11 Der Satz von Picard-Lindelöf

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1 $Id: picrd.tex,v /02/08 13:58:43 hk Exp $ $Id: seprtion.tex,v /02/08 15:54:40 hk Exp $ 11 Der Stz von Picrd-Lindeöf Am Ende der etzten Sitzung htten wir begonnen uf einen Beweis der wesentichen Teie des Existenz- und Eindeutigkeitsstzes 10.Stz 2 hinzurbeiten. Wir htten bereits eine grundegende und es weitere vereinfchende Grundbeobchtung gemcht, es reicht us Systeme gewöhnicher Differentigeichungen von erster Ordnung zu betrchten. Der F von Systemen höherer Ordnung knn uf diesen durch Einführung zusätzicher Unbeknnter für die höheren Abeitungen zurückgeführt werden. Ein gemeines System us n gewöhnichen Differentigeichungen erster Ordnung ht die Form y = ft, y wobei die rechte Seite f : U R n eine uf einer offenen Teimenge U R n+1 des R n+1 definierte Funktion ist. In 10.Stz 2 htten wir vorusgesetzt, dss die Funktion f stetig und nch den hinteren n Vriben y = y 1,..., y n stetig prtie differenzierbr ist. Wir woen beweisen, dss unter dieser Vorussetzung jedes Anfngswertprobem y = ft, y, y = b für beiebiges, b U stets eine eindeutige mxime Lösung besitzt. Unser Zugng beruht dbei uf einer Umformuierung des Anfngswertprobems s ein geeignetes Fixpunktprobem, weche durch ds fogende Lemm gewähreistet wird. Lemm 11.1 Anfngswertprobeme s Fixpunktprobeme Seien n N mit n 1, U R n+1 = R R n eine offene Menge,, b U und f : U R n eine stetige Funktion. Weiter seien I R ein offenes Interv mit I und y : I R n eine stetige Funktion mit t, yt U für jedes t I. Dnn ist y genu dnn eine Lösung des Anfngswertprobems y = ft, y, y = b wenn für jedes t I git. yt = b + fs, ys ds Beweis: = Für jedes t I git nch dem Huptstz der Differenti- und Integrrechnung II. 2.Stz 9 yt = y + y s ds = b fs, ys ds.

2 = Zunächst ist y = b. Wieder nch dem Huptstz der Differenti- und Integrrechnung II. 2.Stz 9 ist die Funktion y stetig differenzierbr mit y t = ft, yt für jedes t I, d.h. y ist eine Lösung des Anfngswertprobems. Hben wir so ein Anfngswertprobem y = ft, y, y = b mit stetiger rechter Seite f : U R n, so können wir die Menge Λ := { y : I R n I R ist ein offenes Interv mit I und y ist stetig mit t, yt U für e t I betrchten, und für y : I R n in Λ bezeichne T y die stetige Abbidung T y : I R n ; t b + fs, ys ds. Dnn ist unser Anfngswertprobem geichwertig zur Fixpunktgeichung T y = y. Auf T woen wir jetzt den Bnchschen Fixpunktstz 1.Stz 1 nwenden. Hierzu sind ber noch einige Vorrbeiten notwendig. Zum einen hndet der Bnchsche Fixpunktstz von Abbidungen T : M M einer Menge M in sich sebst, wir müssen so eine geeignete Teimenge M Λ mit T M M finden. Weiter musste die Menge M im Bnchschen Fixpunktstz eine bgeschossene Teimenge eines Bnchrums sein, wir müssen so uch noch einen hierfür geeigneten Bnchrum konstruieren. Auf dem R n verwenden wir dbei in diesem Abschnitt immer die Mximumsnorm x = mx 1 k n x k für x R n. Im nun fogenden ersten Vorbereitungsemm finden wir bereits die Kndidten für die oben beschriebene Menge M. Lemm 11.2: Seien n N mit n 1, U R n+1 = R R n offen,, b U und f : U R n stetig. Dnn geten: Seien u, v R mit u < < v, C 0 und λ 0, ] mit C v u λ. Für e s u, v und e y B λ b gete s, y U und fs, y C. Ist dnn y : u, v R n eine stetige Funktion mit yt b λ für e t u, v, so ist uch t, yt U für jedes t u, v und die Funktion ỹ = T y erfüt ebenfs die Bedingung ỹt b λ für e t u, v. b Es gibt Konstnten u, v, λ, C R mit u < < v, C 0, λ > 0, C v u λ so, dss s, y U und fs, y C für e s [u, v], y B λ b git. } Beweis: Sei y : u, v R n stetig mit yt b λ für e t u, v. Für jedes t u, v ist dnn uch yt B λ b, so t, yt U und ft, yt C. Dmit 28-2

3 ist ỹ = T y definiert und für jedes t u, v hben wir ỹt b = fs, ys ds fs, ys ds C t C v u λ. b D U R n+1 offen ist, gibt es, r, λ R mit < < r, λ > 0 und [, r] B λ b U. D diese Menge kompkt ist und f stetig ist, ist weiter C := sup{ fs, y : s [, r], y B λ b} <. Schießich gibt es u, v R mit u < < v r und C v u λ, und wegen [u, v] [, r] erfüen diese e Bedingungen. Mit diesem Lemm sind die meisten Vorbereitungen zur Anwendung des Bnchschen Fixpunktstzes uf unsere Abbidung T durchgeführt, in der Sitution von Tei des Lemms werden wir den Stz uf die Menge M = {y : u, v R n stetig t u, v : yt b λ} nwenden. Tei des Lemms besgt ds T dnn eine Abbidung T : M M wird, und nch Tei b können wir überhupt geeignete Konstnten u, v, C, λ wähen uf die dnn nwendbr ist. As nächsten Schritt müssen wir einsehen, dss M sich s bgeschossene Teimenge eines Bnchrums interpretieren äßt. Wir htten in II. 4.5 gesehen ds der normierte Rum Bu, v, R := {y : u, v R y ist beschränkt} er beschränkten Funktionen von u, v in den R bezügich der Supremumsnorm voständig ist. Diese Ttsche dehnen wir jetzt uf beschränkte Funktionen die in den R n bbiden us, d.h. wir betrchten die Menge versehen mit der Supremumsnorm Bu, v, R n := {y : u, v R n y ist beschränkt} y := sup yt y Bu, v, R n. t u,v In Komponenten usgedrückt können wir diese Norm uch s y = mx 1 i n y i für e y Bu, v, R n schreiben. Dss es sich hierbei um eine Norm hndet, fogt nog zum in II. 4.5 behndeten skrwertigen F, wie wir jetzt noch einm 28-3

4 vorführen woen. Zunächst ist die Funktion konstnt geich Nu beschränkt, so hben wir 0 Bu, v, R n und es ist 0 = sup{0} = 0. Ist umgekehrt y Bu, v, R n mit y = 0, so git für jedes t u, v stets yt y = 0, so yt = 0, und dmit ist y die Nufunktion. Nun seien eine Funktion y Bu, v, R n und ein Skr λ R gegeben. Dnn ist sup{ λyt t u, v} = sup{ λ yt t u, v} = λ sup{ yt t u, v} = λ y, d.h. es ist λy Bu, v, R n mit λy = λ y. Schießich seien x, y Bu, v, R n gegeben. Für jedes t u, v hben wir dnn x + yt = xt + yt xt + yt x + y, d.h. es ist x + y Bu, v, R n und x + y = sup{ x + yt t u, v} x + y. Dmit hben wir gezeigt, dss Bu, v, R n ein Untervektorrum des Vektorrums er Abbidungen von u, v in den R n ist und ds eine Norm uf Bu, v, R n ist. Somit ist Bu, v, R n zumindest ein normierter Rum und wir behupten jetzt ds es sich dbei sogr um einen Bnchrum hndet, dss so die Supremumsnorm voständig ist. Sei so y k k N eine Cuchyfoge in Bu, v, R n. Sei 1 i n. Für e k, N git dnn uch y k,i y,i y k y, so biden die i-ten Komponenten y k,i k N eine Cuchyfoge im Bnchrum Bu, v, R. Fogich existiert eine beschränkte Funktion y i : u, v R so, dss die Foge y k,i k N in Bu, v, R gegen y i konvergiert. Wir erhten die beschränkte Funktion y := y i 1 i n : u, v R n und d y k y = mx{ y k,i y i 1 i n} für jedes k N git konvergiert die Foge y k k N gegen y. Dmit hben wir die Voständigkeit der Supremumsnorm uf Bu, v, R n bewiesen und fogich ist Bu, v, R n ein Bnchrum. As nächsten Schritt woen wir einsehen, dss die Menge Cu, v, R n := {y Bu, v, R n y ist stetig} er beschränkten, stetigen Funktionen von u, v in den R n ein bgeschossener Teirum von Bu, v, R n ist. Im skrwertigen F htten wir uch dies bereits in II. 4.5 gesehen, zur Wiederhoung woen wir den vektorwertigen F hier einm vorführen. Dss Cu, v, R n in Bu, v, R n bgeschossen ist, bedeutet ds Cu, v, R n mit seinem Abschuß in Bu, v, R n übereinstimmt, ds so jeder Berührpunkt der Menge Cu, v, R n wieder in Cu, v, R n iegt. Sei so eine Funktion y Cu, v, R n Bu, v, R n gegeben. Wir müssen zeigen, dss die Funktion y dnn stetig ist. Sei so t u, v gegeben. Sei ɛ > 0. Nch II. 4.Lemm 16.c existiert eine Funktion x Cu, v, R n mit y x < ɛ/3. D die Funktion x in t stetig ist, gibt es weiter ein δ > 0 so, dss für e s u, v mit t s < δ stets xt xs < ɛ/3 git. Für jedes s u, v mit t s < δ fogt dmit uch yt ys yt xt + xt xs + xs ys 2 y x + xt xs < ɛ. 28-4

5 Dmit ist die Funktion y im Punkt t ttsächich stetig, und wir hben y Cu, v, R n bewiesen. Dmit ist jeder Berührpunkt von Cu, v, R n in Bu, v, R n sebst stetig, und somit ist die Menge Cu, v, R n bgeschossen in Bu, v, R n. Nch II. 4.Lemm 19.c ist dmit uch der normierte Rum Cu, v, R n voständig, so ein Bnchrum. Dmit hben wir den Bnchrum konstruiert in dem wir den Bnchschen Fixpunktstz nwenden woen. Wir überegen uns jetzt ds die oben eingeführte Menge M ttsächich eine bgeschossene Teimenge von Cu, v, R n ist. In Cu, v, R n hben wir die Funktion konstnt geich b, die wir der Einfchheit hber uch s b Cu, v, R n bezeichnen, und dmit können wir die Menge M s M = {y Cu, v, R n t u, v : yt b λ} = {y Cu, v, R n sup{ yt b : t u, v} λ} = {y Cu, v, R n : y b λ} = B λ b schreiben, d.h. M ist eine bgeschossene Kuge in Cu, v, R n mit dem Mittepunkt b. Insbesondere ist M dmit eine bgeschossene Teimenge von Cu, v, R n. Nch Lemm 2. können wir T zu einer Abbidung T : M M; y T y : u, v R n ; t b + fs, ys ds einschränken. Zur Anwendung des Bnchschen Fixpunktstzes uf T feht uns nur noch die Kontrktionsbedingung, wir bruchen eine Konstnte 0 q < 1 mit T x T y q x y für e x, y M. Aerdings gibt es soch eine Konstnte im Agemeinen nicht, wir benötigen eine zusätziche Bedingung n die rechte Seite f unseres Anfngswertprobems um die Existenz eines pssenden q zu gewähreisten. Definition 11.1: Seien n N mit n 1, U R n+1 offen und f : U R n eine stetige Funktion. Die Funktion f heißt in der der zweiten Vriben Lipschitz-stetig wenn es eine Konstnte L 0 mit ft, x ft, y L x y für e t R, x, y R n mit t, x U und t, y U gibt. Jedes soche L wird dnn s eine Lipschitz-Konstnte für f bezeichnet, und wir sgen ds f die Lipschitz-Bedingung erfüt. Sei wieder ein Anfngswertprobem y = ft, y, y = b gegeben, wobei wir nnehmen ds die rechte Seite f : U R n die Lipschitz-Bedingung erfüt, etw mit einer Konstnte L 0. Gemäß Lemm 2 können wir u, v R mit u < < v und Konstnten C 0, λ 0, ] mit C v u λ und s, y U, fs, y C für e s u, v, y B λ b finden. Dnn htten wir gesehen ds M = Cu, v, B λ b = {y Cu, v, R n t u, v : yt B λ b} 28-5

6 bgeschossen in Cu, v, R n mit M Λ und T M M ist. Sind x, y M, so hben wir für e t u, v stets T xt T yt = fs, xs ds fs, ys ds t t fs, xs fs, ys ds L xs ys ds und dmit ist uch T x T y Lv u x y. L x y t, Ist so Lv u < 1, so können wir den Bnchschen Fixpunktstz uf die Funktion T : M M nwenden. Diese Bedingung könnten wir durch Verkeinern des Intervs u, v jederzeit erreichen, es gibt ber einen keinen Trick dies zu vermeiden, dieser geht ursprüngich uf Bieecki zurück. Wir geben uns ein θ > 0 vor, und führen uf Cu, v, R n eine neue Norm ein, nämich x θ := sup e θl t xt t u,v für jede beschränkte, stetige Funktion x Cu, v, R n. Dss dies wirkich eine Norm ist, rechnet mn genuso nch wie wir dies vorhin für die Supremumsnorm getn hben. Die Norm θ hängt eng mit der Supremumsnorm zusmmen, für jedes x Cu, v, R n git für e t u, v, so ist uch e θl mx{v, u} xt e θl t xt xt e θl mx{v, u} x x θ x. Die Norm θ ist so nch II. 8.Lemm 5. äquivent zur Supremumsnorm uf Cu, v, R n, und insbesondere ist nch II. 8.Lemm 5 die Menge M uch bgeschossen in Cu, v, R n bezügich der Norm θ und die Norm θ ist uch wieder voständig, d.h. Cu, v, R n ist uch in der neuen Norm weiterhin ein Bnchrum. Dmit sind wir jetzt in der Lge den Stz von Picrd-Lindeöf zu beweisen. Stz 11.3 Stz von Picrd-Lindeöf Seien n N mit n 1, U R n+1 offen und f : U R n erfüe die Lipschitzbedingung. Weiter seien, b U, u, v R mit u < < v und λ > 0 mit u, v B λ b U und es sei C 0 mit C v u λ und fs, y C für e s u, v, y B λ b. Dnn existiert genu eine Lösung y : u, v B λ b des Anfngswertprobems y = ft, y, y = b und ist x : u, v B λ b eine stetige Funktion so konvergiert die sogennnte Picrd-Itertion T k x k N uf u, v geichmäßig gegen y. 28-6

7 Beweis: Wähe ein beiebiges θ > 1 und verwende uf Cu, v, R n die oben eingeführte Norm θ. Weiter seien wieder M := Cu, v, B λ b Cu, v, R n und betrchte die nch Lemm 2. wohdefinierte Abbidung T : M M; y T y : u, v R n ; t b + fs, ys ds. Sind jetzt x, y M, so können wir für jedes t u, v die obige Rechnung etws modifizieren, und erhten T xt T yt L xs ys ds t = L e θl s e θl s xs ys ds L e θl s ds x y θ so hben wir uch = 1 θ eθl t 1 x y θ 1 θ eθl t x y θ, e θl t T xt T yt 1 θ x y θ. Diese Überegung zeigt T x T y θ 1 θ x y θ, die Abbidung T ist so kontrhierend. Nch dem Bnchschen Fixpunktstz 1.Stz 1 gibt es genu ein y M mit T y = y und für jedes x M konvergiert die Foge T k x k N in Cu, v, R n gegen y. Nch Lemm 1 ist y : u, v R n die eindeutige uf gnz u, v definierte Lösung des Anfngswertprobems y = ft, y, y = b mit yt b λ für e t u, v. Weiter konvergiert die Picrd-Itertion T k x k N für jedes x M nch II. 8.Lemm 5. uch in der Supremumsnorm gegen y, d.h. die Picrd-Itertion konvergiert uf u, v geichmäßig gegen y. As ein einfches Beispie für die Picrd-Itertion schuen wir uns einm ds Anfngswertprobem y = µy, y0 = 1 mit einer Konstnten µ R n. Die Funktion f ist hier f : R 2 R; t, y λy, und geben wir uns ein beiebiges λ > 0 vor, so git sup{ ft, y : t R, y [1 λ, 1 + λ]} = µ λ + 1, in Lemm 2. können wir so ds Interv u, v = ɛ, ɛ verwenden wenn µ ɛ < λ/2λ+1 ist. Weiter ist f stetig und in der zweiten Vriben Lipschitz-stetig mit der 28-7

8 Lipschitz-Konstnten L = µ, der Stz von Picrd-Lindeöf ist so in diesem Interv nwendbr. Die Picrd-Itertion ist gegeben durch T yt = 1 + µ 0 ys ds, und wir woen mit der Funktion y 0 t = 1 konstnt Eins strten. Wir behupten, dss für jedes k N und e t ɛ, ɛ stets y k t := T k y 0 t = k µt j git. Für k = 0 ist dies kr, und ist die Aussge für ein k N bereits whr, so git für jedes t ɛ, ɛ weiter uch [ t k ] µs j y k+1 t = T y k t = 1 + µ y k s ds = 1 + µ ds 0 0 j! j=0 k µs j+1 t k = 1 + µt j+1 k+1 j + 1! = 1 + j + 1! = µt j, j! j=0 und Behuptung ist so mit voständiger Induktion bewiesen. Die Picrd-Itertion besteht hier so us den Prtisummen der Reihendrsteung e µt µt j = j! j=0 der Exponentifunktion us I Der Existenz- und Eindeutigkeitsstz 10.Stz 2 ist noch etw weitergehender s der eben bewiesene Stz 3 von Picrd-Lindeöf. Der erstgennnte Stz äßt sich ber mit weitgehend formen Argumenten uf den Stz von Picrd-Lindeöf zurückführen. Seien so wieder n N mit n 1, eine offene Menge U R n+1 und eine stetige Funktion f : U R n gegeben. Wie in den Vorussetzungen von 10.Stz 2 nehmen wir n, dss f nch den hinteren n Vriben stetig prtie differenzierbr ist. Für jedes t, y U existiert so die Abeitung D y ft, y von f nch den hinteren n Vriben, und die Funktion D y f : U R n n ist stetig. Hierus fogt dnn, dss f ok die Lipschitz-Bedingung erfüt. Sei nämich ein Punkt, b U gegeben. D U R n+1 offen ist, gibt es dnn u, v R mit u < < v und ein ɛ > 0 mit [u, v] B ɛ b U. D die Funktion D y f uf der kompkten Menge [u, v] B ɛ b stetig ist, ist dmit uch j=0 0 j! j=0 L := sup{ D y ft, y : t [u, v], y B ɛ b} <. Für e t [u, v], x, y B ɛ b iefert die Mittewertungeichung II. 8.Lemm 21 dnn die Lipschitz-Bedingung ft, x ft, y sup D y ft, z z [x,y] 28-8 j=0 x y L x y.

9 Die stetige Differenzierbrkeit nch den hinteren Vriben impiziert so ok die Lipschitz-Bedingung. Zusmmen mit dem Stz von Picrd-Lindeöf fogt drus weiter die Eindeutigkeit mximer Lösungen von Anfngswertprobemen. Angenommen wir hben ein offenes Interv I R und zwei Lösungen x, y : I R n von y = ft, y, die in einem Punkt übereinstimmen, so xt 0 = yt 0 für ein t 0 I. Wir woen uns überegen, dss dnn schon x = y ist. D x und y beide stetig sind, ist die Menge I 1 := {t I xt yt} in R offen. Weiter behupten wir ds uch die Menge I 2 := {t I xt = yt} offen ist. Sei nämich t I 2 und setze b := xt = yt. D die Funktion f ok die Lipschitz-Bedingung erfüt, finden wir mit Lemm 2.b eine offene Menge V R n+1 mit t, b V U und Konstnten u, v, C, Λ R mit u < t < v, C 0, λ > 0, C v u λ so, dss u, v I, u, v B λ b V git, f uf V die Lipschitz-Bedingung erfüt, und für e s u, v, z B λ t stets fs, z C und xs b λ sowie ys b λ geten. Die Eindeutigkeitsussge im Stz von Picrd-Lindeöf ergibt dnn x u, v = y u, v offen, d.h. es ist t u, v I 2. Dmit ist uch die Menge I 2 offen. Wegen I = I 1 I 2, I 1 I 2 = und I 2 fogt I 1 =, d Interve nch II. 8.Lemm 9 zusmmenhängend sind. Dies bedeutet xt = yt für e t I, wir hben so x = y eingesehen. Nehmen nun n, dss y : I R n und ỹ : Ĩ Rn zwei mxime Lösungen von y = ft, y sind und ds es ein t 0 I Ĩ mit yt 0 = ỹt 0 gibt. Dnn ist uch J := I Ĩ ein offenes Interv mit t 0 J und nch unserer eben bewiesenen Aussge git y J = ỹ J. Dmit ist ber uch { y : I Ĩ yt, t I, Rn ; t ỹt, t Ĩ eine Lösung von y = ft, y mit y I = y und y Ĩ = ỹ, d.h. die Mximität von y und ỹ iefert y = y = ỹ. Ist so, b U, so gibt es nch dem Stz von Picrd-Lindeöf Stz 3 eine Lösung des Anfngswertprobems y = ft, y, y = b, nch 10.Lemm 1 gibt es dnn weiter uch eine mxime Lösung dieses Anfngswertprobems, und nch der eben bewiesenen Aussge ist diese mxime Lösung dnn eindeutig bestimmt. Dmit ist 10.Stz 2 im wesentich bewiesenen. Die etzte Aussge dieses Stzes, dss so mxime Lösungen nicht einfch stoppen, woen wir hier ber nicht mehr beweisen. Zum Abschuß woen wir nur noch uf eine weitere keine Konsequenz des Stzes von Picrd-Lindeöf hinweisen. In 10.5 htten wir ohne Beweis behuptet, dss die mximen Lösungen einer ineren Differentigeichung y n = n 1 ty n t + gt mit stetigen Funktionen 0,..., n 1, g : I R immer uf dem gnzen Interv I definiert sind. Wir woen uns überegen, dss dies us Stz 3 fogt. Zunächst müssen 28-9

10 wir unsere Geichung n-ten Grdes hierzu in ein System ersten Grdes trnsformieren, und wir htten gesehen, dss dies durch y 0 = y 1,..., y n 2 = y n 1, y n 1 = n 1 ty n ty 0 + gt erfogt, wobei wir y = y 0 schreiben. Definieren wir dnn für e t I At := , ht := gt 0 t 1 t 2 t n 1 t so können wir ds System erster Ordnung s y = Aty + ht schreiben, die Funktion f : I R n R n ist hier so durch ft, y = Aty + ht für e t I, y R n gegeben. Sei nun J I ein kompktes Interv. Dnn ist und für e t J, x, y R n hben wir L := sup{ At : t J} <, ft, x ft, y = At x y At x y L x y, uf J R n erfüt f so die Lipschitz-Bedingung. Mit dem Stz von Picrd-Lindeöf fogt dnn die Existenz von uf J definierten Lösungen. D wir I durch soche Interve überdecken können, fogt schießich uch die Existenz von uf gnz I definierten Lösungen. 12 Der Seprtionsnstz Nchdem wir in den etzten beiden Kpiten die Theorie gewöhnicher Differentigeichungen behndet hben, woen wir jetzt zum Abschuß einen Anstz zur Lösung prtieer Differentigeichungen besprechen. Form werden prtiee Differentigeichungen nog zu gewöhnichen Differentigeichungen definiert. Ein System von n prtieen Differentigeichungen erster Ordnung für eine Funktion u in p Vriben und mit Werten im R q ht die Form F x 1,..., x p, u, u,..., u = 0 x 1 x p 28-10

11 wobei F : U R n eine uf einer offenen Menge U R p+p+1q definierte Funktion ist. Eine Lösung der Differentigeichung ist dnn eine stetig differenzierbre Funktion u : V R q definiert uf einer offenen Menge V R p mit x, ux, u x,..., u x U x 1 x p und F x, ux, u x,..., u x = 0 x 1 x p für e x V. Eine prtiee Differentigeichung zweiter Ordnung ht entsprechend die Form u 2 u F x i 1 i p, u, = 0. x i x i x j, 1 i p 1 i j p Dbei wird von einer Lösung u zweifche stetige Differenzierbrkeit gefordert, so dss es nch dem Lemm von Schwrtz II. 9.Stz 2 nicht uf die Reihenfoge zweifcher prtieer Abeitungen nkommt. Entsprechend werden prtiee Differentigeichungen dritter und höherer Ordnung definiert. Bei prtieen Differentigeichungen treten so im Unterschied zu den gewöhnichen Differentigeichungen Abeitungen nch mehreren Vriben uf. Beispiesweise htten wir in II. 1.2 s ein Beispie zur Tyorschen Forme ds sogennnte Probem der schwingenden Site behndet. Bei diesem htten wir die Bewegungsgeichung einer eingespnnte Site einer Länge > 0 hergeeitet. Bezeichnet ux, t die Ausenkung der Site im Punkt x [0, ] zum Zeitpunkt t, so erfüte u, wie in II. 1.2 gesehen, die sogennnte eindimensione Weengeichung 2 u = 1 ν 2 2 u x 2, u ux,t x=0 x x= t 2 wobei ν > 0 eine Mterikonstnte ist. Dies ist eine prtiee Differentigeichung zweiter Ordnung für die Funktion u in den beiden Vriben x und t. Ein zweites Beispie einer prtieen Differentigeichung zweiter Ordnung ist die sogennnte eindimensione Wärmeeitungsgeichung 2 u x 2 = u t, bei wecher die Funktion u die zeitiche Entwickung der Tempertur eines Drhtes beschreibt, d.h. ux, t so die Tempertur des Drhtes zum Zeitpunkt t im Punkt x sein. Wir woen nun einen einfchen Anstz zum Finden von Lösungen einer prtieen Differentigeichung vorsteen, den sogennnten Seprtionsnstz. Wir formuieren diesen Anstz hier für unbeknnte skre Funktionen in zwei Vriben, bei nderer 28-11

12 Vribenzh oder Vektorfunktionen können dnn noge Ansätze verwendet werden. Der Anstz besteht drin die gesuchte Funktion u s ein Produkt ux, t = ϕx ψt Seprtionsnstz einer nur von x bhängigen Funktion und einer nur von t bhängigen Funktion zu schreiben. As ein Beispie betrchten wir die eindimensione Wärmeeitungsgeichung 2 u x 2 = u t. Der Seprtionsnstz ux, t = ϕxψt wird zu 2 u x = 2 ϕ xψt =! u t = ϕxψ t ϕ x ϕx = ψ t ψt =: λ. D die inke Seite in der rechts stehenden Geichung nur von x und die rechte Seite nur von t bhängt, müssen beide Seiten konstnt sein, und wir nennen die Konstnte λ. Dies ergibt für die beiden Funktionen ϕ und ψ die gewöhnichen Differentigeichungen ϕ = λϕ und ψ = λψ. Die Geichung für ψ ht dbei die gemeine Lösung ψt = Ce λt C R konstnt. Auch die Geichung für ϕ hben wir bereits zu Beginn des 10 behndet, die gemeine Lösung hing dbei vom Vorzeichen von λ b, und ergb sich s A sinh λ x + B cosh λ x, λ > 0, ϕx = Ax + B, λ = 0, A sin λ x + B cos λ x, λ < 0 mit Konstnten A, B R. Im Produkt ux, t = ϕx ψt = Ce λt ϕx können wir die Konstnte C n A und B hernziehen und sie dnn wegssen, d.h. wir können C = 1 nnehmen, so ux, t = e λt ϕx. Für jede Wh der drei Prmeter A, B und λ hben wir dmit eine Lösung der Wärmeeitungsgeichung. In der übichen Interprettion hben wir, wie bereits erwähnt, einen Drht der durch die Vribe x beschrieben wird, und ux, t ist die Tempertur des Drhtes im Punkt x zum Zeitpunkt t. Um die Lösung etws weiter einzuschränken knn mn etw Rndbedingungen n die Funktion u steen. Nehmen wir einm n, unser Drht ht die Länge > 0 und wird durch 0 x prmetrisiert. Wir fordern dnn ds die Temprtur n den beiden Endpunkten x = 0 und x = konstnt gehten wird, und woen uns überegen weche Einschränkungen n die drei Prmeter A, B und λ durch diese Bedingung uftreten. Dss die Tempertur in den beiden Endpunkten konstnt beibt bedeutet gerde u t u 0, t =, t = 0 t 28-12

13 für e t R. Wegen u t x, t = ϕxψ t = λϕxe λt bedeutet diese Rndbedingung so λϕ0 = Cλϕ = 0. Dbei ist der F λ = 0 ein Ausnhmef, denn dnn ist ψt = 1 für e t R, d.h. ux, t = ϕx = Ax + B hängt überhupt nicht von der Zeit b. Diese Lösung ist für uns von keinem großen Interesse, dher nehmen wir nun n, dss u nicht in t konstnt ist, so insbesondere λ 0 git. Dnn bruchen wir ϕ0 = ϕ = 0. In beiden Fäen für λ ist ϕ0 = B, so B = 0. Wäre λ > 0, so hätten wir A sinh λ = ϕ = 0, so A = 0 d sinh x > 0 für e x > 0 ist, ber dies bedeutet ϕ = 0 und somit u = 0 im Widerspruch zu unserer Annhme ds u nicht in t konstnt ist. Der F λ > 0 knn so nicht uftreten, und somit muss λ < 0 sein. Wäre dbei A = 0, so hätten wir erneut ϕ = 0, d.h. wir hben A 0. Unsere Bedingung wird zu Dmit gibt es ein n Z mit A sin λ = ϕ = 0 = λ πz. λ = π2 n2. Wegen λ 0 können wir uns uf n N\{0} beschränken. Die seprierten Lösungen die unsere Rndbedingung erfüen sind so bis uf eine Normierung ux, t = Ax + B und u n x, t = e π2 n 2 t sin, n = 1, 2, 3,.... Mn bezeichnet die Lösung u n s die n-te Grundösung. Dies sind ntürich nicht e Lösungen der Wärmeeitungsgeichung unter unserer Rndbedingung, sondern nur diejenigen die vom Seprtionsnstz geiefert werden. Weitere Lösungen knn mn etw durch Superposition der Grundösungen erzeugen, d.h. wir geben uns reee Konstnten A 1, A 2, A 3,... vor, und biden die Lösung ux, t := A 1 u 1 x, t + A 2 u 2 x, t + A 3 u 3 x, t +. Wenn wir hier nur eine endiche Summe nehmen, gibt uns dieser Ausdruck immer eine Lösung. Für unendiche Summen bruchen wir dgegen eine geeignete Konvergenzbedingung. Bei den uns zur Verfügung stehenden Hifsmitten ist es einfchsten, zu verngen ds die Reihe n=1 A n bsout konvergiert, dss so A n < ist. Für e n 1, x [0, ], t 0 hben wir dnn A n exp π2 n 2 t sin A n, n=

14 so ist die Funktionenreihe ux, t := A n exp π2 n 2 t sin n=1 nch dem Weierstrss-Kriterium II. 4.Lemm 14 uf [0, ] R 0 geichmäßig konvergent, und stet somit nch II. 4.Stz 5.b eine uf [0, ] R 0 stetige Funktion dr. An den beiden Endpunkten ist dbei u0, t = u, t = 0 für e t R. Im Inneren 0, 0, erfüt u die eindimensione Wärmeeitungsgeichung. Sei nämich ein ɛ > 0 gegeben. Nch I. 13.Stz 21.c git im x xe x = 0, es existiert so ein x 0 > 0 mit xe x 1 für e x x 0. Weiter gibt es ein n 0 N mit und für jedes n N mit n n 0 ist dnn π 2 n 2 ɛ x 0, so π2 n 2 ɛ exp π2 n 2 ɛ Setzen wir so { } 2 C := mx π 2 ɛ so ist n 0 x 0 π ɛ 1 und somit n 2 exp π2 n 2 ɛ 2 π 2 ɛ. { } n 2 exp π2 n 2 ɛ 1 n < n 0, n exp π2 n 2 ɛ n 2 exp π2 n 2 ɛ C für e n 1. Für e n 1 und e x [0, ], t ɛ fogen hierus weiter A nn 2 exp π2 n 2 t sin C A n und A nn exp π2 n 2 t cos C A n. Wieder nch dem Weierstrsschen Konvergenzkriterium II. 4.Lemm 14 und dem Differenzierbrkeitsstz unter geichmäßiger Konvergenz II. 4.Stz 11 fogt die Existenz und Stetigkeit der prtieen Abeitungen u x, t = π2 t u x x, t = π A n n 2 exp n=1 A n n exp n=1 2 u x, t = π2 x2 A n n 2 exp n= π2 n 2 t π2 n 2 t cos π2 n 2 t sin, sin,

15 für e x [0, ], t ɛ. D ɛ > 0 beiebig wr, fogt ds u uf [0, ] R >0 ttsächich eine Lösung der Wärmeeitungsgeichung ist. Wir woen dieses Probem noch etws weiter untersuchen. Wir denken uns die Tempertur des Drhtes zum Strtzeitpunkt t = 0 s vorgegeben, die Tempertur im Punkt x [0, ] sei etw fx R. Dbei verngen wir f0 = f = 0. Für die Funktion u wird diese Anfngsbedingung zu ux, 0 = fx für e x [0, ], und schreiben wir u in der obigen Reihendrsteung, so wird diese Bedingung zu fx = ux, 0 = A n sin. n=1 Es stet sich so die Frge wnn wir die Funktion f in dieser Form schreiben können. Ds weitere Studium dieser Frge ist der Geburtsort der Theorie der Fourierreihen, diese wurden von Fourier gerde zur Behndung der Wärmeeitungsgeichung eingeführt. Wir werden dieses Them ber in diesem Semester nicht mehr behnden, und beenden dher dieses Kpite