Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechanik 2

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1 ormen und Aufgben zur Technischen Mechnik Estosttik, Hydrosttik erbeitet von Dietmr Gross, Wofgng Ehers, Peter Wriggers, Jörg Schröder, Rf Müer 1., ktuisierte Aufge 017. uch. IX, 1 S. Softcover ISN Weitere chgebiete > Physik, Astronomie > Mechnik > Kssische Mechnik Zu Inhtsverzeichnis schne und portofrei erhätich bei Die Onine-chbuchhndung beck-shop.de ist speziisiert uf chbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschft. Im Sortiment finden Sie e Medien (ücher, Zeitschriften, Ds, eooks, etc.) er Verge. Ergänzt wird ds Progrmm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusmmensteungen von üchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr s 8 Miionen Produkte.

2 Kpite Zug und Druck Springer-Verg GmbH Deutschnd 017 D. Gross et., ormen und Aufgben zur Technischen Mechnik, DOI / _

3 30 Spnnung Zug- oder Druckbenspruchung des Stbes Vorussetzungen: Länge des Stbes ist groß gegenüber den Abmessungen des Querschnittes A(). Gerde Stbchse = Schwerchse (Verbindungsinie der ächenschwerpunkte). Wirkungsinie der äußeren estung bzw. n() fät mit Stbchse zusmmen. Querschnitt A() ist höchstens schwch veränderich. A n, u Spnnung: ei Annhme einer konstnten Spnnung σ über den Querschnitt A git fogender Zusmmenhng mit der Normkrft N: σ() = N() A(). Grundgeichungen des deformierbren Stbes: Geichgewichtsbedingung dn d = n, Estizitätsgesetz ε = σ + αt ΔT, E Kinemtische eziehung ε = du d E = Estizitätsmodu, α T = Wärmeusdehnungskoeffizient, ΔT = Temperturerhöhung gegenüber Ausgngszustnd, u() = Verschiebung des Stbquerschnittes. Die Grundgeichungen können zu einer Differentigeichung für die Verschiebung zusmmengefsst werden ( { } =d{ }/d ): (EAu ) = n +(EAα T ΔT ).

4 Zug und Druck 31 Stbverängerung: Δ = u() u(0) = ε d. 0 Spezifäe: N Δ = d (ΔT =0), 0 EA Δ = EA (N = = const, EA= const, ΔT =0), Δ = α T ΔT (N =0,EA= const, α T ΔT = const). Superposition: Die Lösung eines sttisch unbestimmten Probems knn durch Superposition von Lösungen für zugeordnete sttisch bestimmte Probeme unter erücksichtigung der Komptibiittsbedingung gewonnen werden. 0 -System u(0) 1 -System u (1) A u (0) + u(1) =0. X = Rotierender Stb: ei einem mit der Winkegeschwindigkeit ω rotierenden Stb tritt eine estung pro Längeneinheit n = ρa ω ω A ρ uf. Drin sind ρ die Dichte und der Abstnd des Querschnittes A von der Drehchse. n Estisch-pstischer Stb: ei estisch-ide-pstischem Mteriverhten git ds Estizitätsgesetz nur bis zur ießgrenze σ : σ σ Eε, ε ε, σ = ε σ sign(ε), ε ε. ε σ Stbsysteme: Die Verschiebungen ssen sich durch Lösen und Wiederverbinden der Stäbe in den Knoten unter Verwendung eines Verschiebungspns bestimmen. Anmerkung: Im ereich strker örticher Querschnittsänderungen (Kerben, Löcher) ist die Stbtheorie nicht gütig.

5 3 Spnnung A.1 Aufgbe.1 ür den homogenen Stb konstnter Dicke und iner verändericher reite ermitte mn bei erücksichtigung de Eigengewichtes den Spnnungsveruf σ(). erner berechne mn Ort und etrg der keinsten Spnnung. A 0 ρ g Lösung Zweckmäßig zäht mn die Koordinte vom Schnittpunkt der verängerten Trpezseiten. Dnn fogt für den mit veränderichen Querschnitt us dem Strhenstz A() =A 0/. Mit dem Gewicht G() =ρgv () =ρg A(ξ)dξ = ρga 0 des bgeschnittenen Teies fogt us dem Geichgewicht N() N() = + G() = + ρga 0. Dmit wird die Spnnung ( σ() = N() A0 + ρg = ). A() A 0 G() A() ξ Der Ort des Minimums fogt us der edingung σ =0: σ = 1 A 0 + ρg ) (1+ =0 = ρga. 0 Die minime Spnnung wird σ min = σ( )=ρg ρga = ρg. 0 Anmerkungen: ür ρg =0( gewichtsoser Stb ) gibt es kein Minimum. Die größte Spnnung tritt dnn bei = uf. Ds Minimum iegt nur dnn innerhb des Stbes, wenn < < bzw. ρga 0 /() < <ρga 0( + )/() git.

6 Spnnung 33 Aufgbe. Die Kontur eines Leuchtturmes mit kreisförmigem, dünnwndigem Querschnitt genügt der Hyperbegeichung y b =. h Mn ermitte die Spnnungsverteiung unter dem Gewicht G des Leuchtturm- Aufstzes (ds Eigengewicht sei vernchässigbr). Geg.: b =, t. G b y t h A. Lösung D s äußere estung nur ds Gewicht G wirkt, ist die Schnittkrft konstnt (Druck): N = G. Die Querschnittsfäche A ist dgegen veränderich. Wegen der keinen Wnddicke (t y), git näherungsweise A() =πyt= πt + b h y =πt +3 h t =πt 1+3 h. Dmitergibtsichfür die Spnnung σ() = N A = πt G 1+3 h Spezie m oberen bzw. m unteren Rnd erhät mn σ( =0)= G bzw. σ( = h) = G πt 4πt.. Anmerkung: Die Spnnung ist oben doppet so groß wie unten, ws eine ungünstige Mteriusnutzung bedeutet. Dies ändert sich, wenn mn ds Eigengewicht berücksichtigt.

7 34 Stbverängerung A.3 Aufgbe.3 Um wechen etrg Δ verängert sich ds homogene konische Weenstück (Estizitätsmodu E) unterder Wirkung einer Zugkrft? d D Lösung Die Normkrft N = ist konstnt, die Querschnittsfäche A veränderich. Mit σ = N/A fogt die Verängerung us Δ = 0 ε d = 1 E 0 σ d = 1 E 0 Nd A = E 0 d A(). Zur Ermittung des veränderichen Querschnitts A() zäht mn zweckmßig von der Spitze des Kegestumpfes. Aus dem Strhenstz fogt mit der Hifsgröße für den Durchmesser δ() =d und dmit für die äche d δ A() = π 4 δ () = π 4 d. Einsetzen und Integrtion iefert die Verängerung (mn bechte die Integrgrenzen!): Δ = E + Mit + D = d fogt Δ = 4 πedd. d π 4 d = = d D ( 4 1 ) +. πe d 1 d D Probe: ür D = d (konstnter Querschnitt) wird Δ = 4 πed = EA.

8 Verschiebung 35 Aufgbe.4 Ein homogener Pyrmidenstumpf (Estizitätsmodu E) mit qudrtischem Querschnitt wird uf seiner oberen Querschnittsfäche durch die Spnnung σ 0 bestet. Wie groß ist die Verschiebung u() eines Querschnittes n der Stee? h σ 0 A.4 b Lösung Die Normkrft ist konstnt: N = σ 0. Dmit fogt us der kinemtischen eziehung ε = du/d und dem Estizitätsgesetz ε = σ/e = N/EA zur estimmung von u zunächst die Geichung EA() du d = σ0. Die äche A() ergibt sich mit dem Strhenstz zu A() =[ +(b )/h]. Dmit wird E ( + b h ) du d = σ0. Trennung der Veränderichen führt uf du = σ0 E d ( b h + ) u() u(0) Mit der Substitution z = +(b ) ξ/h, u() u(0)= σ0 E ( h 1 b z ) b h + h du = σ0 E ( b 0 h b ) + dξ ( b h ξ + ). dz =(b )dξ/h ergibt sich = σ0 E h ( 1 b 1 b h + Die Verschiebung u(0) des oberen Querschnittes fogt us der edingung, dss m unteren Rnd = h die Verschiebung verschwinden muss: u(h) =0 u(0) = σ0 E Dmit wird u() = σ0 E ( h b 1 b + 1 b h ( h 1 b 1 ) = σ0h b Eb. + ). ).

9 36 Rotierender Stb A.5 Aufgbe.5 Der Querschnitt eines A 0 A() mssiven Hubschruberfüges (Dichte ω ρ, Estizitätsmodu E) genüge der Geichung A() =A 0e α/. Mn bestimme den Spnnungsveruf σ(), wenn sich der üge mit konstnter Winkegeschwindigkeit ω dreht. Wie groß ist die Verängerung Δ unter der Annhme =0? A 0 / Lösung Aus der gegebenen Geometrie A() =A 0/ ergibt sich zunächst A 0e α = A 0/ e α = α =n=0, 693. Infoge der Drehung tritt eine estung pro Längeneinheit n = ρω A() =ρω A 0e α/ uf. Dmit erhät mn us der Geichgewichtsbedingung N durch Integrtion N = n d = ρω A 0 [ α ] α e α/ e α/ +. Die Integrtionskonstnte fogt us der Rndbedingung: = n N() =0 =(1+α)e α =0, 847. Dnn git unter Verwendung der dimensionsosen Koordinte ξ = / N(ξ) = ρω A 0 [(1 + αξ)e αξ ], α und der Spnnungsveruf ergibt sich zu σ(ξ) = N A = ρω [1 + αξ e αξ ]. α σ/(ρω ) 1 α σ m ür die Verängerung fogt Δ= εd = 1 σdξ = ρω [ξ 3 + αξ 0 E 0 α E α eαξ [ = ρω 3 1+ α Eα α eα + ] =0, 58 ρω 3 α E. ξ 0 ] ξ Anmerkung: Ds Spnnungsmimum tritt n der Stee ξ 0 = (n )/α =0, 4 uf und ht den Wert σ m = (ρω n )/α =0, 347 ρω.

10 Wärmespnnungen 37 Aufgbe.6 Ein schwerer Stb (Gewicht G 0, Querschnittsfäche A, Wärmeusdehnungskoeffizient α T ) E ist bei =0ufgehängt und berührt gerde den oden ohne Druck. Wie ist die Spnnungsverteiung σ() G 0 α T im Stb nch einer geichmäßigen Erwärmung um ΔT? ür weche ΔT herrscht im gesmten Stb Druck? Lösung Wir betrchten die beiden Lstfäe Eigengewicht und Erwärmung getrennt. Unter Eigengewicht tritt eine Normkrft ( N() =G() =G 0 = G 0 1 ) und dmit eine Spnnung σ() uf. σ 1() = N() A = G0 A ( 1 ) G() ei einer Erwärmung wird die zusätziche Dehnung durch den oden verhindert. Aus der edingung ε = σ() + αt ΔT =0 E fogt σ () = Eα T ΔT. Dher wirkt insgesmt eine Spnnung ( σ() = σ 1 + σ = G0 1 ) Eα T ΔT. A Am Stbende = herrscht stets eine Druckspnnung wegen der verhinderten Temperturdehnung. D die Spnnung iner veräuft, ist die Spnnung dnn über negtiv, wenn uch m oberen Ende Druck herrscht. Dementsprechend fogt us der edingung A.6 G 0 σ( =0)< 0 bzw. EαT ΔT <0 A die erforderiche Temperturerhöhung ΔT > G0 EAα T.

11 38 Wärmespnnungen A.7 Aufgbe.7 Ein ursprüngich spnnungsos eingespnnter Stb (Querschnitt A) erfährt eine über iner veränderiche Temperturerhöhung. Gesucht sind der Spnnungsund der Verschiebungsveruf. ΔT E,αT ΔT 0 ΔT () ΔT 1 Lösung D der Stb sttisch unbestimmt gegert ist, benötigen wir zur Lösung der Aufgbe die Geichgewichtsbedingung, die Kinemtik und ds Estizitätsgesetz. Mit n = 0 und σ = N/A uten diese Geichungen σ =0, ε = u, ε = σ + αt ΔT () E mit ΔT () =ΔT 0 +(ΔT 1 ΔT 0). Einsetzen iefert für die Verschiebung die Differentigeichung u = α T ΔT = αt (ΔT 1 ΔT 0). Zweimige Integrtion ergibt u = αt (ΔT 1 ΔT 0) + 1, u = αt (ΔT 1 ΔT 0) Die beiden Integrtionskonstnten fogen us den Rndbedingungen: u(0) = 0 =0, u() =0 1 = αt (ΔT1 ΔT0). Dmit werden der Verschiebungsveruf u() = αt ( (ΔT1 ΔT0) ) und die (konstnte) Spnnung σ = E(u α T ΔT )= αt (ΔT1 +ΔT0)E. Anmerkung: ei konstnter Erwärmung ΔT 1 =ΔT 0 verschwindet u(). Die Spnnung wird dnn σ = α T ΔT 0E.

12 Sttisch unbestimmte Aufgben 39 Aufgbe.8 Ein beiderseits eingespnnter Stb konstnten Querschnitts A ist us verschiedenen Mteriien gefertigt, die n der Stee neinnderstoßen. ) Wie groß sind die Lgerkräfte, wenn n der Stee eine äußere Krft wirkt? Sth Auminium b) Weche Normkrft entsteht bei einer reinen Erwärmung um ΔT? Geg.: E St/E A =3, α St/α A =1/. A.8 Lösung Wir fssen ds System s zwei neinndergesetzte Stäbe uf, in denen die Normkrft jeweis konstnt ist. zu ) N A N St A Geichgewicht: N A + N =, Geometrie: Δ St +Δ A =0, Estizität: Δ St = NA E, Δ N( ) A = StA E A A. Aus den 4 Geichungen für die 4 Unbeknnten (N A, N,Δ St, Δ A ) fogt mit den gegebenen Zhenwerten zu b) N A = Geichgewicht:N A = N = N, 3( ) 3, N = 3. Geometrie: Δ St +Δ A =0, Estizität: Δ St = N + αstδt, E StA Δ A = N( ) E A A + α AΔT ( ). Die Aufösung des Geichungssystems nch der Normkrft N ergibt mit den Zhenwerten N = ESt αst A ΔT. 3 N A St ΔT A N

13 40 Sttisch unbestimmte A.9 Aufgbe.9 Mn öse die Aufgbe.8 durch Superposition. Lösung zu ) As sttisch überzähige wird die Lgerrektion N gewäht. 0 -System 1 -System N =X St A St A u (0) u (1) Ds Estizitätsgesetz iefert u (0) = E, X( ) StA u(1) = E A A + X E. StA D der rechte Rnd unverschiebich ist, fordert die Verträgichkeit u (0) = u (1). Hierus fogt N = X = +( ) EStA E A A = 3. Aus der Geichgewichtsbedingung ergibt sich dmit 3( ) N A = N = 3. N A N St A zu b) Diesm schneiden wir n der Stee und wähen die Normkrft N s Überzähige X. Aus dem Estizitätsgesetz u St= u A = X E StA + αstδt, X( ) E A A + α AΔT ( ) und der Verträgichkeitsbedingung u St + u A =0 erhät mn N = X = αst + α A( ) ( ) + E StA E A A St N =X u St u A = ESt αst A ΔT. 3 A

14 Aufgben 41 Aufgbe.10 Der estisch gegerte Stb (c 1 =c = EA/) wird durch eine konstnte Streckenst n bensprucht. Mn bestimme den Veruf der Normkrft im Stb. c 1 n EA c A.10 Lösung Mit den Schnittkräften und n den Stbenden uten die Geichgewichtsbedingungen für den gnzen bzw. für den geschnittenen Stb n + = n, N() = n. ür die ederverängerung bzw. - verkürzung git n N() Δu 1 = c 1, Δu = c. Die Stbverängerung ergibt sich us Δu St = 0 ε d = 0 N EA d durch Einsetzen von N = n zu Δu St = EA n EA. Die kinemtische edingung Δu 1 +Δu St =Δu c 1 + EA n EA = c iefert schießich mit = + n und den Werten für c 1 und c ( EA + 4 EA + ) ( = n EA EA + 4 ) EA = 9 14 n Dmit erhät mn für den Normkrftveruf 5 14 n N() = 9 n n 14 N 9 14 n

15 4 Sttisch unbestimmte Aufgben A.11 Aufgbe.11 Wie groß ist die Zusmmendrückung Δ H einer Hüse H der Länge, wenn die Mutter der Schrube S (Gnghöhe h) umeine Umdrehung ngezogen wird? Geg.: EAH = 4 EA S 3. EA H EA S H S Lösung Nch dem Anziehen denken wir uns Hüse und Schrube getrennt und führen s sttisch Überzähige die Krft X zwischen beiden Teien ein. Die Hüse erfährt eine Zusmmendrckung X X Δ H = X. EA H ür die Schrube ergibt sich die Verängerung Δ S = X EA S. X h Die Längenänderungen müssen gerde so sein, dss Hüse und Schrube die geiche Länge hben. Dementsprechend utet die Komptibiitätsbedingung h =Δ H +Δ S. Einsetzen iefert die Krft X = h EA 1 H EA S und die gesuchte Zusmmendrückung Δ H = X 1 1 = h = h EA H 1+ EAH 1+ EA 4 S 3 = 3 7 h. Anmerkung: D die Dehnsteifigkeit der Hüse etws größer ist s die der Schrube, beträgt ihre Verkürzung nur 3/7 der Gnghöhe. ei geichen Dehnsteifigkeiten EA H = EA S wird Δ H =Δ S = h/.

16 Verformungen 43 Aufgbe.1 Eine strre qudrtische Ptte (Gewicht G, Seitenänge ) ist uf 4 estischen Stützen gegert. Die Stützen hben die geiche Länge, jedoch verschiedene Dehnsteifigkeiten. Wie verteit sich ds Gewicht uf die 4 Stützen? Wie groß ist die Absenkung f der Pttenmitte? 3 3EA 1 EA 4 4EA EA A.1 Lösung Ds System ist einfch sttisch unbestimmt (ein Tisch steht uf 3 einen sttisch bestimmt!). Ds Geichgewicht iefert II I : S 1 + S + S 3 + S 4 = G, I : S4 = S 1, II : S = S 3. I Die Absenkung f in der Mitte ergibt sich us dem Mittewert der Verschiebungen u i (= Längenänderungen der Stützen) n den jeweis gegenüberiegenden Ecken (strre Ptte!). Dementsprechend utet die Verträgichkeitsbedingung: S 3 S 1 G S 4 II S f = 1 (u1 + u4) = 1 (u + u3). Mit dem Estizitätsgesetz u i = Si EA i und S 1 = S 4, S = S 3 fogt drus zunächst S 1 EA + S1 4EA = S EA + S 3EA u 3 u 1 f u S1 = 5 6 S. Einsetzen in die 1. Geichgewichtsbedingung iefert u S S1 + 3 S1 +S1 = G S1 = S4 = 1 5 G, S = S3 = 3 10 G. Dmit wird die Absenkung f = 1 ( S1 EA + S1 ) = 1 G 4EA 8 EA.

17 44 Verbundmteri A.13 Aufgbe.13 Eine Sthbetonstütze wird durch die Krft uf Zug bensprucht. Wie groß sind die Spnnung im eton bzw. im Sth sowie die Längenänderung Δ der Stütze, wenn ) ein ideer Verbund vorusgesetzt wird? b) der eton gerissen ist und nicht mitträgt? Geg.: E St/E =6, A St/A =1/9. ESt,A St E,A Lösung zu ) Wir fssen die Stütze s ein System us zwei Stäben unterschiedichen Mteris uf, die unter der Krft die geiche Längennderung Δ erfhren. Dnn uten die Grundgeichungen: Geichgewicht: N St + N =, Kinemtik: Δ St =Δ =Δ, Estizität: Δ St = NSt EA St, Δ = N EA. Aufösen des Geichungssystems iefert mit dem beknnten Steifigkeitsverhätnis EA /EA St =3/ für die Kräfte N St = 1 = 1+ EA EA St und für die Längenänderung Δ =, N = 5 N EA EA St 3 = 1+ EA EA 5 St bzw. Δ = 1 EA St + EA EA St = 1+ EA EA St 5 N St EA St. Die Spnnungen ergeben sich mit A = A + A St bzw. A St = A/10 und A =9A/10 zu σ St = NSt A St =4 A, N σ = = A 3 A. zu b) Trägt nur der Sth, so erhät mn mit N St = σ St = =10, Δ =. A St A EA St

18 Verbundmteri 45 Aufgbe.14 Ein Lmintstb us verkebten Schichten zweier Mteriien (jeweiige Gesmtsteifigkeiten EA 1, EA ) so durch einen Stb us homogenem Mteri ersetzt werden. 1 A.14 Wie müssen EA und α T gewäht werden, dmit der homogene Stb die geiche Längenänderung unter einer Krft und einer Temperturänderung erfährt wie der Lmintstb? EA,α T Lösung ür den Lmintstb, uf den eine Krft und eine Temperturerhöhung ΔT einwirken, uten die Grundgeichungen Geichgewicht:N 1 + N =, Kinemtik: Δ 1 =Δ =Δ m, N 1 EA 1,α T 1 Estizität: Δ 1 = N1 + α T 1ΔT, EA 1 Δ = N + α T ΔT. EA N EA,α T Hierus fogt Δ m = EA 1 + EA + EA1αT1 + EAαT ΔT. EA 1 + EA ür einen homogenen Stb geicher Länge und unter geicher estung git Δ hom = + αt ΔT. EA Die Längenänderungen Δ m und Δ hom sind für beiebiges und ΔT nur dnn geich, wenn EA = EA 1 + EA, α T = EA1αT 1 + EAαT EA 1 + EA.

19 46 Stbkräfte A.15 Aufgbe.15 In der nebenstehenden Lgerungskonstruktion für den strren Körper K ist der untere Stützstb um ds Mß δ zu kurz gerten. Es wird deshb bei der Montge eine Krft M ufgebrcht, so dss der untere Stb gerde den oden berührt. Nch seiner efestigung Auminium M A wird M entfernt. Die Stbdurch- K messer d i sind geich. ) Wie groß ist die Montgekrft? Sth St b) Wie groß sind die Absenkung v K des Körpers und die Stbkräfte nch der δ Montge? Geg.: A = 1m, d A = mm, E A = 0, MP, St = 1, 5m, d St = mm, E St =, MP, δ = 5 mm. Lösung zu ) Jeder Auminiumstb nimmt die hbe Montgekrft uf (Geichgewicht) und muss sich um δ verängern. Dmit ergibt sich S A = M, Δ A = S A A EA A = M A EA A = δ, M = δ 5 EA A = A , π 1 = 00 N. zu b) Nch Entfernen von M entstehen neue Stbkräfte S A und S St. Dnn uten die Geichgewichtsbedingung S St =S A, ds Estizitätsgesetz S A S A Δ A = S A A EA A, Δ St = SStSt EA St und die Komptibiitätsbedingung S St Δ A +Δ St = δ. Aufösen der 4 Geichungen iefert S A = δ A EA A 1+ St A S St =S A = 1100 N, = EA A EA St , π 1 = 550 N, v K =Δ A = S A A EA A =, 5mm.

20 Stbkräfte 47 Aufgbe.16 Zwei strre ken, der obere bei A eingespnnt, der untere bei geenkig gegert, sind durch zwei estische Stäbe verbunden. Der Stb wird um ΔT erwärmt. A EA 1 EA,α T A.16 Wie groß sind die Stbkräfte? Lösung Wir schneiden ds System uf. Dnn uten die Geichgewichtsbedingung für den unteren ken S 1 S 1 S S : S1 + S =0, ds Estizitätsgesetz Δ 1 = S1 EA, S 1 S Δ = S + αt ΔT EA S 1 S und die Verträgichkeitsbedingung Δ 1 =Δ. Δ 1 Die Aufösung nch den gesuchten Kräften ergibt Δ S 1 = 5 EAαT ΔT, S = 4 EAαT ΔT. 5 Anmerkung: Im erwärmten Stb tritt infoge der behinderten Wärmedehnung eine Druckkrft uf.

21 48 Verformungen A.17 Aufgbe.17 ei dem Stbzweischg hben beide Stäbe die geiche Dehnsteifigkeit EA. Mn ermitte die Verschiebungen des Lstngriffspunktes. Lösung Aus dem Geichgewicht fogt : S sin 60 = S = 3, 3 : S 1 S cos 60 =0 S 1 = S 1 S Dmit werden die Stbverängerung bzw. -verkürzung Δ = S EA = 3 3 cos 60 EA = Zur estimmung der Verschiebungen von zeichnen wir einen Verschiebungspn. Dbei werden nur die Längenänderungen ufgetrgen, d mn die wirkichen Verschiebungen wegen Δ i, nicht mßstbsgetreu drsteen knn. Im eispie werden Δ 1 s Verkürzung (nch inks) und Δ s Verängerung ngetrgen. Unter echtung der rechten Winke (die Stäbe können sich nur um ihre Lgerpunkte drehen!) iest mn us dem Verschiebungspn b: EA, S11 3 Δ1 = EA = 3 EA. 1 Δ 1 u Δ 30 v u = Δ 1 = v = 3 3 Δ cos 30 + EA, u tn 60 = EA EA 1 3 =3 EA.

22 Verformungen 49 Aufgbe.18 Ein strrer gewichtsoser Stuh ist mit 3 Stäben geicher Dehnsteifigkeit EA gegert. Er wird in durch die Krft bestet. ) Es sind die Stbkräfte S i und die Stbverängerungen Δ i zu bestimmen. b) Wie groß ist die Verschiebung des Punktes? D 1 3 A.18 Lösung zu ) Ds System ist sttisch bestimmt gegert. Aus den Geichgewichtsbedingungen fogen direkt die Stbkräfte: E : S1 = S 1 =, S 1 E : S =0 S =0, : S 3 sin 45 + =0 S 3 =. Zu diesen Stbkräften gehören die Stbverängerungen Δ 1 = S11 EA =, Δ =0, EA S 3 S Δ 3 = S33 EA = = EA EA. zu b) Die Verschiebung von bestimmen wir mit Hife des Verschiebungspns. D der Stb seine Länge behät, geht nch über. Die Horizontverschiebung ist dher Nu. ür die Vertikverschiebung v iest mn us dem Pn b: v Δ 3 3 v = Δ 3 = EA.

23 50 Verformungen A.19 Aufgbe.19 eim drgesteten symmetrischen Stbsystem hben die Stäbe unterschiediche Dehnsteifigkeiten EA 1, EA und Temperturusdehnungskoeffizienten α T 1, α T. Wie groß sind die Stbkräfte, wenn ds System um ΔT erwärmt wird? EA 1 β β EA 1 α T1 EA α T α T1 h Lösung D ds System sttisch unbestimmt ist, steen wir e Grundgeichungen uf. Dnn uten die Geichgewichtsbedingung S S 1 cos β + S =0 und ds Estizitätsgesetz Δ 1 = S11 EA 1 + 1α T 1ΔT, S 1 β β S 1 Δ = S + α T ΔT, EA wobei 1 = h, = h. cos β Die Komptibiitätsbedingung (Verträgichkeit der Verschiebungen) ergibt sich us dem Verschiebungspn zu 1 β 1 β Δ 1 Δ 1 =Δ cos β. Δ Aus den vier Geichungen für unbeknnte Stbkräfte und unbeknnte Stbverängerungen fogt nch Aufösen S 1 = EA 1 α T cos β α T 1 1+cos 3 β EA1 EA ΔT, S = cosβs 1. Anmerkung: ür cos β = α T 1/α T fogt S 1 = S =0:dieStäbe können sich dnn unbehindert usdehnen! (Sonderf: α T 1 = α T β =0)

24 bei Stbsystemen 51 Aufgbe.0 Der bei der ertigung δ 3 um δ zu kurz gertene Stb 3 so zwischen die beiden geichen Zweiböcke eingebut werden. D D ) Wie groß ist die notwendige Montgekrft D? 1 1 b) Wie groß ist S 3 nch der Montge (D =0)? Geg.: EA 1 = EA 3 = EA, EA = EA. A.0 Lösung zu ) Die Krft D muss bei der Montge den Punkt um δ/ horizont verschieben. Aus den Geichgewichtsbedingungen : S cos 45 = D, : S 1 = S cos 45, der Kinemtik (S 1 wurde s Druckkrft positiv eingeführt!) mit der vorgeschriebenen Verschiebung D S 1 S u =Δ 1 +Δ, u = δ, sowie dem Estizitätsgesetz Δ 1 = S1 EA, S Δ = EA u Δ Δ 1 fogt 1 D = 1 δ 6 EA. zu b) Geichgewicht, Kinemtik und Estizitätsgesetz beiben wie unter ), wobei D durch S 3 ersetzt werden muss. Mit der Verträgichkeitsbedingung u +Δ 3 = δ und Δ 3 = S3 EA S 3 ergibt sich S 3 = 1 7 δ EA. S 1 S

25 5 Sttisch unbestimmtes A.1 Aufgbe.1 Ein mittig besteter strrer ken ist uf vier estischen Stäben geicher Dehnsteifigkeit EA gegert. Wie groß sind die Stbkräfte? D Lösung ) Die Lösung für ds sttisch unbestimmte System erfogt zuerst durch Anwendung der Grundgeichungen. Aus den Geichgewichtsbedingungen : S 1 = S, S 1 S S 3 S 4 : (S 1 + S ) sin 30 + S 3 + S 4 =, : S3 +S 4 =, den Estizitätsgesetzen Δ 1 =Δ = S1 EA, Δ 3 = S3 EA, und der Geometrie Δ 1 Δ 1 60 v S4 Δ4 = EA v D Δ 3 Δ 4 D v = Δ1 Δ cos 60 3 = 1 (v +Δ4) ergibt sich durch Aufösen S 1 = S = S 4 = 9, S3 = 5 9.

26 Stbsystem 53 b) Nun ösen wir die geiche Aufgbe mit dem Superpositionsverfhren. Hierzu teien wir ds sttisch unbestimmte System in sttisch bestimmte Grundsysteme uf: 0 -System 1 -System S (0) 1 S (0) S (0) 4 S (1) 1 S (1) X S (1) 4 Aus dem Geichgewicht fogt S (0) 1 = S (0) = S (0) 4 =, S(1) 1 = S (1) = S (1) 4 = X. D v (0) v (0) v (0) D v (1) v (1) v (1) D D Aus der Geometrie und den Estizitätsgesetzen ergibt sich v (0) = Δ(0) 1 v (0) D cos 60 = EA, =Δ(0) 4 = v (0) = 1 ( v (0) EA, ) = 5 4 EA, + v(0) D v(1) v(1) D = X EA, = X EA, v(1) = 5 X 4 EA, Δ (1) 3 = X EA. Die kinemtische Verträgichkeitsbedingung verngt, dss die Gesmtverschiebung des Punktes geich der Verkürzung des Stbes 3 ist: v (0) v(1) Einsetzen ergibt und X = S 3 = 5 9 =Δ(1) 3. S 1 = S (0) 1 S (1) 1 =, S4 = S(0) 4 S (1) 4 = 9 9.

27 54 Stbsystem A. Aufgbe. Der durch die Krft bestete Stbzweischg (Dehnsteifigkeiten EA) ist bei durch ein zusätziches Lger gehten. ) Wie groß ist die Lgerkrft in? b) Wie groß ist die Verschiebung von? 1 α Lösung zu ) Aus dem Geichgewicht : + S + S 1 cos α =0, : + S 1 sin α =0, dem Estizitätsgesetz S 1 S Δ 1 = S11 EA, und der Kinemtik Δ 1 =Δ cos α S Δ = EA, Δ α Δ 1 fogt durch Aufösen 1 = sin α cos α 1+cos 3 α, S1 = cos α 1+cos 3 α, S = 1 1+cos 3 α. zu b) ür die Verschiebung von erhät mn v =Δ = S EA = 1 1+cos 3 α EA. Entgegen der Verschiebungsfigur, wecher Zugkräfte und dmit Stbverängerungen zugrunde gen, treten in den Stäben Druckkräfte und dmit Stbverkürzungen uf. Dher verschiebt sich nch unten. Probe: für α = π/ fogt S 1 = 0 und S =. für α = 0 fogt S 1 = S = /.

28 Pstizierung 55 Aufgbe.3 Ein strrer ken wird durch drei geiche Stäbe us estischide-pstischem Mteri gehten. ) ei wecher Krft m e und in wechem Stb wird erstmig die ießgrenze σ erreicht? b) ei wecher Krft m p tritt in en Stäben pstisches ießen uf? E,A,σ / / A.3 Lösung zu ) Ds System ist sttisch unbestimmt. Dnn iefern (unter echtung der Symmetrie) ds Geichgewicht S 1 + S = und die Kinemtik Δ 1 =Δ. S 1 S S 3 =S 1 is zur ießgrenze git ds Estizitätsgesetz Δ 1 = S1 S, Δ = EA EA. Durch Aufösen erhät mn für die Stbkräfte und die Spnnungen S 1 = 4, S = σ 1 = 4A, σ = A. D im Stb die größte Spnnung herrscht, wird in ihm bei Lststeigerung die ießgrenze zuerst erreicht: σ = σ e m =σ A. zu b) ei Lststeigerung über e m hinus verhät sich der Stb 1 (und Stb 3) zunächst noch estisch, während der Stb pstisch fießt: σ = σ. Dnn fogt mit S i = σ ia us dem Geichgewicht σ 1A + σ A = σ 1 = A σ. Ae Stäbe fießen pstisch, wenn S 1 =σ 1 A S =σ A S 3 =σ 1 A σ 1 = σ A σ = σ p m =3σ A.

29 56 Pstizierung A.4 Aufgbe.4 eim drgesteten symmetrischen System sind die beiden Stäbe us geichem estisch-idepstischem Mteri, hben ber unterschiediche Querschnitte. E,A, σ ) ei wecher Krft m e und in wechem Stb wird erstmig die ießgrenze σ erreicht? Wie groß ist dnn die Lgerkrft? b) ei wecher Krft m p fießen beide Stäbe pstisch? c) Wie groß ist die Verschiebung u e m von im )? E,A, σ h Lösung zu ) is zum Erreichen der Krft m e verhät sich ds System estisch. Dnn uten die Geichgewichtsbedingungen : S1 S =, : S1 + S =, ds Estizitätsgesetz S 1 S Δ 1 = S1 h S h, Δ = EA EA Δ 1 und die Kinemtik (Stb verkürzt sich) u Δ Δ 1 = Δ. 1 Hierus erhät mn zunächst S 1 =, S = 3 3, = h, Δ1 = Δ = 3 3EA σ 1 = S1 A = 3 A, S σ = A = 3 A. Die Spnnungen sind in beiden Stäben betrgsmäßig geich; ießen setzt dnch ein, wenn σ 1 = σ = σ m e = 3 σ A, m e = σ A. zu b) Wei bei m e in beiden Stäben ds ießen einsetzt, git m e = m. p zu c) ür die Verschiebung von git bis zur ießgrenze u = Δ 1 = 3 h EA, ue m = u( e m) = σ E h.

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