SEMINARARBEIT. Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit mittels Ratings basierter Reduktionsmodelle

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1 SEMINARARBEIT im Rahmen der Lehrveranstaltung Seminar aus Finanzwirtschaft (SBWL Alternative Investments) Wintersemester 2014 Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit mittels Ratings basierter Reduktionsmodelle eingereicht bei Fischer, Edwin, O.Univ.-Prof. Mag. Dr.rer.soc.oec. Institut für Finanzwirtschaft Karl-Franzens-Universität Graz eingereicht von Philipp Perissutti Katharina Wagenhofer Graz, November 2014

2 Ehrenwörtliche Erklärung Wir erklären ehrenwörtlich, dass wir die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen nicht benutzt und die den Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht haben. Die Arbeit wurde bisher in gleicher oder ähnlicher Form keiner anderen inländischen oder ausländischen Prüfungsbehörde vorgelegt und auch noch nicht veröffentlicht. Die vorliegende Fassung entspricht der eingereichten elektronischen Version. 20. November 2014 Philipp Perissutti Katharina Wagenhofer

3 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis... II Abkürzungsverzeichnis... III Symbolverzeichnis... IV 1 Einleitung Definitionen Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit Ratings Ratingklassen und deren Ausfallwahrscheinlichkeit Kreditrisikomodelle Strukturelle Modelle Reduktionsmodelle Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) Einführung Ratingklassen und Ausfallwahrscheinlichkeiten im zeitdiskreten Fall Ergebnisse des Modells Beispiel Das Modell von Das und Tufano (1996) Einführung Modellbeschreibung Fazit Literaturverzeichnis I

4 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Empirisch ermittelte Ausfallquoten und idealisierte Ausfallwahrscheinlichkeiten (Daten )...4 Abbildung 2: Kreditrisikomodelle...5 Abbildung 3: Beispielhafte Übergangsmatrix Abbildung 4: Ausfallwahrscheinlichkeit JLT-Modell versus vereinfachte Schätzung II

5 Abkürzungsverzeichnis bzw. CDS EAD EL LGD JLT IRB OTC S&P PD VaR z.b. beziehungsweise Credit Default Swap Exposure at Default Expected Loss Loss Given Default Jarrow/Lando/Turnbull Internal-Ratings- based Over the counter Standard & Poor s Probability of Default Value-at-Risk zum Beispiel III

6 Symbolverzeichnis B C f f i K M n p Q Q q ij q ij r S s t T τ v X π δ σ Wert des Geldmarktkontos Cash Flows Forward Rate der risikolosen Nullkuponanleihe Forward Rate der risikobehafteten Nullkuponanleihe der Ratingklasse i Kreditausfall maturity Anzahl der Jahre Preis einer risikolosen Nullkuponanleihe Matrix der historischen Übergangswahrscheinlichkeiten Matrix der risikoneutralen Übergangswahrscheinlichkeiten historische Übergangswahrscheinlichkeit der Ratingklasse i in die Rating klasse j risikoneutrale historische Übergangswahrscheinlichkeit der Ratingklasse i in die Ratingklasse j risikoloser Zinssatz Zustandsraum der Ratings Spread heutiger Zeitpunkt Zeitpunkt der Fälligkeit Zeitpunkt des Kreditausfalls Preis einer risikobehafteten Nullkuponanleihe Zustandsvariable für das Risiko Risikoprämie Erlösquote Standardabweichung IV

7 Einleitung 1 Einleitung Die Messung und Bewertung von Kreditrisiken stellt ein sehr aktuelles Thema in der Wissenschaft und Praxis dar. Vor allem vor dem Hintergrund der Entwicklung von Basel 3 und Solvency 2 wird die Bedeutung dieses Gebiets deutlich. In der Literatur gibt es eine Vielzahl an Modellen zur Bewertung des Kreditrisikos, welche in Strukturelle Modelle und Reduktionsmodelle unterschieden werden können. Das Ziel dieser Arbeit ist die Darstellung des Kreditrisikos und der Ausfallwahrscheinlichkeit mittels ratingbasierter Reduktionsmodelle. Es sollen die Modelle von Jarrow/Lando/ Turnbull und Das/Tufano beschrieben, deren Vorgehensweise erläutert und die Ergebnisse dargestellt werden. Im Abschnitt 2 wird auf die Definition des Kreditrisikos und der Ausfallwahrscheinlichkeit eingegangen. Des Weiteren werden in diesem Abschnitt Ratings und die sich daraus ergebenden ratingspezifischen Ausfallwahrscheinlichkeiten erläutert. Im dritten Abschnitt wird das Modell von Jarrow/Lando/Turnbull beschrieben und die Ergebnisse dargestellt. Zur besseren Verständlichkeit des Modelles wird ein Beispiel angeführt. Im vierten und letzten Abschnitt wird auf die Modellerweiterung von Das/Tufano eingegangen, welches das Jarrow/Lando/Turnbull um eine stochastische Recovery Rate erweitert. 2 Definitionen 2.1 Kreditrisiko und Ausfallwahrscheinlichkeit Unter dem Begriff des Kreditrisikos versteht man alle negativen Folgen bzw. Risiken aus dem eingehen eines Kontraktes in ein Kreditgeschäft. 1 Um Kreditrisiken abschätzen zu können, ist der Expected Loss eine der wichtigsten Maßzahlen. 2 Der Expected Loss gibt die Höhe des Verlustes an, den der Gläubiger aus einem Kreditkontrakt erwarten kann. 3 Der Expected Loss (EL) wird mit den drei Größen Probability of Default (PD), Exposure 1 Vgl. Bielecki; Rutkowski (2002), S Vgl. Öhler; Unser (2002), S. 207f. 3 Vgl. Ong (1999), S

8 Definitionen at Default (EAD) und Loss Given Default (LGD) berechnet. Unter dem EAD versteht man den Positionswert bei Ausfall, unter der PD die Ausfallwahrscheinlichkeit und unter dem LGD versteht man die Verlustquote bei Ausfall. 4 Der Expected Loss ergibt sich aus der Multiplikation von EAD, LGD und PD. 5 Da der Expected Loss aber nur den Erwartungswert des Verlustes eines Kredites angibt, ist er somit kein Risikomaß. Um den Risikogehalt eines Kredites zu messen gibt es andere Risikokennzahlen wie den Value-at-Risk (VaR) oder die Standardabweichung der Verluste (Unexpected Loss). 6 An dieser Stelle ist anzumerken, dass die oben Risikomaße einer Normalverteilung unterliegen. Die Verteilung von Kreditrückzahlungen ist jedoch in der Regel nicht normalverteilt, da es in den meisten Fällen zur vollständigen Rückzahlung der Kreditverbindlichkeiten kommt. 7 Unter dem Begriff Ausfallrisiko versteht man, dass eine der beiden Vertragsparteien in einem Finanzkontrakt nicht in der Lage ist, seine vertraglichen Verpflichtungen in vollem Umfang zu erfüllen. Man spricht dann von einem Default bzw. von einem Credit-Event. 8 Für die Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit gibt es eine große Vielfalt an Methoden. Diese Methoden können in zwei verschiedene Gruppen eingeteilt werden: Ratings und Marktdaten. Wenn Aussagen über die Ausfallwahrscheinlichkeit mittels Marktdaten getroffen werden sollen, so kann dies über Aktienkurse, Anleihenkurse und CDS-Spreads erfolgen. Die in der Praxis am weitverbreitetste Methode ist die der Ratings, bei dem die Kreditnehmer entsprechend ihrer Bonität einer Ratingklasse, die mit Ausfallwahrscheinlichkeiten verknüpft ist, zugeordnet werden Ratings Ein Rating stellt eine Bonitätsbeurteilung und somit eine Einschätzung des Kredit- bzw. Ausfallrisikos eines Kreditnehmers dar. Im Gegensatz dazu ist ein Ratingverfahren die Art 4 Vgl. Hartmann-Wendels; Pfingsten; Weber (2010), S Vgl. Hartmann-Wendels; Pfingsten; Weber (2010), S Hartmann-Wendels; Pfingsten; Weber (2010), S Vgl. Hartmann-Wendels; Pfingsten; Weber (2010), S. 501f. 8 Vgl. Bielecki; Rutkowski (2002), S Vgl. Hartmann-Wendels; Pfingsten; Weber (2010), S. 502f. 2

9 Definitionen und Weise, wie ein solches Rating erstellt wird. 10 Die Bonitätseinstufung eines Kreditnehmers über ein Rating dient als Kriterium für die Bestimmung des risikoangemessenen Zinssatzes und zusätzlich auch für die nach Basel geforderte Eigenkapitalunterlegung der Banken für vergebene Kredite. 11 Für die Bonitätsprüfung der Kreditnehmer ist ein Rating vorzunehmen. Dieses kann entweder von den Banken selbst (internes Rating) oder durch eine Ratingagentur (externes Rating) durchgeführt werden. 12 Im Gegensatz zu den internen Ratings werden externe Ratings oftmals veröffentlicht Ratingklassen und deren Ausfallwahrscheinlichkeit Die Abstände zwischen den unterschiedlichen Klassen sind nicht metrisch messbar. Zudem kann einer Ratingklasse auch nicht direkt eine Ausfallwahrscheinlichkeit zugerechnet werden, sondern lediglich eine historische Ausfallquote. Die jeweiligen Ausfallquoten werden empirisch aus ex post eingetretenen Ausfällen pro Ratingklasse und Jahr ermittelt. Empirische Ausfallquoten sind von dem betrachteten Zeitraum abhängig und folglich nicht konstant. 14 Aus Abbildung 1 lassen sich die empirisch ermittelten durchschnittlichen Ausfallquoten für die jeweilige Ratingklasse von Standard & Poor s und Moody s entnehmen. Es ist jedoch zu erwähnen, dass die historische Ausfallquote nicht mit der Bonitätseinschätzung übereinstimmen muss. Deswegen werden idealisierte Ausfallwahrscheinlichkeiten als Schätzer herangezogen. 15 Zum Beispiel ist die Ausfallquote der Moody s-ratingklasse Baa2 um 0,06 Prozent niedriger als die der besseren Ratingklasse Baa1. Da Kreditlaufzeiten aber in der Regel über einen längeren Zeithorizont als ein Jahr laufen, werden hierfür kumulierte historische Ausfallquoten und deren idealisierten Ausfallwahrscheinlichkeiten herangezogen Vgl. Reichling; Bietke; Henne (2007), S Vgl. Reichling; Bietke & Henne (2007), S.44f. 12 Vgl. Reichling; Bietke & Henne (2007), S Vgl. Öhler; Unser (2002), S Vgl. Reichling; Bietke; Henne (2007), S Vgl. Reichling; Bietke; Henne (2007), S Vgl. Reichling; Bietke; Henne (2007), S.78. 3

10 78 Externes Rating Kreditrisikomodelle Standard & Poor s Ratingklasse Durchschnittlich e Ausfa llqu ote ( in % p. a.) Moody s Ratingklasse Durchschnittlich e Ausfa llqu ote ( in % p. a.) I dealisiert e Ausfallw ahrsch einlichkeit ( in % p. a.) AAA 0,00 Aaa 0,00 0,01 AA+ AA A 0,00 0,00 0,03 Aa1 Aa2 Aa3 0,00 0,00 0,05 0,02 0,03 0,04 A+ A A 0,02 0,05 0,05 A1 A2 A3 0,00 0,03 0,04 0,05 0,06 0,09 BBB+ BBB BBB 0,12 0,22 0,35 Baa1 Baa2 Baa3 0,21 0,15 0,50 0,13 0,16 0,39 BB+ BB BB 0,44 0,94 1,33 Ba1 Ba2 Ba3 0,70 0,65 2,38 0,67 1,17 2,03 B+ B B 2,91 8,38 10,32 B1 B2 B3 3,33 7,14 11,97 3,51 6,08 10,54 CCC 21,94 Caa 23,65 18,27 Tabelle 13: Empirisch ermittelte Ausfallquoten und idealisierte Ausfallwahrscheinlichkeiten (Daten für S&P von 1981 bis 2000, für Moody s von 1983 bis Abbildung 2002) 1: Empirisch ermittelte Ausfallquoten und idealisierte Ausfallwahrscheinlichkeiten (Daten ) Quelle: Reichling; Bietke; Henne (2007), S Kumulierte Ausfallquoten und -wahrscheinlichkeiten Da die Laufzeit eines Kreditengagements in Deutschland in der Regel mehrere Jahre beträgt, ist neben dem Ein-Jahres-Horizont auch die Betrachtung von längeren Zeiträumen interessant. Tabelle 14 zeigt hierfür die historischen Mehr-Jahres-Ausfallquoten (kumulierte Ausfallquoten) für ausgewählte S&P-Ratingklassen und Tabelle 15 gibt idealisierte Kreditrisikomodelle Mehr-Jahres-Ausfallwahrscheinlichkeiten (kumulierte Ausfallwahrscheinlich- 3 keiten) an. Zur Bewertung von risikobehaftetem Fremdkapital können verschieden Modelle bzw. Ansätze unterschieden werden. Grundsätzlich gibt es in der Literatur eine Unterteilung der Kreditrisikomodelle in zwei Gruppen. Es können hier, wie in Abbildung 2 ersichtlich, Strukturelle Modelle und Reduktionsmodelle unterschieden werden. 17 Alternativ gibt es in einem Teil der empirischen Literatur eine Einteilung in drei Gruppen, wobei Rating basierte Modelle, die bei der oben genannten Unterteilung den Reduktionsmodellen zugehörig waren, eine dritte, eigenständige Modellgruppe darstellen Vgl. Mair (2010), S Vgl. Felsenheimer; Gisdakis; Zaiser (2006), S

11 Kreditrisikomodelle Abbildung 2: Kreditrisikomodelle Quelle: Mair (2010), S Strukturelle Modelle Bei den Strukturellen Modellen kommt es zu einer Quantifizierung des Kreditrisikos durch Anwendung der Optionspreistheorie, wobei es zu einer Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeit, der Risikoprämie und der Credit Spreads kommen kann. 19 Strukturelle Modelle basieren auf der Arbeit von Merton 20, die wiederum auf der Optionspreistheorie nach Black und Scholes 21 fußt. Diese Modelle basieren auf der Annahme, dass es zu einem Kreditausfall kommt, wenn durch exogen oder endogen induzierte Ereignisse der Wert einer Unternehmung (Marktwert der Aktiva) einen bestimmten Grenzwert z.b. den Wert der Schulden unterschreitet. Hierbei werden stochastische Prozesse für den Unternehmenswert definiert, der den Kreditausfall indirekt auslöst Reduktionsmodelle Reduktionsmodelle werden auch Intensitätsmodelle genannt und stellen die am meisten verwendeten Modelle zur Kreditrisikomessung dar. In diesen Modellen werden Kreditausfälle als exogene Events modelliert. 23 Kreditausfälle werden losgelöst von fundamentalen 19 Vgl. Felsenheimer; Gisdakis; Zaiser (2006), S Vgl. Merton (1974). 21 Vgl. Black; Scholes (1973). 22 Vgl. Huschens; Locarek-Junge (2000), S Vgl. Felsenheimer; Gisdakis; Zaiser (2006), S

12 Kreditrisikomodelle Unternehmensdaten betrachtet und erlauben in der Modellbetrachtung einen zufällig eintretenden Ausfall. 24 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Kreditausfälle wird aus historischen Daten von externen Ratingagenturen oder aus Marktpreisen gewonnen. Im Gegensatz zu den Strukturellen Modellen bieten Reduktionsmodelle keine ökonomische Begründung für den Ausfall. Dies stellt den Grund dafür da, dass diese Modelle als Reduzierte Modelle bezeichnet werden. Das Ziel dieser Modelle ist eine marktkonsistente Darstellung der Preise von Krediten bzw. risikobehafteten Anleihen und der daraus implizit bestehenden Ausfallwahrscheinlichkeit. Der zentrale Bestandteil der Modellierung ist der stochastische Ausfallzeitpunkt. Reduktionsmodelle beschreiben also ein Kreditereignis, in dem der Schuldner in einem Kredit-Kontrakt nicht mehr in der Lage ist seine vertraglich vereinbarten Verpflichtungen zu erfüllen, als Zeitpunkt, in dem ein wachsender stochastischer Prozess eine exponentialverteilte Zufallsvariable überschreitet. Der Ausfallzeitpunkt wird in einem homogenen Poisson-Prozess als erster Sprungzeitpunkt definiert, dessen Intensität auch als Ausfallwahrscheinlichkeit beschrieben wird. 25 Die Modellklasse hat den Ursprung in den Arbeiten von Jarrow/Turnbull (1995) und Jarrow/Lando/Turnbull (1997). Jarrow/Turnbull modellieren die Ausfallwahrscheinlichkeit als ersten Sprung in einem Poisson-Prozess. Später bei Jarrow/Lando/Turnbull werden die Ausfallwahrscheinlichkeiten an ein Rating der Unternehmen geknüpft. Darüber hinaus berücksichtigen Das/Tufano (1996) stochastische Recovery Rates. Die Arbeit von Mandan/Unal (1998) wählt auf diese Modelle aufbauend die Entwicklung des Aktienkurses zur Modellierung der Ausfallwahrscheinlichkeit anstelle eines Ratings. Nach diesen Arbeiten sind auch noch die Erweiterungen von Lando (1998) und Duffie/Singleton (1999) zu nennen. Beide dieser Modellerweiterungen sowie bei Das/Tufano wird die Korrelation zwischen Ausfallrisiko und Zinsrisiko berücksichtigt, die in den Arbeiten davor als unabhängig betrachtet wurden. 26 Auf die Modelle von Jarrow/Lando/Turnbull (1997) und Das/Tufano (1996), welche die Gruppe der ratingbasierten Reduktionsmodelle darstellt, wird in den nächsten Abschnitten dieser Arbeit noch genauer eingegangen. 24 Vgl. Starck; Trautmann (2006), S. 474f. 25 Vgl. Starck; Trautmann (2006), S. 474f. 26 Vgl. Theis (2010), S.12. 6

13 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) 4 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) 4.1 Einführung Das Modell von Jarrow/Lando/Turnbull (JLT-Modell) stellt das erste Modell dar, in dem Ratings bei der Bewertung von risikobehafteten Vermögensgegenständen den maßgeblichen Indikator für einen Kreditausfall darstellen. Das Modell mit dem Titel A Markov Model for the Term Structure of Credit Risk Spreads wurde 1997 entwickelt und kann für die Bepreisung und das Hedging von Anleihen mit eingebetteten Optionen, von OTC Derivate mit Gegenparteiausfallsrisiko, von Municipal Bonds und von Kreditderivaten verwendet werden. Des Weiteren kommt es auch zum Einsatz des JLT-Modells im Risikomanagement, da es möglich ist aus dem Modell das Kreditrisikoprofil über die gesamte Dauer eines Kreditgeschäftes oder eines Kreditportfolios abzuleiten. Hierbei können das maximale Kreditrisiko und das erwartete Kreditrisikoprofil über die Zeit berechnet werden. Ausgehend von einer bestimmten Ratingklasse können Aussagen getroffen werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit es nach einer bestimmten Zeit zu Migrationen in andere Ratingklassen oder zu einem Ausfall kommt. 27 Bei der Positionierung innerhalb der Kreditrisikomodelle distanzieren sich Jarrow/Lando/ Turnbull und kritisieren an den Strukturellen Modellen, dass diese Ansätze in der Praxis schwer zu implementieren sind, da deren implizite Annahme, dass alle Vermögensgegenstände in der Realität handelbar und beobachtbar sind, nicht zutreffend ist. Zusätzlich verlangt die Anwendung der Strukturellen Modelle, dass die Rangigkeit aller Verbindlichkeiten des Unternehmens in den Bewertungsprozess implementiert wird, was in der Realität aber eine große Herausforderung darstellt. Als dritter Kritikpunkt wird genannt, dass diese Modelle nicht das Rating von Unternehmen in ihre Bewertung mit einbeziehen und somit Kreditderivate, deren Auszahlung von Ratings abhängig ist, nicht bewertet werden können Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S. 481ff. 28 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S

14 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) Beim JLT-Modell, das arbitragefrei ist, wird der Kreditausfall als ein exogener Prozess beschrieben, der somit nicht von den Vermögensgegenständen des Unternehmens abhängig ist. 29 Daher wird dieses Modell auch der Modellgruppe der Reduktionsmodelle zugeordnet. Das Modell beschreibt den Kreditausfall als einen Markov-Prozess mit einem endlichen Zustandsraum der Kreditratings. Ein Markov-Prozess ist ein stochastischer Prozess in diskreter bzw. stetiger Zeit, mit dem sich Migrationsprozesse stochastisch modellieren und analysieren lassen. Der Prozess ist so ausgestaltet, dass der nächste Zustand X t+1 bei bekanntem Zustand X t unabhängig von der Vergangenheit X t 1,, X 0 ist. Somit hängt der Preis nur von dem Preis der Vorperiode ab. 30 Das Modell weist folgende Eigenschaften auf: 31 Unterschiedliche Rangigkeit von Schulden eines Unternehmens können durch unterschiedliche Erlösquoten berücksichtigt werden. Das Modell kann mit jedem beliebigen Modell zur risikolosen Zinsstrukturkurve kombiniert werden (z.b. Cox, Ingersoll und Ross 32 ). Es werden historische Übergangswahrscheinlichkeiten für Ratings verwendet, um die in der Bewertung verwendeten Pseudowahrscheinlichkeiten zu berechnen. Das Modell kann verwendet werden um Optionen auf Kredite oder Kreditderivate zu bewerten bzw. zu hedgen. Eine der zentralen Annahmen des Modells ist, dass die risikolose Zinsstrukturkurve und der Prozess des Kreditausfalls stochastisch unabhängig sind. Diese Annahme wird zur Erleichterung der empirischen Untersuchung getroffen und könnte aber jederzeit fallengelassen werden, ohne die Ergebnisse zu ändern. 33 Diese Annahme scheint durchaus plausibel zu sein, da zumindest bei Investment Grade Unternehmen die historischen Ausfallwahrscheinlichkeiten über die Zeit relativ konstant sind. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten von High-Yield Unternehmen sind zwar etwas volatiler, jedoch noch immer relativ konstant 29 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbul (1997), S Vgl. Henking; Bluhm; Fahrmeier (2006), S. 150f. 31 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Cox; Ingersoll; Ross (1985). 33 Vgl. Jarrow; Turnbull (1995). 8

15 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) mit einer Standardabweichung der Ausfallwahrscheinlichkeiten der mit B gerateten Unternehmen von 5,04% zwischen 1970 und Das Jarrow/Lando/Turnbull Modell stellt eine Erweiterung des Jarrow/Turnbull Modells 35 aus dem Jahr 1995 dar, weshalb die für das JLT-Modell relevanten Aspekte kurz vorgestellt werden sollen. In dem Modell werden risikolose und risikobehaftete Nullkuponanleihen aller Laufzeiten und ein risikoloses Geldmarktkonto gehandelt. Der Wert des Geldmarktkontos zum Zeitpunkt t ergibt sich mit Hilfe der risikolosen Spot Rate r folgendermaßen: 36 t 1 B(t) = exp ( i=0 r(i) ) (1) Der Preis p einer risikolosen Nullkuponanleihe zum Zeitpunkt t ergibt sich durch Diskontierung der sicheren Zahlung zum Zeitpunkt T: 37 p(t, T) = E t( B(t) B(T) ) (2) Wenn eine Unternehmung ihre Verbindlichkeiten nicht mehr im vertraglich vereinbarten Ausmaß leisten kann, so bedeutet dies nicht, dass es zu einem totalen Ausfall kommen muss. In diesem Fall zahlt das Unternehmen δ < 1 Einheiten Geld, wobei δ die Erlösquote darstellt, die von der Rangigkeit der Verbindlichkeit abhängt. In dem Modell von Jarrow/ Lando/Turnbull wird die Erlösquote als konstant angesehen. Wenn τ den Zeitpunkt des Kreditausfalls darstellt, dann ergibt sich der Wert v der risikobehafteten Nullkuponanleihe wie folgt: 38 v(t, T) = p(t, T)(δ + (1 δ)q t(τ > T)) (3) 34 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S. 483f. 35 Vgl. Jarrow; Turnbull (1995). 36 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S

16 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) Der Wert einer risikobehafteten Nullkuponanleihe wird in Gleichung 3 als Produkt der risikolosen Nullkuponanleihe und der Auszahlung zur Fälligkeit dargestellt. Der Ausdruck Q t(τ > T) stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass der Kreditausfall nicht während der Laufzeit der Nullkuponanleihe stattfindet. Die Modellierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erfolgt mittels Martingal-Wahrscheinlichkeiten und ist einer der zentralen Bestandteile dieser Arbeit Ratingklassen und Ausfallwahrscheinlichkeiten im zeitdiskreten Fall Die Verteilung des Kreditausfallzeitpunktes erfolgt mittels einer zeitdiskreten Markov Kette mit einem endlichen Zustandsraum S = {1,2,.., K}. Die Zustände 1,2,... entsprechen dabei den, durch die Ratingagenturen definierten, Ratingklassen. 40 So entspricht der Zustand 1 dem Rating Aaa der Ratingagentur Moody s und die niedrigste Ratingklasse K-1 der Ratingklasse C. 41 Der Zustand K entspricht einem Kreditausfall und ist zugleich ein absorbierender Zustand d.h. es wird vereinfachend angenommen, dass ein insolventes Unternehmen nicht saniert werden kann und in diesem Zustand auch in den Folgeperioden bleibt. Diese Markov-Kette wird durch eine K K Übergangsmatrix spezifiziert: 42 Q = q 11 q 21 q 12 q 22 q K 1,1 i q K 1,2 { 0 0 q 1K q 2K i q K 1,K 1 } (4) Bei dieser Matrix gilt q ij 0 für alle i, j, i j und q ii 1 K j=1 q ij J i. Die Zeilen i der Matrix kennzeichnen die ursprüngliche Ratingklasse und die Spalten j der Matrix bezeichnen die Ratingklasse am Ende der Periode. Im diskreten Fall geht man üblicherweise von einem Jahr als Zeitintervall aus. Der Term q ij repräsentiert demnach die historisch ermittelte Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Jahres von der Klasse i zur Klasse j zu wechseln. Eine 39 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Moody s (2014). 42 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S

17 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) Eigenschaft dieser Übergangsmatrix ist es, dass die von Null verschiedenen Übergangswahrscheinlichkeit entlang der Diagonale konzentriert sind. Dies lässt sich dadurch erklären, dass eine Verbesserung oder Verschlechterung eines Ratings eine fundamentale bzw. langfristige Entwicklung des Unternehmens voraussetzt, was in der Betrachtungsperiode von einem Jahr praktisch kaum vorkommt. Dies Übergangs- oder Migrationsmatrix wird als zeithomogen betrachtet d.h. die historisch ermittelten einjährigen Ausfallwahrscheinlichkeiten werden als konstant angesehen. Auch an dieser Stelle haben Untersuchungen zur Gültigkeit dieser Annahme gezeigt, dass dies für Investment Grade Unternehmen eher zutrifft als für High Yield Unternehmen. Dieser Annahme folgend können auch Übergangsmatrizen mit den Übergangswahrscheinlichkeiten q ij (0, n) über einen Zeitraum von n Jahren berechnet werden. Die Berechnung der mehrjährigen Übergangsmatrix erfolgt durch das n-fache Produkt der einjährigen Übergangsmatrix: Q 0,n = Q n. 43 Unter der oben beschriebenen Voraussetzung eines vollkommenen Marktes und der Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten ergibt sich die Übergangsmatrix vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t+1 unter der Martingal Wahrscheinlichkeit wie in Gleichung 5 dargestellt. 44 Eine korrekte Bewertung eines risikobehafteten Vermögensgegenstandes verlangt anstelle der realen, historisch ermittelten Ausfallwahrscheinlichkeiten die Verwendung von risikoneutralen oder Pseudowahrscheinlichkeiten. 45 q 11 (t,t+1) q 12 (t,t+1) q 1K (t,t+1) Q t,t+1 = ( q 21 (t,t+1) q K 1,1 (t,t+1) 0 q 22 (t,t+1) q K 1,2 (t,t+1) 0 q 2K (t,t+1) q K 1,K (t,t+1) 1 ) (5) mit q ij (t, t + 1) 0 i, j, i j K q ii (t, t + 1) 1 q ij (t, t + 1) j=1 j i q ij (t, t + 1) > 0, wenn q ij > 0 für 0 t τ 1 43 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S. 487f. 44 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Felsenheimer; Gisdakis; Zaiser (2006), S. 260f. 11

18 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) Da in diesem Fall die Martingal-Wahrscheinlichkeiten vom gesamten Prozess bis zum Zeitpunkt t abhängen, muss dieser Prozess ein Markov Prozess sein. Zur Erleichterung der empirischen Implementation werden einige Restriktionen eingeführt, so dass die Risikoprämienanpassung π folgende Bedingung erfüllt: 46 q ij (t, t + 1) = π i (t)q ij für alle i, j, i j (6) Die Risikoprämienanpassung transformiert historische in risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten, welche zur Bewertung verwendet werden müssen. π i (t) ist eine deterministische Funktion der Zeit und kann folgend berechnet werden: 47 π i (0) = [p(0,1) vi (0,1)] p(0,1) (1 δ)q ik für i = 1,, K 1 (7) 1 Unter der Annahme, dass Q 0,t existiert und die Erlösquote bekannt ist, kann die Risikoanpassung folgend berechnet werden: π i (t) = K j=1 q i,j (8) p(0,t+1) (1 δ) q i,k 1 (0, t) p(0,t+1) vi (0,t+1) p (0, t + 1) heutiger Preis einer risikolosen Nullkuponanleihe mit einer Laufzeit t+1 v i (0, t + 1) 1 q i,j heutiger Preis einer risikobehafteten Nullkuponanleihe der Ratingklasse i xx mit einer Laufzeit von t+1 inverse Übergangswahrscheinlichkeit von Ratingklasse i zu j Die Matrix Q 0,n, die eine n-stufige Übergangsmatrix darstellt, um vom Zustand i zum Zeitpunkt t = 0 zum Zustand j zum Zeitpunkt t = n zu migrieren, muss folgende Bedingung erfüllen: 48 Q 0,n = Q 0,1 Q 1,2,, Q n 1,n (9) 46 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S. 488f. 47 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S

19 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) Nur für den Spezialfall, dass die Funktion π(t) eine konstante Matrix über die Zeit ist, kann man Q 0,n als Q 0,n = Q n darstellen. Unter Einsetzung dieser Ergebnisse in Gleichung 6 kann nun berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Unternehmen zur Fälligkeit T noch solvent ist. Es wird folgend bestimmt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Default τ nach der Fälligkeit T eintritt: 49 Q ti (τ > T) = j K q ij (t, T) = 1 q ik (t, T) (10) Aus der Formel zur Berechnung der Solvabilität und dem daraus ableitbaren Preis einer risikobehafteten Nullkuponanleihe können nun Credit Risk Spreads berechnet werden: 50 f i (t, T) f(t, T) = log ( vi (t,t+1) ) v i (t,t) ( log (p(t,t+1) )) (11) p(t,t) f i (t, T) f(t, T) Forward Rate für risikobehaftete Nullkuponanleihe für Unternehmen der xratingklasse i Forward Rate für risikolose Nullkuponanleihe 4.3 Ergebnisse des Modells Im Folgenden werden die Ergebnisse des Modells und die Implikation daraus dargestellt. Folgende Abbildung zeigt eine beispielhafte Übergangsmatrix für ein Jahr. 0,87 0,10 0,02 0,01 0,05 0,84 0,10 0,01 Q 0,1 = ( ) 0 0,05 0,85 0, Abbildung 3: Beispielhafte Übergangsmatrix Quelle: In Anlehnung an Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S

20 Das Modell von Jarrow, Lando und Turnbull (1997) In diesem Beispiel gibt es vier mögliche Zustände bzw. vier Ratingklassen. Die Wahrscheinlichkeit im nächsten Jahr in der gleichen Ratingklasse zu sein beläuft sich für die erste Ratingklasse auf 87%, die Wahrscheinlichkeit sich um eine Ratingklasse zu verschlechtern beläuft sich auf 10%, die Wahrscheinlichkeit nach einem Jahr in der dritten Ratingklasse zu sein auf 2% und die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls beläuft sich auf 1%. In einem zeitdiskreten Fall könnte man den Versuch machen und die Überlebenswahrscheinlichkeit in den nächsten zwei Jahren als (1 0,01) 2 = 0,9999 zu berechnen, was einer zweijährigen Ausfallwahrscheinlichkeit von 0,01% entsprechen würde. Diese Vorgehensweise würde aber die Wahrscheinlichkeit eines Downgrades in schlechtere Ratingklassen und der in der nächsten Periode mögliche Ausfall in diesen Ratingklassen nicht miteinbeziehen. 51 Abbildung 4 zeigt die Ausfallwahrscheinlichkeit, deren vereinfachte Berechnung oben beschrieben wurde, als gestrichelte Linie und die Ausfallwahrscheinlichkeit, die mittels des JLT-Modells berechnet wurde, als durchgehende Linie. Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit der ersten Ratingklassen konstant unterschätzt wird und dieser Effekt mit fortlaufender Zeit immer stärker wird. Die erste und zweite Ratingklasse haben, wie in Abbildung 3 dargestellt, dieselbe Wahrscheinlichkeit für einen direkten Ausfall innerhalb des ersten Jahres. Dennoch ist die zweite Ratingklasse bei mehrjähriger Betrachtung ausfallgefährdeter, da diese Ratingklasse näher bzw. mit größerer Wahrscheinlichkeit in die dritte Ratingklasse migriert, die eine höhere Ausfallwahrscheinlichkeit aufweist als die ersten beiden. 52 Jarrow/Lando/Turnbull zeigen in ihrem Modell auch, dass es möglich ist, dass Credit Spreads mit zunehmender Zeit absinken können. Dies trifft vor allem auf schlechtere Ratingklassen zu. Wie Gleichung 10 zeigt, wird der Credit Spread aus den Forward Rates abgeleitet, bei denen es zu keinem Ausfall vor dem Laufzeitende kommt. Folglich kann der Spread sinken, wenn ein Unternehmen in einer schlechten Ratingklasse eine bestimmte Zeit nicht ausgefallen ist, da mit der steigender Laufzeit auch die Wahrscheinlichkeit zu- 51 Vgl. Henking; Bluhm; Fahrmeir (2005), S. 225f. 52 Vgl. Jarrow; Lando; Turnbull (1997), S