Das Quantenspiel. Franz Embacher Institut für Theoretische Physik der Universität Wien

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1 Da Quantenpiel Franz Embacher Intitut für Theoretiche Phik der Univerität Wien Gregor Weih Intitut für Eperimentalphik der Univerität Wien Seit einigen Jahren hat da Gebiet der Quanteninformation und der grundlegenden Fragetellungen und Eperimente dazu einen enormen Aufwind erfahren. Ein Teil der Fazination, die von den darin behandelten Fragen augeht, kann mit folgendem einfachen Spiel illutriert werden: Abbildung 1: Drei Räume in denen dieteilnehmer unabhängig voneinander befragt werden. Der Spielleiter tellt jeder/m eine Frage, entweder die Gechmackfrage (G?) oder die Temperaturfrage (T?). In dieem Spiel geht e um einen Spielleiter/Quizmater und drei Kandidaten. Der Spielleiter gibt einige Regeln vor und tellt danach den Kandidaten gewie Fragen. Die Kandidaten dürfen ihre Strategie vor der Befragung beprechen. Wichtig it, daß die Fragen bzw. die Antworten darauf an ich keine Bedeutung haben. Den verchiedenen Antworten ordnen wir nach einem ehr einfachen Schema Zahlen zu. Der Spielleiter erklärt alo den Kandidaten: In dieem Spiel gibt e zwei Arten von Fragen, die je zwei Antworten haben. Die eine it die Frage nach dem Gechmack (G?) einer von euch gewünchten Speie. Die andere Frage bezieht ich dagegen auf die Temperatur (T?) derelben. Für beide Fragen gibt e jeweil nur zwei zuläige Antworten, nämlich üß und auer bzw. heiß und kalt, wobei wir den zwei Möglichkeiten jeweil die Zahlen +1 und 1 zuordnen. Jede(r) bekommt nur eine der zwei Fragen, wobei ich entweder nur eine(n) oder alle drei von euch nach dem Gechmack (G?) fragen werde. Ihr werdet unabhängig gefragt werden, und könnt euch nur vorher über die möglichen Antworten beraten. E pielt nun keine Rolle, wa ein einzelner von euch antwortet, denn ob ihr gewinnt oder verliert, entcheidet nur die Kombination (da Produkt der Zahlen) aller eurer Antworten. In folgenden Fällen könnt ihr gewinnen: Fall ich nur einen von Euch nach dem Gechmack (G?) frage, muß da Produkt eurer Antworten +1 ein. Fall ich alle drei von Euch nach dem Gechmack frage, muß da Produkt eurer Antworten 1 ein.

2 Ihr könnt nun eure Strategie beprechen und anchließend werde ich euch getrennt voneinander befragen. E ollte ich nach mehreren Veruchen herautellen, daß e keine Strategie gibt, mit welcher man auf jeden Fall gewinnen kann. Nun gibt e in der Natur phikaliche Steme, die dieelbe logiche Struktur aufweien wie da Quantenpiel, e aber auf rätelhafte Weie chaffen, immer zu gewinnen! E ind die Steme, die mit Hilfe der Quantenphik bechrieben werden. Ein einfache Beipiel für ein olche Stem beteht au drei Teilchen, z. B. Elektronen oder Photonen, die in einem Elementarteilchen-Prozeß (deen Detail un hier nicht intereieren) erzeugt werden und in drei verchiedene Richtungen wegfliegen. Nach einiger Zeit agen wir einer Minute trifft jede Photon in ein Labor und wird vermeen. Abbildung 2: Ablaufplan de Spiel für einen einzelnen SpielerIn. Dieer Ablauf gilt für jeden der SpielerInnen individuell unabhängig. An jede der Teilchen können verchiedene phikaliche Fragen getellt werden. Photonen und Elektronen haben einen Spin dieer it ein Vektor, hat alo drei Komponenten, die wir σ, σ und σ z nennen. Sie ind Obervable (Meßgrößen) deren Wert in geeigneten eperimentellen Anordnungen gemeen werden kann. Eine mögliche Frage an ein Teilchen it: Wie groß it die -Komponente deine Spin? Diee Frage entpricht einer Meung der Obervable σ. Die Quantentheorie (und da Eperiment) agen un, daß die Antwort auf diee Frage (in Vielfachen der Planck'chen Kontante für Photonen und /2 für Elektronen) nur +1 (Spin zeigt nach recht) oder 1 (nach link) ein kann. E kann auch nach dem Wert der -Komponente σ gefragt werden, und wieder kann die Antwort nur +1 (nach vorne) oder 1 (nach hinten) lauten, und daelbe gilt fürσ z (nach oben bzw. nach unten). Allerding können nicht zwei dieer Fragen gleichzeitig getellt werden: Wird zum Beipiel ein betimmter Wert für σ z gemeen, o haben die beiden anderen Komponenten σ und σ unbetimmte Werte. Da it ein ähnlicher Sachverhalt wie die Unchärferelation zwichen Ort und Impul. Abbildung 4: Ablaufdiagramm eine dem Spiel analogen Eperiment mit drei verchränkten Teilchen.

3 Hat ein Teilchen einen wohlbetimmten Wert der z-komponente de Spin, o it e quantenmechanich augedrückt in einem Eigenzutand der Obervableσ z. Hat σ z den Wert +1, o wird der Zutand mit, hat σ z den Wert 1, o wird der Zutand mit bezeichnet. Da kein Eigenzutand einer der anderen Obervablen σ oder σ it, haben diee wenn da Teilchen im Zutand it keine charfen Werte, und daelbe gilt für. In der Quantentheorie ind die drei Spin-Komponenten Operatoren: ie werden durch die Pauli'chen Spin-Matrizen dargetellt. Nun haben wir in unerem Stem drei Teilchen. Wir numerieren ie al ( 1 ), ( 2 ) und () 3 durch. Die entprechenden Spin-Komponenten bezeichen wir, indem wir die Nummer de Teilchen dranhängen: o wird beipielweie die -Komponente de Spin de zweiten Teilchen al σ bezeichnet. Wir wollen weiter annehmen, daß ie ich in einem ganz betimmten Zutand befinden. Mit Hilfe der modernen Eperimentiertechnik it e möglich, Photonen in einem Zutand zu erzeugen, der in der quantenmechanichen Schreibweie al ψ = dargetellt wird und GHZ-Zutand heißt 1. Er it eine Superpoition au zwei Zutänden: im erten Summanden ind die z-komponenten aller drei Spin genau betimmt und haben jewei den Wert +1, und im zweiten ind die z-komponenten ebenfall genau betimmt und haben jeweil den Wert 1. Die PhikerInnen in den drei Labor, in denen die drei Teilchen eintreffen, entcheiden nun ganz nach Lut und Laune in letzter Sekunde, ob ie die - oder die -Komponente de Spin meen wollen. Da die Labor ehr weit voneinander entfernt ind, und da die Lichtgechwindigkeit die Obergrenze für Nachrichtenübermitlung dartellt, beteht keine Verabredungmöglichkeit weder für die Menchen, noch für die Teilchen. Hier ergibt ich die Analogie zum Quantenpiel. Jede Meung einer Spinkomponente it eine Frage an ein Teilchen: Spiel Quizmater KandidatInnen Frage Gechmack Temperatur Antwort üß / auer heiß / kalt getrennte Befragung Strategie Phik EperimentatorInnen Teilchen Meung Spinmeung in -Richtung Spinmeung in -Richtung Meergebni recht / link vorne / hinten Lokalitätannahme verborgene Parameter 1 D. M. Greenberger, M. Horne und A. Zeilinger, Going beond Bell' theorem, in Bell' Theorem, Quantum Theor, and Conception of the Univere, M. Kafato, Hrg., Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherland, 1989, pp N. David Mermin, What' wrong with thee element of realit?, Ph. Toda 43 (1990), pp

4 Da Eperiment wird öfter wiederholt, mit jeweil anderen Teilchentripeln, die aber immer im Zutand ψ erzeugt werden. Danach findet eine Konferenz tatt, auf der die "Antworten" der Teilchen analiert werden und die Köpfe rauchen, denn die WienchaftlerInnen müen fettellen, daß alle Teilchentripel da Quantenpiel gewonnen haben: 2 1. Wann immer nur ein Teilchen nach einem Wert von σ gefragt worden it (und die beiden anderen nach ihren Werten von σ ) it da Produkt aller drei Antworten Wann immer alle drei Teilchen nach ihrem Wert von σ gefragt worden ind, it da Produkt aller drei Antworten 1. Die Geetze der Quantenphik ind un nicht immer vertändlich, da ie unerer Intuition widerprechen. Wir können aber den mathematichen Formalimu verwenden, um die Sachlage zu analieren. Beide Reultate 1 und 2 werden von der Quantentheorie voraugeagt. Sie ind nur eine verbale Formulierung der Tatache, daß für den Zutand ψ die vier Eigenwertgleichungen () 1 ( 2) () 3 () 1 ( 2) () 3 () 1 ( 2) () 3 1. σ σ σ ψ = σ σ σ ψ = σ σ σ ψ = ψ () 1 ( 2) () 3 2. σ σ σ ψ = ψ gelten. Wer mit den Pauli'chen Spin-Matrizen ein bißchen umgehen kann, kann ie leicht nachprüfen. Die Sache hat aber auch noch eine weitere Schattierung: Auf beagter Konferenz ind auch Verfechter der Anicht, daß die Unchärfen der Quantentheorie nur unere Unkenntni dartellen, vertreten. Diee haben nun einen chweren Rückchlag erlitten: Wenn die drei Teilchen unmittelbar nach ihrer Erzeugung bereit charfe Spinkomponenten haben (die wir nur nicht kennen und mit tatt σ bezeichnen), kann da Reultat 1 in der Form = = = + 1 j σ j angechrieben werden. Die tellen nun im Unterchied zu den - ganz gewöhnliche Zahlen dar, die jeweil entweder 1 oder +1 ind. Nun multiplizieren wir diee drei Audrücke, die ja jeweil 1 ind, und benützen die Tatache, daß da Quadrat jede j gleich 1 it. Nach einer kleinen Kopfrechnung erhalten wir = + 1 wa beagt, daß da Produkt der Antworten immer dann, wenn alle drei Teilchen nach ihrem Wert von σ gefragt worden ind, +1 ein ollte im Widerpruch zum tatächlichen (eperimentell betätigten) Verhalten der Teilchen. Auf diee Weie wird die Thee, die Meßwerte der Teilchenpin tünden im bereit im Vorau fet, eperimentell widerlegt. (Eine olche Thee heißt lokal-realitiche Theorie). Die Quantentheorie hat gewonnen, und ie it bilang au allen derartigen Wettkämpfen al Siegerin hervorgegangen. Unere drei Teilchen (und auch andere phikaliche Steme, die durch die Quantentheorie bechrieben werden) zeigen eine augeklügeltere "Kooperationfähigkeit" al die im Rahmen der klaichen Phik (und 2 D. Bouwmeeter, J. W. Pan, M. Daniell, H. Weinfurter und A. Zeilinger, Obervation of a three-photon Greenberger-Horne-Zeilinger tate, Ph. Rev. Lett., 82 (1999), pp

5 im Quantenpiel, wenn Menchen e pielen) möglich wäre. Und ie tun die, ohne ich vorab auf betimmte Antworten abzuprechen! Da e keinerlei Hinweie auf überlichtchnelle Nachrichtenübermittlung gibt, müen wir davon augehen, daß ie ich auch päter nicht verabreden! Man nennt Zutände wie ψ, die derartige Eigenchaften aufweien, verchränkt. Ein verchränkter Zutand muß al Einheit (ganzheitlich) betrachtet werden. Auch wenn Teilchen weit voneinander entfernt ind, dürfen ie nicht ohne Weitere al voneinander unabhängig betrachtet werden, wie ihr erfolgreiche Abchneiden im Quantenpiel zeigt.