Entwicklung des Blochvektors beschreibenden Blochgleichungen [All75] d dt m(t) = Ω m(t) (.18) in denen der Rabivektor Ω wie folgt definiert ist: ω R Ω = 0. (.19) Durch (.18) wird eine Präzessionsbewegung des Blochvektors um die Richtung des Rabivektors Ω mit der effektiven Rabifrequenz Ω = ωr + (.0) beschrieben. FürverschwindendeVerstimmungist diepräzessionsfrequenz gerade die Rabifrequenz ω R. In Abb..1ist die Präzessionsbewegung des Blochvektors für den Fall gezeigt, daß das System sich vor Beginn der Wechselwirkung im Grundzustand befindet, d.h. m(t =0)=(0, 0, 1). Für den Fall a) = 0 ist das System nach einer Wechselwirkungszeit τ = π ω R in den angeregten Zustand übergegangen ( m(τ) =(0, 0, 1)). Ein Wechselwirkungspuls dieser Dauer heißt π-puls, da sich der Blochvektor nach der Zeit τ um π aus seiner Ausgangslage gedreht hat. Im Fall b) > 0 wird eine Übergangswahrscheinlickeit P (τ) = 1nicht erreicht. Die Blochgleichungen stellen ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen 1.Ordnung dar, welches durch die Methode der Laplacetransformation [Tra74] gelöst werden kann. Die Lösung kann in Form einer Matrix, die die zeitliche Entwicklung des Blochvektors beschreibt, angegeben werden [Van89a]: m(τ) = R (ω R,,τ) m(0), (.1) wobei: R (ω R,,τ)= cos(ωτ)+ ω R Ω (1 cos(ωτ)) sin(ωτ) ω R (1 cos(ωτ)) Ω Ω sin(ωτ) cos(ωτ) ω RΩ sin(ωτ) Ω ω R Ω (1 cos(ωτ)) ω R Ω sin(ωτ) 1 ω R Ω (1 cos(ωτ)) (.). 7

12 Abbildung.1: Zeitentwicklung des Zwei-Niveau-Systems für verschiedene Verstimmungen : Oben:Präzession des Blochvektors m um den Rabivektor Ω für a) verschwindende Verstimmung und b) nicht verschwindende Verstimmungen =ω R (ω R Rabifrequenz). Unten: Oszillationen der Übergangswahrscheinlichkeit P (τ) für =0und =ω R. Für die Übergangswahrscheinlichkeit P (t = τ) ergibt sich mit (.15) und (.): ( ) P (τ) = ω R 1 Ω sin Ωτ (.3) Abb..1c) zeigt für verschiedene Verstimmungen das oszillatorische Verhalten der Übergangswahrscheinlichkeit, die sogenannten Rabioszillationen, das durch (.3) beschrieben wird. Die Periode der Rabioszillationen ist durch die effektive Rabifrequenz Ω (.0) bestimmt, die mit größer werdender Verstimmung zu einer schnelleren Rabioszillation führt. 8

13 .1. Ramsey-Resonanzspektroskopie Aufbauend auf die Ergebnisse des vorherigen Abschnitts wird nun die Methode der Ramsey-Resonanzspektroskopie beschrieben. Dort tritt ein Zwei- Niveau-Atom in zwei zeitlich voneinander getrennten Zonen in Wechselwirkung mit einem äußeren Wechselfeld. Die beiden Wechselwirkungspulse besitzen dieselbe Dauer τ und sind durch die Separationszeit T voneinander getrennt. Die Wechselfelder in beiden Zonen stehen dabei in einer konstanten Phasenbeziehung zueinander, wobei hier eine verschwindende relative Phasenverschiebung angenommen wird. Im Blochvektormodell wird die durch die beiden Wechselwirkungspulse hervorgerufene Bewegung des Blochvektors durch die Matrix (.) bestimmt. Die Bewegung des Blochvektors bei Abwesenheit jeder Wechselwirkung ist durch den Spezialfall der Matrix gegeben, bei dem mit ω R = 0 die durch die Rabifrequenz (.3) repräsentierte Ampli- Abbildung.: Anregung = 0 bei der Ramsey-Spektroskopie im Blochvektormodell: Durch die beiden π -Pulse a),c) erfährt der Blochvektor dieselbe Drehung, wie bei einem π-puls, da der Blochvektor im resonanten Fall während der Seperationszeit T seine Position beibehält, b). Im Fall kleiner Verstimmungen ω R dreht sich der Blochvektor in der Zeit zwischen den Pulsen e) um den Winkel Φ = T.Für Φ = π wird der Blochvektor in f) in seine Ausgangslage zurückgedreht. 9

14 Abbildung.3: Ramsey-Spektroskopie: Übergangswahrscheinlichkeit P nach (.6) in Abhängigkeit der Verstimmung für τ = und T =4τ. tude des Störpotentials verschwindet. R(ω R =0,,T) = π ω R cos( T ) sin( T ) 0 sin( T ) cos( T ) (.4) Es ergibt sich eine Rotation des Blochvektors um die dritte Koordinatenachse, deren Winkelfrequenz durch die Verstimmung gegeben ist. Dieses rührt daher, daß durch die Anwendung der unitären Transformation in (.1) der Blochvektor in einem mit der Kreisfrequenz ω rotierenden Bezugssystem definiert ist. In Abb.. a)-c) ist das zeitliche Verhalten des Blochvektors für den Spezialfall verschwindender Verstimmung gezeigt. Zur Zeit t = 0 befindet sich das Zwei-Niveau-Atom im Grundzustand. Nach dem ersten resonanten Wechselwirkungspuls der Dauer τ = π ω R, einem sogenannten π -Puls, hat sich der Blochvektor um π in die 1--Ebene gedreht. Während der Separationszeit T behält der Blochvektor im resonanten Fall seine Lage bei. Nach dem zweiten π-puls hat sich der Blochvektor π weitergedreht, was bedeutet, daß das Zwei-Niveau-Atom in den angeregten Zustand übergegangen ist. In Abb.. d)-f) ist der Fall kleiner Verstimmungen gezeigt. Aufgrund der Verstimmung dreht sich der Blochvektor in der Zeit zwischen den Pulsen um einen Winkel Φ = T. Im Falle Φ = π wird der Blochvektor durch den zweiten Puls in seine ursprüngliche Lage zurückgedreht, was bedeutet, daß kein Übergang stattgefunden hat. Allgemein wird der Blochvektor nach den beiden Wechselwirkungspulsen durch m final = R(ω R,,τ)R(0,,T)R(ω R,,τ) m start (.5) 10

15 beschrieben, wobei wieder τ die Dauer eines Wechselwirkungspulses und T die Zeit zwischen den beiden Pulsen ist. Befindet sich das Zwei-Niveau-Atom zur Zeit t = 0 im Grundzustand ( m(t =0)=(0, 0, 1)), so erhält man analog zu (.15) mit (.) die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang in den angeregten Zustand: P = 4ωr Ω sin ( 1Ωτ) ( cos( 1 Ωτ)cos(1 T ) (.6) Ω sin( 1 Ωτ)sin(1 T )) In Abb..3 ist die Übergangswahrscheinlichkeit (.6) in Abhängigkeit von der Verstimmung für den Fall τ = π ω R, d.h. vollständiger Anregung bei = 0, gegeben. Die Separationszeit beträgt dabei T =4τ. Unter einer langsam variierenden Einhüllenden erkennt man eine schnelle Oszillation, bei der benachbarte Minima in einen Abstand von 1 auftreten. Mit immer größeren Separationszeiten T kann so die Übergangsfrequenz ω 0 immer genauer T bestimmt werden.. Magnetischer Dipolübergang im Rubidium Grundzustand Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde eine Ramsey-Spektroskopie an der Hyperfeinstruktur des Grundzustandes 5 S 1 von 85 Rb durchgeführt. Ein Schema der Energieniveaus ist in Abb..4 für den Fall gezeigt, bei dem die Entartung der Energieniveaus der verschiedenen magnetischen Unterzustände aufgrund des Zeemaneffektes in einem statischen magnetischen Feld aufgehoben ist. Zur Spektroskopie wurde der Hyperfeinübergang des Grundzustandes 5 S 1,F =,m F =0 F =3,m F = 0 benutzt, wobei die Übergangsfre- quenz in erster Ordnung unabhängig von einem statischen magnetischen Feld ist. Da die Wellenlänge der verwendeten Strahlung groß gegenüber den typischen atomaren Skalen (Bohrsche Radien der beteiligten Zustände) ist, kann die Wechselwirkung des Strahlungsfeldes mit dem Atom in Dipolnäherung durch den Hamiltonoperator H S = d E( r 0,t) µ B( r 0,t) (.7) beschrieben werden [Sob9]. Der erste Term in (.7) führt auf sogenannte elektrischen Dipolübergänge, bei denen eine Kopplung zwischen dem äußeren elektrischen Feld E( r 0,t)amOrt r 0 des Atoms und dem atomaren elektrischen Dipolmoment d vorliegt. Der zweite Term beschreibt die Wechselwirkung des äußeren magnetischen Feldes B( r 0,t) mit dem atomaren magnetischen Dipolmoment µ. Da die beiden Zustände gleichen Bahndrehimpuls und 11

16 Abbildung.4: Hyperfeinstruktur des Grundzustandes 5 S 1 von 85 Rb. Der Übergang F =3,m F =0 F =,m F = 0 ist in erster Ordnung unabhängig von einem statischen magnetischen Feld. damit dieselbe Parität besitzen, verschwindet das Übergangsmatrixelement 5 S 1 F =3,m F =0 d E 5 S 1 F =,m F =0. DadasÜbergangsmatrixelement 5 S 1 F =3,m F =0 µ B 5 S 1 F =,m F =0 von Null verschieden ist, wie im folgenden gezeigt wird, spricht man von einem magnetischen Dipolübergang. µ setzt sich aus dem magnetischen Moment des Atomkerns µ K = µ B g Ī I mit dem Operator des Kernspins I und dem magnetischen Moment der Hülle µ J = µ B g J h J h mit dem Gesamtdrehimpulsoperator der Hülle J zusammen,wobeiµ B das Bohrsche Magneton ist. Die g-faktoren sind neben anderen atomaren Eigenschaften von 85 Rb in Tab..1angegeben. Tabelle.1: Eigenschaften von 85 Rb Eigenschaft Wert Referenz Hyperfeinstrukturaufspaltung des Grundzustandes: ν = 3, GHz [Tet76] g-faktor der Hülle: g J =, 003 [Bal75] g-faktor des Kerns: g I =0, [Bal75] Kernspin I = 5 [Bal75] Legt man ein magnetisches Wechselfeld B(t) = (0, 0,B 0 cos(ωt)), (.8) Die beiden Zustände, zwischen denen der Übergang stattfindet, unterscheiden sich nur durch die Stellung der beiden magnetischen Dipolmomente µ K und µ J zueinander, die entweder parallel oder antiparallel orientiert sind. 1

17 parallel zur Quantisierungsachse (z-achse) an, so ergibt sich: H S = g Jµ B h J zb 0 cos(ωt) g Iµ B h I zb 0 cos(ωt) (.9) Die beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes sind in einer Basis mit den Quantenzahlen {F, m F } gegeben. Da für den Rubidium Grundzustand der Bahndrehimpuls der Hülle veschwindet, lassen sich die Elemente der Matrix des Störhamiltonians (.9) in einer Basis mit den Quantenzahlen {J, m J,I,m I } berechnen. Für den Kernspin I = 5 von 85 Rb ergebensichdie beiden Hyperfeinzustände durch [Van89b]: F =3,m F =0 = F =,m F =0 = 1 m I =+ 1,m J = m I = 1,m J =+ 1 1 m I =+ 1,m J = 1 1 m I = 1,m J =+ 1 (.30) (.31) Während die Diagonalelemente der Matrix von H S verschwinden, ergibt sich für das Übergangsmatrixelement: F =3,m F =0 H S F =,m F =0 = 1 (g J g I ) µ B B 0 cos(ωt) (.3) Unter Berücksichtigung der g-faktoren von 85 Rb erhält man näherungsweise für den magnetischen Dipolübergang den Hamiltonoperator der Form (.4): H S µ B B 0 cos(ωt) ( Die Rabifrequenz ω R ist in diesem Fall gegeben durch: ) (.33) ω R = µ BB 0 h (.34).3 Das elektromagnetische Feld in einem Hohlraumresonator Für das im Rahmen dieser Diplomarbeit durchgeführte Ramsey-Spektroskopieexperiment wurde ein Mikrowellenresonator aufgebaut, um ein elektromagnetisches Hochfrequenzfeld definierter Polarisation zu erzeugen. Ferner 13

18 bietet ein Resonator durch die Feldüberhöhung, die das elektrische und magnetische Feld erfahren, den Vorteil auch mit geringen Leistungen eines Funktionsgenerators bei der Anregung des in Abschnitt. beschriebenen magnetischen Dipolüberganges eine ausreichend hohe Rabifrequenz zu erzielen (vergleiche Kapitel 3..3). Gegenstand dieses Abschnitts ist es, die elektromagnetische Feldverteilung innerhalb eines quaderförmigen Hohlraumresonators als Lösung der Maxwellschen Gleichungen abzuleiten. Der Hohlraumresonator bestehe aus einem Stück eines rechteckigen Hohlleiters mit Wänden, die den elektrischen Strom ideal leiten. Die Kopfenden des Hohlleiters seien mit ebensolchen Wänden abgeschlossen. Zunächst soll die Feldverteilung einer Welle betrachtet werden, die in einem Hohlleiter wie in Abb..5 entlang der z-richtung propagiert. Das magnetische Abbildung.5: Rechteckhohlleiter mit dem Querschnitt a b und der Länge c in einem kartesischen Koordinatensystem. und das elektrische Feld sind abhängig von den Ortskoordinaten r =(x, y, z) und der Zeit t. Für das zeitliche Verhalten der Feldstärkevektoren wird ein komplexer Lösungsansatz gewählt, der eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω beschreibt: E(x, y, z, t) = Re ( E(x, y, z)e iωt ) (.35) H(x, y, z, t) = Re ( H(x, y, z)e iωt ) (.36) Die komplexen Feldstärkevektoren E(x, y, z) und H(x, y, z) beschreiben die Amplitude und Phase der beiden Felder, wobei im folgenden bei der Notation die Abhängigkeit von den kartesischen Koordinaten weggelassen wird. Ein Medium im Inneren des Hohlleiters kann durch die skalare relative Permeabilität µ r und die relative Dielektrizitätskonstante ɛ r berücksichtigt werden, d.h. es treten keine freien Ladungen und Ströme im Inneren des Hohlleiters auf. In diesem Fall erhält man mit den Maxwellschen Gleichungen unter Beachtung 14

19 von (.35) und (.36) E =0 H = 0 (.37) E = iµωh H = iɛωe (.38) mit µ = µ 0 µ r und ɛ = ɛ 0 ɛ r. Aus (.37) und (.38) ergeben sich sechs Wellengleichungen für die Komponenten von E und H: E + ω µɛe = 0 (.39) H + ω µɛh = 0 (.40) Da die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der Grenzfläche zu den Wänden stetig ist und das elektrische Feld im Inneren des idealen Leiters verschwindet, ergibt sich als Randbedingung das Verschwinden der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes. Zunächst wird die Wellengleichung für die z-komponente des elektrischen Feldes betrachtet. Es wird angenommen, daß E z durch ein Produkt komplexer Funktionen E z (x, y, z) =f x (x) f y (y) f z (z) der kartesischen Koordinaten darstellbar ist. Dieser Separationsansatz führt mit (.39) auf drei Gleichungen mit den Separationskonstanten k x,k y und k z. E z r = k r j E z (r j = x, y, z) (.41) j Zwischen den Separationskonstanten gilt die Beziehung k x + k y + k z = k, (.4) wobei k = ω µɛ dem Betrag des Wellenvektors einer ebenen, frei propagierenden Welle der Kreisfrequenz ω und der Wellenlänge λ = π entspricht. Mit k den Randbedingungen E z (0,y,z)=E z (a, y, z) =E z (x, 0,z)=E z (x, b, z) =0 führen die Gleichungen (.41) und der Ansatz (.35) auf die Form einer in z-richtung propagierenden Welle E z mit der komplexen Amplitude E 0 : E z (x, y, z, t) = Re ( E 0 sin(k x x)sin(k y y)e i(ωt kzz)) (.43) Dabei können k x und k y nur diskrete Werte annehmen: k x = mπ k y = nπ m, n N (.44) a b Später wird gezeigt, daß der Fall k x = k y = 0 ausgeschlossen werden muß. Bei gegebener Kreisfrequenz ω ergibt sich die Wellenlänge im Hohlleiter λ z = π k z aus (.4) und (.44) zu: λ z = π k ( ) (.45) kx + ky 15

20 Für den Fall k (k x + k y) < 0istk z imaginär, was in (.43) nicht zu einer Propagation, sondern zu einem exponentiellen Abklingen des elektrischen Feldes führt. Bei gegebenen k x und k y existiert also eine Grenzfrequenz, unterhalb der keine Wellenausbreitung stattfindet. (Der Hohleiter stellt daher einen Hochpaß für elektromagnetische Wellen dar.) Von E z kann nun auf die anderen Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes geschlossen werden. Durch Ersetzen des Operators ik z z lassen sich aus (.38) folgende Beziehungen herleiten [Ful79] 3 : ( ) i E z E x = k k kz z x + ωµ H z (.46) y ( ) i E z E y = k k kz z y ωµ H z (.47) x ( ) i H z H x = k k kz z x ωɛ E z (.48) y ( ) i H z H y = k k kz z y + ωɛ E z (.49) x Aus E z und H z lassen sich also die übrigen Feldkomponenten ableiten. Im folgenden werden nur sogenannte Transversal Elektrische Wellen (TE) [Ful79] betrachtet, bei denen der elektrische Feldstärkevektor E stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (z-richtung) steht, d.h. E z =0ist. H z erhält man aus der Separation der Wellengleichung (.40) für die z- Komponente des magnetischen Feldstärkevektors, ganz analog zum Separationsansatz für E z. Eine Randbedingung für das magnetische Feld ist mit E z 0 und den Randbedingungen E y (0,y,z)=E y (a, y, z) = 0 in (.47) ablesbar: H z x (0,y,z)= H z (a, y, z) = 0 (.50) x Auf die gleiche Weise ergibt sich mit E x (x, 0,z)=E x (x, b, z) = 0 und (.46) die Randbedingung: H z y (x, 0,z)= H z (x, b, z) = 0 (.51) y Daraus ergibt sich mit der komplexen Amplitude H 0 des magnetischen Feldes H z (x, y, z, t) = Re ( H 0 cos(k x x)cos(k y y)e i(ωt kzz)) (.5) 3 Mit (.43) folgt aus (.38) eine Abhängigkeit e i(ωt kzz) für alle Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes, d.h. die Anwendung von z auf beliebige Feldkomponenten läßt sich durch Multiplikation mit ik z ersetzen. 16

21 mit den k x,k y aus (.44). Für den Fall k x = k y = 0 kann keine transversal elektrische Welle existieren, da in diesem Fall die Feldkomponenten (.46)- (.49) verschwinden. Die Feldverteilung in einem Hohlraumresonator, der durch Abschluß des Hohlleiters durch zwei ideal leitende Wände entsteht, entspricht einer Überlagerung aller in positiver z-richtung e i(ωt kzz) und negativer z-richtung e i(ωt+kzz) propagierenden Wellen, die an den Stirnwänden des Hohlraumresonators reflektiert werden. Für gewisse Frequenzen, d.h. für gewisse Wellenlängen im Hohlleiter, kommt es dabei zu einer konstruktiven Interferenz der in positiver bzw. negativer z-richtung propagierenden TE-Wellen, so daß sich eine stehende Welle ergibt, die sogenannte TE-Mode des Hohlraumresonators. Die Feldverteilung der stehenden Welle kann nur dann Lösung der Maxwellschen Gleichungen sein, wenn an den Stirnwänden bei z = 0 und z = c Randbedingungen gelten, die denen an den Seitenwänden entsprechen. An den Stirnwänden muß gelten: E x (x, y, 0) = E x (x, y, c) = 0 (.53) E y (x, y, 0) = E y (x, y, c) = 0 (.54) H x z (x, y, 0) = H x (a, y, c) = 0 z (.55) H y z (x, y, 0) = H y (a, y, c) = 0 z (.56) An (.53) und (.54) ist abzulesen, daß die elektrische Feldstärke einer stehenden Welle an den Stirnwänden verschwindet, woraus sich für das elektrische Feld ein Phasensprung von π bei der Reflexion an der Stirnwand ergibt. Aus (.55) und (.56) ergibt sich ein Maximum der magnetischen Feldamplitude an den Stirnwänden und kein Phasensprung bei der Reflexion. Daraus ergibt sich für die Feldkomponenten einer stehenden Welle als Überlagerung zweier entgegengesetzt propagierenden Wellen mit gleicher Amplitude aus (.43), (.46)-(.49) und (.5) 4 : k y E x = kz k H 0ωµ cos(k x x)sin(k y y)sin(k z z) (.57) k x E y = kz k H 0ωµ sin(k x x)cos(k y y)sin(k z z) (.58) E z = 0 (.59) 4 Die richtige Form der in negativer z-richtung propagierenden Welle ergibt sich zum einen durch die Beachtung des Phasensprunges für das elektrische Feld und zum anderen durch einen Vorzeichenwechsel der Komponente H z beim Übergang z z. 17

22 Abbildung.6: TE 10 -Mode im Hohlraumresonator: durchgezogen: magnetische Feldlinien, gestrichelt: elektrische Feldlinien, gepunktet: Wandströme; H x = ik xk z k z k H 0 sin(k x x)cos(k y y)cos(k z z) (.60) H y = ik yk z kz k H 0 cos(k x x)sin(k y y)cos(k z z) (.61) H z = ih 0 cos(k x x)cos(k y y)sin(k z z)e iωt (.6) Wie sich an (.57)-(.6) ablesen läßt, sind die Randbedingungen (.53)- (.56) nur für diskrete Werte von k z erfüllt: k z = lπ c l N (.63) Bei gegebenen Abmessungen a,b und c des Hohlraumresonators ist nur für diskrete Werte von k x,k y und k z 5,alsonurfür diskrete Werte der Frequenz, den sogenannten Resonanzfrequenzen, ein Anschwingen einer stehenden Welle möglich. Mit (.4) ergeben sich die Resonanzfrequenzen: ν mnl = 1 ( ) ( ) ( ) m n l + + (.64) µɛ a b c 5 Entsprechend dem Argument nach (.5) darf nur eine der drei Konstanten k x, k y und k z verschwinden. 18

23 Abbildung.7: Oberfläche eines idealen Leiters: Es soll die zum magnetischen Feld H t korrespondierende Oberflächenstromdichte K O berechnet werden. Dafür wird der Grenzfall verschwindender Höhe h 0 des Integrationsweges C betrachtet. (.57)-(.6) zusammen mit (.44) und (.63) beschreiben die TE mnl -Moden eines quaderförmigen Hohlraumresonators mit den Resonanzfrequenzen gemäß (.64). In Abb..6 ist die Feldverteilung der TE 10 -Mode gezeigt. Während alle Felder translationsinvariant entlang der y-achse sind, zeigen die Felder bezüglich der x- bzw.z-achse eine sinusförmige Abhängigkeit. Bei der praktischen Konstruktion eines Hohlraumresonators (vergleiche Kapitel 3..) ist eine Kenntnis der an den Wänden des Resonators fließenden Ströme (Wandströme) erforderlich. Bei ideal leitenden Wänden verschwindet die Eindringtiefe für elektromagnetische Felder [Jac83]. Das Innere der Wände des Hohlleiters ist deshalb feldfrei und somit auch frei von Strömen. Allerdings treten Ströme an der Oberfläche der Hohlleiterwände auf. Abb..7 zeigt die Verhältnisse an einer Hohlleiterwand, mit der Flächennormalen ˆn. Aus den Maxwellschen Gleichungen ergibt sich nach Anwendung des Stokesschen Satzes für den Integrationsweg C entlang der Richtung des zur Hohlleiterwand tangentialen magnetischen Feldes H t [Jac83] Hd l = iω ɛed S + jd S, (.65) C S S wobei j die Stromdichte ist. Im Grenzfall verschwindender Höhe h 0 des Integrationsweges C verschwindet der Beitrag des elektrischen Feldes E durch die Fläche S. MitderOberflächenstromdichte K O (Strom pro Länge) an den Hohlleiterwänden ergibt sich: lim h 0 C Hd l = H t l = lim 19 h 0 S jd S = K 0 l (.66)

24 In Vektorschreibweise ergibt sich: K 0 = ˆn H t (.67) In Abb..6 ist der Verlauf der Ströme an den Oberfläche des Hohlleiters senkrecht zur Richtung des magnetischen Feldes an der Hohlleiterwand gezeigt. Bei einem Hohlraumresonator mit nicht ideal leitenden Wänden (zum Beispiel aus Kupfer) treten auch im Inneren der Wände nahe der Oberfläche Ströme auf [Jac83]. Dabei kommt es aufgrund des nicht verschwindenden Ohmschen Widerstandes von Kupfer zu Verlusten in den Hohlleiterwänden, auf die in Kapitel 3..3 eingegangen wird. 0

25 Kapitel 3 Experimentelle Realisation 3.1 Apparatur für Experimente mit frei fallenden Rubidiumatomen Die in der Einleitung angesprochenen Experimente zur Positionsmessung von Atomen in einer optischen Stehwelle werden an frei fallenden Rubidiumatomen durchgeführt. Die dazu verwendete Apparatur wird in [Kun96] detailiert beschrieben. An dieser Stelle soll nur ein kurzer Überblick gegeben werden, soweit er zum Verständnis der Experimente notwendig ist. Abb.3.1zeigt eine Prinzipskizze des experimentellen Aufbaus. Die Rubidiumatome werden zunächst in einer magnetooptischen Falle gefangen. Nach Abschalten der Laserstrahlen werden sie freigelassen und bewegen sich über eine Strecke von ca. 45 cm im freien Fall. Dabei passieren sie nach ca. 0 cm mit einer Geschwindigkeit von m/s eine Wechselwirkungszone. In dieser Zone können sie in Wechselwirkung mit einer optischen Stehwelle oder mit einem (evtl. gepulsten) Mikrowellenfeld innerhalb eines Mikrowellenresonators treten. Der Mikrowellenresonator, der auch einen Spiegel für die optische Stehwelle enthält, wird innerhalb der nächsten Abschnitte beschrieben. Nach weiteren 5 cm werden die Atome mittels Fluoreszenz nachgewiesen. Aus der gemessenen Ortverteilung der Atome kann die transversale Impulsverteilung der Atome berechnet werden. Die Vakuumkammer ist in zwei übereinanderliegende Teile unterteilt, die durch ein Graphitröhrchen mit einem Innendurchmesser von 1, 5 mm verbunden sind. In der oberen Kammer befindet sich als Quelle für fallende Rubidiumatome eine magnetooptische Dampfzellenfalle in σ + -σ -Konfiguration 1

26 Abbildung 3.1: Prinzip der Apparatur für Experimente mit frei fallenden Rubidiumatomen: Die in einer magnetooptischen Falle gespeicherten Rubidiumatome werden durch Abschalten der Laserstrahlen freigelassen und fallen durch eine Experimentierzone. Danach wird die Impulsverteilung der Atome mit Hilfe eines ortsaufgelösten Fluoreszenznachweises gemessen. [Raa87], realisiert mit drei retroreflektierten Laserstrahlen und zwei Magnetfeldspulen in Anti-Helmholtzkonfiguration. Das Prinzip und der Aufbau der magnetooptischen Falle sind ausführlich in [Elb94] beschrieben. Aus dem sich in der Vakuumkammer befindenden Rubidiumdampf mit einem Partialdruck von ca mbar werden ca Atome in der Falle eingefangen. Nach σ + - σ -Melassenkühlen [Dal89] wird eine Melassentemperatur von unter 10µK erreicht. Eine Dokumentation des Kühlprozesses und der Methode zur Messung der Temperatur findet sich in [Har95]. Da sich bei dem Melassenkühlen Magnetfelder störend auswirken, ist es notwendig während des Kühlprozesses die Magnetfelder der Falle abzuschalten. Weiterhin wird das Erdmagnetfeld mit Hilfe von sechs zu einem Würfel der Kantenlänge 1 m zusammengesetzten quadratischen Spulen kompensiert. Außerdem wurde die Vakuumapparatur

27 aus nichtferromagnetischen Materialien aufgebaut, um eine Ablenkung der fallenden Atome aufgrund der Kopplung der permanenten magnetischen Momente der Atome an Magnetfeldgradienten zu vemeiden. Im unteren Teil der Vakuumkammer, die mit den Vakuumpumpen verbunden ist, befindet sich die Wechselwirkungszone und der optische Fluoreszensnachweis. Durch die Unterteilung der beiden Vakuumkammern durch das Graphitröhrchen wurde erreicht, daß der Rubidiumpartialdruck in der unteren Kammer etwa drei Größenordnungen kleiner ist, als der Partialdruck in der oberen Kammer. So wird eine störende Fluoreszenz der Rubidiumatome des Restgases beim Nachweis vermieden. Die transversale Impulsverteilung am Ort der Stehwelle wird über die Ortsverteilung der Atome beim Nachweis gemessen. Dort passieren die Atome einen resonanten, horizontal verlaufenden Laserstrahl, der senkrecht zur Richtung der optischen Stehwelle verläuft. Das dabei von den Atomen emittierte Fluoreszenzlicht wird mit Hilfe eines Linsensystems auf einen Photomultiplier abgebildet, von dem es detektiert wird. Durch ein Spiegelgalvanometer kann die Position des Nachweisstrahls verändert und so die Position der Atome beim Durchflug bestimmt werden. Um beim Nachweis geringe, zur Fallrichtung transversale Impulsüberträge auf die Atome in der Wechselwirkungszone beobachten zu können, wird die anfänglich breite Impulsverteilung der Atome aus der magnetooptischen Falle mit Hilfe eines Kollimationsschliztes unmittelbar oberhalb der Wechselwirkungszone eingeengt. Eine genaue Beschreibung der Orts- bzw. Impulsauflösung des Nachweises in Zusammenhang mit den Kollimationsschlitzen und der Nachweiseffizienz befindet sich in [Dü95]. 3. Aufbau einer Wechselwirkungszone für die Ramsey-Spektroskopie 3..1 Der Mikrowellenresonator In der in Abb. 3.1eingezeichneten Experimentierzone sollen die Atome in Wechselwirkung mit zwei zeitlich getrennten Hochfrequenzfeldern treten, zwischen denen sie in Wechselwirkung mit der optischen Stehwelle treten. Diese Felder dienen jeweils dazu Übergänge zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von 85 Rb zu induzieren, d.h. sie besitzen eine Frequenz von etwa 3 GHz. Um eine definierte Polarisation, sowie eine möglichst große Feldüberhöhung zu gewährleisten, sollen die Anregungszonen durch das Feld eines Mikrowellenresonators realisiert werden. Eine Realisierung durch 3

28 Abbildung 3.: Prinzipskizze des Mikrowellenresonators: Die Atome fallen durch die Mitte des Mikrowellenresonators, wo das magnetische Feld der TE 10 -Mode maximal und nahezu homogen ist. Jeweils bevor und nachdem die Atome das stehende Lichtfeld in geringem Abstand des zur Erzeugung der Stehwelle dienenden Spiegels passieren, werden mit Hilfe einer Antenne Mikrowellenpulse eingekoppelt. räumlich getrennte Resonatoren für jede Zone scheidet aus Platzgründen in der Vakuumkammer aus. Stattdessen wird ein größerer Resonator verwendet, durch den die Atome hindurchfallen. Dabei werden die beiden Anregungszonen durch zwei kurze Pulse des Feldes realisiert. Außerdem soll es möglich sein in der Mitte des Resonators eine stehende Lichtwelle zu erzeugen, durch die die Atome in der Zeit zwischen den beiden Mikrowellenpulsen fallen. Um eine optische Stehwelle zu erzeugen, wird ein horizontal verlaufender Laserstrahl von einem Spiegel in sich zurückreflektiert. Die Strahltaille dieses gaußschen Laserstrahls befindet sich auf der Spiegeloberfläche. Mit zunehmenden Abstand vom Spiegel wächst die Krümmung der Wellenfronten des Lichtstrahls. Da bei der Wechselwirkung ebene Wellen erforderlich sind, müssen die Atome diesen Lichtstrahl genügend nahe (ca. 1 mm) vor dem Spiegel passieren [Dü95]. Aus diesem Grund muß sich der Spiegel innerhalb des Mikrowellenresonators befinden. Abb.3. zeigt eine Prinzipskizze des Mikrowellenresonators für die TE 10 - Mode. Die Atome fallen durch die Mitte des Resonators, wo die Amplitude des magnetischen Feldes maximal ist. Die TE 10 -Mode zeichnet sich durch die im Vergleich zu anderen Moden größte Homogenität des magnetischen Feldes am Ort des Durchfluges der Atome aus. Sie wird durch eine Einkoppelantenne angeregt, wobei das von der Antenne abgestrahlte magnetische Feld einen geeigneten Überlapp mit dem Magnetfeld der TE 10 -Mode besitzt. 4

29 3.. Mechanischer Aufbau Der mechanische Aufbau des Mikrowellenresonators Auf den Grundlagen von Kapitel.3 wurde ein quaderfo rmiger Hohlraumresonator fu r eine Verwendung mit der TE10 -Mode (Vergleiche Abb..6) bei der Mikrowellenfrequenz von GHz realisiert. Der Resonator entha lt im Abbildung 3.3: Photographie des Mikrowellenresonators mit geo ffnetem Deckel. In der Mitte des Resonators ist der Spiegel fu r die optische Stehwelle auf eine Keramikplatte montiert. Weiter erkennt man vier Schrauben zum Verstellen der Resonanzfrequenz und die kreisfo rmig gebogene Antenne, durch die das Feld im Resonator erzeugt wird. Inneren einen optischen Spiegel. Es wurden O ffnungen fu r die optische Stehwelle und den Durchflug der Rubidiumatome durch die Mitte des Resonators geschaffen. Bei der Konstruktion war darauf zu achten, daß die Teile durch einen CF-Flansch mit 100 mm Durchmeser in die Vakuumkammer eingebaut werden ko nnen. Ebenso mußte zum Erreichen eines niedrigen Enddruckes im Resonator fu r ausreichend große O ffnungen zum Evakuieren des Resonators gesorgt werden. Abb. 3.3 zeigt eine Photographie des Mikrowellenresonators mit geo ffnetem Deckel. Der Resonator besteht aus einem Hauptteil aus mm starkem Kupfer5

30 blech, das zu einem U-förmigen Querschnitt gebogen wurde, sowie aus zwei daran angeschraubten Kopfwänden (4mm stark) und einem aufschraubbaren Deckel (3 mm stark). Durch das Biegen der Kanten wurde der elektrische Kontakt zwischen den Wänden verbessert und die Verwendung von dünnen Kupferblech ermöglicht, was sich gewichts- und platzsparend auswirkt. Die Verwendung von Kupferblech, das an der Oberfläche poliert wurde, gewährleistet geringe Ohmsche Verluste bei den Wandströmen. Die zum Evakuieren des Resonators notwendigen Öffnungen wurden entlang der vier Kanten des Resonators, an denen die Oberflächenströme nahezu verschwinden, (Abb..6) plaziert, um eine Störung der Wandströme und damit der Feldverteilung im Resonator zu vermeiden. Die vertikale Ausdehnung der Wolke von Rubidiumatomen beträgt am Ort des Resonators 15 mm (FWHM). Um eine Wechselwirkung aller Atome mit dem Feld im Resonator oberhalb und unterhalb des Spiegels (mit 10 mm Durchmesser) zu ermöglichen, wurde für die Höhe des Resonators b = 40 mm gewählt. Entlang der x-achse des Resonators sind die Atome über eine Breite von ca. 4 mm verteilt. Aufgrund der Breite von a =80mm des Resonators ist das magnetische Feld in diesem Bereich hinreichend homogen. In der Mitte des Resonators befindet sich eine Keramikplatte aus 6 mm starkem Macor. Dieses Material wurde gewählt, da es für UHV-tauglich ist und die Resonatormode nicht zu stark beeinflußt. In diese ist der Spiegel für die optische Stehwelle in eine Passung eingesetzt, und mit Hilfe einer Madenschraube aus Macor befestigt. An einem zunächst aufgebauten Prototyp des Resonators wurde die Verschiebung der Resonanzfrequenz des leeren Resonators gegenüber dem Resonator mit eingesetzter Keramikplatte gemessen. Daraus ergab sich unter der Annahme µ r = 1die Dielektrizitätskonstante von Macor bei 3 GHz zu ɛ r =, 5. Bei gegebener Frequenz führt das Einsetzten der Macorplatte zu einer Verkürzung der Länge der TE 10 -Mode um, mm, was bei der Wahl der Länge des Resonators berücksichtigt werden mußte. Um einen ähnlichen Effekt in den anderen beiden Raumrichtungen auszuschließen füllt die Keramikplatte die gesamte Querschnittsfläche aus. Die Platte wurde so positioniert, daß sich das Maximum der magnetischen Feldamplitude ca. 1 mm vor dem Spiegel befindet. Das elektrische Feld der TE 10 -Mode breitet sich geradlinig zwischen dem Boden und dem Deckel des Resonators aus. Im Boden und im Deckel befinden sich vier M3-Schrauben an den Stellen, wo das elektrische Feld maximal ist (Abb..6). Durch Hereindrehen der vier Schrauben um 5 mm in den Resonator läßt sich die Resonanzfrequenz um 30 MHz zu kleineren Frequenzen hin verstimmen. Diese Funktion erklärt sich anschaulich mit Hilfe einer Analogie des Resonators zu einem elektrischen Schwingkreis mit einem Verlustwider- 6

31 stand R, einer Induktivität L und einer Kapazität C. Wird für die Kapazität ein Plattenkondensator benutzt, so kann durch Vekürzen des Plattenabstandes die Kapazität erhöht und so die Resonanzfrequenz ω 0 = 1 LC erniedrigt werden. Beim Mikrowellenresonator stellen der Boden und der Deckel einen Plattenkondensator dar, wobei durch die Abstimmschrauben der Plattenabstand verkleinert und so die Resonanzfrequenz erniedrigt werden kann. Schließlich wurde basierend auf Gl.(.64) unter Berücksichtigung der Verschiebung der Resonanzfrequenz aufgrund der Verwendung der Keramikplatte eine Länge des Resonators von 119, 5 mm gewählt, um eine Resonanzfrequenz von 3, 095 GHz zu erreichen. Die Resonanzfrequenz kann dann mit Hilfe langer Abstimmschrauben auf 3, 035 GHz gestellt werden. Die Mikrowellenleistung wird durch eine 50Ω-koaxial-Vakuumdurchführung und ein für UHV geeignetes Koaxialkabel von außerhalb der Vakuumkammer an den Resonator herangeführt. Der Innenleiter des mittels einer Buchse (Typ A) mit dem Resonator verbundenen Koaxialkabels wird durch eine in den Resonator hineinragende, kreisförmig gebogenen Antenne verlängert, die am Ende mit der Resonatorwand verbunden ist. Die mechanische Halterung Die Rubidiumatome sollen in einem geringen Abstand parallel an der Oberfläche des Spiegels vorbei durch die optische Stehwelle fallen. Die Spiegelfläche soll ebenso parallel zu den oberhalb des Resonators befindlichen Kollimationsschlitzen verlaufen. Der Spiegel muß deshalb in horizontaler und vertikaler Richtung verkippt sowie entlang der Richtung der optischen Stehwelle verschoben werden können. Da der Spiegel mit der Keramikplatte und damit mit dem Resonator starr verbunden ist, mußte für den gesamten Resonator eine Justagemöglichkeit dieser Freiheitgrade vorgesehen werden. Eine Photographie der Halterung mit dem Resonator zeigt Abb.3.4. Die Halterung mit dem Resonator ist auf einen CF-100 Vakuumblindflansch montiert, so daß der gesamte Aufbau dadurch auf einfache Weise in die Vakuumkammer hineingeschoben werden kann. Die genaue Position des Resonators kann danach in der Vakuumkammer von einem gegenüberliegenden Flansch der geöffneten Kammer justiert werden. Auf den CF-100 Flansch sind zwei 9 cm lange Hauptträger montiert. Der Mikrowellenresonator wird von vier starken Federn nach oben gezogen, die an den Oberkanten der beiden Hauptträger befestigt sind und durch Aussparungen in den Trägern zum Resonator reichen. Dem Zug der Federn stehen drei Schrauben entgegen, die den Abstand zwischen den Haupträgern und dem Resonator bestimmen. Eine der Schrau- 7

32 ben la ßt sich durch zwo lf seitliche Bohrungen im Kopf der Schraube drehen, wodurch der Resonator vertikal verkippt werden kann. Mit zwei weiteren Paaren aus je einer Zugfeder und einer Justierschraube, die an der Kopfwand des Resonators angreifen, la ßt sich auf a hnliche Weise der Resonator horizontal verkippen und in Richtung des Flansches um bis zu cm verschieben. Zwischen den Haupttra gern kann ein mittels Gleitlagern aus Teflon auf zwei Stahlstangen montierter Schlitten verschoben werden. Zwei in den Schlitten eingesetzte Kollimationsschlitze ko nnen so wahlweise in eine vertikale Position u ber dem Spiegel im Resonator positioniert werden. Ebenso kann der Schlitten vollsta ndig aus dem Bereich durch den die Rubidiumatome fallen entfernt werden, so daß keine Atome ausgeblendet werden. Da die Positionierung der Kollimationsschlitze an jedem Experimentiertag von Neuem geschehen muß, ist fu r das Verschieben des Schlittens von außerhalb der Vakuumkammer eine Lineardurchfu hrung vorgesehen. Die Kollimationsschlitze mit den Breiten 80 µm und 00 µm werden durch je zwei 0, mm starke Bleche aus einer Kupfer-Beryllium Legierung gebildet. Diese zeichnet sich durch ein Fehlen jeder magnetischen Remanenz aus, wodurch das Auftreten von sto renden Magnetfeldgradienten und somit eine Ablenkung der Atome vermieden Abbildung 3.4: Die Position des Mikrowellenresonators ist durch die Aufha ngung an sechs Federn in der Richtung von drei Freiheitsgraden verstellbar. Die beiden Haupttra ger sind auf einen CF-100 Vakuumflansch montiert. Zwischen den beiden Haupttra gern befindet sich ein verschiebbarer Schlitten mit den Kollimationsschlitzen. 8

33 wird. Außerdem wurden alle verwendeten magnetisierbaren Teile mit Hilfe eines magnetischen Wechselfeldes (50 Hz) bis auf Restmagnetfelder < 5µT in ca. 1 cm Abstand entmagnetisiert. Nach dem Einbau der Konstruktion und dem Ausheizen bis 150 C wurde ein Enddruck von, mbar in der unteren Vakuumkammer erreicht, was einer Zunahme des Druckes gegenüber dem Druck in der leeren Kammer um etwa eine Größenordnung entspricht Impedanzanpassung und Gütefaktoren bei einem Mikrowellenresonator Für die Durchführung des Ramsey-Spektroskopieexperimentes ist die Kenntnis der Rabifrequenz ω R = µb 0 des Überganges und damit die Kenntnis der h magnetischen Induktion B 0 der TE 10 -Mode am Ort des Durchflugs der Atome durch den Resonator notwendig. Diese kann aus der im Resonator gespeicherten Energie errechnet werden. Die im Resonator gespeicherte Energie W Res wird von der in den Resonator eingekoppelten Leistung P aufrechterhalten, während innerhalb der Dauer einer Schwingungsperiode die Verlustenergie V Res auftritt. Zunächst werden als Verlustmechanismen die Abstrahlung von elektromagnetischer Feldenergie durch die Öffnungen des Resonators sowie die Dissipation von Joulscher Wärme aufgrund der Wandströme in Betracht gezogen. Es wird angenommen, daß der Energieverlust V Res während einer Periode wesentlich kleiner und außerdem proportional zur im Resonator gespeicherten Energie W Res der TE 10 -Mode ist. Der dimensionslose Gütefaktor Q 0 des Resonators wird dann durch Q 0 := π WRes V Res (3.1) definiert. Wird keine weitere Leistung in den Resonator eingekoppelt, klingt die im zeitlichen Mittel im Resonator gespeicherte Energie W Res exponentiell mit der 1-Zerfallszeit Q 0 e ω 0 ab. Für die Amplitude des elektrischen Feldes E y (t) ergibt sich daraus mit E y (t) W Res das Verhalten einer gedämpften Schwingung mit der Frequenz ω 0 : E y (t) = E y (0)e ω 0 Q 0 t e iω 0t (3.) Eine Fouriertransformation führt auf die Verteilung der im zeitlichen Mittel im Resonator gespeicherten Energie in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ω. Die Verteilung entspricht einer Lorentzkurve mit der vollen Halbwertsbreite 9