1 Einführung in die Fehlerbehandlung (v110315)

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1 Prof. Dr. J. S 1 Einführng in die Fehlerbehandlng (11031) Vorbeerkng: Für den korrekten Ugang it Messabeichngen (ach: Messfehlern ) gibt es Noren, beispielseise die DIN I Detail kann es nterschiedliche Noren für erschiedene Anendngsgebiete geben. Des Weiteren erden die Noren on Zeit z Zeit überarbeitet, so dass sich ieder Änderngen in der Behandlng der Messabeichngen ergeben. Dessen ngeachtet basieren alle Noren af geissen Ideen nd atheatischen Prinzipien. Ziel dieser Einführng ist es, diese grndlegenden Prinzipien z erstehen nd anzenden. Ist dieses Ziel erreicht, ist der Schritt z Verständnis nd zr Anendng konkreter Noren klein. 1.1 Messng: Schätzert nd Fehler Der ahre Wert einer physikalischen Größe kann nieals eakt bestit erden. Er kann nr drch Vergleich it eine Einheitsaß geschätzt erden. Wir nennen diese Schätzng eist Messng. Die Qalität eines Messergebnisses ird drch die Angabe der Genaigkeit ( des Fehlers ) angegeben. Fehler = Messnsicherheit = Messngenaigkeit = Messabeichng Der Begriff Messfehler oder Fehler bedetet nicht nbedingt, dass an bei der Messng etas falsch geacht hat! Ziel einer Messng: Besting des besten Schätzertes für den ahren Wert Angabe der Unsicherheit (des Fehlers ) der Messng Nebenbeerkng: Die folgende Assage: Wir haben die Größe einer Person Otto z 1,81 geessen; die Messngenaigkeit betrg c bedetet: Möglichereise ist die Person tatsächlich 1,81 groß. Die Messng hätte dann den ahren Wert seiner Größe geliefert. Aber ir können das nicht issen! Vielleicht ist die Person ach 1,80 oder 1,83 groß. Sogar 1,7 ären öglich. Notizen zr Vorlesng S. 1 on 1 Einführng Fehlerrechnng

2 Prof. Dr. J. S 1. Fehlerarten 1..1 Systeatischer Fehler Kennzeichen: Alle Messerte liegen af einer Seite des ahren Wertes Ursachen: Fehlerhafte Messittel Unollkoener Beobachter Uelteinflüsse Ungenaes atheatisches Modell Der systeatische Fehler ss abgeschätzt erden ( raten ). Beispielseise gibt die Güteklasse eines Messgerätes ( k = 1, ) an, dass der systeatische Fehler 1,% des Skalenbereiches beträgt. 1.. Statistischer Fehler Kennzeichen: Die Werte der einzelnen Messngen schanken scheinbar zfällig den ahren Wert. Drch ehraliges Wiederholen der Messng (Messreihe) kann der statistische Fehler beeinflsst (redziert) erden Messreihe nd Asreißer Definition einer Messreihe: Die gleiche Messng ird nter öglichst identischen Randbedingngen N-al iederholt. Findet sich in einer Messreihe ein Asreißer, also ein Wert, der offensichtlich falsch ist, so ird dieser gestrichen nd bei der Asertng nicht berücksichtigt. Der Asreißer ird nicht asradiert; er bleibt i Messprotokoll sichtbar! Geben Sie eine Begründng, eshalb der Wert nicht berücksichtigt ird! (Es könnte sich ja später herasstellen, dass der Wert doch eine korrekte Messng ar!) 1.. Gesatfehler Der gesate Fehler ergibt sich als Se der beiden oben genannten Fehler: = + Er ird af signifikanten Stellen angegeben nd stets afgerndet. Notizen zr Vorlesng S. on 1 Einführng Fehlerrechnng

3 Prof. Dr. J. S 1.3 Darstellng eines Messergebnisses Histogra I Histogra ird die Häfigkeit eines Messertes über de Messert afgetragen. Ein Histogra sollte idealereise nr ein Mai afeisen. Nr dann ist die Berechnng eines Mittelertes sinnoll. Beispiel: Die Größe einer Stdenten ird N = 30 al geessen. Es ergibt sich folgende Messreihe: Darstellng i Histogra: 1,7 1,68 1,7 1,70 1,7 1,7 1,77 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,79 1,73 1,7 1,7 1,78 1,76 1,77 1,7 1,7 1,7 1,83 1,7 1,7 1,7 1,70 1,70 1, Bestert (ach: Messert) Ein Messergebnis einer Messreihe gibt den besten Schätzert für den ahren Wert an soie die Unsicherheit ( den Fehler ), it der dieser Bestert behaftet ist. Als besten Schätzert oder Messert geben ir das arithetische Mittel (Mittelert, Drchschnitt) der Messreihe an: N i i 1 Se aller geessenen Werte diidiert drch die Anzahl der Messngen N Standardabeichng nd Standardabeichng des Mittelertes Trägt an eine statistische Verteilng in eine Diagra af, so erhält an nter bestiten, idealisierten Bedingngen eine Glockenkre oder Gaß sche Noralerteilng: 0,0 0,0 0,03 0,03 0,0 0,0 0,01 0,01 0, Die Kre ist syetrisch den Mittelert (Bestert) (hier: 0 ). Die Breite der Glocke ist ein Maß für die Unsicherheit. Ddie Standardabeichng bz. N -1 ist definiert geäß: 1 N N 1 N 1 i i1 Notizen zr Vorlesng S. 3 on 1 Einführng Fehlerrechnng

4 Prof. Dr. J. S drch das Qadrat erden alle Fehler positi nd können sich bei der Addition nicht gegenseitig kopensieren; große Abeichngen o Mittelert erden stärker geichtet. da drch (N-1) diidiert ird, ist für eine Messreihe it N = 1 (Einzelessng) keine Standardabeichng definiert. Die eisten gängigen Taschenrechner erfügen über statistische Fnktionen zr einfachen Berechnng on Mittelerten nd Standardabeichng. Machen Sie sich it dieser Fnktionalität Ihres Taschenrechners ertrat! Übng 1: Eine Messreihe besteht as den ier Werten 3,,, Geben Sie diese Werte über die Statistikfnktion in Ihren Taschenrechner ein. Rfen Sie den Mittelert ab. (ss,00 ergeben). Rfen Sie die Standardabeichng ab. (ss 0, ergeben). Löschen Sie den Statistikspeicher Ihres Taschenrechners, dait die nächste Übng bearbeitet erden kann. Übng : Berechnng des Messergebnisses einer Volenessng: geessen rde: V 1 =,13 c³, V =,0 c³, V 3 =, c³, V =,16 c³. Berechnen Sie it Ihre Taschenrechner: Mittelert V,13 c³ Standardabeichng: = 0, c³ Notizen zr Vorlesng S. on 1 Einführng Fehlerrechnng

5 Prof. Dr. J. S Übng 3: Berechnng des Messergebnisses einer Größenessng: X 1 = 1,78 X 11 = 1,68 X = 1,77 X 1 = 1,66 X 3 = 1,6 X 13 = 1,7 X = 1,7 X 1 = 1,76 X = 1,7 X 1 = 1,79 X 6 = 1,7 X 16 = 1,66 X 7 = 1,80 X 17 = 1,77 X 8 = 1,7 X 18 = 1,79 X 9 = 1,7 X 19 = 1,73 X 10 = 1,69 X 0 = 1,70 X = 1,73 = 0, , N 0 0, ist die Standardabeichng des Mittelertes (ach ittlerer Fehler ) Die Standardabeichng berücksichtigt noch nicht die Anzahl N der Messngen nd ist bei einer Noralerteilng on N (nahez) nabhängig. Allerdings ist klar, dass der Mittelert so erlässlicher bestit erden kann, je ehr Messngen orliegen. Deshalb bestien ir ie oben angegeben. Für den systeatischen Fehler nehen ir an: = Messgenaigkeit des Zollstockes: = 0,001 ( = 1) Gesatfehler: = + = 0, Korrekte Darstellng des Messergebnisses: Die große Anzahl an Nachkoastellen sggeriert eine Genaigkeit, die nicht gegeben ist. Wir ereinbaren: 1. Der Fehler ird af signifikante Stellen angegeben nd stets afgerndet.. Der Messert (= Bestert) ird noral gerndet nd it der gleichen Genaigkeit (Anzahl Nachkoastellen) ie der Fehler angegeben. Dait erhalten ir den Fehler z = 0,01 (Fehler hat Einheit ie Messert!) Und den Mittelert z = 1,733 Messergebnis: Größe = (1,733 ± 0,01) = 1,733 (1) 1.3. Relatier Fehler nd prozentaler Fehler alternatie Darstellng statt +/- Der relatie Fehler ergibt sich, enn an den Gesatfehler af den Bestert bezieht: relatier Fehler der Messgröße : = prozentaler Fehler = relatier Fehler 100%: = 100% (diensionslos) (diensionslos) Notizen zr Vorlesng S. on 1 Einführng Fehlerrechnng

6 Prof. Dr. J. S 1. Statistische Bedetng der Standardabeichng Bei einer Noralerteilng finden sich i Bereich 68,3% aller Messpnkte 9,% aller Messpnkte 3 99,7% aller Messpnkte Dait ist klar: je kleiner ist, so schärfer grppieren sich alle Messerte den Mittelert. 1. Matheatische Beschreibng der Noralerteilng Matheatisch lässt sich die Gaß sche Glockenkre drch eine Eponentialfnktion darstellen: 1 1 y e ep Nebenbeerkng: Die Schreibeise ep() bedetet das Gleiche ie e, die Eponentialfnktion zr Basis e =,7188. Die Schreibeise ep() ist oft besser lesbar. Dies ist eine Wahrscheinlichkeitserteilng nd soit gilt d 1 y die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Messert irgendeinen beliebigen Wert zischen - nd + annit ist Beispiel: Bedetng der Standardabeichng Eine Fabrik fertigt Schraben, deren Länge 0 ± 1 sein soll. Da die Anzahl der täglich prodzierten Schraben 1 Mio. beträgt, kann nicht jede Schrabe geprüft erden. Eine Stichprobe on ca Schraben ergibt, dass der Mittelert 0 beträgt. Die Standardabeichng liegt bei 1. Das bedetet aber (s.o.), dass 68,3% aller Messpnkte innerhalb des Interalls ± 1 liegen, oder anders asgedrückt, der Rest, nälich 31,7% ist Asschss. Das Gleiche gilt für die gesate Prodktion. U den Asschss af nter,% z drücken, ss die Fertigng erbessert erden af eine Standardabeichng on 0,.? U den Asschss af nter 0,3% z drücken, ss die Fertigng erbessert erden af eine Standardabeichng on (Qelle des Beispiels: Skript Prof. Jödicke) Notizen zr Vorlesng S. 6 on 1 Einführng Fehlerrechnng

7 Prof. Dr. J. S 1.7 Vo Ugang it signifikanten Stellen Wenn Sie den Ufang eines Kreises bestien ollen, können Sie den Drchesser d essen nd den Ufang geäß U = d berechnen. Angenoen, Sie essen d = 7, c it einer Unsicherheit on d = 1, also d = (7, ± 0,1) c, dann liefert der Taschenrechner egen der Mltiplikation it : U = d =, c ± 0,31196 c Tatsächlich geben ir nr die Anzahl an signifikanten Stellen an, die notendig ist, das Messergebnis ohne Verlst an Genaigkeit iederzgeben: U =,6 c ± 0,3 c (Fehler afgerndet) = (,6 ± 0,3) c Eine Änderng der Maßeinheit ändert nicht die Anzahl signifikanter Stellen: U =,6 c = 6, = 0,6 sind jeeils signifikante Stellen Addition nd Sbtraktion Bei Addition nd Sbtraktion rnden ir das Ergebnis af die letzte Dezialstelle des eniger genaen Wertes (bezüglich der Anzahl an Nachkoastellen): ohne Rndng: 10,01 c + 3, c + 0,006 c = 36,16 c Der zeite Sand hat it einer Dezialstelle die geringste Anzahl an Nachkoastellen. Soit ird ach das Ergebnis af eine Nachkoastelle, also af den Wert 36, c gerndet Mltiplikation nd Diision Wir rnden af die kleinere Anzahl signifikanter Stellen. Beispiel: Fläche A eines Rechtecks it l = 63, c ( s. St.), b = 3,17 c (3 s. St.). ohne Rndng: A = l b = 63, c 3,17 c = 01,38 c² gerndet af 3 signifikante Stellen: A = 01 c. Notizen zr Vorlesng S. 7 on 1 Einführng Fehlerrechnng

8 Prof. Dr. J. S 1.8 Fehlerfortpflanzng Bei Beispiel Besting des Kreisfanges U hängt der Ufang U nr on der Messgröße Drchesser d ab. Der Zsaenhang ist überdies linear: U U U U(d)= d Die Messngenaigkeit für d korrespondiert it einer Ungenaigkeit U für U; dieses U ist für alle d gleich! U = d = 0,31 c afgerndet: U = 0, c für alle d! d d d Eine Variable: Die Sitation stellt sich gänzlich anders dar, falls die z bestiende Größe nicht ehr linear on der Messgröße abhängt (Beispiel Kreisfläche A d ). Die Unsicherheit A für die Kreisfläche hängt dann on der Messnsicherheit d nd o Drchesser d ab: A A(d)= d A = d Steigng der Kre bei Messert d Die Steigng der Kre errechnet sich as der da Ableitng: d dd A da daras: A d d d dd A 1 d 1 d d d d Allgeein gilt für eine beliebige Fnktion f U df U du : Beispiel: Es sei die Messngenaigkeit des Drchessers d = 1 Wir erhalten dann folgende Ergebnisse: Bestert (ngerndet) Unsicherheit (ngerndet) Messergebnis d 1 = 7, c A = 0,71 c² A = 1,13097 c² A 1 = (0,7±1,) c² d = 100 c A = 783,98 c² A = 1,708 c² A = (78±16) c² A hängt daon ab, elcher Wert für d geessen rde! Mehrere Variable (Messgrößen): Wenn die geschte Größe on ehreren Messgrößen,, abhängt, so trägt der Fehler jedes einzelnen Messertes z Gesatfehler bei: Die einzelnen Fehler berechnen sich ie bei einer Variablen, nn aber it partiellen Ableitngen: f f f ; ; ; Notizen zr Vorlesng S. 8 on 1 Einführng Fehlerrechnng

9 Prof. Dr. J. S Wie erden die einzelnen Fehler addiert? 3. Bei systeatischen Fehlern endet an die Größtfehleraddition ( Maialfehler ) an: Wenn = f(,,), dann ist ges... f f f.... Bei statistischen Fehlern endet an die Gaß sche Fehlerfortpflanzng an: ges... f f f... Zr Vereinfachng des Verfahrens enden ir bei der Asertng der Laborersche nr die Größtfehleraddition an. Übng : Besting der Dichte eines Würfels U die Dichte eines Würfels z bestien, rden in zei Messreihen seine Kantenlänge a nd seine Masse bestit: a = (9,0 ± 0,01), = (80, ± 1,) g. Die Dichte eines Würfels berechnet sich geäß 3. V a Soit laten die Ableitngen: a Die Messng der Masse erzegt folgenden Fehlerbeitrag i Endergebnis: Die Messng der Kantenlänge erzegt folgenden Fehlerbeitrag i Endergebnis: a a a? Welche Messreihe (Masse oder Kantenlänge) sollte znächst optiiert erden, eine genaere Assage über die Dichte des Würfels z erhalten? Übng b: Besting der Dichte eines Würfels Berechnen Sie nn den Gesatfehler der Dichtebesting nd geben Sie das Gesatergebnis in korrekter For an: = = Notizen zr Vorlesng S. 9 on 1 Einführng Fehlerrechnng

10 Prof. Dr. J. S 1.9 Anendng der Grndlagen i Physiklabor Rezept für richtiges Vorgehen (Qelle: Skript Prof. Jödicke) Asertng einer Messreihe Messng drchführen nd saber dokentieren Systeatischen Fehler abschätzen (Kap. 1..1) Erstellen des Histogras (Kap ) Wegstreichen offensichtlicher Fehlessngen (it genaer Begründng) (Kap. 1..3) Falle eines Mais: Mittelert berechnen (Kap. 1.3.) Standardabeichng des Mittelerts berechnen (Kap ) Gesatfehler bestien (Kap. 1..) Ergebnis der Messreihe angeben (Kap. 1.3) 1.9. Fehlerfortpflanzng Afstellen der Forel für den geschten Wert. Dabei dürfen af der rechten Seite nr geessene Größen oder Konstanten aftachen. Berechnen des Bestertes des geschten Wertes drch Einsetzen der geessenen Werte in die Forel. Berechnen der Forel für den Fehler der geschten Größe Berechnen der Teilfehler der einzelnen Messgrößen z Gesatfehler Angabe des Ergebnisses für den geschten Wert (Bestert nd Fehler) Notizen zr Vorlesng S. 10 on 1 Einführng Fehlerrechnng

11 Prof. Dr. J. S 1.10 Beispiel: Besting der Dichte eines Würfels Die Dichte eines Würfels soll bestit erden. Daz erden die Masse it einer Waage (Genaigkeit 1 Gra) nd die Kantenlänge it eine Messschieber geessen. Die Messreihe für die Masse latet (in Gra): 11, 1, 119, 10, 30, 11, 118, 11 Die Messreihe für die Kantenlänge a (in ): 33,; 33,3; 33,; 33,30; 33,31; 33,; 33, Asertng Messreihe Masse systeatischer Fehler = 1g ein offensichtlicher Messfehler (30 Gra) ansonsten eine Verteilng it nr eine Mai. Daras ergeben sich N = 7 Messerte Mittelert (as Rechner) = 10,871 g Standardabeichng: 1, g Standardabeichng des Mittelerts = 0,1608 g Gesatfehler: = 1,1608 g Ergebnis Masse (it Rndng): = (10,3 ± 1,6) g Asertng Messreihe Kantenlänge a systeatischer Fehler a = /100 (Messschieber) kein offensichtlicher Messfehler nd eine Verteilng it nr eine Mai. Daras ergeben sich N = 7 Messerte Mittelert (as Rechner) a = 33,713 Standardabeichng: 0,0303 Standardabeichng des Mittelerts a = 0,0130 Gesatfehler: a = 0,06 Ergebnis Kantenlänge a = (33,7 ± 0,06) Fehlerfortpflanzng Es gilt = /V. Da V aber keine Messgröße ar, ss die Forel geschrieben erden z = /a³. Bestert (ngerndet) der Dichte: 10,3g a 33,7 Größtfehler: a a 0, , g 1 a 3 a a (partielle Ableitng bedetet, dass alle Variable, nach denen gerade nicht abgeleitet ird, als konstant betrachtet erden). Einsetzen der Werte in diese Gleichng ergibt kg Rndng 3,98 18,881 6, kg Endergebnis: 3 kg kg 3 kg Notizen zr Vorlesng S. 11 on 1 Einführng Fehlerrechnng

12 Prof. Dr. J. S Notizen zr Vorlesng S. 1 on 1 Einführng Fehlerrechnng 1.11 Vereinfachng der Ableitng Beispiel: die z bestiende Größe hängt on den Messgrößen, nd folgenderaßen ab: Der Gesatfehler ergibt sich it den partiellen Ableitngen geäß 3 Ereitern der drei Sanden: 3 In jede Sand steckt jetzt ieder die z bestiende Größe : 1 Soit kann or jeden Sanden geschrieben erden: Schließlich liefert die Diision drch : Merke: Besteht die Fnktion nr as Prodkten nd Diisionen on Messgrößen oder Potenzen on Messgrößen, so lässt sich der relatie Gesatfehler leicht finden: = = = Der relatier Gesatfehler ergibt sich drch Addition der relatien Fehler der einzelnen Messerte, jeeils geichtet it der Potenz des Messertes.