1. Alphabete, Wörter, Sprachen

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1 . Alphabete, Wörter, Sprache I diesem Paragraphe führe wir die Grudobjekte sowohl für die Berechebarkeitstheorie wie auch die Theorie Formaler Sprache ei. Sprache werde hier als Mege vo Wörter über eiem feste Alphabet aufgefasst. Zugleich werde Wörter als Ei- ud Ausgabedate vo Algorithme diee.. DEFINITION. Ei Alphabet Σ ist eie edliche, ichtleere Mege Σ zusamme mit eier totale Ordug auf Σ. Die Elemete vo Σ heiße die Buchstabe (Symbole) des Alphabets. Gebe wir ei Alphabet Σ durch Aufliste der Buchstabe a, so geschieht dies immer bezüglich der zugrudegelegte Ordug: Für Σ a a gilt a a a. Etspreched lasse wir i der Bezeichug eies Alphabetes die Ordug weg, falls diese implizit bekat oder (a dieser Stelle) uwesetlich ist. Ei Alphabet mit Buchstabe heißt -äres Alphabet ud wird mit Σ bezeichet. Isbesodere sid Σ ud Σ 2 das uäre bzw. biäre Alphabet..2 DEFINITION. Ei Wort über dem Alphabet Σ ist eie edliche Folge über Σ, d.h. eie edliche Folge vo Buchstabe aus Σ. Die Mege aller Wörter über Σ wird mit Σ bezeichet. Formal ist eie edliche Folge w über Σ eie Abbildug w : Σ (.) vo eiem Afagsstück der atürliche Zahle i die Mege Σ. Hierbei lasse wir auch das leere Afagsstück /, das wir auch mit bezeiche, zu. Die eideutig bestimmte Folge w : / Σ wird die leere Folge oder das leere Wort geat ud mit λ bezeichet. Mit Σ Σ λ bezeiche wir die Mege der ichtleere Wörter über Σ. Nichtleere Wörter w gebe wir üblicherweise durch Aufliste der Buchstabe i der Reihefolge ihrer Vorkomme i w a. So schreibe wir für das Wort w aus (.) w w w (falls ). Die Läge w eies Wortes w ist die Azahl der Vorkomme vo Buchstabe i w, d.h. w für das Wort w aus (.). Isbesodere gilt λ ud (für ) w w. Die Mege der Wörter der Läge über dem Alphabet Σ bezeiche wir mit Σ! w " Σ : w. Σ# ud Σ$ sid etspreched die Mege der Wörter der Läge bzw.. Ma beachte, dass es für k-äres Alphabet Σ k k Wörter w b b der Läge gibt, da ma für jede Buchstabe b m i w k Wahlmöglichkeite hat. Formal beweist ma Σ! k k (.2)

2 2 ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN 2 durch Iduktio ach. (Hier bezeichet M die Kardialität (Mächtigkeit) vo M.) Isbesodere gelte: Σ! k Σ k k (.3) (Im Folgede idetifiziere wir Σ! k mit Σ k, idem wir das -buchstabige Wort a mit dem Buchstabe a idetifiziere.) Σ! Σ! 2 ud 2 ud Σ# Σ# 2 ' (.4) m Σ! 2 2 m! m! 2 (.5) Währed also für das uäre Alphabet die Azahl aller Wörter bis zur Läge liear i wächst, ist dieses Wachstum für das biäre Alphabet expoetiell. Letzeres Wachstumsverhalte gilt für alle Alphabete mit midestes 2 Buchstabe (s. Übuge). Die grudlegede Operatio auf Wörter ist die Verkettug oder Kokateatio (, aschaulich das Hitereiaderschreibe der Wörter. Für ichtleere Wörter u a a m ud v b b gilt u ( v a a m b b währed die Kokateatio eies beliebige Wortes w mit dem leere Wort dieses uverädert lässt, d.h. w ( λ λ ( w w (statt v ( w schreibe wir meist eifach vw). Verkette wir ei Wort mit sich selbst, so spreche wir vo der Iteratio des Wortes. Formal ist die -fache Iteratio vo w ( ) iduktiv durch w λ w w w defiiert. Wir sage v ist ei (echtes) Afagsstück vo w, we sich w als Verkettug vo v mit eiem (ichtleere) Wort darstelle lässt: v ) w * + x " Σ vx w v, w * + x " Σ vx w -* v ) w. v w Ählich ist v ei Teilwort vo w, falls w x ( v ( y für geeigetes x y " Σ. Häufig ist es hilfreich die Wörter über dem k-äre Alphabet Σ k a a k mit de Kote des uedliche, vollstädige ud geordete k-äre Baumes zu idetifiziere. Hierzu markiert ma die k Kate vo eiem Kote zu seie Söhe vo liks ach rechts mit de Buchstabe a / a k. Ei Kote wird da mit dem Wort idetifiziert, mit dem der Weg vo der Wurzel zu dem Kote beschriftet ist. I de folgede Abbilduge habe wir (für de Fall k 2 bzw k ) die Kote, die das Wort bzw repräsetiere, hervorgehobe: 333 2

3 6 6 6 ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN 3 Allgemei etspreche die Wörter der Läge de Kote der Tiefe, isbesodere die Wurzel dem leere Wort. Die Kote des vollstädige Biärbaums der Tiefe repräsetiere also Σ# 2, die Blätter desselbe Σ! 2. Sage wir, dass ei Kote v oberhalb eies Kotes w liegt, falls v auf dem Weg vo der Wurzel λ zu dem Kote w liegt, so liegt v geau da oberhalb vo w, we v Afagsstück vo w ist. Die Mege Σ der Wörter über dem Alphabet Σ zusamme mit der Kokateatio ( : Σ54 Σ Σ bildet eie Halbgruppe Σ ( mit Eis. D.h. ( ist assoziativ 7 x y z " Σ x ( y ( z x ( y ( z 7 ud für das leere Wort λ gilt x " Σ λ ( x x ( λ x 8 Ma et λ das Eiselemet oder eutrale Elemet vo Σ (. Wege der Assoziativität vo ( köe wir Klammer weglasse. Eie mit der Kokateatio verträgliche Abbildug et ma Homomorphismus. T sodass Formal: Ei Homomorphismus h ist eie Abbildug h : Σ x y " Σ h x ( y 9 h x ( h y : Jeder Homomorphismus h ist bereits durch sei Verhalte auf de Buchstabe (d.h. Wörter der Läge ) bestimmt ud jede Abbildug h : Σ T lässt sich i eideutiger Weise i eie Homomorphismus fortsetze. (Ma sagt, dass Σ ( die freie Halbgruppe über Σ ist)..3 LEMMA. Zu jeder Abbildug h : Σ T gibt es geau eie Homomorphismus h : Σ T mit h a h a für alle a " Σ. BEWEISIDEE. Der gesuchte Homomorphismus ist durch h λ λ ud h w w 7 h w h w 7 h w für Wörter w mit w ' defiiert. ; Als ächstes führe wir eie Wohlordug auf der Mege Σ der Wörter über dem Alphabet Σ ei. Hierzu werde Wörter zuächst ach ihrer Läge ageordet ud da Wörter gleicher Läge mit Hilfe der Aordug vo Σ lexikographisch geordet. Wir führe zuächst als Hilfsbegriff die partielle lexikographische Ordug ei..4 DEFINITION. Die partielle lexikographische Ordug lex auf der Mege Σ der Wörter über dem Alphabet Σ ist defiiert durch v lex w * + x y z " Σ + a b " Σ a b v xay w xbz 8 Wie bei Ordugsrelatioe üblich betrachte wir ebe jeder strikte Ordug < immer auch die zugehörige schwache Ordug =, bei der zusätzlich jedes Wort mit sich vergleichbar ist, d.h. hier v lex w * v lex w oder v w Idetifiziere wir wie obe beschriebe Wörter mit de Kote eies Baumes, so bedeutet v lex w, dass der Kote v liks des Kotes w liegt.

4 ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN 4.5 LEMMA. Die partielle lexikographische Ordug lex ist eie partielle Ordug (Halbordug) auf Σ, d.h. es gilt: 6 (i) w " Σ 6 w lex w (Reflexivität) (ii) u v w " Σ u lex v v lex w > 6 u lex w (Trasitivität) (iii) v w " Σ v lex w w lex v > v w (Atisymmetrie) BEWEIS. (i) gilt ach Defiitio. Zum Nachweis vo (ii) ehme wir a, dass u lex v ud v lex w gelte. Wir habe u lex w achzuweise. Gilt u v oder v w so gilt dies ach Aahme. O.B.d.A. köe wir also vo u lex v ud v lex w ausgehe. D.h. es gibt Zerleguge der Wörter u v w u xay v xbz x? a? y?@ w x? b? z? wobei x y z x? y? z? " Σ, a b a? b? " Σ, a b ud a? b? gilt. Hieraus erhält ma Zerleguge vo u ud w, die u lex w bezeuge, durch Uterscheidug der folgede 3 Fälle. Ist xa B x?, so ist (wege xbz x? a? y? ) xb Afagsstück vo x? ud damit u xay ud w xbz?? für geeigetes z??. Ist xc x?, so ist x x? ud damit u xay ud w xb? z? wobei a b a? b?, also a b?. Ist schließlich xedb x?, so gilt symmetrisch zum erste Fall, dass u x? a? z??? ud w x? b? z? für geeigetes z??? " Σ. Teil (iii) zeige wir idirekt. Wir gehe vo der Widerspruchsaahme aus, dass v lex w ud w lex v aber v F w. Da gilt v lex w ud w lex v, weshalb es Zerleguge v xay x? b? y? ud w xbz x? a? z? vo v ud w mit x y z x? y? z? " Σ, a b a? b? " Σ, a b ud a? b? gibt. Es folgt, dass x x? oder x ) x? oder x? ) x. Ist x x?, so gilt a b? ud b a?, also a a wege a b a? b? a. Dies widerspricht der Wahl vo als Ordug auf Σ. Ist x ) x?, so gilt xa, x? ud xb, x? also a b im Widerspruch zu a b. Etspreched impliziert x? ) x dass a? b? im Widerspruch zu a? b?. ; Die Relatio lex ist keie totale Ordug, d.h. erfüllt die Forderug 6 v w " Σ v lex w oder w lex v (Koexität) icht. Wie ma leicht eisieht wird diese Forderug geau da verletzt, we v echtes Teilwort vo w (oder umgekehrt) ist (d.h. die Kote v ud w auf demselbe Pfad liege): v ) w oder w ) v G* v F lex w w F lex v (.6) Isbesodere sid Wörter gleicher Läge also stets bezüglich lex vergleichbar:.6 LEMMA. Die Eischräkug vo lex auf Σ! für festes ist eie totale Ordug auf Σ!. ; Ma ka lex zu eier totale Ordug < auf Σ fortsetze, idem ma die Teilwortbeziehug als weiteres Ordugskriterium hizuimmt, also v < w :* v lex w oder v ) w * v lex w oder H v F lex w w F lex v v8 I wj

5 K ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN 5 festlegt. Diese auch totale lexikographische Ordug geate Ordug, der die lexikographische Ordug als Hauptordugskriterium zugrudeliegt ud, we diese versagt, die Wortläge als Nebeordugskriterium diet, ist die i Lexika beutzte Ordug. Sie hat jedoch de Nachteil, dass sie keie Nummerierug der Wörter liefert (d.h. formal Σ < icht isomorph zu LK ist; s.u.). Z.B. gilt für de Fall des biäre Alphabetes Σ Σ 2, dass < für alle gilt, also w : w < uedlich ist. Diese Magel beseitigt die läge-lexikographische Ordug, bei der die Ordugskriterie vertauscht, d.h. die Läge das primäre ud die lexikographische Ordug das sekudäre Ordugsmerkmal sid..7 DEFINITION. Die läge-lexikographische Ordug ll auf Σ ist defiiert durch v ll w *M v N w oder H vi w v lex wj7 Beispielsweise gilt für das uäre Alphabet Σ N λ O ll 5 ll 2 ll 3 ll 4 ll ud für das biäre Alphabet Σ 2.8 SATZ. λ ll ll ll ll ll ll ll ll ll LK ist isomorph zu Σ ll K, d.h. es gibt eie Bijektio f : ordugserhalted ist, d.h. erfüllt m ". m * f m 5 ll f Zum Beweis vo Satz.8 zeige wir zuächst die beide folgede Lemmata. Σ, die.9 LEMMA. Die läge-lexikographische Ordug ll auf Σ ist eie totale Ordug, d.h. ll ist reflexiv, trasitiv, atisymmetrisch ud kovex. BEWEIS. Dies ergibt sich leicht aus der Defiitio vo ll mit Lemma.6. ;. LEMMA. Jedes Wort w " Σ besitzt geau eie direkte Nachfolger N w bzgl. ll ud jedes ichtleere Wort w " Σ besitzt geau eie direkte Vorgäger V w bzgl. ll, d.h. w ll N w 6 v w ll v > N w ll v (.7) V w 5 6 ll w v v ll w > v ll V w (.8) BEWEIS. Wir defiiere N w ud V w ud überlasse de Nachweis der Eigeschafte (.7) ud (.8) als Übug. Ist Σ Σ, so defiiert ma N P ud V P für. Ist Σ Σ k a a kq k-är mit k 2, so uterscheidet ma folgede Fälle bei der Defiitio vo N w ud V w, wobei w die Läge vo w sei. Ist w a kq (d.h. das bzgl. lex größte Wort i Σ! ), so setzt ma N w O a (d.h. wählt N w als das bzgl. lex kleiste Wort der Läge ' ). Aderfalls wählt ma N w als de direkte Nachfolger vo w bzgl. lex i Σ!, d.h. N w ist das bzgl. lex kleiste Wort i v " Σ! : w lex v. (Ma beachte hierbei, dass jede

6 F F ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN 6 ichtleere edliche total geordete Mege ei kleistes Elemet besitzt. Explizit ka ma N w wie folgt bestimme: Ist w a i a ir a kq, so wählt ma m maximal mit a im a kq ud setzt N w 9 a i a imr a i m a a.) Etspreched defiiert ma für w mit w D 7 : V a a kq Q ud setzt V w S wq sost, wobei wq der direkte Vorgäger vo w bzgl. lex i Σ! ist. ; BEWEIS SATZ.8. Die Fuktio f wird uter Verwedug vo Lemma. iduktiv durch f λ ud f ' N f defiiert. Wege Lemma.9 ud (.7) gilt m * f 5 ll f m (Iduktio ach k m ) ud damit auch, dass f ijektiv ist. Die Surjektivität vo f sieht ma wie folgt. Als Widerspruchsaahme gehe wir davo aus, dass es ei Wort w gibt, das icht im Bild vo f liegt. Da v : v ll w T Σ#VU wu edlich ist, gibt es ei ll-kleistes solches w, etwa w. Wege f 9 λ ist w F λ, d.h. V w ist defiiert ud V w 5 ll w. Wege der Miimalität vo w gibt es also ei mit f V w. Also f ' P N V w 7 w. Widerspruch! ; Satz.8 erlaubt us die Wörter i Σ gemäß ll durchzuummeriere. Wir bezeiche mit ww ΣX$PY das ' -te Wort i Σ bzgl. ll, d.h. ww ΣX$PY f für f aus Satz.8 (ud wir schreibe w statt ww ΣX $PY, we das zugrudegelegte Alphabet bekat ist). Weiter köe wir w mit idetifiziere, d.h. w als Darstellug vo auffasse. Wege dieser Möglichkeit ud zur Vereifachug der Schreibweise werde wir i de folgede Abschitte meist statt ll schreibe. Für das uäre Alphabet stimmt w mit der übliche Uärdarstellug U Z vo überei. Für das biäre Alphabet Σ 2 stimmt jedoch w icht mit der übliche Biärzahldarstellug Bi überei (da führede Nulle i eiem Wort hier keie Eifluss auf de Zahlwert des Wortes habe). Es gilt jedoch Bi ' O w (s. Übuge). Hierbei ist Bi 5 ud Bi für eie Zahl wie folgt defiiert: Ist k m! i m 2 m mit i m "[ ud i k, so ist Bi i k i kq i. Nach der ausführliche Behadlug vo Wörter komme wir u zum Begriff der Sprache, die wir hier als beliebige Mege vo Wörter über eiem feste Alphabet auffasse.. DEFINITION. Eie Sprache L über dem Alphabet Σ ist eie Teilmege vo Σ. Zur Bezeichug vo Buchstabe, Wörter ud Sprache werde wir us a folgede Regel halte. Kleie Buchstabe a b c vom Afag des Alphabets reserviere wir für Buchstabe, kleie Buchstabe u v w x y z vom Ede des Alphabets für Wörter. Sprache bezeiche wir mit große (kursive) Buchstabe A B C 7, Mege vo Sprache, die wir auch kurz Klasse ee, mit große (ormale) Buchstabe A B C. Kleie Buchstabe k l m aus der Mitte des Alphabets werde i der Regel atürliche Zahle beschreibe. Die Mege aller Sprache über Σ ist die Potezmege vo Σ ud wird mit bezeichet. POWER Σ N L : L T Σ

7 K K K ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN 7 Da Sprache Mege sid, köe wir die übliche megetheoretische Operatioe verwede L L L 2 T Σ : L \ L 2 N x " Σ : x " L oder x " L 2 (Vereiigug) L ] L 2 N x " Σ : x " L x " L 2 (Durchschitt) L N x " Σ : x " F L (Komplemet) L L 2 N x " Σ : x " L x " F L 2 (Differez) L ^ L 2 L L 2 \ L 2 L (Symmetrische Differez) Daebe betrachte wir die durch Verkettug ud Iteratio iduzierte Sprachoperatioe: L L 2 xy : x " L y " L 2 L x x : x i " L d.h. L _ λ L L L 2 LL L L x x : x i " L a` b L L x x : x i " L a` b L Hierbei schreibe wir al statt a L. Die Kardialität oder Mächtigkeit eier Mege M wird mit M bezeichet. Für edliches M ist M gerade die Azahl der Elemete vo M. Allgemei sagt ma für Mege M ud M?, dass M ud M? gleichmächtig sid ud schreibt M M?, we es eie Bijektio vo M auf M? gibt. Etspreched bedeutet M M?, dass es eie ijektive Fuktio f : M M? gibt. I der Megelehre zeigt ma, dass M M? g.d.w. M M? ud M? ckd M gilt. M ist abzählbar uedlich, falls M ckd. M ist (höchstes) abzählbar, we M, d.h. we M edlich oder abzählbar uedlich ist. Offesichtlich ist jede Teilmege eier abzählbare Mege selbst wieder abzählbar..2 LEMMA. Für jedes Alphabet Σ gilt: (i) Jede Sprache L über Σ ist abzählbar. (ii) Die Mege aller Sprache über Σ ist icht abzählbar. BEWEIS. Kd Da L T Σ folgt (i) aus Satz.8, wo isbesodere gezeigt wurde, dass Σ. Teil (ii) zeigt ma mit eiem auf Cator zurückgehede Diagoalisierugsargumet. Offesichtlich ist POWER Σ uedlich, weshalb es zu zeige geügt, dass POWER Σ icht abzählbar uedlich ist. Wir gehe vo K ckd POWER Σ als Widerspruchsaahme aus. Da gibt es eie Bijektio f : POWER Σ Sa L : ", wobei L f. Ma defiiert u eie Sprache L T Σ durch w " L :* w " F L POWER Σ, d.h. für alle. Diese Diagoale L uterscheidet sich vo der -te Sprache L i dem -te Wort w, ist also icht i L : ", d.h. L " POWER Σ e L : " Widerspruch. ; Ma ka weite Teile der Vorlesug als eie Eiführug i die Theorie der Darstellug vo Sprache auffasse. Hierbei ist eie Darstellug eier Sprache ei edliche,

8 K ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN 8 eideutige Beschreibug derselbe. Edliche Sprache ka ma trivialerweise durch Aufliste aller ihrer Elemete darstelle. Z.B. L Solches direktes Aufliste ka jedoch sehr läglich ud damit umstädlich sei, sodass adere Darstelluge mituter vorzuziehe sid. So ist z.b. die alterative Darstellug L x " : x 24 x gerade kompakter ud mehr istruktiv. Hierbei hadelt es sich um eie explizite Defiitio vo L mit Hilfe eifacher mathematischer Begriffe. Bei uedliche Sprache muss ma stets auf Alterative zum Aufliste zurückgreife. Dabei köe Darstelluge ei ud derselbe Sprache sehr uterschiedlich sei (wie das Beispiel obe scho zeigt). Nebe explizite Darstelluge sid hierbei auch implizite Darstelluge (d.h. iduktive Charakterisieruge) iteressat. Ei Beispiel: Die Sprache L 2 w " Σ2 : # w # w ka auch auf folgede rekursive ( iduktive) Art charakterisiert werde: L 2 ist die kleiste Sprache L T Σ mit folgede 3 Eigeschafte: (i) λ " L (ii) Gehört w zu L, so auch w ud w. (iii) Gehöre v ud w zu L, so auch vw. Ma beschreibt hier also L 2, idem ma zuächst eie eifache Teilsprache vo L 2 (hier λft L 2 gemäß (i)) ud da Abschlusseigeschafte vo L 2 (hier (ii) ud (iii)) agibt (Beweis: s. Übuge). Diese Idee wird us sowohl bei Grammatike zur Beschreibug vo Sprache wiederbegege (hier werde die Grudaahme ((i)) durch Axiome ud die Abschlusseigeschafte ((ii), (iii)) durch Regel modelliert) als auch bei iduktive Charakterisieruge vo Algorithme. Algorithme selbst sid weitere Darstellugsmöglichkeite. So wird durch de folgede Algorithmus, der die Sprache L 2 erket, diese edlich ud eideutig beschriebe: Bei Eigabe w " Σ2 : Lege eie Zähler a ud iitialisiere diese ( : ). Da gehe w vo liks ach rechts Buchstabe für Buchstabe durch ud ikremetiere dabei de Zähler ( : ' ) beim Lese eier Null ud dekremetiere ( : ) beim Lese eier Eis. Ist ach vollstädigem Eilese vo w, so akzeptiere, sost verwerfe. Ma spricht hier auch vo eiem Etscheidugsverfahre für L 2. Eie adere algorithmische Charakterisierug der Sprache L 2 ka ma durch ei Aufzählugsverfahre für L 2 gebe (s. Übuge). Ei Aufzählugsverfahre für eie Sprache L gibt die zu L gehörede Wörter (i beliebiger Reihefolge) aus. Wir werde auf diese verschiedee Algorithmetype im ächste Abschitt äher eigehe.

9 ALPHABETE, WÖRTER, SPRACHEN 9 Utersuche werde wir meist icht eizele Darstelluge, soder Darstellugsweise. Eie Darstellugsweise g ist eie Klasse vo Darstelluge eies eiheitliche Typs zur Beschreibug vo Sprache über festem Alphabet. O.B.d.A. köe wir davo ausgehe, dass Darstelluge durch edliche Texte gegebe, also Wörter über eiem geeigete Alphabet sid. Bei Darstelluge des gleiche Typs dürfte da das Alphabet stets dasselbe sei, weshalb eie Darstellugsweise g selbst wiederum eie Sprache über eiem geeigete Alphabet ist. Mit Lemma.2 folgt, dass die Klasse L gh L D : D "ig D stellt L D dar der i g darstellbare Sprache abzählbar ist, also eie Darstellugsweise ie die Beschreibug aller Sprache über eiem gegebee Alphabet erlaubt. I der Praxis ergebe sich damit zwei kokurrierede Aforderuge a Darstellugsweise: - Mächtigkeit der Darstellugsweise: Eie möglichst große Klasse vo Sprache soll darstellbar sei. - Güte der Darstellugsweise: De Darstelluge soll möglichst viel Iformatio über die dargestellte Sprache effektiv ud möglichst effiziet etehmbar sei. Wie wir sehe werde, wird die Mächtigkeit eier Darstellugsweise stets auf Koste dere Güte (ud umgekehrt) gehe. Typische Merkmale für die Güte eier Darstellugsweise g (für Sprache über dem Alphabet Σ) sid die Komplexität der folgede Probleme: - Wortproblem für g : Stelle für gegebees D "dg ud w " Σ fest, ob w i der vo D dargestellte Sprache L D liegt. - Äquivalezproblem für g : Stelle für gegebee Darstelluge D D? "jg fest, ob diese dieselbe Sprache beschreibe, d.h. L D L D? gilt. Ählich betrachtet ma das Korrektheitsproblem ( Ist L D k L? für vorgegebees L), Leerheitsproblem ( Ist L D l /? ), Edlichkeitsproblem ( Ist L D edlich? ), Durchschittsproblem ( Ist L D ] L D? /? ) etc. Ma sagt, dass solch ei Problem lösbar ist, falls es eie Algorithmus zur Beatwortug der zugehörige Frage gibt.