Lösungen. Mathematik II

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1 Lösungen Mathematik II Geometrie für die Berufsmaturität. Auflage August 0 hep verlag ag

2 PLANIMETRIE Winkel Lösungen zu Übungen. a) 80 β = α + γ b) ϕ = 80 β. a) α = 7 b) α = 05 ; β = 0 c) α = 5 d) α = ; β =. α = 0. ε = a) α = 58 ; β = ; γ = 6 b) α = 0 ; γ = 76 c) α = 6 ; β = d) α = 6 6. a) β = α ; β = b) β = α ; β = 5 7. a) ε = 80 α b) 8. a) = α + β ε = ε = 80 ε 00 b) γ c) ε = 0 ; parallel d) kein Schnittpunkt, nicht Lösungen zu Übungen parallel 9. a) γ = α + α' ; ϕ = α + α' b) Formel aus a) gilt c) γ + δ = 80 allgemein 0. a) α = 9 b) β = 5 c) γ = 5 d) δ =. β = 90 α. a) α =. 857 b) β = 6 hep verlag ag

3 Dreiecke Lösungen zu Übungen. a) Lösung b) unendlich viele Lösungen c) Lösung d) Lösung e) Lösungen f) Lösung. Konstruktionen. Konstruktion. Konstruktion 5. a). cm b) 6.96 m 6. a) h = 56 cm; h = cm b) c =. 5 m a Lösungen zu Übungen b 7. a) h =. 078 m b) 8. h =. m a 9. a) x = 0. 96m b) cm. A = cm..a. a =. 9r a h a = a x =. a = rs 5. h =. m 6. h =. 6 cm 7. b =. cm 8. a) Halbkreis: Durchmesser teilen : 5 b) Halbkreis: Durchmesser teilen : Lösungen zu Übungen 5 9. a h = ; 0. b = a A = a. a) c = 0 cm; b = cm b) c = a ; b = a hep verlag ag

4 . a) a A = b) c) A = ρ r A =. a) A = 0. 75m b) A = 0. 50m c) A = 9. 6 m d) A = 8 cm. A = a ( + ) 5. a) A = s ( ) b) U = 8s( ) 6. A = a ( + ) 7. A = c ( ) 8 8. x = cm 9. s = 5 cm 8. 9 cm 0. x = 0. 7 cm; x = 0. cm. a = 5 cm 8. 08cm. A = 5 cm. 0cm. a) d = 8. 8 cm b) d = 6 cm. a) a r = b) 8 a r = c) 6 a r = 7a d) r = 6 5. x = a 6. a) =. h cm b) h = ( d d b ) 7. s = a ; k = a 8. = + k a b + 9. a) h =. 6dm b) 0. a A = c a 6 h =. AB = a 5 ; AC = a ; BC = a (Pythagoras) hep verlag ag

5 Viereck und Vieleck Lösungen zu Übungen 6. a) e f A = a ha b) A = c) A = m h. a) A = 6cm b) A = 8. 8 m c) A = 0. 5cm. a) A = ' m b) A = 7. 5 cm c) A = m. a =. 8 dm; b = 5. 6 dm 5. a) A =. cm b) A = 0 cm 6. b =. 8 cm 7. a) A = 70 cm b) A = 9. 58cm 8. a) A = 57. mm b) A = 60 cm 9. a) A = 5 cm b) A = 9. 8cm 0. x = cm. a) 8cm b) s A =. ( a b) A =. A = 7 cm. x = b 5. a) x = 6. cm b) x = cm Lösungen zu Übungen 7 6. Der Peripheriewinkel ist halb so gross wie der Zentriwinkel über der gleichen Sehne. 7. MAP MBP, rechtwinklig, Kathete r und Hypotenuse MP gemeinsam 8. Skizze 9. a) A = 9' 688 mm b) A = 9. 0 cm 0. A = 680 cm. α = 00 ; β = 80. l =. 97r. b = c = r = 9 cm. a) gleichschenkliges Tapez b) Rechteck 5. x = cm 5 hep verlag ag

6 6. a) keines b) n > -eck 7. a) 60 ϕ = ; α = 80 ϕ b) n 8. n ( 80 β) = r = 5 cm; ρ =. cm; A = cm 0. α = 77. ; β = ϕ = ; α = 80 ϕ n. a) α = 7 b) β = 75 ; γ = 5 Kreis und Kreisteile Lösungen zu Übungen 8 U. A = π π π. a) A = a ; U = a( + π) b) A ab c) A = r π ; = r( π + ). A =. 97 cm ; U = cm. a) A = s ; = s π( + ) = a 8 5. A ( π ) 6. a) = ; U = π( a + b) a U d) = ( π) A ; U = a ( 9 + π ) U b) = s ( π + 6 ) A ; π U = s π A = a ; U = a π b) A s : A w = : 7. A : A : A = 9π : π : Q D K π A = a KR A = π s x = r 5 0. ( ). A =.r ( ) 6 hep verlag ag

7 Lösungen zu Übungen 9. a) A =. 09 cm b) α = 7. 6 c) r = 5. 6 cm. α = b = s π π 5. a) A = s ; U = s π c) π s A = a + ; U = π d) 6. a) = r ( π + 6) c) 7. a) A ; = r( π + ) R A = π ; U π R U b) π b) A = s ; U = s π s π A = ; U s π = π A = a π + ; π U = a = d) = s ( π ) A = r b) 5π 8. A = r + + π + 9. A = a 0. b b : : = A ; π U = s + A = r π s π s π. a) A = A = + b) U = + ; 8 U = s ( + π ) 7 hep verlag ag

8 5 Zentrische Streckung und Ähnlichkeit Lösungen zu Übungen 0 SA = oder SA : SA' SA : ( SA + AA' ). Es gilt: : AA' SB : BB' = oder.... a) f = 6 cm b) e = 6 cm c) a'= 8 cm d) b'= 8 cm. f =. 5 cm; e = 9 cm; A = 5 cm. ( c b) a x = ; b 5. x = cm 6. x = 5 m 7. a) 8. x = 0 m cd y = ; b ADE be z = c b bc a = b) a = 95 m d b 9. m a parallel zu a 0. u =. 9cm; v = 7. 5 cm; x = cm; y = 9. cm. x = 5. 8cm. CS : CD = SM c CD :. AMS 6.67% ; ASC.% ; MBN 5% ; MNS 8.% ; SNC 6.67%. a) A = 8. cm b) A = 7 cm 5. h = 7. cm Lösungen zu Übungen 6. Der Peripheriewinkel ist halb so gross wie der Zentriwinkel über der Sehne BD. 7. h : q = p : h 8. a) AEF ADC BEC DEC b) AED BEC ; AEB ABG 9. a) ACH ABG b) ACH ABG 0. Alle Winkel gleich.. AC : CD = AE : EB. β = α. A'= 60 cm 8 hep verlag ag

9 . a) 5. U '= 5 cm A : A' = : b) 6. U = cm; U '= 0 cm 7. x =. 8 cm 8. a) Flächenabnahme um 6%; Umfangabnahme um 0% b) Flächenabnahme um p ( 00 p) % a) l = m; b = 0. 0 m; m = 50 b) l5 = 0. m; b = m; m = g V : V ' = : ; Umfangabnahme um p% 0. a) 70.7% b).%.. a) c) 00 % a A = 9 s. A A 9 :. 5. A s = b) : = p = ab s = a + b ( a + c ) g A s = 6. a) A = 9 cm b) A =. 9 cm 7. a) 8. : A = : 0 A s s ab A s = b) 6 A ab A s = 0 9. a) F : F = a : c b) F = F 0. a) beim Kreismittelpunkt b) Streckungsfaktor c) A A : : =. r = cm. a) A = b) a n a 9 hep verlag ag

10 Lösungen zu Übungen. Konstruktionen. Konstruktionen 5. Konstruktionen 6. ΔABC gleichschenklig; ΔAPC gleichschenklig; ΔBAP gleichschenklig 7. x = 0. 9 cm; x 8 =. 9cm; x 8 =. 888cm 8. AB : BE = : ( 5 ) 9. a) ACD DQC QPD ; gleichschenklig, Basiswinkel b) AD : DC = DC : DQ ; AD =.68; DC = ; DQ = = 0 hep verlag ag

11 TRIGONOMETRIE 6 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Lösungen zu Übungen. a) b). 70 c) a) 8.0 b) 7 c) a) b) c) a) b =. 9 cm; c = 7. 7 cm; β = 7. 5 b) a = m; b = m; α = c) a =. 60m; c = ; α = 5. 8 d) a =. 686mm; c = 66.09mm; β =. 07 e) a = cm; b =. 5 cm; β = 0. 7 f) b =. 0 mm; 5. a) b). 000 c) c = 9. mm; α = a) β = ; c = dm; a = 7. 9 dm b) α = 7. 5 ; b = 5. 7 m; a = m c) α = 0. 67; c = cm; b =. 60cm d) β =. ; a = 9. dm; 7. a) b).09 c) 0.6 b = dm 8. a) β = 5. 5 ; c = m; b = 5. 80m b) β =. 7; a = 5. 9mm; b = 7.96 mm c) α = ; c = mm; b = mm d) β = a =. 89dm; c =.67cm e) α = 8 ; b = 6. 56m; a = m f) α = 7 ; a = 55, 79 c = cm cm; hep verlag ag

12 9. a) a a a b = b) + = c c c c a + b = c b a c) = c c b = c a d) a + = b a + b = b c c 0. a) 5 b) + c) d) Lösungen zu Übungen. a) π 0 6 b) c) a) b) β = nicht definiert c) a) b) c) a) δ = 0 b) δ = c) δ = d) π δ = = 5 e) δ =. 996 f) δ = a) α = ; b = m; β = 8. 7 b) α =. ; β = ; c =. 8 dm c) c = 8. cm; a = cm; α = 7 d) α =. 8 ; β = ; b = 8. 7 mm e) a =. 65 m; b =. 8 m; β =. f) α = ; β = ; a = 7.8 m g) α =. 8 ; β = 8. 9 ; b =. 6 cm h) nicht definiert bzw. unendlich viele Lösungen i) c = mm; a = mm; β =. 6 j) α = 66. ; c =.57 m; β =. 868 hep verlag ag

13 Lösungen zu Übungen 5 6. a) α = 5. 7 b) α = c) α = 5 7. a) a = 7.6% b) a = 6.% c) a = 7.78% 8. a) α = % b) α = % c) α = % 9. c = 7. m 0. c = α = a) a = 6. cm; b =. 905 m b) a = cm; b =. 96 m m ϕ ϕ ϕ c) α = ; a = e cos ; b = e sin. Winkel zwischen Seite und Diagonale: α =. 85 ; β = Winkel zwischen den Diagonalen: γ =. 0 ; ϕ = γ = 0 ; h = mm c = 5. mm; A = mm c 5. ϕ = ; b =. 06 cm; A = cm 6. A =. 55 cm 7. α = a) α = b) β = a) c) ϕ = bzw h r = b) r = tan α 0. a) x =. 99 cm b) x =. 5 c) x =. 9 cm d) x = α = α = 5. ; F = 5 N. F 569 N; F = '50. N Re s =. β = 8. 5 ; l =. 87 mm. x = m R 5. a) α = 8. 6 b) 6: Uhr bzw. 7:6 Uhr 6. x =. 6 m 7. x = m 8. Distanz = 9. 6 m; Höhe = 0. 5 m m cm cm cm hep verlag ag

14 0. y = m. h =.56 m; b =.05 m. v = 7. km/h; b = 55. km 7 Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck Lösungen zu Übungen 6. a) b) c) 0. 8 d) e) f) a) 0.87 ;59. 5 b) ; c) 5.8 ;. 58 d) ;59. 7 e) 87.6 ;67. 6 f) ;. 0. a) b) c) = d) =. a) f < b) f = c) f < d) f > 5. a) f > b) w c) w d) f = 6. cos90 = 0 ;0 γ < 90 abcos γ negativ; 90 < γ 80 ab cos γ positiv 7. a) sin ϕ = cosϕ b) sin ϕ = cos ϕ c) + tan ϕ = d) cos ϕ 8. α = 0 : 0 0 α = 90 : 0 undef. α = 80 : 0-0 α = 70 : - 0 undef. 9. a) + tan ϕ = cos ϕ 60 = s 60 r tan U = tan(0 ) b) U = n tan 6 n hep verlag ag

15 Lösungen zu Übungen 7 0. a) γ = ; b = cm; c = cm b) γ = 8. ; a =. 09 cm; b =. 0 cm c) β =. 557 ; α =. ; a =. 557 mm d) γ = 7. 9 ; α = ; c = m oder γ = ; α = ; c = m e) α = 9. 7 ; γ = ; a =. 8 km oder α = ; γ = 7. 7 ; a =. km f) α = ; β = ; a = dm; c =. 76 dm. a) γ = 80 α β ; b) α = 80 β γ ;. U = 0. 8 cm. w = mm α sin α = b sin γ a ; c = a sin β sin α a sin β a sin γ b = ; c = sin α sin α. a) tan( 0 ) = b) tan( 5 ) = Lösungen zu Übungen 8 5. a) α = 5. 9 ; β =. 0 ; γ = 8. 5 b) α = ; γ =. 0 ; a =. 0 mm c) c =. 55 m; α =. 86 ; β =. 8 d) γ = ; α =. 67 ; β = a) α = ; β = 7. 9 ; a = 9. 78cm; c =. 60 cm b) γ =. 7 ; c = m; β = ; b = m c) α = ; a = cm; β = ; γ = d) γ = ; b = m; a = 8. 9 m; c =. 77 m e) a = cm; c = cm; α = 5. 7 ; β = f) a =. 69 mm; α = 7. 5 ; b =. 807 mm; γ = 8. 7 ; c =. 987 mm 5 hep verlag ag

16 a + b c 7. a) a sin γ γ = cos ; α = sin ; β = 80 α β ab c a sin β b) b = a + c ac cosβ ; α = sin ; γ = 80 α β b 8. a) b =. 68 m; β = b) α = ; β = c) a = mm; α = 0 9. a) c =. 76 mm; d = mm; γ = 0 ; δ = b) α = ; β = 5. 8 ; γ = ; δ = c) b = 9. 6 m; d = m; α = 8 ; β = a = cm; b = cm; c = a) U = dm; A = dm b) U = 8. 9 cm; A = cm. α = 8. 9 ; β =. 586 ; γ = bzw... h =. 87 m 5. V = 9. m w 6. t =. 7 min 7. h = m cm 8. PQ = m 9. S S m = km. x =. 08. x = cm b. x = ( tan α) 6 hep verlag ag

17 Lösungen zu Übungen 9. A = pq sin α 5. a) A = pq = 0 cm b) / c) für α 90 : Dreiecke mit gleicher Fläche 6. a) A = m b) A = dm 7. γ =. 5 ; γ = ( es gibt immer Lösungen) 8. c =. 705 dm; b =. 5 dm 9. a) A =. 5 cm b) A = cm c) A = cm d) A =. 506 cm s s π arcsin sin arcsin r e) A = r 80 s π α f) A = sin α α 80 8sin 0. A = 6. 5 cm. A = cm. A = m. A =. 66 cm. A = 9. 6 mm 5. A = 6. 5 cm 6. A =. 799 mm 7. A = mm r 8. s =. 9 cm; ru = cm; A0 = cm 9. a) c) a n A n = 80 tan n A n ρ = 60 n sin n 80 b) A n = r n tan n 7 hep verlag ag

18 8 Trigonometrische Funktionen und ihre Graphen Lösungen zu Übungen 0. sin x co s x tan x Def.meng e Wertemeng e Periodenläng e Symm.achse n Symm.zentren π R y π x = + n π x = n π, y = 0 R y π x = n π R \ x + n π π x = + n π, y = 0 R π keine x = n π, y = 0. sin x cos x tan x Nullstellen Rel. Minima Rel. Maxima n π π π + n π + n π + n π π π + π n π n n π π x = + n π, y nicht def. π x = + n π, y nicht def.. a) sin 50 = sin 0 = b) c) tan 5 = tan 5 = d) sin 00 = sin 60 = e) f) tan0 = tan 60 =. a) π x = b) c) π x = cos 0 = cos0 = cos5 = cos 5 = π x = 8 hep verlag ag

19 5. a) cos x b) sin x c) sin x d) cos x 6. a) cos x b) 0 c) d) e) 0 f) cos x Lösungen zu Übungen 7. a) Graph b) Jeder y-wert wird verdreifacht. c) Jeder y-wert wird halbiert. d) Spiegelung an der x- Achse. 8. a) Graph, Periode π b) π Graph, Periode c) Graph, Periode π d) Graph, y = cos ( x) = cos x 9. a) Graph b) Verschiebung um π nach π c) Verschiebung um nach links (negativ) 0. a) Graph b) Verschiebung um + in y-achsenrichtung nach oben c) Verschiebung um - in y-achsenrichtung nach unten. a) h) Graph π. a) = sin x + rechts (positiv) y b) y = sin( x). 5 π π c) y = sin x + d) y = sin x + + π 5π. a) y = cos x b) y = cos x + 6 π y + d) y = cos x c) = cos( x) π x. a) y = tan x + b) y = tan 5 9 hep verlag ag

20 π 5. y = sin x + + strecken mit Faktor in y-richtung; strecken mit Faktor in x-richtung; π schieben um nach links; schieben um Einheit nach oben; H ( π / ), T ( π / ) 6. 5 π y = cos x strecken mit Faktor in x-richtung; 0 5 π schieben um nach rechts; schieben um nach unten; ( 0. / 0.5) 0 T (.57 /.5) H, Lösungen zu Übungen 7. a) p =, a =, Q(0; ), x 0 = b) Graph 8. a) p = 6, a =, Q(0; 0), x 0 = b) Graph 9. a) p = 8, a =, Q(0; 0), x 0 = b) Graph c π 0. a) N n π / 0 ; Abstand: b b c b) Amplitude: wird verdoppelt; Lage neu: N n π / 0 ; Abstand: wird b halbiert c c) Amplitude: wird halbiert; Lage neu: N n π / 0 ; Abstand: bleibt b d) Amplitude: bleibt; Lage: bleibt; Abstand: wird verdoppelt e) a > Streckung vertikal; 0 < a < Stauchung vertikal b > Stauchung horizontal; 0 < b < Streckung horizontal T = s; t0 0 5 = 0. s; f = 5 Hz; ϕ = V. a) A = V; b) U = 6. 5 c) U = 6. 5 V d) x = s e) x0 = 0. 0 s I = 0 sin 00 π t. ( ). P ( t) = 0 sin π t + π 0 hep verlag ag

21 9 Polarkoordinaten Lösungen zu Übungen. Graph. A = (; 60 ), B = (6; 50 ), C = (; 0), D = (; 5 ). a) P = (0; 5. ) b) P = (7.80; 5.95 ) c) P = (5;. ) d) P = (5.85; 8. ). a) P = (9.9; 5.89) b) P = ( 5; 5) c) P = (0; 7) d) P = (.8;.78) 5. B = G; D = F; E = K = H 6. a) d = b) d = 9. Lösungen zu Übungen 7. a) r(φ) = cos φ sinφ b) r(φ) = cos φ+sin φ 8. a) f(x) = x + b) f(x) = x 5 9. a) r(φ) = 6 sin φ+cos φ 0. g : r(φ) = ; g sin φ+cos φ (x) = x g : r(φ) = sin φ cos φ ; g (x) = x + g : r(φ) = ; g sin φ+cos φ (x) = x +. a) Graph b) Kreis b) r(φ) = c) Die Grösse ändert sich; k = r Kreis d) Graph für k = a ist deckungsgleich mit dem Graphen für k = a. a) Graph b) Gerade c) φ = π 6 d) Steigung der Geraden. a) Graph b) Spiegelung an der y-achse c) Grösse der Kurve ändert sich; P = (a; 0 ); Q = (a; 90 ). gleiche Form, aber die Kurve ist um 90 gedreht 6 sin φ cos φ hep verlag ag

22 5. a) Kardioide b) Graph; die Kurve ist jetzt "eingerollt" c) Graph; die Kurve hat nur eine Delle, aber keinen Einschnitt d) Graph; die Kurve hat keine Delle, ist aber auch nicht ganz ein Kreis 6. a) Graph b) für ungerade n: n Blütenblätter; für gerade n: n Blütenblätter c) n = d) Graph; die Länge der Blütenblätter ändert sich, a ist die Länge der Blütenblätter e) Spiegelung an der y-achse gegenüber betragsgleichem n (für gerade n: deckungsgleich) Lösungen zu Übungen 5 7. a) Graph; Windungsabstand entspricht a π b) Windungsabstand immer gleich (bei der logarithmischen Spirale wird er immer grösser) 8. a) Graph; Windungsabstand wird mit grösser werdendem a schneller grösser b) Windungsabstand ist nicht immer gleich c) Abstand der Windungen vergrössert sich noch schneller 9. a) r(0) = b) Graph; je grösser b ist, umso enger ist der Windungsabstand c) r(φ) = e φ b ln = e ln b φ 0. a) Graph; Umkehrfunktion der logarithmischen Spirale, deshalb ändert sich der Windungsabstand auch, aber von breit zu immer schmaler (also umgekehrt wie bei der logarithmischen Spirale) b) je kleiner der Betrag von a ist, um so enger ist die Spirale gewunden; negative a verursachen eine Punktspiegelung der Spirale am Ursprung des Koordinatensystems c) für φ zwischen 0 und windet sich in der Gegenrichtung eine logarithmische Spirale ins Zentrum. a) Graph b) asymptotisches Verhalten (Asymptote bei y = a), Zentrum wird nie erreicht, Windungsabstand ändert sich noch schneller als bei anderen Spiraltypen. a) nein: ist nicht mit einer Gleichung beschreibbar, jeder Viertelkreis müsste separat beschrieben werden b) entspricht am ehesten einer logarithmischen Spirale; passt im Zentrum eher schlecht, an den Übergängen zwischen den Quadraten am besten c) a n = a n + a n (Fibonacci-Zahlenreihe) d) Annäherung an φ; umso näher, je höher das Verhältnis in der Fibonacci-Reihe steht hep verlag ag

23 . Streckfaktor zwischen den äussersten beiden Nullstellen:.8 k = ln.8 π r(φ) = e ln.8 π φ 0 Goniometrie Lösungen zu Übungen 6. a) cos α b) sin α c) d) sin α e) sin α f). a) cos α = 0. 8; tan α = 0. 6 b) sin α = = ; 5 tan α =.9 c) sin α = 0. 9; cos α = Lösungen zu Übungen 7. sin ( α + β) = sin α cosβ + cos α sin β = AD SD. a) cos ( ) = sin( 0 ) = = b) sin ( ) = sin( 90 ) = 5. a) ; ; 6 ; ; b) ; ; ; ; ; a) sin α cosβ b) sin α sinβ c) tan α tanβ d) tan α + tanβ hep verlag ag

24 Lösungen zu Übungen 8 7. a) tan α b) tan α c) d) 8. a) cos α sin α cos α = cos α cos α b) c) sin α cos α 8sin α cos α 9. a) z.b. α = 0 : tan α tan tan α α d) 8sin α cos α b) z.b. α = 0 : 0. a) b) c) d) a) sin α cosβ cos γ + cos α sin β cos γ + cos α cosβ sin γ sin α sin β sin γ b) cos α cosβ sin α cosβ sin α cos α sin β. a) + 6 b) 6 c) + d) 6 e) 6 f). a) cos α + sin α c) tan α + tan α + ( ) ( ) d) cos α sin α. a) 0 b) - b) ( sin α + cos α) 5. a) α sin = cosα b) α cos = + cosα c) α tan = cos α + cos α hep verlag ag

25 Lösungen zu Übungen 9 6. a) L = { 5 ; 5 b) L = { 7 ; 5 c) L = { 68. ; 8. d) L = { 50 ; 70 e) = { 67 ; 7 L f) undef 7. a) L = { 5 ; 5 b) L = { 5 ; 5 c) L = { 0 ; 90 ; 80 ; 70 ; 60 d) L = { 0 ; 80 ; a) L = {.05 ; b) L = { 69.7 ; 9. 7 c) L = { ; 7. d) L = { 85.5 ; 9.5 ; 7.5 ; a) L = { ; b) L = { 66. ; c) L = { 5.0 ; d) L = { ; a) L = { ;. 0 b) L = { 5.0 ; ;.0 ; c) L = { 0 ; 5 ; 80 ; 5 ; 60 d) L = { 0 ; 50. a) L = { 5.6 ;.76 ; 5.6 ;. 76 b) L = { 5. ; ;. ; c) L = { 5 ; 5 ; 5 ; 5 d) L = { 90. a) L = { 0 ; 60 ; 80 ; 00 ; 60 b) L = {.7 ; c) L = { 0 ; ;80 ; ; 60 d) L = { ; a) L = { 60 ; 0 ; 0 ; 00 b) L = { 90; 70. a) b) x π 5π = ; L y = 7π π 9π π = ; ; ; L ; { L ; L = { 0.5 x c) L x = { ; L y = {.866 d) L = {.9;5. ; L = {.5 x 5. a) L x / y = { 0 / 0; π / 0; π / 0 b) L = { /.50;.6 /.50 x / y y y 5 hep verlag ag

26 STEREOMETRIE Grundlagen Lösungen zu Übungen 0. a) Skizze b) z.b. AB // CD ; AG BH ; AB = BA; ABC // EFG ; ABC = BCD ; ABD CGF. a) schneiden sich b) sind windschief c) 8.90 d) a) 5 b) c).5 Prisma und Zylinder Lösungen zu Übungen. a) V = 900 ; S = 770 b) d) V = 06 ; S = 9. cm V = 0b ; S = b c) V = c ;. a) nein b) 568 cm c).807 kg. a 5. a) 6. a) k V = b) 9 n b) S = k c) l = k n d) 7; 7 ; 7. a = 0. m; b = m; c =. m 8. l = 6.57 cm; b = 8.89 cm; h = 0.87 cm c) n S = 8c 9. a) Skizze b) 0. 0%. 5.88%. 9.0% kg. d = dm a A = 6 hep verlag ag

27 5..08 cm 6. a) 9 m b) 8.06 m Lösungen zu Übungen 7. V = cm ; S = 5.6 cm 8. V = 0.6 cm ; S = cm 9. 5 = s = 7a ; h = a. V 9 = s ; S = s ( + 9). s = a. a) Prisma b) a. V = s sin α 5. a) wird kleiner b) % 6. a) = a ( + V ) ; = a ( 9 + ) V = c) S = a + S b) V = b ; S = b 5 ( 6 + ) cm 8. a) Skizze b) 5.56 cm 9. a) 9.97 m b) m c).55 m Lösungen zu Übungen 0. V = π r..0 m. r = a π. + 50%. 6.% 5. V = 08.7 cm ; S = 580. cm 6. = π V a ( π) ; S = a ( ) cm cm 7 hep verlag ag

28 9.. cm 0. da = 5.8 m; d i =.6 m. a) V = 6.90; = S b) V = r ( ) π ; S = r ( 6 + 6π ) c) V = 7c ( 00 9 ) π ; S = 90c ( 7 ) π d) π V = d ( + ); ( ) S = 6d + π Spitze Körper Lösungen zu Übungen. a) cm b) cm c) cm d) 86 cm. a) = a S = a + 6 b) V = cm ; S = 7.8 cm V ; ( ) c) V = a = cm ; S = a = cm. a) cm b) 6.88 cm c) cm d) 5.8 cm. a).88 dm b).699 dm 5. a) 6.5 cm b) 0.96 c) a) 0.85 cm b) 67.8 cm 7. s =.0 cm; h = 0.66 cm cm bzw..78 cm V = b) S = a ( + ) c) = a( + ) a 9. a) 6 k tot 0. a) Kanten à 5 cm, Kanten à 6.5 cm b).76 cm c) V = 0 (flach). S = a ( + ). a V =. a) Skizze b).86 cm c) cm cm 8 hep verlag ag

29 5..09 m 6. = a ( ) V + ; S = a ( ) 7. a) V = a ; S = a b) 6.7 cm 8. V = a ; S = 6a Lösungen zu Übungen cm 0. a r = π. a) 6.6 m b).0 m c) 8.87 m. S = 9.08 cm ; V = 68. cm. a) 6.5 mm b).7 mm..80 cm 5. h =.08 cm; d =.778 cm 6. m =.5 cm; ϕ = ; b = cm 7. a) h = cm; d = cm; m = 6.0 cm b) 9.6 kg cm Stumpfe Körper Lösungen zu Übungen 6. a) V = 98.69; S = b) + V = 0.68 = b b ; S =.9b. V = 87 cm ; S = 7. cm. a) 8.97 cm b).80 cm c) 57. cm d) 5 cm cm x.8 cm 6. a) x =.7 cm; A = 90.7 cm b) x = 6.66 cm; A = 57.6 cm 7. 0,667 a 9 hep verlag ag

30 m 9. V = 7 = a 0. 90a ; S = a = 9 5.7a 0. a) 5 cm b) 6.9 cm c) cm. 0.8 g/cm. a) cm b) 9.09 cm Lösungen zu Übungen 7. a) 8'97.8 cm b) '.9 cm c) cm cm 6. V = 0.9 a ; S = 6.9 cm 7. a) 0.87 g/cm b) 0.5 g/cm 8. a) 7.00 cm b).59 cm 9. h = cm; V = 70 ml g bzw g 5 Kugel und Kugelteile Lösungen zu Übungen a) km b) t. 886 Stück. V = 78.0 cm ; V = 0.89 cm cm 6. = d h 7. r =.7 cm; m = 7.6 cm 8. d z = 0. 86d ; M =.565d % 0. a) cm b) : hep verlag ag

31 . a) S = a π b) :.90 c) cm. a) cm b) 9.99 cm. c) cm V z r = π. a = cm; V = 576 cm 5. a = r cm 7. a) m b) 8.0 kg 8. a).097 cm b) 0.68 g/cm a dm. a) :.698 b) :.90 Lösungen zu Übungen 9. a) b) c) d π = 0.055d 750. G = 8.9 cm ; M =.06 cm. a) cm d S = π d h + h + h h ( ) b) ( ) d) ρ π = 0.5ρ cm g dm m 9. Tropen: 9.875%; gemässigte Zonen: 5.8%; Polarzonen: 8.9% g. a + r a) b) a ( ) d b π. a) V = b).66 cm 6 hep verlag ag

32 VEKTORGEOMETRIE 6 Vektorbegriff und Vektoroperationen Lösungen zu Übungen 0. a) AB = DE ; BC = EF ; CA = FD ; AD = BE = CF b) AB = BC = CA = DE = EF = FD ; AD = BE = CF. AB = ED ; BC = FE ; CD = AF. a) c = ; ϕ = b) c =. 50 ; ϕ =, c) c =. 70 ; ϕ = Lösungen zu Übungen 5. Skizze 6. a) b c 6 = b) a = ( b c) a c) = b + c a a) wahr b) falsch c) wahr d) wahr e) falsch 8. r a = a b, r b = 5 a + b, r c = a b ; Skizze 9. CE = a b + c ; AS = a + b ; CM = a + c ; HS = a b c BM = a + b + c ; MS = b c 0. a) BF b 9 = 0 0 c b) AF = 5 AE c) 9 BF = 0 BD. AE = c + h ; AF = a + c + h ; BM = a + h ; MA = a c h. HQ = b + c, AC = a b + c, PF = a b + c. a) abhängig b) unabhängig c) unabhängig d) abhängig e) unabhängig f) abhängig (mehr als Vektoren). a) unabhängig b) abhängig c) unabhängig d) abhängig e) unabhängig f) EF = CD abhängig 5. AM = MC und BM = MD ; hep verlag ag

33 6. c = a + b ; = a b + c 7. m = ( a + c) M 8. BS = SM b 9. b = (5; 5. ), c = 7; 60.5, d = ; 5 7 Komponentendarstellung von Vektoren Lösungen zu Übungen. A(;); B(-;); C(-;-). Skizze. a =, b =, c = 5 5, d =, e =, f = 0, g = 0, h =. Skizze 5. A (;9); B (0;0); C (-.5;-6) 6. 0 a = 7. A (-;-); B (;0); C (-.5;6) 8. a) b = b) b = 9. a) a = 6 = b) b = 5 7 = OA = 5; OB = 0 ; OC = 9 = Lösungen zu Übungen. A(;;0); B(0;;-); C(;0;). Skizze. a) x = 5; y = ; z = b) x = ; y = ; z =. Skizze 5. a) E = (; ; 0), F = (; 0; ), G = (0; ; ), H = (; ; ) b) (;0;0), (;;0), (;;0), (0;;0), (0;0;0.5), (;0;0.5), (;;0.5), (0;;0.5), (;0;), (;;), (;;), (0;;) c) (;;0), (;0;0.5), (;;0.5), (;;0.5), (0;;0.5), (;;) d) (;;0.5) 6. B = (; ; 6) hep verlag ag

34 6 7. a = a) A = (; ; ) b) A = ( ; ; ) c) A = ( ; ; ) d) A = ( ; ; ) 9. a) a = 7 b) b = 9 0. OA = 9 ; OB = 9 ; OC = 6 = z = ± 6. a) b) c) 0 a ' = 0 ; 0 0 a ' = 0 ; 0 a ' = 0 ; b ' =.70 ; 7.07 c ' 6.57 b ' =.70 ; b ' = 0.7 ; c ' 5.77 = c ' 5.77 = = d) a ' = 0 ; b ' = 0.7 ; c ' = Lösungen zu Übungen. a) AB = b) AB = c) AB = 6 d) AB = 5. y = ; y = 6 5. a) b) a) 5.85 b) a) 6 5 c) 5 e) b) 0 d) 0. 5 f) d = 8 hep verlag ag

35 8. a) b) c) d) d = 6 ; d = 9. a) d = b) d = 0.5 c) d = 7 7 d) d = a). y =5. 5 b) b = ; b = ; c = ; c = 6 ; c = b = ;. S (8;8); S (;-); S (-;0) c = 6. AB = DC ; BC = AD 5. C(0;;9); D(-;-6;5) 6. AB = BC = CA = AD = BD = CD 7. a) P (;0); P (0;) b) P (-.;0;0); P (0;-5.67;0); P (0;0;5.5) 8. P (;0); P (7.;0) 9. P (0;.870;0); P (0;6.880;0) 0. a) ja (linear unabhängig) b) nein (kollinear). a) ja (linear unabhängig) b) nein ( a / b kollinear) c) ja (linear unabhängig) d) nein (linear abhängig). a) d = a b b) d = a b + c 0. a) = c) d) 0 b) = = = hep verlag ag

36 . a) e a = b) e b = c) e c = 0.08 d) 0.85 e d = Das Skalarprodukt Lösungen zu Übungen 5. a) 5 b) = c) - d) 7 e) f) -. a) 0 b) 5 c) 9.76 d) 90 e) 75.8 f) 9.8. a) 80 b) 60 c) 9.88 d) 90 e) nicht lösbar in G = R f) ϕ = 0 ; ϕ = 60. a) α =. 5 ; β = 5. 5 ; γ = b) α = ; β = ; γ = α = ; β = 90 ; γ = ; δ = bzw a) n = b) n ; n = = c) n = n = 8. AMB = ; FMG = a) 60 b) 90 c) 60 Lösungen zu Übungen 6 0. a) -6 b) 8 c) 8 d) hep verlag ag

37 . a) skalar; b) skalar; 0 0 c) vektoriell; d) skalar; e) undefiniert f) skalar; 8. a) a b = a b b) 6ab b c) n a + nb d). ( a b + a b ) ( a a + a a )( b b + b ) b 9a ab + b Lösungen zu Übungen 7. a) w = 0 w b) ( a + b)( a b) = 0 α β c) a = b c ; c b = c b cos α 5. a) a + b = c ; a b = 0 b) a = h p ; b = q + h c) zusätzlich c = p + q 6. AB = DC ; BC = AD ; AB BC = a) ; b) ; ; a) -5 b) 0. x = 6; z =. ( y =. 5; z =. 5); U = ; A =. 5; ( 75 z 75 = 0. ); A =0.56. P (0;0;); P (0;0;-). a) -0.5 b). a + c = b 7 hep verlag ag

38 Lösungen zu Übungen 8 5. a) ϕ x = ; ϕ y = b) ϕ = ϕ y = ; ϕ = z x ; c) ϕ x = ; ϕ y = 90 ; ϕ z = 8. 5 d) ϕ = ϕ y = ; ϕ = z 6. P (9.6;0;0); P (-7.6;0;0) 7. ϕ = z a = ; a 9. C (;-7); C (5;) = x ; Lösungen zu Übungen 9 0. a) a b = 5 =. 6; a b = b) a = 8 = 6. 6 ;. a) 5; b a b = 5 b) -.790; a) 5 =. 7 b) 6.0. H c (;0); F = 5. C (-;7;-0); C (-9;-;-6); F = F AD = ; AD = Lösungen zu Übungen 50 = = 9. 0 Fr..0 8 hep verlag ag

39 9. a) 50 Zeiteinheiten b) a a 0.5 K = b = b 0.5 c 0.0 c Fr a) J b) N 9 Vektorielle Darstellung von Geraden Hinweis: Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Parametergleichungen. In den Lösungen ist eine dieser Möglichkeiten aufgeführt. Lösungen zu Übungen 5. a) g: r = t b) g: r = t 0 c) g: r = t d) 0 g: r = t 5 0. a) g: r = + t 5 b) g: r = 0 + t 6 c) g: r = + t d) g: r = 5 + t a) g x : r = t 0 ; g y : r = t ; g z : r = t b) g xy : r = t ; g yz : r = t ; g xz : r = t 0 0. a) g: r = 0 + t b) g: r = + t 0 5. a) g: r = + t 0 b) g: r = + t c) g: r = 6 + t d) g: r = + t hep verlag ag

40 g : r = + t 8 ; g : r = + t 8 ; g : r = + t 8 ; g : r = 5 + t 0 ; g 5 : r = 5 + t g : r = + t 6 ; g : r = 7 + t ; g : r = 7 + t ; g : r = + t 0 8. a) g: r = 0 + t b) g: r = 0 + t 9. a) y = x + 5 b) y = x 7 0. a) g: r = + t b) g: r = + t 0. a) g: r = 0 + t 0 b) g: r = 7 + t 0. y = 0 x Lösungen zu Übungen 5. a) Punkte auf g: z.b. (; ); (6; 0); Punkte neben g: z.b. (; 0); (; ) b) Punkte auf g: z.b. (; ; ); (5; ; ); Punkte neben g: z.b. (; ; 0); (; ; ). a) Punkte auf g: A, C; Punkte neben g: B b) Punkte auf g: B, C; Punkte neben g: A 5. a) P = (7; 0; ) b) Q = (; ; 0) 6. a) Ja b) Nein 7. a) Ja b) Ja 8. a) d = =. 5 b) d = c) d = 5 =.99 5 d) d = 5 e) d = 05 5 f) d = 6 65 =.7 = d x = 5 =.6; d y = 5 =.7; d z = 7 =. 0. d = 80 =.09. a) Q = b) Q = 7; 8 ;. P = ( ; ; 0) 0 hep verlag ag

41 Lösungen zu Übungen 5. S = (; ; ) 0. a) h: r = + s b) h: r = 0 + s c) h: r = 0 + s 0 5. g, h: schneiden sich; g, i: identisch; g, k: schneiden sich; h, i: schneiden sich; h, k: parallel; i, k: schneiden sich 6. g, g : schneiden sich; g, g : parallel; g, g : windschief; g, g 5 : windschief; g, g : schneiden sich; g, g : windschief; g, g 5 : windschief; g, g : schneiden sich; g, g 5 : windschief; g, g 5 : schneiden sich 7. a) windschief b) parallel c) identisch d) schneiden sich 8. schneiden sich 9. a) nein (windschief) b) ja (parallel) 0. a) parallel zur y-achse b) parallel zur x-z-ebene c) schneidet die x-achse d) geht durch den Ursprung Lösungen zu Übungen 5. a) S = (; 5); φ = 8.87 b) S = 5 ; = (.0;.58); φ = 0. c) S = ( ; ; ); φ = 7. d) S = ( ; 8; ); φ = 5.6. a) S = ; b) S = 6 7 ; 0 ; 7 7 = (.685;.79); φ = 89. = (.7;.9;.7); φ = a) h: r = 6 + s b) h: r = 6 + s 5 5 c) h: r = + s d) h: r = 0 + s. a) h: r = + s b) i: r = + p c) k: r = + q 0 5. a) d = 6 = b) d = 7 6 = 5.75 hep verlag ag

42 6. F = 5 = a) schneiden sich; S = (; 7; ); φ = 66.0 b) windschief; d = = 5.75 c) parallel; d = 8.97 d) identisch; (φ = 0 ; d = 0) Lösungen zu Übungen a) A: r = t 0 ; B: r = 00 + t b) A 60 = ( 50; 50; 50); B 60 = (0; 600; 00) c) t = 0: A: 50 m.ü. Boden, B: 800 m.ü.b.; t = 0: A: 050 m.ü.b., B: 00 m.ü.b. d) A: 8.6 m; B: m e) A: 76. km/h; B: 9, km/h 9. A: z-koordinate des Richtungsvektors positiv, also Steigflug; B: z-koordinate des Richtungsvektors negativ, also Sinkflug; z-koordinate gleich 0: konstante Höhe ; 77.5 s ; 80 s. S = ( 50; 50; 550); kollidieren nicht, da t A t B m 0 0. K: r = 80 + t 0 ; 6 Min. 0 s 0 5. a) U : P 0 = (0; 0; 0), P 0 = (70; 0; 0); U : P 0 = (50; 0; 80), P 0 = (0; 00; 60) b) (70; 80; 0) c) U :.05 km/h; U : 6.50 km/h d) U :.6 km/h; U :. km/h e) U : Min. 0 s ; U : Min. 6. a) U, K: nein; U, K: ja b) U, K: nein; U, K: ja, da t K = t U c) z.b. anderen Startzeitpunkt für Kugel wählen d) U, K: d min = 9.6 m; U, K: d min = 0 m 7. a) ja, S = (0; 60; 0) b) ja, t U = t U c) Tauchbahnen sind neu windschief hep verlag ag

43 0 Vektorielle Darstellung der Ebene Hinweis: Zu jeder Ebene gibt es unendlich viele Parametergleichungen. In den Lösungen ist eine dieser Möglichkeiten aufgeführt. Lösungen zu Übungen 56. P = (; ; 6). y = 7. Punkte auf E: A, C; Punkte neben E: B. a) E: r = + t 5 + s b) E: r = + t + s c) E: r = + t + s, mit u = k v folgt: es gibt unendlich 5 6 viele Lösungen (C AB) 5. a) Nein b) Ja 5 6. a) E: r = + t + s 7 5 b) E: r = + t + s 5 7 c) E: r = + t + s E: r = t + s E: r = 5 + t 0 + s a) rot: E: r = 0 + t 0 + s ; gelb: E: r = + t 0 + s ; grün: E: r = + t + s b) rot: E: r = + t 0 + s ; gelb: E: r = + t 0 + s ; grün: E: r = + t + s 0 hep verlag ag

44 6 0. F: r = + t 8 + s 5 7. a) E: r = + t + s 8 6 b) E: r = t + s 8 c) wenn Q g bzw. u = k v, z.b. Q = (0; ; ) 5. F: r = + t + s 5 6 Lösungen zu Übungen 57. a) ja b) nein (g schneidet E). a) ja (schneiden sich), E: r = + t 6 + s 7 b) nein (windschief) c) ja (parallel), E: r = + t 6 + s 5. ; 0; 0, 0; ; 0, (0; 0; ) 6. a) parallel b) g E yz 7. a) g E b) parallel c) schneiden sich, D = (0; ; 8) 8. g: r = + t a) g: r = + t b) g: r = + t Lösungen zu Übungen a) g: r = 8 + t 0 b) g: r = 0 + t 8 0 hep verlag ag

45 . a) g: r = 0 + t b) g: r = 0 + t c) g: r = + t rot-gelb: g: r = 8 + t 8 ; rot-grün: g: r = 6 + t ; gelb-grün: g: r = + t 8 8. a) parallel b) schneiden sich 5 hep verlag ag