Inhaltsverzeichnis. 3.11HandelsstrategienmitOptionen Unsichere Volatilität

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis 1 Entscheidungen unter Risiko DerRisikobegriff Das Bernoulli-Prinzip Axiome vernünftigen Verhaltens RisikoaversionundRisikoprämien LineareTransformationenderNutzenfunktion MaßederRisikoaversion Ausfallprämien Die erwartete Rendite einer Kuponanleihe BehavioralFinanceundempirischeWertfunktionen DieProspekttheorie DerFraming-EffektineinemanderenKontext Das μ-σ-prinzip Vereinbarkeit des μ-σ-prinzips mit dem Bernoulli-Prinzip Grundlagen der Portfoliotheorie Rendite und Streuung des Wertpapierportfolios Streuung der Portfoliorendite Naive Diversi kation DiePortfoliovarianzinMatrizenschreibweise KovarianzderRenditenzweierPortfolios Ef zienter Rand Leerverkäufe SichereWertpapiere DerFallmitzweiAktien Minimum-Varianz-Portfolio bei unkorrelierten Aktienrenditen DieInversederKovarianzmatrix Das Minimum-Varianz-Porfolio in Matrizenschreibweise Der2-Aktien-FallmitsichererAnlage DasCAPM Die Wertpapiermarktlinie Beta als Regressionskoef zient AdjustierungempirischerBetafaktoren BetafaktoreinesPortfolios Unlevering und Relevering... 66

2 vi Inhaltsverzeichnis Analytische Bestimmung des Marktportfolios mit Hilfe der Tobin-Separation Performance-Messung von Investmentfonds Ein-undMehrfaktorenmodelle SystematischesundunsystematischesRisiko SchätzungderKovarianzmatrix DasDrei-Faktoren-ModellvonFrenchundFama AktivesPortfoliomanagement Optionen Optionstypen OptionscharaktervonAnleihenundAktien InnererWertundZeitwert Optionspreisschranken PreisschrankenderKaufoption PreisschrankendeseuropäischenPuts Put-Call-Parität Put-Call-Parität - Gra sche Intuition Put-Call-Parität-AnalytischeHerleitung Put-Call-Beziehung bei amerikanischen Optionen DerfaireOptionspreis Kaufoptionsbewertung bei Bernoulli-Verteilung EndwertdesDuplikationsportfolios DasBinomialmodell Vom Binomialmodell zur Black-und-Scholes-Formel Das Black-und-Scholes-Modell DieNormalverteilung DerWiener-Prozess Das Modell von Black und Scholes für den Aktienkurs Aktienkurssimulation Die Black-und-Scholes-Formel Anmerkungen zum Black-und-Scholes-Modell DieGreeks DasDeltaderKaufoption Zusammenhang zwischen dem Delta der Verkaufsoption und demdeltadescalls DeltaeinesPortfolios WeitereGriechen Vega Zusammenfassung der Bestimmungsfaktoren des Optionspreises DerBetafaktorvonOptionen

3 Inhaltsverzeichnis vii 3.11HandelsstrategienmitOptionen Unsichere Volatilität Weitere bedingte und unbedingte Termingeschäfte LEPO GeldBriefSpanneOTCgehandelterDevisenoptionen Zinsoptionen Zinsbegrenzungsverträge Caps Dual-Strike-Cap Floor Collar Swaps MotivefürZinsswaps BewertungvonZinsswaps Glattstellung KomparativeKostenvorteile FuturesundForwards Duration Das Konzept der Macaulay-Duration Duration eines Zerobonds DurationeinesAnleihen-Portfolios Die modi zierte Duration von Hicks Asset-Liability-Management EffektiveDuration DieKonvexität Zinsimmunisierung Maße des Ausfallrisikos Value-at-Risk Semivarianz LowerPartialMoments StochastischeDominanz Zustandsdominanz Stochastische Dominanz erster Ordnung Stochastische Dominanz zweiter Ordnung Entscheidungen auf Basis der stochastischen Dominanz, der Lower PartialMomentsunddesValue-at-Risk Performance-MaßeaufBasisvonAusfallrisikomaßen

4 viii Inhaltsverzeichnis 7 Zusammenfassung und Schlussbetrachtung Aufgaben Entscheidung unter Risiko DasPortfolioaus2Wertpapieren Tobin-SeparationundPortfoliooptimierung CAPM Optionen KursversicherungmitOptionen Sensitivitätskennzahlen RisikomanagementmitTermingeschäften Duration und Zinsänderungsrisiken MaßedesAusfallrisikos Literatur 240 Index 246

5 2 Grundlagen der Portfoliotheorie 2.1 Rendite und Streuung des Wertpapierportfolios Ein wichtiger Rat bei der Anlageentscheidung lautet: Lege nicht alle Eier in einen Korb! Denn durch Diversi kation lässt sich unter Umständen einen Risikoreduktion erzielen. Stratman (1987) hat in seinem Artikel mit dem Titel How many stocks make a diversi ed portfolio anhand historischer Aktienkursentwicklungen an der New York Stock Exchange (NYSE) untersucht, wie stark das Risiko eines Aktienportfolios mit zunehmender Aktienzahl abnimmt. Die Gra k 2.1, die sich auch bei Brealey und Myers (2002) ndet, verdeutlicht den Zusammenhang. Standardabweichung 50% 40% 30% 20% 10% Aktien im Portfolio Abbildung 2.1: Streuung der Aktienrendite eines Portfolios in Abhängigkeit vom Diversi kationsgrad (Brealey und Myers (2002), S. 166) Man erkennt deutlich, dass schon eine geringe Diversi kation die Schwankungsbreite der Rendite deutlich reduziert. Ob man 20 oder 40 Aktien hält, macht im Hinblick auf das Risiko allerdings keinen großen Unterschied mehr. Im Weiteren wollen wir uns der Frage widmen, wie der Zusammenhang zwischen dem Risiko eines Aktienkorbes und dem Risiko der in ihm enthaltenen Aktien aussieht. Grundsätzlich gilt, dass die Gesamtstreuung des Aktienportfolios niedriger als die Summe der Streuung seiner Bestandteile ist, da die Aktienrenditen nicht perfekt korreliert sind. Denn Aktien bewegen sich nicht perfekt im Gleichschritt. Die Gra k 2.2 auf Seite 36 verdeutlicht, dass ein Teil des Risikos auch durch Streuung des Anlagevolumens auf sehr viele Wertpapiere nicht verschwindet. Dieser Teil des Risikos

6 36 2 Grundlagen der Portfoliotheorie 50% 40% 30% 20% 10% Standardabweichung Unsystematisches Risiko Marktrisiko Aktien im Portfolio Abbildung 2.2: Systematisches und unsystematisches Risiko bei naiver Diversi kation (Brealey und Myers (2002), S. 168) wird systematisches Risiko oder schlicht Marktrisiko genannt. Dem gegenüber steht das unsystematische Risiko, das auf Englisch idiosyncratic risk genannt wird und durch Diversi kation eliminiert werden könnte. Soviel erst einmal zur Anschauung. Wenden wir uns nun der Mathematik zu. Wir beginnen mit dem einfachsten Fall, dass unser Portfolio lediglich aus zwei Aktien besteht. Die Rendite einer Aktie A bezogen auf eine Periode errechnet sich folgendermaßen: P2 P1 ra = P1 P1 ist dabei der Preis am Anfang und P2 ist der Preis am Ende der Periode. Wir betrachten hier also Nettorenditen. Falls in der betrachteten Periode eine Dividende ausgeschüttet werden sollte, ergibt sich die Rendite zu: P2 + Div P1 ra = P1 Die Kurse der Aktie A (die z. B. die Allianz sein könnte) und der Aktie B (die z. B. Bayer sein könnte) sind in der Regel nicht vollständig unabhängig voneinander. Das erkennt man in Abbildung 2.3, in der auf den Achsen die Tagesrenditen der beiden Aktien abgetragen sind. Am wurde Bayer im Lipobay Prozess frei gesprochen. Dies löste einen

7 5 Duration 5.1 Das Konzept der Macaulay-Duration Das Konzept der Duration wurde vor über 70 Jahren im Jahr 1938 von Frederic Macaulay entwickelt, um Zinsänderungsrisiken bei Anleihen und bei Portefeuilles aus Anleihen zu untersuchen. Da mittlerweile noch andere, zum Teil weitergehende Durationskonzepte existieren, wird die klassische Duration, mit der wir uns hier beschäftigen wollen, nach ihrem Entwickler auch gerne Macaulay-Duration genannt. Die Idee dahinter ist die Folgende: Bei einer Änderung des Zinsniveaus sind zwei Effekte für die Halter von Festzins- Anleihen bedeutsam: Zum einen ändert sich der Kurs der Anleihe (Marktwerteffekt) und zum andern verändert sich die vom Halter zu erzielende Verzinsung auf die zwischenzeitlich ausgeschütteten Zinszahlungen (Wiederanlageeffekt). Ein höheres Marktzinsniveau würde beispielsweise dafür sorgen, dass der Kurs der Anleihen fällt, der Marktwerteffekt wäre in diesem Fall negativ, während gleichzeitig die Kuponzinszahlungen zu einer höheren Verzinsung wieder angelegt werden könnten. Eine Zinserhöhung führt also zu einem positiven Wiederanlageeffekt. Es wird klar, dass die Auswirkungen einer Zinsänderung auf den Barwert (also auf den Kurs) und auf den Vermögensendwert des Anlegers gegenläu g sind. Der Kerngedanke des Durationskonzeptes besteht nun darin, dass es während der Laufzeit einen Zeitpunkt geben muss, an dem sich diese beiden gegenläu gen Effekte gerade aufheben. Die Gra k 5.1 auf Seite 163 verdeutlicht dieses Phänomen. Zu jedem Zeitpunkt ist in der Gra- k der Gegenwartswert der Gesamtposition des Besitzers der Anleihe für die beiden Zinssätze r2 > r1 dargestellt. Der jeweilige Gegenwartswert PVt ergibt sich als Summe aus dem Kurs der Anleihe zum Zeitpunkt t zuzüglich der bis zu diesem Zeitpunkt erhaltenen Zinsen und Zinseszinsen. Dabei ist sowohl der Kurs der Anleihe während der Laufzeit als auch die bis dato aufgelaufenen Zinsen und Zinsenzinsen abhängig vom Zins i, der für die gesamte Laufzeit konstant sein soll. Es gilt also für den jeweiligen Gegenwartswert: PVt(r)=(1 + r) t PV0(r) Über dem Zeitstrahl sind die jeweiligen Gegenwartswerte des Halters einer Kuponanleihe während der Laufzeit für zwei unterschiedliche Zinssätze r1 < r2 aufgetragen. Den Zeitpunkt, in dem der Gegenwartswert des Zahlungsstromes sich bei einer marginalen Zinsänderung nicht ändert, nennt man Duration D. Zu diesem Zeitpunkt heben sich Marktwerteffekt und Wiederanlageeffekt auf. Der Schnittpunkt der beiden Kurven in der Abbildung 5.1 entspricht nur näherungsweise der Duration der Anleihe, da sich die Duration auf eine marginale Änderung des Zinses bezieht und in

8 5.1 Das Konzept der Macaulay-Duration 163 Gegenwartswert PVt Marktwerteffekt r1 r T= 6 Wiederanlageeffekt Zeit t Abbildung 5.1: In der Abbildung ist der Gegenwartswert PVt eines Halters einer Kuponanleihe während der Laufzeit seiner Anleihe dargestellt. Der Gegenwartswert PVt ergibt sich als Summe des Anleihenkurses in t und aller bis t erhaltener Zins- und Zinseszinszahlungen. Die Abbildung verdeutlicht den Marktwert- und den Wiederanlageeffekt bei einer nicht-marginalen Erhöhung des Kalkulationszinses von r1 auf r2. der Abbildung 5.1 zur Verdeutlichung des Marktwert- und Wiederanlageeffektes eine nicht-marginale Zinsänderung dargestellt ist. Für den Durationszeitpunkt gilt: PVD q = 0 (5.1) PVD - Gegenwartswert zum Zeitpunkt t = D q - Bruttorendite: q = 1 + r Im Weiteren suchen wir nun nach demjenigen Zeitpunkt D, bei dem die Bedingung 5.1 erfüllt ist. Der Gegenwartswert im Zeitpunkt D ist: PVD = PV0 q D Um diesen Gegenwartswert abzuleiten, verwenden wir die Produktregel. Nach der Produktregel lautet die Ableitung der Funktion f (x)=u(x) v(x): f (x) = u (x) v(x)+v (x) u(x) x

9 Index R 2,63 β,61 μ-σ-prinzip, 28 ρ,38 σ 2,28 Äquivalenzportfolio, 100 Absolute Risikoaversion (ARA), 14 Absoluter Kostenvorteil, 156 Aktives Portfoliomanagement, 80 Allais-Paradoxon, 24 Amerikanische Option, 86 Asset-Liability-Management, 174 Asset-Swap, 152 Ausübungskurs, 86 Ausfallprämie, 17, 18 Ausfallrisikomaße, 201 Ausfallvarianz, 192 Axiome vernünftigen Verhaltens, 3 Basisprämie, 18 Basispreis, 86 Bear Spread, 140 Behavioral Finance, 23 Bernoulli-Prinzip, 2 Beschränkung, 4 Bestimmtheitsmaß, 63 Betafaktor, 61 adjustierter, 63 eines Portfolios, 65 Bezugsverhältnis, 136 Black-und-Scholes-Modell, 115 Bond, 165 Briefkurs, 145 Brownsche Bewegung, 118 Bruttozinselastizität, 164 Bull Spread, 141 Burke Ratio, 202 Butter y, 141 Call, 86 Preisschranke, 91 Calmar Ratio, 202 Cap, 146 Capital Market Line (CML), 57 Caplet, 148 CAPM, 57 Cash Settlement, 159 Clearinghouse, 159 Close-Out, 156 Collar, 150 Cost-of-Carry, 161 Delta der Verkaufsoption, 130 des Calls, 127 Deltaneutralität, 132 Devisenoptionen, 144 Diversi kation, 188 Dominanz Stochastische, 194 Zustands-, 34 Down Side Risk, 1 Draw Down, 203 Drei-Faktoren-Modell, 77 Drift, 119 Dual-Strike-Cap, 148 Duplikationsportfolio, 100 Duration effektive, 176 Ewige Rente, 167 Key Rate, 177 Macaulay, 162 modi zierte, 173 modi zierte effektive, 177 Durations-Matching, 174 Effektive Duration, 176 Ef zienter Rand, 45

10 Index 247 Europäische Option, 86 Isopräferenzkurve, 30 European Interbank Offered Rate (EURIBOR), 146 Jensen-Maß, 69 Excercise Price, 86 Kapitalmarktgleichgewicht, 57 Fairer Preis, 10 Kapitalmarktlinie, 57 Fairer Swapsatz, 156 Kappa 3, 202 FLAM, 83 Kaufoption, 86 Floating-Rate Note (FRN), 147 Amerikanische, 86 Floor, 149 Europäische, 86 Floorlet, 149 Key Rate Duation, 177 Forward, 158 Konvexität Framing, 24 Übungsaufgabe, 232 Future, 158 De nition, 179 ewige Rente, 233 Gamma, 132 Korrelationskoef zient, 38 Geld-Brief-Spanne, 145 Kostenvorteil Geldkurs, 145 Absoluter, 156 geschützte Option, 137 Komparativer, 156 Glattstellung, 156 Kovarianz, 37 Grenzrate der Substitution, 30 Kuponanleihe, 165 Grenzrate der Substitution (GRS), 60 Grieche Leerverkäufe, 46 Delta, 127 Liability-Swap, 152 Gamma, 132 Linie eff. Gesamtportefeuilles, 47 Omega, 133 London Interbank Offered Rate Rho, 133 (LIBOR), 146 Theta, 133 Long Straddle, 142 Vega, 135 Low-Exercise-Price-Option Growth-Aktien, 78 (LEPO), 144 Lower Partial Moments (LPM), 190 Höchstzinsvereinbarung, 146 Half-Turn, 160 Macaulay Duration, 162 Hedgeratio, 128 Maintenance Margin, 159 Margin Idiosyncratic Risk, 36 Initial, 159 Implizite Volatilität, 125 Maintenance, 159 impliziter Terminzins, 155 Overnight, 159 Information Coef cient, 82 Margin Call, 159 Information Ratio, 82 Market Maker, 159 Initial Margin, 159 Market Timing, 69 Innere Wert, 90 Marktrisiko, 36

11 248 Index Marktwerteffekt, 162 Quasi-Sicherheit, 1 Mehrfaktorenmodell, 72 Modi zierte Duration, 173 Recovery Rate, 19 Relative Risikoaversion (RRA), 15 Naive Diversi kation, 41 Relevering, 66 Nominalzins, 17 Reward to Variability Ratio, 70 Normalverteilung, 116 Reward to Volatility Ratio, 70 Nutzenfunktion, 4 Risiko, 1 Markt-, 36 Omega, 133 Systematisches, 36 Option Risikoaversion Amerikanische, 86 Absolute, 14 Europäische, 86 Relative, 15 geschützte, 137 Risikofreude, 10 Handelsstrategien, 139 Risikoneutrale Wkt., 104 Kaufoption, 86 Risikoneutralität, 10 Plain Vanilla, 145 Risikopräferenz, 7, 11 Optionsschein, 86 Risikoprämie, 5 Over-the-counter (OTC), 144 Roll-over Termin, 146 Round-Turn, 160 Par-Yield-Bond, 153 Performance-Maße, 69 Sankt-Petersburg-Paradox, 2 Performancemaße, 201 Schatzbrief, 47 Plain Vanilla Optionen, 145 Sekundärmarktrendite, 166 Portfolio Semivarianz, 190 Äquivalenzportfolio, 100 Sensitivitätskennzahlen, 127 Duplikationsportfolio, 100 Settlement-Price, 160 Superef zientes, 47 Sharpe-Maß (Sharpe-Ratio), 70 Varianzminimal, 52 Sicherheitsäquivalent, 7 Portfoliotheorie, 35 Single-Index-Modell, 72, 74 Präferenzfunktion, 29 Smile-Effekt, 143 Pratt-Arrow-Maß, 14 Sortino Ratio, 202 Preisschranke Sterling Ratio, 202 Call, 91 Stetigkeit, 4 Put, 94 Stochastische Dominanz, 194 Prinzip der Arbitragefreiheit, 100 Stochastische Volatilität, 143 Prospekttheorie, 23 Stock-Picking, 69 Pseudowahrscheinlichkeit, 113 Straddle, 142 Put Strike, 86 Preisschranke, 94 Substanzwerte, 79 Put-Call-Parität, 96 Substitutionsaxiom, 4

12 Index 249 Superef zientes Portfolio, 47 Swap Asset-Swap, 152 Liability, 152 Zinsswap, 151 Swapsatz, 151, 156 Systematisches Risiko, 36 Temingeschäfte undbedingte, 158 Termingeschäfte bedingte, 158 unbedingte, 158 Terminzins impliziter, 155 Theta, 133 Tick-Size, 160 Tobin Separation, 47 Totales Differential, 30 Tracking Error, 82 Transitivität, 4 Treasury Bill, 47 Treynor-Maß, 70 Umlaufrendite, 166 Ungewissheit, 1 Unlevering, 66 Unternehmenswert, 176 Value Added, 81 Value-Aktien, 79 Value-at-Risk, 186 Value-Basis, 161 Value-Effekt, 79 Varianz De nition, 28 eines Portfolios, 38 Varianzminimales Portfolio, 52 VDAX, 143 Vega, 135 Vergleichbarkeit, 3 Vix-Index, 126 Volatilität, 119 Implizite, 125 Stochastische, 143 Warrants, 86 Wertfunktion, 25 Wertpapierleihe, 46 Wiederanlageeffekt, 162 Wiener-Prozess, 118 Zeitwert, 90 Zinsbegrenzungsverträge, 146 Cap, 146 Collar, 150 Dual-Strike-Cap, 148 Floor, 149 Zinsimmunisierung, 181 Zinsoption, 145 Zinsstrukturkurve, 154 Zinsswap, 151 Zustandsdominanz, 34