Mathematik und CAD-Lösung zum Erstellen einer Pyramidensegment -Bemaßung

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Inge Egger
vor 7 Jahren
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1 Mathematik ud CAD-Lösug zum Erstelle eier Pyramidesegmet -Bemaßug?? Wer als Holzwerker eie Pyramide aus Plattematerial fertige möchte steht vor dem Problem die etsprechede Wikel für de Schitt a der Säge zu bestimme. Im woodworkig.de -Forum habe ich vo Walter Heil die passede Formel, ebst dokumetierter Herleitug erhalte. Die vo ihm erstellte Formel habe ich u ahad eier CAD- Pyramide achvollzoge ud eimal dokumetiert. Nach der mathematische Betrachtug gibt es och eie Schellbemaßug der Segmetwikel i TurboCad. Das Wort schell muss allerdigs durch schellstmöglich ersetzt werde. Für de Praktiker habe ich eie Excelrecher erstellt. Ebeso gibt es eie PDF- Dokumetatio mit Formel ud Tabelle zum Pyramideschitt. Leopoldi, Mitglied im TurboCad- Forum vo CAD.de

2 Erstelle eier Pyramide Zuächst soll eie Pyramide uter Vorgabe vo Kateläge ud Steigugswikel erstellt werde: 1. Zeiche i TurboCad eie quadratische 2D-Polyliie mit eier Seiteläge vo 300mm. 2. Auf diesem quadratische Grudriss erstelle wir eie Normale Extrusio mit eier Höhe vo ca. 310mm. 3. De Kubus auswähle. Über de Formschrägwikel die Neigug (Komplemetärwikel zur Steigug) bestimme Um die Pyramide aus Plattematerial zu erstelle wird diese u ausgehöhlt. Dies geschieht mit Volumekörper umrahme ud zwar mit eiem egative Wert für die Materialstärke (hier -30mm, damit wir später Platz zum bemaße habe). Die Grudfläche soll jedoch ausgespart werde. Seite 2 / 8

3 5. Ich habe auf der Grudfläche die zwei mögliche Diagoale eigezeichet. Auf diese oder eier jeweils eu zu defiierede Arbeitsebee [AE] wird die Pyramide geschitte. so oder so Resultat ist der Probat i Form des gewüschte Segmetes. Weitere Vorbetrachtuge: Die Dimesioe wurde so gewählt, dass ei Probeschitt auf der Säge möglich ist. Die Materialstärke beeiflusst letztedlich icht die Wikelformel. Für die weitere mathematische Betrachtug wurde och der rechteckige Querschitt des Materials eigezeichet. Die Origial-Diagoale sid och vorhade ud eie zusätzliche Lotrechte wurde a die Kate der Segmetspitze gezeichet. Am.: Gehrugswikel Die graphische Bemaßug im CAD ist recht mühsam, weil ich sehr oft Arbeitsebee festgelegt ud zusätzliche Hilfsliie auf de Segmetkorpus lege musste. Dies alles mag jedoch meier fehlede, tiefere CAD-Ketis zuzuschreibe sei! So ist sicherlich mach geistiger Klimmzug de ich vollzoge habe uötig. Sägeblattwikel Seite 3 / 8

4 So, u geht es a die Herleitug der Formel: 1. Der Gehrugswikel Schaue wir auf de Grudriss eier gleichseitige Pyramide. Für eie -seitige Pyramide ist der Wikel: * = Für de Wikel ergibt sich eie weitere Beziehug A 180 ta = s/2 r i Asicht A Als ächstes betrachte wir das gerade bemaßte Segmet vo der Seite B a = Steigugswikel der Pyramide cos a = r i l Hyp damit ergibt sich: l = r i cos a Nu schaue wir sekrecht auf die Segmetfläche. Asicht B I userem Beispiel errechet sich mit = 4 (Ecke) ud a = 60 (Steigug): ( ) c ta c = ta 180 * cos 60 = 1 * 0,5 = 0,5 4 Der Wikel beträgt c = arcta (0,5) = 26,565 Der Komplemetärwikel ist damit c = 63,435 Der Wikel c ist der Wikel des Gehrugsaschlags s/2 ta c = = l s/2 Mit l aus folgt: ta c = = s * cos a l 2 * r i ta c = s 2 r i * cos a Aus folgt damit die Bestimmug des Gehrugswikel: ta c = s 2 * l ta( 180 ) * cos a Für eie quadratische Grudfläche (=4) 180 folgt: ta ( ) = 1 ud somit: ta c = cos a weiter gehts Seite 4 / 8

5 2. Die Sägeblatteigug A dem rechteckige Querschitt ka ma folgede Beziehuge festmache: ta a = m d Zum Kostruiere habe wir kokrete Zahlewerte beötigt. Für die Formelherleitug werde ur die Beziehuge aufgestellt! Im Weitere ka ich aufgrud der feste rechte Wikel ei Bezugsdreieck eizeiche. 3 Sekrechtliie Um die 90 -Wikel eizuhalte zeiche ich Sekrechtliie ei. Dabei ist es vo Nöte die AE* auf die jeweilige Zeichefläche zu lege sowie auf de Bezugskate des Segmetes Hilfs - Liie eizuzeiche. Beim Wechsel der AE musste ich ereut Hilfsliie zeiche damit der Fag fuktioierte. *AE = Arbeitsebee weiter gehts Seite 5 / 8

6 Im vorherige Schritt habe wir ei Dreieck eigezeichet, a dem die eizige Ubekate, mit bezeichet wird! Nu geht es auf der Segmetoberfläche weiter: Der Wikel c ist der Gehrugswikel. welcher ja bereits berechet wurde. Damit ergibt sich: si c = m Hyp Nu habe wir eie Beziehug für de Wert ud köe damit i dem zuvor kostruierte Dreieck alle Beziehuge darstelle. Dabei ist der Wikel b der gesuchte Sägeblattwikel. Um de Wikel b wird das Sägeblatt beim Zuschitt geeigt. ta b = d De Wikel b bezeiche wir als Sägeblattwikel. A der Kreissäge ist der Wikel b meist a eier Skala eizustelle. Dabei ist hier die Abweichug zu dem ohehi vorhadee 90 -Wikel zur Tischfläche gemeit. Am Zuschitt selbst, ud damit achmessbar, ist allerdigs der Komplemetärwikel b vorhade. I meie adere Ausarbeituge betrachte ich alle Wikel, welche am Zuschitt zu messe sid als Stadardwikel. Zusätzlich habe ich dabei auch Bezeicher aus dem griechische Alphabet verwedet. weiter gehts Seite 6 / 8

7 Das fiale Dreieck i der Draufsicht. Aus dem rechtwiklige Dreieck ergibt sich ta b = d Da b der Neigugswikel des Sägeblattes ist, wird diese Formel u aufgelöst: Aus folgt: = m * si c Aus folgt: m d = ta a damit wird ta b = d m * si c m / ta a Dies ergibt für de Sägeblattwikel: ta b = si c * ta a Als Wikel: -1 b = ta (ta b) = arcta (ta b) [ ] a = Steigugswikel der Pyramide c = Gehrugswikel I userem kokrete Beispiel ergibt dies eie errechete Wert für de Sägeblattwikel: ta b = si (90-63,43 ) * ta 60 = si 0,4473 * ta 1,732 = 0,7747 ; b = arcta (0,7747) = 37,766 Der Komplemetärwikel b ist damit 90-37,766 = 52,234 Schellbemaßug i TurboCad 1. Kostruktio per Sekrechtliie Nutzt ma TurboCad lediglich um die Schittwikel zu ermittel, so ist dies wesetlich eifacher möglich. Die Pyramide wird wie afags gezeigt kostruiert. Da die Materialdicke keie Rolle spielt, wird die Pyramide lediglich über die Diagoale halbiert. Für de Sägeblattwikel werde, wie gezeigt u vo der Kate aus Sekrechtliie auf die zwei festzulegede Arbeitsebee (1) ud (2) gezeichet. Auf der u eue Arbeitsebee (3), auf der sich beide Sekrechtliie befide, lässt sich da der Sägeblattwikel b bemaße. Der Gehrugswikel c ka direkt auf der AE2 bemaßt werde. weiter gehts Seite 7 / 8

8 2. Bestimmug durch Arbeitsebeeschitt Um a die, für die Wikelbestimmug otwedige, Sekrechtliie zu komme beötigte wir viele Kostruktiosschritte. Der Sägeblattwikel wurde da auf eier eue Arbeitsebee eigezeichet. Diese AE ka ma jedoch auch direkt i die etsprechede Schräglage brige ud das Segmet durch diese AE scheide. Damit liege die eue Kate des Segmetes zur Wikelbemaßug fest. Vorgehesweise: 1. AE auf de Bode lege 2. Auch die AE hat eie Bezugspukt. De verlager wir i die Mitte der hitere, gestrichelte Kate (siehe Bild liks Zu2. ). Zu2. 3. Äder der Arbeitsebee etspreched der Pyramidesteigug vo 60 auf Neige der AE etspreched dem Gehrugswikel vo 63,43 (! Dieser muss zuvor bemaßt werde). NR: (90-63,43) = ,57 = 153,43 Die AE hat ach 3. ud 4. bei mir folgede Werte. vorher a =30 a=60 5. Das Segmet wird u durch eue Arbeitsebee geschitte. A de Schittkate wird u der Sägeblattwikel bemaßt. 52,32 Resümee: Bei dieser Vorgehesweise muss ma uter Ketis vo Steigugs- ud Gehrugwikel reche, bei der zuvor gezeigte Lösug lediglich kostruiere. Die Differez beider Lösuge beträgt hier 6/100 ud ist damit für Holzwerkstoffe icht erwäheswert. Zum gute Schluß eie frohe Botschaft Zu diesem Thema gibt es für alle Excelfreude eie Recher mit eiem Arbeitsblatt zur Druckausgabe sowie weitere Doku s. Diese sid im www zu fide: Pyramideschitt_Recher.xls Der_Pyramideschitt.pdf Pyramideschitt_Beispiel.pdf Viel Spass beim Heimwerke ud Gehirjoggig - Alle Agabe ohe Gewähr - Seite 8 / 8

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