2.7 Unschärferelation

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1 32 KAPITEL 2. PRINZIPIEN DER QUANTENMECHANIK 2.7 Unschärferelation Die Unschärferelation ist ein Vorschlag (eigentlich: Definition) von Heisenberg. Wenn man von einem Objekt die x-komponente des Impulses mit einer Genauigkeit von p x misst, dann kann man nicht gleichzeitig die Position des Objektes auf der x-achse scharf bestimmen, sondern nur mit einer Unschärfe von p x x h/2 h = Js = Planksches Wirkungsquantum Diese Unschärfe spielt nur bei mikroskopischen Objekten eine Rolle. Sie impliziert auch, dass sich keine Messanordnung finden lässt, mit der man den Weg eines Teilchens scharf bestimmen könnte, ohne dabei gleichzeitig den Impuls des Teilchens zu stören. Die Beobachtung des Teilchenortes bedeutet einen prinzipiell nicht vermeidbaren Eingriff in den Ablauf des Ereignisses. Das liegt nicht an der Genauigkeit der Messanordnung. Das Kausalitätsprinzip besagt, dass jeder Wirkung eine eindeutige Ursache vorausgeht. Definition von Laplace im Sinne der Newtonschen Mechanik: Wenn Ort und Impuls eines Teilchens bekannt sind, dann ist bei Kenntnis der wirkenden Kräfte die Bewegung des Teilchens für alle zukünftigen Zeiten bekannt. Die Unschärferelation verändert diese Aussage, da die Voraussetzung zum Kausalitätsprinzip falsch ist: Wir kennen Impuls und Ort nicht gleichzeitig mit absoluter Genauigkeit. Die Vorhersagen der Quantenmechanik erhalten damit statistischen Charakter Atomare Größen und Energiezustände In Feynman s Buch findet sich folgende Anwendung der Unschärferelation um die Größe des H-Atoms abzuschätzen. Klassisch fällt das Elektron in den Kern. Nach der Quantenmechanik ist dies unmöglich, denn dann wüssten wir, wo das Elektron ist und damit wäre seine Impulsunschärfe unendlich groß (es würde also wieder entkommen). Im Phasenraum ist das Elektron nicht als scharfer Punkt abzubilden sondern als ein ausgedehntes Objekt. Feynman unternimmt nun folgende Argumentation: Ein Elektron sei in einem Bereich x = a um das Proton lokalisiert. Damit ist der Impuls des Teilchens mindestens von der Größenordnung seiner Unschärfe, 6 p p = h/a. Damit ist seine kinetische Energie 2 mv2 = p2 2m = h2 2ma 2 Seine Coulomb-Energie ist E pot = 4π e 2 a Die Gesamtenergie des Elektrons ist E = h2 2ma e 2 2 4π a Annahme: Das Atom arrangiert sich derart, dass die Gesamtenergie ein Minimum ist: E a = h2 ma + e 2 h2 = 3 a = 4π =.528 Å 4π a2 me2 6 Aus triftigem Grund (siehe Ergebnis), aber ohne Begründung setzt Feynman p x = h.

2 2.7. UNSCHÄRFERELATION 33 Dieser Wert entspricht dem ersten Bohrschen Radius, a. Bei diesem Radius ist die Gesamtenergie: E = e 2 4π 2a = 3.6eV. Dieser Wert ist gerade die Rydberg Konstante. Die Energie ist negativ, das Elektron ist gebunden. Mit diesem etwas gestrickten Beispiel zeigt Feynman, dass man den niedrigsten Energiezustand auf Grundlage der Unschärferelation abschätzen kann. Wesentlich ist mitzunehmen, dass ein quantenmechanisches Objekt klassische Effekte immer über einen gewissen Raumbereich integriert 7. Es gibt unendlich viele Bewegungszustände des Elektrons im Atom. Wenn das Elektron,,frei ist, E>, dann kann es beliebige Energie besitzen. Beispiel wäre die Streuung eines freien Elektrons an einem Proton. Im gebundenen Fall, E <, gibt es nur diskrete Eigenwerte. Grundzustand mit E und angeregte Zustände E,E 2,...E. Die diskreten Eigenfrequenzen im Atom sind eine Manifestierung räumlich begrenzter Wellen. (Vergleich: Resonanzfrequenz einer Orgelpfeife). Die räumliche Begrenzung im Atom hat als Ursachen das Coulombpotential und das Zentrifugalpotential V c(r) = Ze 4π r (2.48) V zf (r) = L 2 ( +) h =. 2mr2 2mr 2 (2.49) In den angeregten Zuständen verbleibt das Elektron nicht für immer. Es fällt in einen niedrigeren Zustand und gibt die Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung ab Energie-Zeit Unschärfe Auf Grund seiner endlichen Lebensdauer hat ein elektronisch angeregtes Niveau eine endliche Niveaubreite (Unschärfe). Ein Absorptionsprofil ist nie,,scharf. Die intrinsische Breite bezeichnet man als natürliche Linienbreite. Ein Experiment zur Resonanzstreuung: Man misst die Intensität des gestreuten Lichtes als Funktion der Frequenz des eingestrahlten Lichtes. Wegen Energieerhaltung: ω abs = ω em (oder jedenfalls in guter Näherung, siehe dazu Seite 37). Ein klassisches Bild für den Zusammenhang Linienbreite Lebensdauer ergibt sich aus dem gedämpften Oszillator. Dieser führt eine anharmonische Schwingung aus, die nicht durch einzelne Sinus- oder Kosinus-Funktionen darstellbar ist. Je kleiner die Dämpfung, umso besser ist das Federpendel durch eine harmonische Schwingung darstellbar. Bei Anregung von außen beobachtet man eine Resonanzkurve mit einer Breite, die von der Dämpfung abhängt. Ein angeregter Zustand eines Atoms verhält sich wie ein Resonator, der von elektromagnetischer Strahlung zu erzwungenen Schwingung angeregt wird. Charakteristisch für den Resonator sind: seine Eigenfrequenz, ω, und seine Dämpfung durch Abstrahlung elektromagnetischer Energie. Wurde der Resonator einmal angeregt, führt er eine freie gedämpfte Schwingung aus. Diesen Zustand beschreibt man durch eine Wellenfunktion Ψ(t) = Ae t/2τ e iω t (2.5) I(t) = Ψ (t)ψ(t) =A 2 e t/τ. (2.5) 7 Und so zum Beispiel die Singularität des Coulombpotentials umgeht, ein Punkt der Vielen in der Übung zum Farbzentrum gedankliche Schwierigkeiten bereitet hat.

3 34 KAPITEL 2. PRINZIPIEN DER QUANTENMECHANIK Die Wellenfunktion sei eine Überlagerung von harmonischen Schwingungen verschiedener (nahe beisammen liegender) Frequenzen mit einer Verteilung f(ω) = f(ω) e iφ(ω) (Amplitude und Phase sind frequenzabhängig). Diese Verteilung erhalten wir über Fourier-Transformation: Ψ(t) = f(ω) = 2π e iωt f(ω)dω (2.52) e iωt Ψ(t)dt (2.53) Das Integral in Gl.(2.52) beginnt mit t =, da die Photoanregung bei t = erfolgt. Im Sinne der statistischen Interpretation von Ψ(t) ist f(ω) die Wahrscheinlichkeits- Amplitude für die Emission bei der Frequenz ω. Die Wahrscheinlichkeits-Dichte für die Emission bei der Frequenz ω ist f (ω)f(ω). I(ω) f (ω)f(ω). (2.54) Aus den Gleichungen (2.5) und (2.53) erhalten wir: f(ω) = A 2π e t/2τ e iω t e iωt dt = A 2π e at dt wobei a = + 2τ i(ω ω), und damit f(ω) = A. 2π a In Gl.(2.54) einsetzen ergibt: I(ω) ( 2τ + i(ω ω))( 2τ i(ω ω)) = +(ω ω 4τ ) 2 2 Nach Normierung auf die maximale Intensität, I(ω ), ergibt sich I Lorentz Gauss ΩΩ /4τ 2 I(ω) =I(ω ) /4τ 2 +(ω ω, (2.55) ) 2 die Breit-Wigner Formel, eine Resonanzfunktion. Die Kurvenform läuft unter dem Namen Lorentz-Profil. Im Bild sind ein Lorentz- Profil (strichliert) und eine Gauss-Kurve gleicher Fläche dargestellt. Auf der x-achse die Verstimmung ω ω für den Fall, daß τ = ist. Die Gauss-Verteilung fällt viel schneller auf Null ab. Die Halbwertsbreite der Funktion ω = Γhängt mit der Lebensdauer zusammen: ω τ = Mit der Verstimmung δ = ω ω schreibt sich die Lorentz-Verteilung I(ω) =I(ω ) Γ 2 /4 Γ 2 /4+(ω ω ) 2 = I(ω) +(2δ/Γ) 2. (2.56)

4 UNSCHÄRFERELATION Linienbreiten Natürliche Linienbreite: Ein guter atomarer Übergang hat typisch eine natürliche Lebensdauer τ 8 s. Am Beispiel der Natrium D-Linie: λ = ω = λ ω ω τ λ = π m ν = 5 MHz 2π 8 ν = ( λ )= 2πcτ =5 4 cm Resonanzprozesse: Resonanzfluoreszenz Resonanzabsorption Doppler-freie Spektroskopie D L L L Experimentelle Linienbreite in einem Gas: Diese ergibt sich bei Zimmertemperatur meist auf Grund der Verteilung der Atomgeschwindigkeiten. In Beobachtungsrichtung sei die Geschwindigkeitsverteilung f(v x) f(v x)= M 2πkT e mv 2 x /2kT und damit die Dopplerverschiebung für Beobachtung in x-richtung δω x: 8 δω x ω = vx c. (2.57) Wenn die natürliche Linienbreite klein ist gegenüber der Doppler-Verbreiterung, dann erscheint eine gaussförmige Absorptions- bzw Emissionslinie mit einer relativen Breite: ω D ω = 2 c 2ln2 kt M =3 7 T (K) A(amu) Beispiel für Natrium Dampf bei 5 K: λ =589nm ω D =7MHz Voigt-Pofil : Kombination von Gauss- und Lorentz-Profil Spontane Emission Ein Versuch die spontane Emission zu erklären führt klassisch zu Paradoxien. Zum einen erscheint der Prozess als sprunghafter Übergang, verbunden mit der Aussendung eines Lichtquants (also eines lokalisierten Energiebündels), zum anderen als eine kontinuierliche Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle (zusammen mit dem Feld wird klassisch stets auch Energie ausgestrahlt). Aus Stoßprozessen weiss man, dass ein angeregtes Atom nach einiger Zeit immer noch seine gesamte Anregungsenergie auf 8 Bei relativistischen Geschwindigkeiten ist die von einem Beobachter empfangene Frequenz, ω = ω ( + β)/( β), wenn die Quelle bei der Frequenz ω sendet und die Relativgeschwindigkeit zwischen Beobachter und Quelle v ist (v >bedeutetbeobachterundquellebewegen sich aufeinander zu, Abkürzung: β = v/c). Im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten gilt ω ω( + β). Diesen Ausdruck verwenden wir in Gleichung (2.57).

5 M! 36 KAPITEL 2. PRINZIPIEN DER QUANTENMECHANIK ein anderes Atom übertragen kann, also hat es noch nicht einen Teil seiner Energie abgestrahlt. In der QM (Weisskopf und Wigner, 93) beschreibt man die spontane Ausstrahlung als einen Übergang von einem Ausgangszustand (das Atom ist angeregt im Zustand 2 und kein Photon ist vorhanden) in einen Endzustand (das Atom ist abgeregt im Zustand und ein Photon ist in seiner entsprechenden Mode) symbolisch mit ψ 2 ϕ vakuum ψ ϕ photon, (2.58) wobei das Symbol den Produktzustand beschreiben soll. Dieser Ansatz liefert auch eine Beschreibung des Emissionsvorgangs: Ψ(t) =e Γt/2 ψ 2 ϕ vakuum +( e Γt/2 ) ψ ϕ photon. (2.59) Dieser verschränkte (entangled) Zustand entwickelt sich mit der Zeit, enthält aber die volle Energie (Das Photon ist noch nicht vollständig herausgeschlüpft 9 ). Erst bei einer Messung am Photodetektor reduziert sich der reine Zustand (2.59) auf den ersten oder den zweiten Summanden, der dann wieder richtig normiert werden muß. Man darf schließen: Wenn kein Photon registriert wurde, dann ist das Atom noch angeregt und umgekehrt, wenn ein Photon beobachtet wird, dann ist das Atom im Grundzustand. L = K K D M Die Messung an einem Teilsystem aus Gl.(2.59) gibt also detaillierte Information über das andere Teilsystem, ein allgemeiner Befund für verschränkte Zustände. Die physikalisch wesentliche Information über den Zeitverlauf des Ausstrahlungsvorgangs ist in der Zeitabhängigkeit der Koeffizienten in Gl.(2.59) enthalten. Sie bringen das exponentielle Zerfallsgesetz zu Ausdruck. In der QM muss man diesen Ansatz so interpretieren: Wird zu einer Zeit t nachgesehen, ob sich das Atom im Zustand (2) oder () aufhält, so findet man das Atom mit der Häufigkeit e Γt im oberen und mit der Häufigkeit e Γt im unteren. Beim Meßprozess wandelt das Atom seine Anregungsenergie in ein Photon um, oder nicht. Andererseits ist das Ansprechen eines Photodetektors nicht ein von uns ausgesuchter Meßprozess der die spontane Emission herbeiführt, man muss es dem Atom überlassen, wann es sich zur Herausgabe des Photons entscheidet. Wesentlich ist, dass wir es in diesem Ansatz dem Atom überlassen, seine Anregungsenergie mit einem Schlag loszuwerden (die Umgebung spielt die Rolle der Messaparatur). Die Bebachtung eines solchen Systems gelingt in einer Ionenfalle an einem einzelnen Mg + Atom mit einer Zeitauflösung (für das Nachschauen ob... ) von etwa ns (Toschek, Hamburg 995):! D H = J A I A? " & $ A E J I A? 9 H. Paul Photonen Teubner Studienbücher, Seite 98.

6 2.7. UNSCHÄRFERELATION 37 Beobachtet wird die Fluoreszenz nach Anregung des Übergangs von 3. Dieser Übergang zeichnet sich durch ein starkes Dipolmatrixelement aus und wird optisch selektiv gepumpt (mit dem Laser L bei der Frequenz ω 3. Die natürliche Lebensdauer von 3 liegt bei etwa 8 ns und etwa 8 Photonen bei der Frequenz ω 3 werden bei Sättigung des Übergangs mit L emittiert. Ein Bruchteil dieser Photonen gelangt auf einen Photodetektor (im Bild rechts werden dann etwa 2 Photonen pro Sekunde registriert). Die natürliche Lebensdauer von 2 liegt hingegen bei 35 s, damit ist der Übergang 2 viel unwahrscheinlicher. Ein zweiter Laser L2 bei der Frequenz ω 2 versucht den Zustand in den Zustand 2 zu pumpen. Wenn dies hin und wieder gelingt, dann bleibt die Fluoreszenz auf ω 3 über lange Zeiträume (statistisch verteilt) aus. Im Bild rechts sinkt die Zählrate auf den Untergrund von etwa 4 Photonen pro Sekunde. Das Wiederauftreten der Fluoreszenz ist der Nachweis, dass gerade eben (in den letzten ns) der Quantensprung von 2 + hω 2 stattgefunden hat. Die quantenmechanische Interpretation der Wellenfunktion in Gl erscheint paradox: das Atom befindet sich bei Zeiten t < Γ weder im angeregten noch im Grundzustand. Beide Möglichkeiten sind simultan erlaubt, keine einzelne von ihnen liegt faktisch vor. Interessant ist aber, dass sich dieses verschwommene Bild für Zeiten t Γ von ganz allein irreversibel in den Endzustand ψ ϕ photon hin entwickelt (irreversibel nur, wenn der Resonator unendlich groß ist). Schluss: Das Photon ist ein räumlich ausgedehntes Gebilde, ähnlich einer klassischen Dipolwelle, das sich in der jeweiligen Ausbreitungsrichtung über eine Länge c/γ erstreckt. Diese Ausdehnung erlaubt die beobachteten Interferenzerscheinungen (auch mit sich selbst). Die Energie des Photons ist aber nicht über diesen Bereich verteilt, man findet ja das gesamte Photon bei einer Messung an einem Ort lokalisiert. Man findet das Photon erst beim Nachweis, und die naive Vorstellung, es wäre vorher schon so beschaffen, steht im Widerspruch zum Experiment. Dieser Schluß ist auch für materielle Teichen zu ziehen.