Ferromagnetische Hysteresis

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1 Physikalisches Anfängerpraktikum 1 Gruppe Mo-16 Wintersemester 2005/06 Julian Merkert ( ) Versuch: P1-83 Ferromagnetische Hysteresis - Vorbereitung - Vorbemerkung Als Hinführung zum Thema Ferromagnetismus ist es bei diesem Versuch zunächst die Aufgabe, die Kenngröÿen (Induktivität und Verlustwiderstand) einer Spule zu bestimmen. Anschlieÿend wird die Änderung der Werte nach dem Einbau eines geschlossenen Eisenkerns in der Spule untersucht. Danach werden Magnetisierungs- und Entmagnetisierungs-Vorgang genau unter die Lupe genommen und - wie der Versuchsname schon sagt - Hysterese-Kurven aufgezeichnet. Inhaltsverzeichnis 1 Luftspule: Induktivität und Verlustwiderstand Experiment Theoretische Berechnung Spule mit Eisenkern: Induktivität und Verlustwiderstand Experiment Berechnung der Wechselfeld-Permeabilitätswerte Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste Hysteresis des Eisenkerns Weiÿ'sche Bezirke Remanenz Neukurve / Hysterese-Kurve Eichung der Achsen des Oszilloskops H-Achse B-Achse Ummagnetisierung Ummagnetisierungs-Arbeit Ummagnetisierungs-Verlustleistung Wechselfeld-Permeabilität Vergleich mit Aufgabe Vergleich: Eisen - Ferrit 7 1

2 1 Luftspule: Induktivität und Verlustwiderstand 1.1 Experiment Ein Widerstand (R = 10 Ω) und eine Transformaturspule (n = 1000 Windungen, ohne Eisenkern) werden in Reihe geschaltet und von 50 Hz-Wechselstrom mit I eff = 300 ma durchossen. Per Oszilloskop sollen folgende Gröÿen gemessen werden: Spannungsamplitude an der Spule Spannungsamplitude am Widerstand Zeitdierenz zwischen Nulldurchgängen der beiden Spannungen Deshalb muss das Oszilloskop folgendermaÿen in den Stromkreis eingebaut werden (die Spule sehen wir als Reihenschaltung aus Induktivität L und Verlustwiderstand R I an): Die gesuchten Spannungen und die Zeitdierenz ihrer Nulldurchgänge lassen sich direkt an der Kurve auf dem Bildschirm ablesen. Zur Berechnung von Spuleninduktivität und Verlustwiderstand der Spule betrachten wir die gemessene Spannung U L. Da es sich um eine Reihenschaltung handelt, ieÿt überall die gleiche Stromstärke I. Das heiÿt, der Wechselstrom-Gesamtwiderstand Z Sp der Spule kann mit Z Sp = U L I berechnet werden. Die Stromstärke I wird nicht gemessen, sie lässt sich aber mit Hilfe des Ohm'schen Widerstands leicht berechnen: (1) Z Sp = U L U RR (2) Z Sp = U L U R R (3) Z Sp sich aus dem Induktiven Widerstand ωl und dem Innenwiderstand R I der Spule zusammen (die Ursache für den Innenwiderstand können Drahtwiderstände, Abstrahlung, Wirbelströme usw. sein). Das Zeigerdiagramm gibt Aufschluss über die Phasenbeziehung von ωl und R I : Mit dem Satz des Pythagoras kann man daraus die folgende Formel für den Gesamtwiderstand nden: Z Sp = RI 2 + (ωl)2 (4) 2

3 Auÿerdem ergeben die trigonometrischen Beziehungen im Zeigerdiagramm die folgenden Beziehungen, in denen die gesuchten Gröÿen Verlustwiderstand R I und Induktivität L durch Z Sp und die Phasenverschiebung ϕ ausgedrückt werden: R I = Z Sp cos ϕ (5) L = Z Sp sin ϕ ω (6) Um die Phasenverschiebung ϕ zu bestimmen, nutzen wir es aus, dass am Ohm'schen Widerstand R = 10Ω der gesamten Schaltung Spannung und Strom in Phase sind. Das heiÿt, dass die anfangs gemessene Zeitdierenz t zwischen Nulldurchgängen der Spannungen U L und U R mit der Phasengeschwindigkeit ϕ folgendermaÿen zusammenhängt: ϕ = 2π t = 2πf t (7) T 1.2 Theoretische Berechnung Jetzt sollen die im Experiment zu messenden Werte Spuleninduktivität L und Drahtwiderstand R I der Spule theoretisch vorausgesagt werden. Zunächst einmal seien die Gerätedaten der Apparatur aus der Zubehör-Liste des Aufgabenblattes zusammengestellt: Widerstand R = 10 Ω in Reihe Globale Einstellungen: Wechselstrom f = 50 Hz, I eff = 300 ma oder 30 ma Spulendaten: Windungszahl: n = 1000 Mittlerer Wickelradius: r = 3, 4 cm Verhältnis äuÿerer zu innerer Wickelradius: 1, 5 Länge: l = 6, 8 cm Kupferdraht-Radius: r Draht = 0, 35 mm = 1 2 d Draht = 1 20, 7 mm Kein Eisenkern, also µ r = 1 Da die Länge den Radius der Spule nicht deutlich überschreitet, kann die Verallgemeinerung lange Spule nicht angenommen werden - die Formel für die Induktivität der langen Spule muss mit einem Korrekturterm k (in diesem Fall k 0, 55, siehe Vorbereitungshilfe) versehen werden: n 2 A L = µ 0 µ r k 37 mh (8) l Der Draht der Spule ist d = 2πrn lang, der spezische Widerstand des Drahtes beträgt ϱ = 1, Ωm und der Spulenquerschnitt A errechnet sich nach der Formel A = πrdraht 2. Der Verlustwiderstand entspricht damit: R I = ϱ d 8, 55 Ω (9) A 3

4 2 Spule mit Eisenkern: Induktivität und Verlustwiderstand 2.1 Experiment In die Spule wird ein geschlossener Eisenkern eingebaut. Die Messung erfolgt analog zu 1.1, jedoch bei I eff = 30 ma und I eff = 10 ma. 2.2 Berechnung der Wechselfeld-Permeabilitätswerte Mit Eisenkern ist µ r 1, Formel (8) nach µ r aufgelöst ergibt: µ r = L l µ 0 n 2 A k Allerdings muss jetzt die Geometrie des Eisenkerns eingesetzt werden, d.h. (10) sieht eigentlich folgendermaÿen aus (k 1, da die Länge des Eisenkerns im Versuch groÿ gegenüber dem Durchmesser ist): (10) µ r = L l Kern µ 0 n 2 A Kern (11) 3 Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste 3.1 Hysteresis des Eisenkerns Weiÿ'sche Bezirke Ferromagnetische Stoe wie z.b. Eisen kennzeichnen sich durch Weiÿ'sche Bezirke - Materialbereiche, in denen die molekularen Dipole in die gleiche Richtung (also parallel) gerichtet sind. Ist der Sto unmagnetisiert, so zeigen diese Bezirke zufällig in alle denkbaren Richtungen und heben sich so im Mittel auf. Im magnetischen Feld B 0 richten sich die Weiÿ'schen Bezirke in der Richtung von B 0 aus und verstärken das äuÿere Magnetfeld. B 0 erzeugt ein magnetisches Moment vom Betrag M, pro Volumeneinheit genannt Magnetisierung J = M V. Das resultierende Feld B m ( B 0 zusammen mit der durch die Magnetisierung verursachten Verstärkung) ergibt: Im Sättigungsfall sind alle Weiÿ'schen Bezirke ausgerichtet: B m = B 0 + µ 0 J (12) B m = µ 0 (H + J) (13) B m = µ r µ 0 H (14) 4

5 3.1.2 Remanenz Auch nach der Abschaltung des äuÿeren Magnetfeldes bleiben einzelne Weiÿ'sche Bezirke weiter ausgerichtet. Der ferromagnetische Sto hat deswegen jetzt ein gröÿeres Magnetfeld, als er vor seiner Magnetisierung besessen hatte. Dieses hinzugewonnene Feld wird als Remanenz bezeichnet. Mit einem äuÿeren Gegenfeld (Koerzitivkraft) lässt sich dieses jedoch wieder eliminieren, der Sto wird entmagnetisiert Neukurve / Hysterese-Kurve Magnetisiert man einen Sto zum ersten Mal und trägt man B über H auf, so erhält man die Neukurve. Diese lässt sich nur einmal feststellen! Variiert man anschlieÿend das magnetisierende Feld H zyklisch, so durchlaufen die B-Werte die charakteristische Hysterese-Schleife (Abb. siehe Vorbereitungshilfe), die nicht mehr durch den Nullpunkt geht. B und H lassen sich allerdings nur schwer direkt messen: zwar bestünde die Möglichkeit, dies per Hall-Sonde zu bewerkstelligen, doch ist es mit dem folgenden Versuchsaufbau deutlich einfacher. Der Spannungsabfall am 10 Ω-Widerstand im Kreis der felderzeugenden Spule (n 1 = 1000) ist ein Maÿ für H Das Integral über der Spannung, die an einer zweiten Spule (n 2 = 50) induziert wird, ist ein Maÿ für B. Als Integrator dient ein R-C-Glied mit R C ω >> Eichung der Achsen des Oszilloskops Wie in beschrieben, messen wir die Spannung U bzw. das Integral über die induzierte Spannung U ind als Maÿ für H bzw. B. Um nun die tatsächlichen Werte zu nden, muss die richtige Eichung ermittelt werden H-Achse Die Formel für H formen wir zur Bestimmung des Zusammenhangs zwischen H und U R um: H = n 1 l Kern I eff (15) H = n 1 UR l Kern R n 1 (16) H = l Kern R U R (17) 1000 A H = 0, 48 m 10 Ω V m U R (18) H = 208 A V m U R (19) 5

6 3.2.2 B-Achse Ein R-C-Glied (Reihenschaltung des Ohm'schen Widerstandes R 1 und des Kondensators C) dient als Integrator. Die am Kondensator gemessene Spannung U C ist abhängig von der Induktionsspannung: U C = Q C = 1 I dt = 1 UInd U C dt (20) C C R 1 Für ausreichend groÿe R 1 und C kann U C vernachlässigt werden, daraus folgt: U C = 1 U Ind dt (21) C R 1 Aus dem Faraday'schen Induktionsgesetz (U Ind = n 2 AḂ) ergibt sich: Ḃ = U Ind n 2 A B = 1 n 2 A (22) U Ind dt (23) Der Vergleich von (21) und (23) liefert betragsmäÿig: 3.3 Ummagnetisierung Ummagnetisierungs-Arbeit B = C R 1 n 2 A U C (24) Pro Volumeneinheit und Umlauf lässt sich die Ummagnetisierungs-Arbeit (also die Arbeit, die pro Volumeneinheit geleistet werden muss, um das Material zu entmagnetisieren) durch das Integral W Ummagn. = B dh (25) V beschreiben. Dieses Integral ist anschaulich der Flächeninhalt der Hysteresekurve, der mit folgenden einfachen Methoden bestimmt werden kann: 1. Kästchen zählen, notfalls ausgleichen 2. Kurve ausschneiden und wiegen (vorher Gewicht einer Referenzäche, z.b. 1 cm 2 bestimmen) Ummagnetisierungs-Verlustleistung Teilt man die Ummagnetisierungs-Arbeit durch die Dauer eines Zyklus, erhält man die Verlustleistung: P = W Ummagn. T Zyklus = W Ummagn. V V T Zyklus = U eff I eff (26) Dauer eines Zyklus: T Zyklus = 2π ω = 1 f Materialvolumen: V = A l Verlustwiderstand: R Mag = U eff I eff = P I 2 eff Materialien mit geringer Ummagnetisierungs-Verlustleistung werden weichmagnetisch genannt, sie besitzen eine schmale Hysteresisschleife. Ein Anwendungsgebiet sind Transformatoren und Spulen, die möglichst verlustfrei arbeiten sollen. Hartmagnetische Materialien lassen sich nicht so leicht entmagnetisieren, sie sind deshalb als Dauermagnete oder zum Speichern von Daten geeignet. 6

7 3.4 Wechselfeld-Permeabilität In jedem Punkt der Hysteresiskurve gilt folgende Beziehung für die Permeabilität: B = µ 0 µ r H (27) Eine Formel für die relative Permeabilität µ r lässt sich durch Umformen von (27) nden. µ r = B µ 0 H (28) 3.5 Vergleich mit Aufgabe 2 Abschlieÿend sollen die Ergebnisse von Aufgabe 2 und Aufgabe 3 verglichen werden. Eventuell auftretende Unterschiede lassen sich (neben Messfehlern natürlich) z.b. durch Wirbelströme erklären, die besonders bei Materialien mit groÿer Leitfähigkeit auftreten. 4 Vergleich: Eisen - Ferrit Nachdem bisher ausschlieÿlich ein Eisenkern magnetisiert wurde, geht es zum Schluss um die vergleichende Untersuchung von Eisenkern und Ferrit-Schalenkern. Für beide soll eine Reihe von Gröÿen gemessen bzw. errechnet und dann in Beziehung gesetzt werden: 1. Oszillographische Hysteresis-Kurven (mit erkennbarem Sättigungseekt) 2. Eichfaktoren, Diagramm mit geeichter Skala 3. Remanenz 4. Koerzitivkraft 5. Ummagnetisierungs-Verlustleistung 6. Sättigungsinduktion (ca.-wert durch Extrapolation) Erwartet wird, dass der Ferrit-Kern eine noch schmalere Hysteresis als das Eisen hat. Zusammen mit seinem hohen spezischen Widerstand, der Wirbelstromverluste minimiert, macht diese Eigenschaft Ferrit zum idealen Material für hochwertige Spulen. 7