Übungen. Technische Mechanik II

Transkript

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2 LISTE DER WARENZEICHEN Übungen zur Technische Mechnik II - Festigkeitsehre/ Estosttik - Voständig und mit mögichen Lösungsvrinten geöste Übungsufgben von Annette Kunow - -

3 LISTE DER WARENZEICHEN Text Copyright 6 Annette Kunow A Rights Reserved - -

4 LISTE DER WARENZEICHEN LISTE DER WARENZEICHEN Microsoft (MS) Office ist ein Produkt der Microsoft Coorp., U. S. A. Microsoft Exce, Core Drw TM 7, Orce, Visu Bsic und ähniche sind entweder eingetrgene Mrken oder Mrken der Microsoft Corp. und/oder nderer Unternehmen in den Vereinigten Stten und/oder in nderen Ländern, - -

5 VORWORT VORWORT Die Technische Mechnik ist ein Grundgenfch in der Ingenieurusbidung. Sie vermittet die physikischen Zusmmenhänge, um Konstruktionen den jeweiigen Bestungen entsprechend zu dimensionieren. Im Bereich der Festkörpermechnik werden die drei Bereiche: Sttik, Festigkeitsehre oder Estosttik und Kinetik unterschieden. Die Mechnik füssiger Stoffe wird nicht behndet. Der zweite Tei der drei Bände Voresungsskript zur Technischen Mechnik II umfsst die Festigkeitsehre oder Estosttik. Ds sind die Deformtionen estischer Systeme unter den jeweiigen Bestungen (Druck, Zug, Biegung, Torsion, Schub) und die Ermittung der drus resutierenden Spnnungszustände. Es werden sttisch bestimmte und sttisch unbestimmte Systeme behndet. Der zweite Tei but uf dem ersten Buch uf

6 VORWORT In dem Buch Übungen zur Technischen Mechnik II werden die n jedem Kpiteende gesteten Übungsufgben voständig, mit den mögichen Lösungswegen durchgerechnet. Dieses Buch entstnd us dem Skript der Voresung Technische Mechnik, die ich seit 988 kontinuierich n der Hochschue Bochum im Fchbereich Mechtronik und Mschinenbu hte. Bochum, im Oktober 6 Prof. Dr.-Ing. Annette Kunow P.S.: Schreiben Sie mir, wenn Ihnen dieses Buch gefät und weche Anregungen Sie hben. Sie erreichen mich unter meiner Homepge Dort finden Sie unter dem Nvigtionspunkt uch ds versprochene Bonusmteri. und besuchen Sie meinen Bog Sebstführung & Produktivität Ich würde mich uch dort sehr über Ihre Kommentre und Anmerkungen freuen

7 VORWORT - 6 -

8 INHALTSANGABE INHALTSANGABE Liste der Wrenzeichen - - Vorwort Inhtsngbe Aufgben zu Kpite : Fächenschwerpunkt Aufgben zu Kpite : Einchsiger Spnnungszustnd- 7 - Aufgben zu Kpite 4: Zug- und Druckstb - - Aufgben zu Kpite 5: Zweichsiger Spnnungszustnd Aufgben zu Kpite 6: Vergemeinertes Estizitätsgesetz (HOOKEsches Gesetz) Aufgben zu Kpite 7: Fächenträgheitsmoment Aufgben zu Kpite 9: Torsion Aufgben zu Kpite : Biegung des gerden Bkens

9 INHALTSANGABE Aufgben zu Kpite : Der Arbeitsbegriff der Estosttik Aufgben zu Kpite : Schubspnnungen Schwörterverzeichnis Bereits erschienen Impressum

10 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT AUFGABE. Berechnung des Gesmtschwerpunkts durch Integrtion Der gegebene Querschnitt ist eine Hbkreisfäche mit dem Rdius r. gegeben: r gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche durch Integrtion y r x Bid. Hbkreisfäche mit dem Rdius r - 9 -

11 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT LÖSUNG ZU AUFGABE. y y da S r ϕ x Bid. Schwerpunktsge eines Hbkreises Durch Umformen in Porkoordinten ergeben sich die Werte (.) : y r sinϕ, x r cosϕ, da r dϕ dr. Die Hbkreisfäche ist (.) : π da A r. Dmit ergibt sich der Schwerpunkt us - -

12 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT (.) : ys y da da mit (.4) : y da r π r r sinϕ(rdϕdr) r (--) r r cosϕ π Dmit ist die Schwerpunktsge in y- Richtung bestimmt (.5) : y S r π r 4r, π In x- Richtung ergibt sich us der Symmetrie des Querschnitts (.6) : xs r. - -

13 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT AUFGABE. Berechnung des Gesmtschwerpunkts Gesmtfäche besteht us zwei Teifächen Der gegebene Querschnitt setzt sich us einer Hbkreisfäche mit dem Rdius r und einen Rechteck der Höhe h zusmmen. gegeben: r, h gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche y r x h Bid. Hbkreisfäche mit dem Rdius r und einen Rechteck der Höhe h - -

14 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT LÖSUNG ZU AUFGABE. y r A A x h Bid.4 Aufteiung der Teifächen Die Gesmtfäche besteht us zwei Teifächen, deren Fäche und Lge des Teischwerpunktes beknnt ist. Die Hbkreisfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen (.7): A π r, x S r, y S 4 r. π Die Rechteckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen - -

15 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT (.8): A r h, xs r, ys - h.. Dmit erhät mn den Gesmtschwerpunkt der Fäche (.9) : xs r, (.) : y S i A i i y A i Si A y S + A A + A y S 4 r π π r π r hrh + rh AUFGABE. Berechnung des Gesmtschwerpunkts Gesmtfäche besteht us drei Teifächen Der gegebene Querschnitt setzt sich us zwei Dreiecken und einem Rechteck zusmmen. gegeben: cm, b 5 cm, c 6 cm, h 8 cm gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche

16 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT y b c h Bid.5 Querschnitt zwei Dreiecken und einem Rechteck x LÖSUNG ZU AUFGABE. y b c h A A S A Bid.6 Aufteiung der Teifächen x Die Gesmtfäche besteht us drei Teifächen, deren Fäche und Lge des Teischwerpunktes beknnt ist: - 5 -

17 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT Die Dreieckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen (.): A h, xs, ys h. Die Rechteckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen (.): A b h, xs + b, ys h. Die Dreieckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen (.): A cb h, xs + b + c, ys h. Dmit erhät mn den Gesmtschwerpunkt der Fäche mit Zhenwerten - 6 -

18 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT (.4): AixSi i AxS + AxS + A xs xs 7.8 cm, A A + A + A i i (.5) : AiySi i AyS + AyS + A ys ys 7.9 cm. A A + A + A i i AUFGABE.4 Berechnung des Gesmtschwerpunkts Gesmtfäche besteht us drei Teifächen Der gegebene Querschnitt setzt sich us einem Dreiecken und zwei Rechtecken zusmmen. gegeben: gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche - 7 -

19 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT y. / / x Bid.7 Querschnitt us einem Dreiecken und zwei Rechtecken - 8 -

20 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT LÖSUNG ZU AUFGABE.4 y / A A A / / x Bid.8 Aufteiung der Teifächen Die Gesmtfäche besteht us drei Teifächen, deren Fäche und Lge des Teischwerpunktes beknnt ist: Die Dreieckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen (.6): A, xs, ys

21 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT Die Rechteckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen (.7): A, xs, ys. Die Rechteckfäche, die erdings bgezogen werden muss, ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen (.8): A, xs, ys. Dmit erhät mn den Gesmtschwerpunkt der Fäche (.9): xs, - -

22 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT (.) : y S i i A y i A i Si A y ( + ) + + S + Ay A + A + A A S y S 4. 6 AUFGABE.5 Berechnung des Gesmtschwerpunkts Gesmtfäche besteht us zwei Teifächen Der Schwerpunkt der Fäche einer Mondsiche setzt sich us mehreren Kreisfächen zusmmen. gegeben: r 4 cm, r cm, b 8 cm gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche - -

23 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT y r r b x. Bid.9 Mondsiche - -

24 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT LÖSUNG ZU AUFGABE.5 y r x ) - -

25 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT y r r s/ α α b x b) Bid. Zusmmensetzung der Teifächen; Hbkreisfäche ; b) Kreisusschnitt Die Gesmtfäche besteht us zwei Teifächen, deren Fäche und Lge des Teischwerpunktes beknnt ist: Die Hbkreisfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen πr 4r (.) : A, xs, ys. π - 4 -

26 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT Die Kreisusschnitt ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen r s (.): A (α - sinα), xs b, ys A und dem Winke (.): α rcos b r. Dmit erhät mn den Gesmtschwerpunkt der Fäche mit Zhenwerten (.4): AixSi i AxS AxS xs 4.4 cm. A A A i i Aus Symmetrie fogt (.5) : ys

27 AUFGABEN ZU KAPITEL : FLÄCHENSCHWERPUNKT - 6 -

28 AUFGABEN ZU KAPITEL : EINACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND AUFGABEN ZU KAPITEL : EINACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND AUFGABE. Berechnung der Norm- und Tngentispnnungen infoge einer Normkrft in einer um den Winke α geneigten Ebene Für den bgebideten Stb (Kreisquerschnitt, Durchmesser d) berechne mn die Norm- und Tngentispnnungen in einer um den Winke α geneigten Ebene. Die Spnnungen sind über den Querschnitt geichmäßig verteit nzunehmen. gegeben: F N, d 4 cm, α gesucht: Bestimmung der Spnnungen in der um den Winke α geneigten Ebene σ, σ, τ ξ η ξη - 7 -

29 AUFGABEN ZU KAPITEL : EINACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND F d η y α ξ x F Bid. Stb mit einer um den Winke α geneigten Ebene LÖSUNG ZU AUFGABE. Es iegt ein eindimensiones Probem vor. Dmit wirkt die Krft nur in y- Richtung. Mit der Fäche d 4 (.) : A π π cm π 6 4 cm ergibt sich - 8 -

30 AUFGABEN ZU KAPITEL : EINACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND (.) : σx, (.) : σ y F A N 6 π cm 4 5 N π cm. Die Spnnungen im ξ η System sind (.4): σ ξ σ x cos α + σ y sin α+ τ xy sinαcos α σ y sin α, (.5): σ η σ x sin α + σ y cos α- τ xy sinαcos α σ y cos α, (.6) : τ ξη τ + τ ηξ xy - σ x sinαcosα + σ (cos α sin α) σ y y sinαcosα + sinαcosα

31 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB AUFGABE 4. Zug- und Druckstb ohne Eigengewicht und ohne Temperturbestung mit Fächenst m Stbende Bestimmung der Spnnungen des Stbes Ein stbförmiger Pyrmidenstumpf mit qudrtischem Grundriss steht wie skizziert uf einer ebenen Unterge. Auf seiner oberen Querschnittsfäche wirkt eine Spnnung σ o. Ds Eigengewicht knn vernchässigt werden. gegeben:, b, h, σ o, E gesucht: Bestimmung der Spnnung Querschnittsfäche und des Betrgs σ u uf der unteren h, um den sich der Pyrmidenstumpf verkürzt. Wie knn ds System näherungsweise berechnet werden? Wnn ist mn uf der sicheren Seite? - -

32 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB σ h x b Bid 4. Stbförmiger Pyrmidenstumpf mit qudrtischem Grundriss LÖSUNG ZU AUFGABE 4. Aus den Geichgewichtsbedingungen erfogt die Spnnungsberechnung - -

33 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB h x σ h x dx σ u (b-)/ ) b b) b Bid 4. ) Schnittbid des stbförmigen Pyrmidenstumpfes; b) Geometrie zur Berechnung der Fäche A (x) (4.): σ o A o σ u A u σ u σ o A A o u σ o b. Dmit ergibt sich mit N σo A const. die Verkürzung us (4.) : h x h x N(x) dx EA(x) x h x N dx. EA(x) - -

34 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Die Berechnung der veränderichen Querschnittsfäche erfogt mit dem Strhenstz (4.) : (b ) (dx ). h x Drus fogt mit (b ) ( 4.4) : dx x + h die veränderiche Fäche (4.5) : (b ) A(x) ( x + ) h. Mit E const., N(x) N σ o const., A (x) dx fogt (4.6) : h σ E x h dx (b ) ( x h x + ). Durch die Substitution mit - -

35 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB (4.7) : (b ) z x +, h dz dx (b ) h h dx dz. (b ) ergeben sich die neuen Grenzen des Integrs ( 4.8) : x z, x h z b. Dmit fogt (4.9) : h σ E z b σh. E b z h dz (b ) z σ E h (b ) z b Näherungsösung Wenn die keinste Fäche A s konstnte Fäche des Stbes ngenommenen wird, ergibt sich die geringste Dehnsteifigkeit. Dmit wird die größtmögiche Verformung ngegeben - 4 -

36 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB (4.): h σoaoh σoh. EA E o Ds Verhätnis b ist ds Mß für den Feher. Ds Näherungsergebnis ist zu groß. Wird ds Mitte der Fächen ( + b ) s konstnte Fäche des Stbes ngenommenen, ergibt sich eine mittere Dehnsteifigkeit. Dmit wird die größtmögiche Verformung ngegeben (4.): h σoaoh + b E( ) σ h + b E( ) σh E 4 ( + b). Ds Verhätnis 4 ( + b) ist ds Mß für den Feher. Ds Näherungsergebnis ist immer zu kein. Tbee 4. Überprüfung der Genuigkeit der Näherungsösungen; gegeben: cm - 5 -

37 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB AUFGABE 4. Zug- und Druckstb ohne Eigengewicht und ohne Temperturbestung mit Einzekrft F m Stbende Bestimmung der Normkrft- und Verschiebungsveräufe des Stbes Ein konisches Weenstück wird mit der Krft F bestet. gegeben: F, E, d, D, gesucht: Bestimmung des Betrgs, um den sich ds konische Weenstück unter der Wirkung der Zugkrft F verängert - 6 -

38 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB E const. F d D F Bid 4. Konisches Weenstück mit der Krft F LÖSUNG ZU AUFGABE 4. F A B F x x A x B Bid 4.4 Geometrie zur Berechnung der Fäche A(x) Aus dem Strhenstz ergibt sich (4.) : x A, d D d - 7 -

39 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB fogt mit d ( 4.): xa, xb xa D d d + ( +) D d die Berechnung der veränderichen Fäche (4.4) : D π A(x) 4 x x B. Aus der Differentigeichung der Sttik wird der Normkrftveruf bestimmt dn ( 4.5) : EA u N(x) C. dx Die sttische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet ( 4.6) : N(x x A + ) F C F N F const

40 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Aus dem Estizitätsgesetz ergibt sich die Verängerung s Verschiebungsdifferenz der Punkte A und B (4.7) : u(x F E B ) - u(x 4x D B π A F ) E x x B A A(x) x - B ((x )(-)) x A dx F E 4x D x B π x B A x dx F E F E 4x D B 4 Dd π. π (- x B + x ) F 4 D d (+ ) E D π d AUFGABE 4. Verändericher Zug- und Druckstb ohne Eigengewicht und ohne Temperturbestung mit Einzekrft F m Stbende Bestimmung der Normkrft- und Verschiebungsveräufe des Stbes Bestimmung des Spnnungsverufs Ein homogener Stb konstnter Dicke mit iner veränderichem Querschnitt wird mit Eigengewicht bestet. gegeben:,, A, ρ, g, F, E - 9 -

41 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB gesucht: Bestimmung des Zugspnnungsverufs σ (x) und des Orts (x * ) und Betrgs der keinsten Spnnung sowie der Gesmtverängerung. A ρ x F F Bid 4.5 Homogener Stb konstnter Dicke mit iner veränderichem Querschnitt LÖSUNG ZU AUFGABE 4. Für Geichung (4.) mit A γ A(x) γ x fogt der Nor- mkrftveruf g(x) - 4 -

42 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB A A ( 4.8) : N(x) g( ξ) dξ γ ξ dξ γ x + C. ξ x ξ x Drus fogt der Normspnnung ( 4.9) : σ (x) N(x). A(x) Die sttische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet (4.) : A N(x ) F γ A C F - γ. + C Drus fogt der Normkrftveruf A ( 4.) : N(x) γ (x - ) + F und der Spnnungsveruf - 4 -

43 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB (4.) : A σ(x) γ A (x x - ) + F F + ( γ ) + γx. A x x A σ x* x σ(x) Bid 4.6 Spnnungsveruf Der Ort und der Betrg der keinsten Spnnung σ (x * ) ergibt sich us der ersten Vrition nch x (4.): dσ(x x dx * ) F ( γ x A ) + γ

44 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Drus ässt sich der Ort bestimmen. A F x* x A F (4.4) : γ γ γ γ Durch die zweite Vrition wird ds Minimum bestätigt. ) A F ( x ) A F ( x ) ( dx ) x (x d (4.5) : * * * > γ γ σ Für x* > und A F γ > existiert ein Spnnungsminimum. Dmit ist der Betrg der keinsten Normspnnung. x ) A F ( x ) (x (4.6) : * * * γ + γ σ Die Gesmtverängerung des Stbes ergibt sich us der Integrtion der Differentigeichung

45 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB x.) ) A F ( Ex ) x A F + ) - (x x A A ( E EA(x) N(x) dx du(x) (4.7) : γ + γ + γ. C ) x 4 ) A F + n(x) (- ( E u(x) 4.8) : ( + γ + γ Die geometrische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet ). 4 ) A F + n()(- ( E C C ) 4 ) A F + n()(- ( E ) u(x (4.9) : γ + γ + γ + γ Dmit utet der Verschiebungsveruf ). 4 ) A F + n()(- ( E ) x 4 ) A F + n(x)(- ( E u(x) (4.) : γ + γ γ + γ

46 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB x mit n( x) n() n( ) fogt (4.) : u(x) ( E x n( ) (- γ F + ) + γ(x A 4 )). Die Verschiebung ist negtiv in positiver x- Richtung. Am Stbende ist die Verängerung (4.) : u(x ) ( E n( ) (- γ F + ) + γ( A 4 )). AUFGABE 4.4 Zusmmengesetzter Zug- und Druckstb ohne Eigengewicht und ohne Temperturbestung mit einer Einzekrft F m Stbende Bestimmung der Dehnung ε (x), Verschiebung u(x), Spnnung σ (x), Normkrft N(x) und Dehnsteifigkeit EA(x) n der Übergngsstee Ein gewichtsoser Stb der Länge ( + ) mit konstntem Estizitätsmodu ist us zwei Stäben mit verschiedenen

47 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Kreisquerschnitten zusmmengesetzt. Am unteren Ende wirkt eine Zugkrft F. gegeben:,, E, F, D, d gesucht: Bestimmung der Größen, die sich n der Übergngsstee zwischen beiden Querschnitten sprunghft ändern: Dehnung ε (x),verschiebung u(x), Spnnung σ (x), Normkrft N(x) und Dehnsteifigkeit EA(x) x D Ü d F Bid 4.7 Gewichtsoser Stb us zwei Stäben mit verschiedenen Kreisquerschnitten

48 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB LÖSUNG ZU AUFGABE 4.4 x D Ü x d F Bid 4.8 Einführung der Koordintensysteme x und x Die Berechnung des Normkrftverufes erfogt durch Integrtion in beiden Bereichen (4.) : dn i(xi) dx i N (x - g(x) ) C, N (x ) C. N ist in beiden Bereichen konstnt. Die sttische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet

49 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB ( 4.4) : N(x ) F N(x ) F. Die sttische Übergngsbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet ( 4.5) : N (x ) N(x ) N(x) F. D Mit dem Estizitätsgesetz mit E const., A π const. 4 d, A π const. in (4.6) ergeben sich für beide Berei- 4 che die Verschiebungsveräufe (4.6): du(x) 4F dx EπD du(x, dx ) 4F Eπd, Drus fogt 4F ( 4.7): u (x) x + C, u(x) x + C. Eπd

50 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Die geometrische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet ( 4.8) : u (x ) C. Die geometrische Übergngsbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet 4F ( 4.9): u(x ) u(x ) C. EπD Dmit uten die Verschiebungsveräufe 4F 4F 4F ( 4.4): u(x) x, u(x) x +. EπD Eπd EπD Dmit ergeben sich sprunghfte Änderungen bei der Dehnung ε (x), denn A(x) ht einen Sprung n der Übergngsstee N(x) bei der Spnnung σ ( x), denn A(x) ht einen Sprung n der A(x) Übergngsstee

51 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB bei der Dehnsteifigkeit EA(x), denn A(x) ht einen Sprung n der Übergngsstee Die Normkrft N(x) ist für beide Bereiche geich groß. Die Verschiebung u(x) muss n der Übergngsstee komptibe sein. AUFGABE 4.5 Druck- Zugstb Berechnung der Verformung des Lstngriffspunktes Geichmäßige Temperturbestung Sttisch unbestimmtes System Ein schwerer Stb (spezifisches Gewicht γ, Querschnittsfäche A, Wärmeusdehnungskoeffizient α T ) unter einer geichmäßigen Temperturerwärmung um die Temperturdifferenz T ist in B und in C befestigt. gegeben: γ, A, α T,, T gesucht: Bestimmung der Spnnungsverteiung σ (x) und des Verschiebungsverufes u(x)

52 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB B x γ, α T C Bid 4.9 Schwerer Stb unter einer geichmäßigen Temperturerwärmung. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT ZU AUFGABE 4.5 Die Differentigeichung (4.7) mit γ ρg und T const. ergibt durch Integrtion den Verschiebungsveruf ( 4.4) : (EA u' )' ( α T EA T)' - γ A, ( 4.4) : (EA u' ) αt EA T - γ Ax + C, ( 4.4) : EA u α T EA T x - γ Ax + Cx + C, Ds System ist sttisch unbestimmt. Es gibt nur geometrische Rndbedingungen zur Bestimmung der Konstnten uten - 5 -

53 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB ( 4.44) : u() C, ( 4.45): u() C - αt EA T + γ A. Die Spnnungs- und Verschiebungsveräufe mit N EA u' (4.46) : σ(x) N A ( α A + γ (-x + T EA T - γ Ax + ) α T E T. γ A) ( 4.47) : EA u αt EA T x - γ Ax - αt + γ Ax u γx( - E x). EA Tx

54 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB x - σ γ/-eα T T x x/ + u γ /(E8) σ(x) u(x) ) -Eα T T x x b) x x Bid 4. ) Spnnungsveruf; b) Verschiebungsveruf. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT ZU AUFGABE 4.5 Die Bestimmung der Normkrft- und Verschiebungsveräufe erfogt über die Integrtion der Geichungen (4.48) und (4.49) dn(x) ( 4.48) : - γa N(x) - γax + C, dx (4.49) : du(x) dx N EA u(x) γ + α T x E C T γ x + + +α E EA C + x + α EA T Tx + C T T

55 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Bestimmung der Integrtionskonstnten us den Rndbedingungen und der Spnnungs- und Verschiebungsveräufe wie oben. AUFGABE 4.6 Strrer Bken mit dehnweichem Sei Berechnung der Seispnnung Berechnung der Verformung des Systems Sttisch bestimmtes System Ein strrer Geenkträger ist mit der Einzekrft F bestet und wird durch ein Sei gehten. gegeben:, F, Seidurchmesser d, E gesucht: Bestimmung der Spnnung im Sei und die Verformung des Geenkes in C

56 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB D A C F B Bid 4. Strrer Geenkträger mit der Einzekrft F LÖSUNG ZU AUFGABE 4.6 A H A V S C V ) C H C H C V F b) B Bid 4. Schnittbid; ) Teisystem ; b) Teisystem

57 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Die Geichgewichtsbedingungen m Teisystem uten ( 4.5) : CV B F, ( 4.5) : CH. Die Geichgewichtsbedingungen m Teisystem uten S (4.5): C A V, ( 4.5) : A H, ( 4.54) : A + S + C V V. Drus fogen die Seikrft und die Aufgerkrft ( 4.55) : S F, A V 4 F. 4 Die Spnnung im Sei ist

58 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB (4.56) : σ S A F4 4πd F πd. Dmit ergibt sich die Seiverängerung zu (4.57) : u() F d π dx E F πd E 6F Eπd. A f c Bid 4. Verformung des Geenkes C m Teisystem Die Verformung des Geenkes C fogt s dem Strhenstz (4.58) : fc f C 9F. Eπd AUFGABE 4.7 Druck- Zugstäbe Berechnung der Verformung des Lstngriffspunktes

59 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Geichmäßige Temperturbestung Sttisch unbestimmtes, symmetrisches System Ds gegebene Stbsystem wird um T geichmäßig erwärmt. gegeben: E, A, A, α T, α T, T, h, β gesucht: Bestimmung der Schnittkräfte, Spnnungen und Dehnungen in den Stäben S i. Wo iegt der Punkt A nch der Erwärmung? Untersuchung des Sonderfs EA EA und α α. T T h EA EA EA β β A Bid 4.4 Symmetrisches Stbsystem

60 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB LÖSUNG ZU AUFGABE 4.7 Ds Trgwerk und die Bestung sind symmetrisch, so sind uch die Schnittgrößen und Verformungen symmetrisch. β β β β Bid 4.5 Verformungsbid Aus der Geometrie fogt h ( 4.59) :, cosβ h

61 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Die Verträgichkeit der Verschiebungen ergibt ( 4.6) : cosβ. S S β β S Bid 4.6 Schnittbid Aus der Geichgewichtsbedingung fogt ( 4.6) : S S cosβ. Aus dem Estizitätsgesetz fogen die Verängerungen der Stäbe S S ( 4.6) : + αt T, + αt T. EA EA Dmit stehen für die sechs Unbeknnten sechs Geichungen zur Lösung bereit. Ds System ist ösbr

62 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Drus fogt (4.6) : h S cosβ + α EA T S hcosß ( + α EA T h cos T β T h)cosß, Die Schnittkräfte, die Spnnungen und die Dehnungen in den Stäben ergeben sich zu (4.64) : T h( αt cos β - αt ) S h hcos β ( + )cosβ EA cosβ EA S T ( α EA T cos β - α cos β + EA T ( α - cosβ EA T T ), cos β - α T cos β + EA ), - 6 -

63 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB (4.65) : σ σ S A S A T ( α T cos β - α A cos β + E EA T ( α cosβ A EA T T ), cos β - α T cos β + E ), (4.66) : ε ε T ( α EA T cos β - α cosβ( αt EA( EA cos β + EA T ) EA T, + αtcos β) T + α cos β + ) EA + α T T T. Die Verschiebung des Punktes C ist (4.67) : f C cosβ T h ( αt cos β α EA + cos β EA T ) + α T Th

64 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB Mit EA EA EA, α T α T α T und sin β + cos β fogen die Stbkräfte und die Stbverängerungen (4.68): S EA T αt sin β,s + cos β EA T αt sin β - cosβ, + cos β h S S ( 4.69) : ( + αt T), h( + αt cosβ EA EA T). AUFGABE 4.8 Druck- Zugstäbe Berechnung der Verformung des Lstngriffspunktes Sttisch unbestimmtes System Ds gegebene Stbsystem wird über eine strre Ptte mit den Kräften F, F und F bestet. gegeben: E, A, A, A,,,, F, F, F gesucht: Bestimmung der Schnittkräfte und Dehnungen in den Stäben S i

65 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB EA EA EA F F F Bid 4.7 Stbsystem mit strrer Ptte LÖSUNG ZU AUFGABE 4.8 Es hndet sich um ein sttisch unbestimmtes System, die Stbkräfte S i können nur mit den Estizitätsgeichungen geöst werden

66 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB S S S B H A F F F Bid 4.8 Schnittbid der strren Ptte Aus der Sttik fogt mit B H ( 4.7) : S + S + S F + F + F, (4.7): A (-S + F ) + (S - F ). Die Estizitätsgeichungen uten (4.7): S, EA (4.7): S EA,

67 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB (4.74): S. EA Aus der Geometrie in Bid 4.9 fogt Bid 4.9 Geometrie der strren Ptte (4.75): Somit existieren 6 Geichungen für die 6 Unbeknnten: S, S, S,,,. Dmit ist ds System ösbr. Drus fogt

68 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB EA S EA S EA S EA S (4.76): Drus fogen, S -F F S (4.77): +, S - - S + F + F F S : (4.78). A A ) ( A ) A ) ( A ( F A ) ( F A F S (4.79): Drus fogen die Dehnungen us (4.7), (4.7) und (4.74) mit EA S ε, EA S ε,. EA S ε. Zur Kontroe ergeben sich mit F F F F, A A A A, die Schnittkräfte zu

69 AUFGABEN ZU KAPITEL 4: ZUG- UND DRUCKSTAB (4.8): 4 S A F F, + A A A S F - F + S F, S F +F + F - S - S F F und die Stbverängerungen zu. EA

70 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND AUFGABE 5. Vorgegebener Spnnungszustnd einer ebenen Scheibe Berechnung der Größe und Richtung der Huptspnnungen Anytische Lösung Eine Scheibe wird durch unter seitig geichen Druck σ bestet (Bid 5.4 ). Eine zweite Scheibe us spröden Mteri, ds nhezu keine Zugspnnungen ufnehmen knn, ist durch seitig geicher Schubbenspruchung τ bestet (Bid 5.4 b). gegeben: σ, τ gesucht: Bestimmung der Spnnungen in der Scheibe. Mn zeige, dss Scheibe unter seitig geichem Druck σ nur Druckspnnungen σ uftreten (hydrosttischer Druck) können und dss in Scheibe b bei sprödem Mteri ein Bruch unter 45 uftritt

71 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND σ σ τ τ ) σ σ b) τ τ Bid 5. Scheibe ) mit Druck σ ; b) us spröden Mteri und mit τ bestet LÖSUNG ZU AUFGABE 5. ) Scheibe : hydrosttischer Druck - 7 -

72 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND y η σ x σ y σ x ξ σ y α x Bid 5. Koordintensysteme x, y und ξ, η Der Spnnungszustnd der Scheibe Bid 5. ist (5.): σ x σy - σ, τxy. Aus den Trnsformtionsformen fogen die Spnnungen in einem gedrehten Koordintensystem (5.) : σ ζ ( σx + σy ) - σ σ η, τ ζη. Ds heißt, der MOHRsche Spnnungskreis wird zu einem Punkt. b) Scheibe b: Bruch unter

73 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND η y τ τ yx τ xy τ xy ξ τ xy α x Bid 5. Koordintensysteme x, y und ξ, η Der Spnnungszustnd der Scheibe Bid 5.b ist (5.): σ x σy, τxy τ. Aus den Trnsformtionsformen fogen die Spnnungen in einem gedrehten Koordintensystem (5.4): σ τ ζ ζη τ τ xy ηζ sinα, τ xy σ η -τ cosα. xy sinα, Sprödes Mteri knn nur sehr geringe Zugspnnungen ufnehmen. Der Bruch tritt deshb in einem Schnitt * α α - 7 -

74 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND uf, in dem die größten Zugspnnungen σ ζmx wirken. Aus der ersten Vrition ässt sich die mxime Zugspnnung berechnen (5.5): d σ ξ dα * τxy cosα cosα. * Für * α ±9 fogt (5.6): α * ± 45. Der Nchweis des Mximums erfogt über die zweite Vrition der Spnnung (5.7): d σξ dα * α 45 4τ xy (-sinα * ) <. Für diesen Winke besteht ein Mximum, so die mxime Zugspnnung

75 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND (5.8) : d σξ dα * α 45 4τ xy (-sinα * ) >. Ds Minimum ergibt die mxime Druckspnnung. Druckspnnungen können von einem spröden Körper ufgenommen werden. AUFGABE 5. Vorgegebener Spnnungszustnd einer ebenen Scheibe Berechnung der Größe und Richtung der Huptspnnungen Anytische Lösung In einer rechteckigen Scheibe wird durch die skizzierte Bestung ein zweidimensioner Spnnungszustnd erzeugt. Die Scheibe wird durch einen schrägen Schnitt α hbiert. gegeben:, c, Dicke t, σ N N x 6, σ y -, τ xy, α 6 mm mm N mm

76 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND gesucht: Bestimmung der uf die Schnittfäche wirkenden Spnnungen σ τ mit Hife der Trnsformtionsformen ζ, ζη und Kontroe des Ergebnisses durch die Geichgewichtsbedingungen σ x y σ y τ yx ξ η α Schnittebene c τ yx α σ x x Bid 5.4 Rechteckige Scheibe mit Bestung; Schnittebene unter dem Winke α

77 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND LÖSUNG ZU AUFGABE 5. Mit N N N σ x 6, σ y -, τ xy und mm mm mm cosα cos.5, sinα sin.866 fogen (5.9) : σ ζ N 5.98 mm, τ ζη N mm. Die Kontroe m bgeschnittenen Tei mit ergibt sin α s und tn α (5.): t - σ σ ζ x s t cosα + σ - τ xy y t sinα - s t sinα - τ xy t cosα, : t (5.): t + σ τ ζη x s t sinα + σ - τ xy y t cosα - s t cosα + τ xy t sinα, : t

78 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND y σ ξ σ x ξ s η α τ ξη b τ xy σ y α τ xy σ x x Bid 5.5 Schnittbid des bgeschnittenen Teis Die Zhenwerte eingesetzt in (5.) und (5.) ergeben (5.) : ( sin α 6 cosα + sin α - tn α N - ( sinα + cosα)) tn α mm N ( ) mm

79 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND (5.) : ( sin α + - ( sinα + α tn α cosα + tn α 6 tn cosα - N sinα)) mm N ( ) mm Dmit bestätigt die Kontroe die berechneten Werte. AUFGABE 5. Vorgegebener Spnnungszustnd einer ebenen Scheibe Berechnung der Größe und Richtung der Huptspnnungen Anytische und grphische Lösung In einer rechteckigen Scheibe wird durch die skizzierte Bestung ein zweidimensioner Spnnungszustnd erzeugt. Die Scheibe wird durch einen schrägen Schnitt α hbiert. gegeben:, c, Dicke t, σ N N x 6, σ y -, τ xy, α 6 mm mm N mm

80 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND * gesucht: Bestimmung der Schnittfäche α, in der die Normspnnungen σ den größten Wert hben. Wie groß ist dieser? Wie groß sind die Huptspnnungen. Lösung mit dem MOHRschen Spnnungskreis σ x y σ y τ yx ξ η α Schnittebene c τ yx α σ x x Bid 5.6 Rechteckigen Scheibe mit Bestung LÖSUNG ZU AUFGABE 5. Die Richtung der Huptchsen sind (5.4) : tn α *, α *,

81 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND Drus fogt (5.5) : α * 8.4, α * 8.4. Die mxime Spnnung ist (5.6) : σ ζ ( σx + σy ) + ( σx σy )cosα + τxysinα, (5.7): σ mx σ ζ ( α * 8.4 N (+ +8) mm ) N 7 mm σ. Die Huptspnnungen sind (5.8): σ, + 4 ( ± 8 N ) mm. Drus fogen die Mxime und minime Huptspnnung - 8 -

82 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND (5.9) : N N σ 7, σ mm mm. LÖSUNG MIT DEM MOHRSCHEN SPANNUNGSKREIS τ σ y τ xy σx σ x τ ξη τ xy σ y σ σ η σ M α α ξ N/mm α σ α σ x σ σ σ σ σ σ τ xy τ ξη τ mx σ M σ M τ mx τ mx σ M σ M Bid 5.7 MOHRscher Spnnungskreis; Mßstb N cm 4.76 mm - 8 -

83 AUFGABEN ZU KAPITEL 5: ZWEIACHSIGER SPANNUNGSZUSTAND - 8 -

84 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) AUFGABE 6. Berechnung der Spnnungen in einer Scheibe Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeänderungen) in einer Scheibe Zweidimensiones System Bestung durch Geichstreckenst und Tempertur In einem strren Betonsocke B (Dicke t) wird pssend eine qudrtische, estische Scheibe eingesetzt. Die Scheibe wird mit einer Fächenst q n der oberen Knte und der Tempertur T bestet. gegeben:, q, E, ν, t, T, α T gesucht: Bestimmung des Betrgs, um den sich die freie Seite unter der Druckspnnung q und der Tempertur T verschiebt, wenn vorusgesetzt wird, dss die Scheibe n den vertiken Seitenrändern reibungsfrei geiten knn - 8 -

85 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) q Dicke t x y Bid 6. Qudrtische, estische Scheibe im Betonsocke LÖSUNG ZU AUFGABE 6. Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeänderungen γ zu Nu. Dmit wird τ. ij Die Spnnung σ x infoge der Bestung q in x- Richtung und der Temperturerhöhung T utet (6.): σ x qt t N q mm

86 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) Die Scheibe knn sich wegen der strren Wände in y- Richtung nicht usbreiten (6.): ε y ( σ E σ y y - νσ νσ x x ) + α T T T α TE. σ y ist die durch die Bestung und die Behinderung der Ausdehnung hervorgerufene Spnnung in y- Richtung. In (6.) mit Richtung zu T eingesetzt ergibt sich die Dehnung in x- (6.): ε x ( σ E σ E x x - ν( νσ x ) + α α TE))+ α T T TE(+ ν) T T Dmit ergibt sich die Höhenänderung in x- Richtung zu (- ν (6.4) : εx - q(- ν ) + αt TE(+ ν). E

87 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) AUFGABE 6. Berechnung der Spnnungen in einer Scheibe Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeänderungen) in einer Scheibe Dreidimensiones System Die drgestete Rechteckscheibe us Sth ist im skizzierten Zustnd spnnungsfrei gegert. Die obere und untere Lgerung sei strr und reibungsfrei. gegeben: ν, T, α T, E, c, b gesucht: Bestimmung der Spnnungen und Verzerrungen, wenn die Scheibe eine geichmäßige Temperturerhöhung T erfährt. Wie groß sind die Abstände AB und AC nch der Temperturerhöhung?

88 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) c/ c/4 c/4 z y A, C B b) z x A B C b / / Bid 6. Rechteckscheibe us Sth; ) Seitennsicht; b) Drufsicht LÖSUNG ZU AUFGABE 6. Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeänderungen γ ij zu Nu (6.5) : γ τixy γ yz γzx G xy. Es besteht keine Einspnnung und keine Reibung. Die freie Ausdehnung zwischen Lger und Scheibe ist mögich. Dmit entstehen in der Scheibe keine Spnnungen in x- und y- Richtung

89 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) (6.6): σ, σy x. Die Scheibe knn sich wegen der strren Wände in z- Richtung nicht usbreiten. In (6.) eingesetzt ergibt sich drus eine Bedingung für die Spnnung in z- Richtung (6.7) : ε z σz + αt T σz αt TE. E σ z ist die durch die Temperturbestung und die Behinderung der Ausdehnung hervorgerufene Spnnung in z- Richtung. Die Dehnungen in x- und y- Richtung können nun bestimmt werden (6.8) : εx (- νσz ) + αt TE (+ ν) αt T, E (6.9) : ε x (- νσz ) + αt TE (+ ν) αt T εy. E

90 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) Durch die Lgerung oben und unten verändert sich die Länge AB nicht (6.): AB AB *. Die Länge AC verändert sich zu * AC AC * (6.): ε AC AC( εx AC x + ). AUFGABE 6. Berechnung der Spnnungen in einer Scheibe Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeänderungen) in einer Scheibe mit seitichen Wänden und ohne Wände Dreidimensiones System Bestung durch Fächenst Ein Würfe der Kntenänge wird durch eine Fächenst q in eine Nut gepresst, deren Wände gtt und strr sein soen. gegeben:, q, ν, E

91 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) gesucht: Bestimmung der Änderungen, die sich für den Spnnungszustnd ergeben, und der Längenänderungen, wenn die seitichen Wände nicht vorhnden wären. q z y ) b) x y Bid 6. Würfe unter eine Fächenst q; ) Ansicht in der y- z- Ebene; b) Ansicht in der x- y- Ebene (von oben gesehen) LÖSUNG ZU AUFGABE 6. Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeänderungen γ ij in beiden Fäen zu Nu - 9 -

92 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) (6.) : γ τixy γ yz γ zx G xy. Die Spnnungen us dem Bestungszustnd q uten (6.): σ τ x xy qt t. N q mm, σ z qt t N q mm, Die Scheibe knn sich wegen der strren Wände in y- Richtung nicht usbreiten (6.4) : ε y ( σy + νq + νq) σy E - νq. σ y ist die durch die Bestung und die Behinderung der Ausdehnung hervorgerufene Spnnung in y- Richtung. Eingesetzt, ergibt sich die Dehnung in x- und z- Richtung für zu (6.5) : ε x (-q - ν( νq) + νq) - (q (+ ν + ν ), E E - 9 -

93 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) (6.6) : ε z E (-q + νq - ν( νq)) q(-+ ν + ν E ), Wenn die Ausdehnung nch en Seiten mögich ist, so keine Behinderung voriegt, knn sich die Scheibe frei in y- Richtung usbreiten. Es entstehen in dieser Richtung keine Spnnungen (6.7): σ y. Drus ergeben sich die Dehnungen in x-, y- und z- Richtung zu (6.8) : εx ( q + νq) q( + ν), E E (6.9) : εy ( νq + νq) νq, E E (6.) : εz ( q + νq) q( + ν). E E - 9 -

94 AUFGABEN ZU KAPITEL 6: VERALLGEMEINERTES ELASTIZITÄTSGESETZ (HOOKESCHES GESETZ) - 9 -

95 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT AUFGABE 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8.) iegt vor. gegeben: b, h, t gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente

96 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT b t y S z h t Bid 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt LÖSUNG ZU AUFGABE 8. b t y z s s S A h y s S A t z, z Bid 8. Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ergibt sich zu

97 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.): A A + A h t +b t t (h+b). Die Schwerpunktskoordinten sind (8.) : ys, (8.) : z s h ht + bt(h+ (h+ b)t t ) h + b(h+ t). (h+ b) Die Abstände der Einzeschwerpunkte zum Gesmtschwerpunkt ergeben sich zu ( 8.4) : s zs h b(h+ t) (h+ b) t ( 8.5) : s h + zs b(h+ t) (h+ b) Die Fächenträgheitsmomente ergeben sich zu

98 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT t ( 8.6) : s h + zs b(h+ t) (h+ b) (8.7) : I y I y th t + s + s (h A A + I + b t + s bt + y A + s A bh(h+ t) ) + (h+ b)4, (8.8) : ht tb t Iz + (b + h t ). Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu ( 8.9) : Iyz. Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist (8.) : I p I y +I z t (h + b t + b + h t bh(h+ t) ) + (h+ b)

99 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT AUFGABE 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8.) iegt vor. gegeben: b, h, gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente

100 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT y S h z b Bid 8. Zusmmengesetzter, symmetrische Querschnitt LÖSUNG ZU AUFGABE 8. y y S S S s s S h A A A z, z b Bid 8.4 Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ergibt sich zu

101 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT b h (+ b)h (8.) : A A + A + A + bh. Die Schwerpunktskoordinten sind h b h h ( ) + bh h + b (8.): ys, zs. (+ b)h + b Die Berechnung der Abstände der Einzeschwerpunkte zum Gesmtschwerpunkt ergibt ( 8.) : s s zs h h b, + b h ( 8.4) : s zs h b. 6 + b Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente nch STEINER fogt - -

102 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.5) : I y bh + s bh + (I yd + s h( b) ), 4 (8.6) : I z hb + (I zd h b h( b) ). 4 * y S h * y b * z, z Bid 8.5 I yd, I zd us Tbee 8. Die Einzefächenträgheitsmomente der beiden Dreiecke werden us Tbee 8. nch Bid 8.5 mit * ; h berechnet. Sie ergeben sich zu h * b, b * - -

103 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.7) : I yd b h Iz* (b 6 b h, 6 * * * b * * + * ) * b h 6 * (8.8) : I zd I y* * h b 6 * h( b) 6 8. Dmit fogen die Fächenträgheitsmomente in (8.5) und (8.6) mit (8.7) und (8.8) (8.9) : I y bh h b + + b h b b b h bh + ( + 6 h( b) h ) b+ b + b, - -

104 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.) : I z hb 44 h( b) + ( 6 8 ( h b + h( - b) + h ( - b)( h + - b) h b ). + h( b) ) 4 Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu ( 8.) : Iyz. Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist ( 8.) : Ip Iy + Iz. AUFGABE 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente - -

105 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8.6) iegt vor. gegeben: b, h,, r gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente y S b r h z Bid 8.6 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt - 4 -

106 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT LÖSUNG ZU AUFGABE 8. y y s s S s s b r h A z, z A Bid 8.7 Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ergibt sich zu (8.): A A + A h πr. Die Schwerpunktskoordinten sind (8.4): y S, z S h h πr h πr b

107 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Die Berechnung der Abstände der Einzeschwerpunkte zum Gesmtschwerpunkt ergibt (8.5) : s h - z S h πr (b ), h πr (8.6) : s b z S h h(b ). h πr Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt (8.7) : h πr Iy + s A - + s A 4 h 4 πhr (b ) h πr - -, 4 h πr 4 (8.8) : I z h 4 πr

108 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu ( 8.9 ) : Iyz. Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist ( 8. ) : Ip Iy + Iz. AUFGABE 8.4 Rohrquerschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein Rohrquerschnitt (Bid 8.) iegt vor. gegeben: d, D gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente - 7 -

109 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT d y S D z Bid 8.8 Rohrquerschnitt LÖSUNG ZU AUFGABE 8.4 d A y A S D z Bid 8.9 Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ist - 8 -

110 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.): π A A - A (D d 4 ). Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergeben π 4 4 ( 8.) : Iy (D - d ) Iz. 64 Es gibt zwei Symmetriechsen. Ds Devitionsmoment wird zu Nu ( 8. ) : Iyz. Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist (8.4) : I p I y + I z π (D 4 - d 4 ). AUFGABE 8.5 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes - 9 -

111 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8.) iegt vor. gegeben: b, b, h, t gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente b t h y S t t z b Bid 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt - -

112 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT LÖSUNG ZU AUFGABE 8.5 b y t S A h y A S S t t A S z, z b Bid 8. Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ist (8.5): Ages A + A + A b t + h t + b t. Die Berechnung des Gesmtschwerpunktes ergibt (8.6) : ys,. - -

113 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.7): z S b t(b t t h + h t ( + t) + b t (h + t (h + b + b ) + h + b) + h( b (h + b + b ) t) + h). Die Abstände der Einzeschwerpunkte vom Gesmtschwerpunkt sind (8.8) : s z S t h (h + t) (h + b), (h + b + b ) + h t + b (h + b h + b + b ) t (8.9) : s h + t z (h + t) (b b), (h + b + b ) S h b + b t b h b (h + b + b ) t - -

114 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.4) : s t h + zs h b + h h t b (h + b + b ) h (h + b) t (h + b (h + b + b ) t + b b ). Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt (8.4) : I y b t + s A + t h + s A b t + + s A (b + b) t + th ((h + t) (h + b)) bt + ((h + t) (b b + 4 (h + b + b ) (h (h + b) t (h + b b )) bt +, 4 (h + b + b ) )) ht, - -

115 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.4) : tb ht Iz + + tb. Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu ( 8.4 ) : Iyz. Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist ( 8.44 ) : Ip Iy + Iz. AUFGABE 8.6 Symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein symmetrischer Querschnitt (Bid 8.) iegt vor

116 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT gegeben: d, D gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente y D d S z Bid 8. Symmetrischer Querschnitt LÖSUNG ZU AUFGABE 8.6 y y D d S z, z Bid 8. Bezeichnungen im Querschnitt - 5 -

117 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Die Fäche ist (8.45) : π A (D 8 d ). Die Berechnung des Gesmtfächenschwerpunktes ergibt (8.46): y z S S, π D π D d 8 π 8 π (D d ) 8 d π D d. π (D d ) Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt (8.47) : I y 4 4 D (9π 5 π d - (9π 5 π D - 64) + ( z π d - 64) + ( z π S S ) ) π D 8 π d

118 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (9π - 64) (D 5 π (9π - 64) (D 5 π 4 d π d (d D) D D (d D) d + 8 π (D d ) 4 d 4 4 ) ), (8.48) : I z π (D d 4 ). Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu ( 8.49 ) : Iyz. Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist ( 8.5 ) : Ip Iy + Iz. AUFGABE 8.7 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt - 7 -

119 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8.4) iegt vor. gegeben:, b gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente y b S z A A A b Bid 8.4 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt - 8 -

120 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT LÖSUNG ZU AUFGABE 8.7 Wegen der Doppesymmetrie iegt der Gesmtschwerpunkt in S. y S S Bid 8.5 Bezeichnungen im hbierten Querschnitt Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente um den Schwerpunkt nch STEINER ergibt ( 8.5) : Iy Iy + (Iy + A). Mit mm, b mm ergibt sich in Zhenwerten (8.5) : I y 8 + ( + ) 4 mm 4, - 9 -

121 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.5) : I y + 88 mm 4. Es gibt zwei Symmetriechsen. Ds Devitionsmoment wird zu Nu ( 8.54 ) : Iyz. Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist (8.55 ) : I P mm 4. AUFGABE 8.8 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Ds Profi IPB 5 (Bid 8.6) ist gegeben. - -

122 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT gegeben: h 5 mm, b mm, s 4,5 mm, t 8 mm, exkten Werten us Profitbeen I y 7. cm 4, I z.6 cm 4 gesucht: Bestimmung der Fächenträgheitsmomente I y und I z und Vergeich mit den exkten Werten (mit Berücksichtigung der Rdien etc.). b h y s t t z Bid 8.6 Profi IPB 5 LÖSUNG ZU AUFGABE 8.8 Die Schwerpunktskoordinten iegen im Kreuzpunkt der zwei Symmetriechsen. - -

123 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT h y b s Steg z t t Fnsch Fnsch Bid 8.7 Bezeichnungen im Querschnitt Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt (8.56) : I b t y I h + ( yfnsch t ) h + ( t ) b t + I s (h t) b t + ysteg cm + (5-4) 4, 4,5 (5 56) 8 + (8.57) : I y exkt 7 cm

124 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Wenn nur die STEINER- Anteie des Fnsches berücksichtigt werden, git (8.58) : I y* cm 4. (8.59) : z + I t b h s + 6 cm 4 8, 5 4,5 (8.6) : I z exkt 6 cm 4. AUFGABE 8.9 Zusmmengesetzter Querschnitt Berechnung der Fächenträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, unsymmetrischer Querschnitt (Bid 8.8) iegt vor. gegeben: gesucht: Bestimmung der Fächenträgheitsmomente I y, I yz im gegebenen Koordintensystem. - -

125 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT y z Bid 8.8 Zusmmengesetzter, unsymmetrischer Querschnitt LÖSUNG ZU AUFGABE 8.9 y S S / / / z Bid 8.9 Bezeichnungen im Querschnitt - 4 -

126 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Die Fächen sind (8.6): A, A. Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt () ( 8.6) : Iy + A + + ( + ) A, 6 ( 8.6) : Iyz - - A + ( + )( + ) A. 7 4 AUFGABE 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8.) iegt vor. Die Fächenträgheitsmomente in Bezug uf - 5 -

127 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT die y- und z- Achsen einer Fäche, die s Differenz zweier Qudrte entsteht, soen im Verhätnis : 5 stehen. gegeben: gesucht: Bestimmung des Proportionitätsfktors n n* z y n* Bid 8. Querschnitt s Differenz zweier Qudrte LÖSUNG ZU AUFGABE 8. Für ds gegebene Koordintensystem sei - 6 -

128 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.64) : I I y z. 5 η y ζ z Bid 8. Bezeichnungen im Querschnitt Für ein Qudrt git (8.65) : Iy Iz I I η ξ 4. Dies ässt sich mit Hife den Trnsformtionsformen bestätigen. Für den gegebenen Querschnitt git demnch - 7 -

129 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.66) : I y 4 (n ) 4 ( n 4 ( n )(+ n 4 ) 4 ) und für ds gegebene Koordintensystem git mit STEINER Antei (8.67) : I z I y 4 + ( ( n ) 4 ( 4 - (n ) ) + ( n ) ). Der Proportionitätsfktor n für I I z y 5 ergibt sich us - 8 -

130 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT (8.68) : I 5 y + 4 I (- n 4 y ( n 4 4 ) + (- n (+ n ) n (+ n ) + n ) 4 ) 4 ( n, ) (8.69) : n 7 + n 4 n n. 4 Drus fogt der Proportionitätsfktor ( 8.7) : n. AUFGABE 8. Dreieckiger Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente - 9 -

131 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein dreieckiger Querschnitt (Bid 8.) iegt vor. gegeben: b, h, gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente y y b z S Bid 8. Dreieckiger Querschnitt z - -

132 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT LÖSUNG ZU AUFGABE 8. y y b * z S h * Bid 8. Werte us der Tbee 8. z Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt nch Tbee 8. mit h * und b * b (8.7) : I * * y * b h 6 b 6, (8.7) : I * * z * h b 6 b 6, (8.7) : I yz * * b b - 7 * b * b

133 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente für ds preverschobene Koordintensystem ergibt (8.74) : b Iy Iy + ( ) b, (8.75) : b Iz Iz + ( b) b, (8.76) : I yz b 7 ( ) ( b b) 5b 7. Die Huptträgheitsmomente und -winke sind (8.77): I, I y + I z ± I ( b + b 7 y I ± z ) + I yz b + b ( 7 ) b + ( 7 ) - -

134 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT b ( 7 b ( 7 + b ) ± + b ) ± b + b 4 4 b b + b (8.78): * tnϕ b b b b b. AUFGABE 8. Zusmmengesetzter Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter Querschnitt (Bid 8.4) iegt vor. gegeben: b, t gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes y S, x S, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente - -

135 AUFGABEN ZU KAPITEL 7: FLÄCHENTRÄGHEITSMOMENT b b y S S b t y α * z S y z z Bid 8.4 Zusmmengesetzter Querschnitt LÖSUNG ZU AUFGABE 8. b b y A y z S S S S A b A t S y S z z Bid 8.5 Bezeichnungen im Querschnitt - 4 -