Grundlagen der Technischen Informatik

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1 TECHNISCHE FAKULTÄT Lösungshinweis zur 5. Übung der Vorlesung Grundlagen der Technischen Informatik Aufgabe 1 (Boolesche Algebra - Gültigkeit) Prüfen Sie auf Gültigkeit: a) Gültig. De Morgansche Gesetz. b) Gültig. Vergleich der Wahrheitstabellen. c) A B Aufgabe 2 (Boolesche Algebra - Beweise) Regeln: Exklusiv-Oder: x y = xy + xy. Idempotenz: x + x = x und x x = x. Absorption: x (x + y) = x und x + (x y) = x. Consensus: (x y) + (x z) + (y z) = (x y) + (x z). Distributivität: x + (y z) = (x + y) (x + z) und x (y + z) = (x y) + (x z). a) x (x + y) = x x y + x(x + y) durch Anwenden der Definition von XOR. x x y + x(x + y) = x y + x durch Idempotenz und Absorption. x y + x = x + y wegen a + ab = a + b. b) Absorption, da gilt (x + yz) (x + y). c) Consensus. d) Distributivität und Idempotenz. e) Nicht wahr, da die rechte Seite den Term abcd enthält, die linke Seite jedoch nicht. Aufgabe 3 (Relaisschaltnetz) a) y = [( (a b) a }{{} b) (a b)] (a b) (a a) (a b)=a = [(a b) (a b)] (a b) = [((a b) a) (a b) b] (a b) = [(a a) (a b) (a b) (b b)] (a b) = (a b) (a b) (a b) = (a b) (a b) (a b) (a b) }{{}}{{} b a = (a b) Dieser Ausdruck wird Implikation genannt: a impliziert b oder a b. 1

2 Negative Konjunktion (NAND): b a y b) Aufgabe 4 (Logikgatter) a = x + y b = az = (x + y) z = xz + yz c = x + y Die 1 -Stellen bilden eine geschlossene Kette im Symmetrie-Diagramm. So ergeben sich zwei gleichwertige Lösungen: e = xy + xz + yz = xy + xz + yz d = cz = (y + x) z = xz + yz e = b + d = xz + yz + xz + yz Aufgabe 5 (Logelei von Zweistein) Abkürzungen: Majoran = Ma, Muskat = Mu, Dill = Di, Curry = Cu, Salbei = Sa, Thymian = Th Gewürz gehört in die Spaghettisauce 1, Gewürz darf nicht verwendet werden 0 Wir wissen, dass mindestens eine Teilkomponente, die von einem jeden Koch genannt wurde, falsch ist. Die Aussagen der elf Köche lauten: Koch Ma Mu Di Cu Sa Th Bevor wir mit dem eigentlichen Lösungsverfahren beginnen, nehmen wir eine Vereinfachung in der obigen Tabelle vor: Die Aussagen von Koch 6 und Koch 11 unterscheiden sich nur für das Gewürz Curry. Damit ist klar, dass genau einer der Beiden bei Curry geflunkert hat. Leider wissen wir aber (noch) nicht welcher Koch das war. Wobei wir uns auch sicher sein können ist, dass auch die Kombination Majoran und Muskat so nicht in die Sauce gehört, da sonst einer der Köche die Wahrheit gesagt hätte. Lösung 1: Wir starten mit einer kleinen, sukzessiv auszufüllenden Tabelle, die nur die erlaubten Kombinationen an Majoran und Muskat, ansonsten aber noch keine Informationen enthält. 2

3 Zeile Ma Mu Di Cu Sa Th Wir beginnen mit Zeile 1. Falls diese Kombination an Muskat und Majoran richtig ist, suchen wir nun nach Zeilen in der großen Tabelle, die uns Aufschluss über den Rest der Zutaten geben. Wir betrachten die Zeilen 1 und 8 der großen Tabelle. Bis auf die fehlende Information für Muskat in Zeile 1 unterscheiden sich die beiden nur in der Angabe für Thymian. Wir können daraus schließen, dass Salbei auf jeden Fall in die Sauce gehört, falls auch Majoran in die Sauce muss, da sonst entweder Koch 1 oder Koch 8 eine komplett richtige Angabe gemacht hätten. Dies gilt bis jetzt aber nur für die erste Zeile der neuen Tabelle. Betrachten wir nun allerdings Zeile 4, sehen wir dass hier ein Widerspruch entsteht, da die Kombination Muskat = 0 und Salbei = 1 von Koch 4 angegeben wurde und somit nicht wahr sein kann. Wir können die erste Zeile der kleinen Tablle also streichen, da die Kombination Majoran = 1 und Muskat = 0 zu keiner gültigen Lösung führen kann. Zeile Ma Mu Di Cu Sa Th Fahren wir mit der 3. Zeile fort, die angibt, dass weder Majoran noch Muskat in die Sauce gehören. Aus Zeile 4 erhalten wir die Information, dass Salbei nicht in die Sauce gehört, wenn kein Muskat drin ist, da sonst Koch 4 Recht gehabt hätte. Kombinieren wir die Information mit Zeile 9, können wir darauf schließen, dass Dill in die Sauce ghört, falls weder Majoran noch Salbei darin zu finden sind. Hieraus ergibt sich aber erneut ein Widerspruch, da Koch 5 angegeben hat, dass Dill in die Sauce gehört, Majoran aber nicht. Diese Aussage muss aber falsch sein und daraus folgt, dass Zeile 3 der kleinen Tabelle nicht wahr sein kann. Zeile Ma Mu Di Cu Sa Th Nun wissen wir, dass Majoran nicht in die Sauce gehört, dafür aber Muskat. Um die restlichen Zutaten zu bestimmen sehen wir uns zuerst Zeile 5 an. Wir erhalten die Information, dass die Sauce keinen Dill enthält, da sonst Zeile 5 nicht gelogen wäre. Gehen wir weiter zu Zeile 9, erfahren wir, dass Salbei in die Sauce gehört, falls weder Dill noch Majoran hinein müssen. Da nun bekannt ist, dass kein Dill, dafür aber Salbei in die Sauce müssen, können wir gleich aus Zeile 2 schließen, dass Thymian in die Sauce gehört, sonst hätte Koch 2 die Wahrheit gesagt. Anhand der Aussage von Koch 7 erhalten wir, dass kein Curry in die Sauce gehört. Da die Tabelle nun widerspruchsfrei ausgefüllt werden konnte, erhalten wir die Lösung, dass Muskat, Salbei und Thymian in die Sauce gehören, nicht aber Majoran, Dill und Curry. Zeile Ma Mu Di Cu Sa Th Lösungsweg 2: man listet für alle Köche je eine Tabelle auf, die alle Möglichkeiten (in der Souce [1] oder nicht [0]) der genannten Gewürze beinhaltet. Dann starten wir damit, dass wir jeweils den Eintrag in der Liste streichen, der von dem genannten Chefkoch angegeben ist - denn der ist auf jeden Fall nicht richtig. Im Anschluss werden in den Tabellen die Zeilen gestrichen die durch (Teil-) überdeckungen von anderen ausgeschlossen werden können. Beispiel: Durch Koch 5 ist ausgeschlossen, dass Di Bestandteil ist und gleichzeitig Ma nicht in die Sauce gehört. Das führt dann beispielsweise in der Tabelle zu Koch 3 zu einem Ausschluss von einem Viertel aller Möglichkeiten. Alle so im ersten Durchlauf gestrichenen Tabelleneinträge sind in den folgenden Tabellen mit einem 3

4 schwarzen Strich gekennzeichnet. Es ist ferner angegeben, welcher Koch das Streichen ermöglicht hat. Dieses Verfahren setzt man iterativ vom Anfang beginnend fort, bis in jeder Tabelle nur noch eine Zeile übrig bleibt. Diese enthält dann die Lösung. Für den zweiten Durchlauf ist die Farbe Blau zum Streichen verwendet worden - im letzten Durchlauf entsprechend rot. (Alternative: Man kann natürlich auch eine gemeinsame Tabelle benutzen.) In die Spaghettisauce gehört Muskat, Salbei und Thymian, nicht aber Curry, Dill und Majoran! Zusatzfrage: Auf die Aussagen welcher Köche hätte Luigi verzichten können? 4

5 Koch 3: Ma Di Cu Sa Th durch Ergebnis # Start Koch 2: Di Sa Th durch # # Start Ergebnis # # # # Koch 9: Ma Di Sa durch Start Ergebnis Koch 8: Ma Mu Sa Th durch # # Ergebnis Start Da alle gestrichen: Ma=0. Ma=0 und Mu=0 ist der erste Eintrag bei Koch 6. 1 Sa und Th sind 1. Koch 1: Ma Sa Th durch # Ergebnis Start Koch 10: Mu Cu Sa durch Start # # Ergebnis #

6 Koch 4: Mu Sa durch # 0 1 Start # 1 1 Erg. Koch 5: Ma Di durch 0 0 Erg. 0 1 Start Koch 6: Ma Mu durch Erg Start Koch 7: Cu Sa durch # 0 1 Erg # 1 1 Start 6

7 7 Logelei von Zweistein - Lösungsvariante mit einer Tabelle Ma Mu Di Cu Sa Th K1 X X X X X X X X K2 X X X X X X X X K3 X X K4 XX XX XX XX XX XX XX XX K5 XXXX XXXX XXXX XXXX K6 XXXX XXXX XXXX XXXX K7 XX XX XX XX XX XX XX XX K8 X X X X K9 XX XX XX XX K10 XX XX XX XX X: einfache überdeckung (die Aussage ist also zwingend erforderlich) - Koch 3 wird von Koch 5 dominiert. Diese Aussage kann entfallen. - Koch 10 wird von Koch 9, Koch 5, Koch 8 und Koch1 dominiert. Auch diese Aussage kann entfallen. Koch Ma Mu Di Cu Sa Th Koch Ma Mu Di Cu Sa Th