Statistik I für Betriebswirte

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1 Statistik I für Betriebswirte Privat-Doz. Dr. H. Haase Inst. f. Math. u. Inf Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

2 Übersicht 1 Verteilungen von Zufallsgröÿen 2 Unabhängigkeit reeller Zufallsgröÿen 3 Numerische Kenngröÿen 4 Mittlere Wartezeiten 5 Summen von reellen diskreten Zufallsgröÿen 6 Zeitreihen mit R 7 Wiederholung 8 Klausuraufgaben rivat-doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

3 Was sind Zufallsgröÿen? Bezeichnungen: ω Ω, X (ω), X : Ω M M = R reelle Zahlen X erzeugt Ereignisse, z. B. 1 X 2 soll bedeuten:{ω Ω 1 X (ω) 2} Σ Beispiel: Σ = {/0,Ω}, wobei Ω = {a,b}, { 1 ω = a X (ω) = 0 ω = b Denition: X : Ω R heiÿt eine reelle Zufallsgröÿe über dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P), wenn für jede reelle Zahl a {ω X (ω) a} Σ (Meÿbarkeitsbedingung). Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

4 Verteilung und Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsgröÿe Verteilung oder Verteilungsmaÿ von X : M R P (X M) Kenntnis von P(X a) bereits ausreichend!! Denition: Die Funktion F = F X heiÿt die Verteilungsfunktion der reellen Zufallsgröÿe X, wenn für alle x R gilt. F (x) = P (X x) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

5 Eigenschaften und Klassizierung von Verteilungsfunktionen Eigenschaften: F ist eine monoton wachsend mit Werten im Intervall [0,1] F ist rechtsseitig stetig. lim x F (x) = 0 und lim x F (x) = 1 Zerlegungseigenschaft: α 0,β 0,γ 0,α + β + γ = 1: Klassizierung: F (x) = α F diskret (x) + β F singulär (x) + γ F stetig (x) α = 1, X diskret verteilte Zufallsgröÿe γ = 1 X stetig verteilte Zufallsgröÿe β = 1 singulär verteilte Zufallsgröÿe (wird hier nicht betrachtet) gelegentlich kommt eine Mischung von diskret und stetig vor. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

6 Diskret verteilte Zufallsgröÿen Verteilungstabelle für X : x 1 x 2 x n p 1 p 2 p n n p n = 1, p n > 0 P (X = x n ) = p n und F = F diskret F (x) = p n (Treppenfunktion) x n x Indikatorfunktion: reelle Zufallsgröÿe mit Werten 0 und 1 Merke: Indikatorfunktionen - diskrete Zufallsgröÿen auch dichotome Zufallsgröÿen genannt. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

7 Stetig verteilte Zufallsgröÿen Verteilungstabelle wird durch eine Dichtefunktion ersetzt Dichtefunktion f = f X einer stetigen reellen Zufallsgröÿe: f : R R mit f (x) 0 für alle x Normierungsbedingung (Fläche unter der Kurve ist 1): f (x)dx = 1 zugehörige Verteilungsfunktion F = F X : x F (x) = f (t)dt. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

8 Vorgehensweise bei der Berechnung Aufgabe: Berechne P(a X b)! Welche Verteilungstyp? diskret, Verteilungstabelle? stetig, Dichtefunktion? Berechnung von: X diskret verteilt: P(a X b) = a x n b p n. X stetig verteilt: b P(a X b) = f (x)dx a Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

9 Spezielle wichtige diskrete Verteilungen Binomialverteilung: X heiÿt mit den Parametern n N 0 p 1 binomialverteilt, wenn ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k k und p mit für k = 0,1,...,n gilt. Poisson-Verteilung: X heiÿt mit dem Parameter λ > 0 Poisson-verteilt, wenn für k = 0,1,2,... gilt. P(X = k) = λ k k! e λ Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

10 Spezielle wichtige stetige Verteilungen Exponentialverteilung: X heiÿt mit dem Parameter λ > 0 exponentialverteilt, wenn X über die Dichtefunktion { λ e λx für x 0 f (x) = 0 sonst verfügt. Normalverteilung: X heiÿt mit dem Parametern µ und σ > 0 normalverteilt, wenn X als Dichtefunktion f (x) = 1 σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2 für alle x R besitzt. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

11 Unabhängigkeit diskreter reeller Zufallsgröÿen Bezeichnungen: X und Y mit endlichem Wertebereich X und Y mit den Werte x 1,...,x n und y 1,...,y m vollständige Berschreibung ihrer beider Verteilungen durch die Ereignisse E i = {ω X (ω) = x i } für i = 1,...,n und F j = {ω Y (ω) = y j } für j = 1,...,m. Denition: X und Y heiÿen stochastisch unabhängig, wenn für alle möglichen Paare (i,j) gilt. P (E i F j ) = P (E i ) P (F j ) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

12 Praktische Untersuchung auf Unabhängigkeit für diesen Fall gemeinsame Verteilungstabelle aufstellen... X x1 x k x n Y... p1 p k p n y 1 q 1 p 11 p 1k p 1n y j q j p j1 p jk p jn y m q m p m1 p mk p mn Prüfen, ob Randverteilungen (zweite Zeile und zweite Spalte) p jk = q j p k erfüllen Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

13 Erwartungswert, Varianz und Streuung Erwartunsgwert E(X ) = mittlerer Wert, den X animmt. Also: X ist diskret verteilt: E(X ) = n p n x n X ist stetig verteilt: E(X ) = xf (x)dx (Existenz des Integrals angenommen!) Varianz und Streuung von X als Maÿ der Abweichung von E(X ): ) V (X ) = E ((X E(X )) 2 (Varianz) σ(x ) = V (X ) (Streuung) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

14 Eigenschaften des Erwartungswertes Monotonie: X Y (d.h. für alle ω Ω gilt X (ω) Y (ω)) folgt: E(X ) E(Y ). Linearität: α, β beliebige reelle Zahlen und X, Y zwei reelle Zufallsgröÿen E (αx + β Y ) = α E (X ) + β E(Y ) X und Y unabhängige Zufallsgröÿen E(XY ) = E(X )E(Y ) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

15 Eigenschaften der Varianz V (X ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. E(X 2 ) das zweite Moment E(X n ) n-te Moment (für n N) X und Y unabhängige ZG: V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) (Gleichheit von Bienayme) V (X + Y ) = E ( ) (X + Y ) 2 (E(X + Y )) 2 = E(X 2 ) + E(Y 2 ) + 2E(XY ) ) (E(X )) 2 2E(X ) )E(Y ) (E(Y )) 2 = (E(X 2 ) (E(X )) 2 + (E(Y 2 ) (E(Y )) 2 = V (X ) + V (Y ) Für α,β R gilt V (αx + β) = α 2 V (X ) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

16 Ungleichung von Tschebysche Zusammenhang von Erwartungswert und Varianz bzw. Erwartungswert und Streuung Für jedes ε > 0 gilt P( X E(X ) ε) V (X ) ε 2 Variante: Für jedes reelle k > 0 ist, wobei σ = σ(x ), P( X E(X ) k σ) 1 k 2 Dazu folgende Abschätzung (diskreter Fall!): V (X ) = E ( (X E(X )) 2 ) = k (x k µ) 2 p k xk µ ε (x k µ) 2 p k ε 2 xk µ ε p k = ε 2 P ( X µ ε) Also V (X ) ε 2 P ( X µ ε) (für ε = k σ 2. Version!) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

17 Kovarianz und Korrelationskoezient X und Y reelle Zufallsgröÿen Denition: Kovarianz von X und Y : cov(x,y ) = E ((X E(X )) (Y E(Y ))) Vereinfachung: cov(x,y ) = E(XY ) E(X )E(Y ) (Momentenformel) Annahme: V (X ) > 0,V (Y ) > 0 Denition: Korrelationskoezient von X und Y : ρ(x,y ) = cov(x,y ) V (X ) V (Y ) X und Y unkorreliert: ρ(x,y ) = 0 ρ(x,y ) 1 ρ(x,y ) = 1 genau dann, wenn reelle Zahlen α,β existieren, so daÿ P (Y = αx + β) = 1 (Maÿ für linearen Zusammenhang) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

18 Wiederholung Stochastische Graphen stochastischer Graph Zustände: 1,...,n, n 2 zufällige Übergänge von Zustand i zu j mit Wahrscheinlichkeit: Einteilung in innere und Randzustände: innerer Zustand i: pii < 1, I = {i pii < 1} die Menge der inneren Zustände Randzustand i: pii = 1, R = {i pii = 1} die Randmenge W i zufällige Wartezeit bis R erreicht wird bei Start in i Frage: w i = E(W i )? Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

19 Die 2. Mittelwertsregel I Zusammenhang der Wartezeiten w i : w i = 0 für alle Randzustände i (plausibel?!) w i = 1 + j p ij w j Argumentation: Verteilungstabelle der (bedingten) Wartezeit: O.B.d.A. I i = {1,2,...,m}, m < n : 1 + w w w m p i1 p i2... p im mindestens ein Schritt ist notwendig!!!! Weil j p ij = 1 w i = j p ij (1 + w j ) = 1 + p ij w j. j Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

20 Die 2. Mittelwertsregel II Auswertung des kühnen Spiels: w 0 = w 5 = 0 w 1 = w 2 w 2 = w 4 w 4 = w 3 w 3 = w 1 Einsetzen: w 1 = 2,w 2 = 2,w 3 = 2,w 4 = 2 Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

21 Die erzeugende Funktion einer diskreten Verteilung P(X = k) = p k für k = 0,1,2,... erzeugende Funktion der Verteilung von X ϕ = ϕ X : [0,1] R ϕ (s) = k=0 p ks k Was kann man damit anfangen? E(X ) = ϕ (1) Vereinfachung: ϕ ein Polynom vom Grade n Ableitung von ϕ dϕ ds = ϕ (s) = n k=1 kp k s k 1. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

22 Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröÿe I Berechnung mit Hilfe der erzeugenden Funktion Nach Denition: E (X ) = n k=0 k ( n k ) p k (1 p) n k 1. Zugang (generelle Vorgehensweise): Bestimme die erzeugende ( Funktion ) ϕ ϕ(s) = n p k=0 ks k = n n p k (1 p) n k s k k=0 k Nach Binomischen Lehrsatz: ( ) (a + b) n = n n a k b n k für a = ps, b = 1 p k=0 k ϕ(s) = (1 p + ps) n, dϕ ds = np (1 p + ps)n 1 Für s = 1: E(X ) = np. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

23 Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröÿe II Berechnung mit Hilfe von Indikatorfunktion 2. Zugang (spezielle Vorgehensweise): Darstellung von X als X = n k=1 X i X i unabhängige ZG mit folgender Eigenschaft { 1 ω Ai X i (ω) = 0 ω / A i für Ereignisse A i mit P(A i ) = p. E (X ) = E ( n k=1 X i) = n k=1 E (X i) = np. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

24 Verteilung bestimmter Summen von unabhängigen Zufallsgröÿen X, Y unabhängige ganzzahlwertige ZG, Verteilung von Z = X + Y? Betrachtung von ϕ Z (s) = k P(Z = k)s k Z = k für irgendein j = 0,...,k gilt: X = j,y = k j (j + k j = k) ( ) Also ϕ Z (s) = k k j=0 P(X = j,y = k j) s k = k ( k j=0 P(X = j)p(y = k j) ) s k = k k j=0 p jq k j s k wobei p j = P(X = j), q k j = P(Y = k j) Weiterhin ( j P(X = j)s j) ( i P(Y = i)s ( ) i) = k k j=0 P(X = j)p(y = k j) s k Schluÿendlich: ϕ Z (s) = ϕ X (s) ϕ Y (s) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

25 Die Verteilung der Zufallsgröÿe absolute Häugkeit H (absolute Häugkeit): zählt das Eintreten eines Ereignisses A in n von einander unabhängigen Versuchen X i zeige für i = 1,...,n das Eintreten von A durch Annehmen der Werte 0 (für Nichteintreten) und 1 (für Eintreten) im i-ten Versuch an H = X 1 + X X n, ϕ Xi (s) = 1 p + ps Ausdehnung von ϕ Z (s) = ϕ X (s) ϕ Y (s) auf n unabhängige Zufallsgröÿen X 1,...,X n ( ) Also ϕ H (s) = (ϕ X1 (s)) n = n n k=0 p k (1 p) n k s k, k ( ) n Folglich: P (H = k) = p k (1 p) n k k H binomialverteilt mit n und p. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

26 Die Varianz der Binomialverteilung Bekannt: X, Y unabhängig Gleichheit von Bienayme erweitert: V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) V (H) = n k=1 V (X k ) = nv (X 1 ) = n ( E(X 2 1 ) p 2) = n ( p p 2) = np(1 p). Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

27 Eine grasche Methode zur Bestimmung der erzeugenden Funktion W zufällige Wartezeit auf einem stochastischem Graphen Interpretation von ϕ W (s) = p k s k k P (W = k) = p k - Erreichen des Randes nach k Übergängen Entscheidung: zu Fuÿ (1 s) oder auf dem Rad mit Wahrs. s Übergangswahrscheinlichkeiten p ij werden dann zusätzlich mit s multipliziert. nur auf dem Rad ergibt Faktor s k Idee: Schrumpfe den stochastischen Graphen zusammen Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

28 Regeln Zustandsbeseitigung, parellele Zweige und Schleifen Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

29 Anwendung der Regeln Ziel: ein zum Ausgangsgraphen stochastisch äquivalenten Graphen mit 2 Zuständen (Startzustand und einem Endzustand, der alle Randzustände repräsentiert) mit Übergangswahrscheinlichkeit ϕ W (s) Schritte: Ermittlung aller direkten Pfade (Zustandsbeseitigung) Ermittlung aller Zyklen zu Schleifen zusammenziehen (Zustandsbeseitigung) Problem: zusätzlich Teilzyklen, beginne mit kleinstem Zyklus Anschlieÿend: Schleifenbeseitigungsregel (Achtung parallele Schleifen zuvor zusammenfassen) Identikation der Randzustände und letzmalige Anwendung der Regel über parallele Zweige Verteilung von W aus ϕ W (s) = p 0 + p 1 s + p 2 s ablesen Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

30 Die Verteilung der Wartezeit beim kühnen Spiel I direkte Pfade nach 0: 10 und 120 Übergangsw. s 2 + s2 4 direkte Pfade nach 5: 1245 und Übergangsw. s3 8 + s4 16 Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

31 Die Verteilung der Wartezeit beim kühnen Spiel II Schrumpfung von 12431: s malige Schleifenbeseitigung und par. Zweige: ϕ(s) = s 2 + s2 4 + s3 8 + s s = s(s+2)(s2 +4) 16 1 (s 2)(s+2)(s2 +4) = s 2 s = k=1 ( 1 2) k s k (geometr. Reihe) Verteilung: P(W = k) = ( 1 2) k für k = 1,2,... Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

32 Zeitreihen mit R I Darstellen des Ifo-Index 1991 bis 2006 als Zeitreihe library(xlsreadwrite) ## xlsreadwrite version (826aa0) ## Copyright (C) 2010 Hans-Peter Suter, Treetron, Switzerland. ## ## This package can be freely distributed and used for any ## purpose. It comes with ABSOLUTELY NO GUARANTEE at all. ## xlsreadwrite has been written in Pascal and contains binary ## code from a proprietary library. Our own code is free (GPL-2). ## ## Updates, issue tracker and more info at anschlieÿend Daten einlesen: Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

33 Zeitreihen mit R II Daten <- read.xls("ifo-geschaeftsklima-d.xls", sheet = "Daten") attach(daten) names(daten) ## [1] "ifo" als Zeitreihe darstellen: ifo <- ts(ifo, start = 1991, freq = 12) plot(ifo, main = "IFO-Index", ylab = "Index", xlab = "Jahre") Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

34 Zeitreihen mit R III IFO Index Index Jahre Glätten des Ifo-Index Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

35 Zeitreihen mit R IV ifo1 <- filter(ifo, filter = rep(1/12, 12)) erneut zeichnen Verwendung des Befehls lines plot(ifo, main = "IFO-Index", ylab = "Index", xlab = "Jahre") lines(ifo1, col = "red") Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

36 Zeitreihen mit R V IFO Index Index Jahre Algorithmus der Saisonbereinigung? Glätten der Inputreihe mit einem Filter von Vielfachem der Saisonlänge Ergebnis: Saisonanteil fällt raus!!! Output Schätzung für Input ohne Saisonanteil Dierenz von ursprünglichen Input minus Output Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

37 Zeitreihen mit R VI Ergebnis: gestörter Saisonanteil Bestimmung der Saisongur daraus: Mittlung über alle gleichen Zeitpunkte (z. B. bei Saison=Jahr, alle Januarwerte u.s.w.) Zentrieren der Mittlungen (Werte minus Mittelwert, Saisongursumme soll Null werden) Subtraktion der Saisongur von der ursprünglichen Inputreihe Das Komponentenmodell des IFO-Index KModell <- stl(ifo, s.window = "periodic") plot(kmodell) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

38 Zeitreihen mit R VII remainder trend seasonal data time ifo soll schon saisonbereinigt sein! Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

39 Zeitreihen mit R VIII also keine Verbesserung durch erneute Saisonbereinigung saison <- KModell$time.series[, 1] ifo2 <- ifo - saison nun der Vergleich plot(ifo, main = "Saisonbereinigter IFO-Index") title(xlab = "Jahre", ylab = "Index") lines(ifo2, col = "red") Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

40 Zeitreihen mit R IX Saisonbereinigter IFO Index Index ifo Jahre Time zum Schluÿ eine Prognose zum IFO-Index: Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

41 Zeitreihen mit R X hw <- HoltWinters(ifo) mit einer Vorhersage für 5 Monate plot(ifo, xlim = c(1990, 2007), main = "Prognose IFO-Index") title(xlab = "Jahre", ylab = "Index") title(sub = "für Februar - Juni 2006") lines(predict(hw, n.ahead = 5), col = 2) Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

42 Zeitreihen mit R XI Prognose IFO Index Index ifo Jahre Time für Februar Juni 2006 Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

43 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit I Aufgabe Ein Teehersteller bezieht 70% seiner Rohstoe aus Indien, der Rest aus anderen Quellen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% beanstandet werden. Bei der Endkontrolle dürfen höchsten 3% der Teepackungen als nicht von höchster Qualität sein. a) Welche Anforderung müssen die Teelieferungen aus Indien erfüllen? b) Angenommen, es gelingt die indische Fehlerquote bei 2% zu stabilisieren. Welche Auswirkungen hätte dies für die Endqualität? Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

44 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit I a) b) Es gilt: Also Der Ansatz ist 0.03 = 0.7p p = 0.039, max. 3,9% d.h. p = 1.7% p = = Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

45 Formel von Bayes I Aufgabe 90% der Erdbeerernte eines Erdbeerhofes werden frisch verkauft. Der Rest wird gefrostet. Die Kunden frosten selber mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% und kaufen auch gefrostete Ware des Erdbeerhofes. Die Portiongröÿen sind gleich. a) Wieviel Prozent der Erdbeerernte wird gefrostet? b) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ eine aufgetaute Erdbeerportion gefrostete Ware ist? Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

46 Formel von Bayes II a) Nach der Formel von totalen Wahrscheinlichkeit p (gefrostete Erdbeeren) = = b) Nach der Formel von Bayes p (aufgetaute gefr. Ware) = = Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

47 1. Mittelwertsregel Aufgabe: Ein Würfel wird solange geworfen bis zweimal hintereinander 5 oder 6 (A,AA) bzw. 1 bis 4 (B, BB) gefallen sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der erste Fall ein? Lösung: x als gesuchte W. bei Start in S (y bei Start in A und z bei Start in B): x = 1 3 y z, y = z und z = 1 3 y y = ( y) = 2 9 y = y = 3 7 = z = 1 7 x = = 5 21 Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

48 Wieviel Ankreuzmuster? Kann man das Muster so abändern, dass in jeder Zeile und Spalte genau ein Kreuz steht? Wieviele solche Muster würde es dann geben? Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

49 Aufgabe aus der Testklausur 95% aller Zuschauer eines Bundesligaspiels kennen die Abseitsregel, Männer sowieso und Frauen mehrheitlich zu 60%. Wieviel Prozent der Zuschauer sind Frauen? Lösung: Sei p der Anteil der Frauen. Dann gilt nach der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit 0.95 = (1 p) + 0.6p, woraus p = folgt. Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50

50 Klausuraufgabe Ein Sportreporter schätzt bei einem Bundligaspiel, dass 80% der Zuschauer Männer sind, die die Abseitsregel genau kennen. Im Pauseninterview befragt er 10 Zuschauer nach dieser Regel. 9 können diese Regel erklären. Für seine Äuÿerung, dass Frauen mit einem Münzwurf entscheiden, ob Abseits ist oder nicht, erhält er eine Abmahnung. Wie kommt er überhaupt zu dieser Aussage? Werten Sie die Zahlen mit Hilfe der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit aus! (4 Punkte) Lösung: Sei p der Anteil der Frauen,die die Abseitsregel erklären können. Dann gilt woraus p = 0.5 folgt. 0.9 = p, Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.) Vorlesung / 50