Das Benfordsche Gesetz

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Ingelore Hase
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1 Fakultät Informatik Professur für Technische Informationssysteme Das Benfordsche Gesetz... und dessen Bedeutung für die Praxis Joachim Protze Dresden,

2 Inhaltsverzeichnis Motivation Benford-Verteilung Anwendungen Zusammenfassung Literatur TU Dresden, Folie 2 von 16

3 Inhaltsverzeichnis Motivation Benford-Verteilung Anwendungen Zusammenfassung Literatur TU Dresden, Folie 3 von 16

4 Statistische Seltsamkeiten Geburtstagsparadoxon: Quelle: wikipedia.org TU Dresden, Folie 4 von 16

5 Statistische Seltsamkeiten Geburtstagsparadoxon: zwei Personen mit gleichem Geburtstag sind wahrscheinlicher als eine Person mit Geburtstag z.b. an Silvester Quelle: wikipedia.org TU Dresden, Folie 4 von 16

6 Statistische Seltsamkeiten Geburtstagsparadoxon: zwei Personen mit gleichem Geburtstag sind wahrscheinlicher als eine Person mit Geburtstag z.b. an Silvester Ziegenproblem (3-Türen-Problem): Quelle: wikipedia.org TU Dresden, Folie 4 von 16

7 Statistische Seltsamkeiten Geburtstagsparadoxon: zwei Personen mit gleichem Geburtstag sind wahrscheinlicher als eine Person mit Geburtstag z.b. an Silvester Ziegenproblem (3-Türen-Problem): Quelle: wikipedia.org TU Dresden, Folie 4 von 16

8 Statistische Seltsamkeiten Geburtstagsparadoxon: zwei Personen mit gleichem Geburtstag sind wahrscheinlicher als eine Person mit Geburtstag z.b. an Silvester Ziegenproblem (3-Türen-Problem): Wechsel verdoppelt die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen Quelle: wikipedia.org TU Dresden, Folie 4 von 16

9 Statistische Seltsamkeiten Geburtstagsparadoxon: zwei Personen mit gleichem Geburtstag sind wahrscheinlicher als eine Person mit Geburtstag z.b. an Silvester Ziegenproblem (3-Türen-Problem): Wechsel verdoppelt die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen Einwohnerzahlen deutscher Landkreise: die Hälfte beginnen mit 1 oder 2 Quelle: destatis.de TU Dresden, Folie 4 von 16

10 Inhaltsverzeichnis Motivation Benford-Verteilung Anwendungen Zusammenfassung Literatur TU Dresden, Folie 5 von 16

11 Geschichte ursprünglich entdeckt, da die vorderen Seiten der Logarithmentafeln stärker abgegriffen waren Logarithmentafeln Quelle: TU Dresden, Folie 6 von 16

Geschichte ursprünglich entdeckt, da die vorderen Seiten der Logarithmentafeln stärker abgegriffen waren 1881 vom Mathematiker Simon Newcomb

12 Geschichte ursprünglich entdeckt, da die vorderen Seiten der Logarithmentafeln stärker abgegriffen waren 1881 vom Mathematiker Simon Newcomb entdeckt und publiziert Mantissen der Logarithmen sind gleichverteilt Newcomb Quelle: TU Dresden, Folie 6 von 16

13 Geschichte ursprünglich entdeckt, da die vorderen Seiten der Logarithmentafeln stärker abgegriffen waren 1881 vom Mathematiker Simon Newcomb entdeckt und publiziert Mantissen der Logarithmen sind gleichverteilt 1938 vom Physiker Frank Benford wiederentdeckt und neu publiziert wird oft auch als Benfordsches Gesetz bezeichnet Benford Quelle: TU Dresden, Folie 6 von 16

14 Eigenschaften P(d1) = P(1.Ziffer=n) = log B (1 + 1 ), n = 1, 2,..., B 1 n B: Zahlenbasis (z.b. 10 für dezimal) P(d2) = P(2.Ziffer=n) = B 1 P log B 1 + 1, n = 0, 1,..., B 1 i B+n i=1 die Eigenschaft bleibt beim Multiplizieren und Potenzieren erhalten TU Dresden, Folie 7 von 16

15 Tabelle für die ersten zwei Ziffern bei Basis 10 Quelle: TU Dresden, Folie 8 von 16

16 Bedingungen geeignete Messreihen sind z.b. Reihen, denen ein Wachstumsprozess zugrundeliegt die Messreihe darf nicht künstlich begrenzt werden, wie: Liste aller deutschen Städte mit mehr als Einwohnern Top-500-Liste der Hochleistungsrechner möglich ist eine zufällige Auswahl aus einer großen Menge an Messwerten die Anzahl der Messgrößen muss hinreichend groß sein TU Dresden, Folie 9 von 16

17 Inhaltsverzeichnis Motivation Benford-Verteilung Anwendungen Zusammenfassung Literatur TU Dresden, Folie 10 von 16

18 Benfords Statistiken Quelle: TU Dresden, Folie 11 von 16

19 Finanzwesen Prüfung von Angaben bei Steuererklärungen statistische Auswertung von Gewinn-/Verlustmeldungen von Unternehmen Quelle: TU Dresden, Folie 12 von 16

20 Modellierung/Simulation Überprüfung von Modellen zum Bevölkerungswachstum Überprüfung von Wirtschaftsprognosen Wirtschaftsbericht Empirica (1. Stelle) Quelle: TU Dresden, Folie 13 von 16

21 Modellierung/Simulation Überprüfung von Modellen zum Bevölkerungswachstum Überprüfung von Wirtschaftsprognosen Wirtschaftsbericht Empirica (2. Stelle) Quelle: TU Dresden, Folie 13 von 16

22 Modellierung/Simulation Überprüfung von Modellen zum Bevölkerungswachstum Überprüfung von Wirtschaftsprognosen Prognosen zeigen bereits an der 2. Stelle gerundetes Verhalten Quelle: TU Dresden, Folie 13 von 16

23 Inhaltsverzeichnis Motivation Benford-Verteilung Anwendungen Zusammenfassung Literatur TU Dresden, Folie 14 von 16

24 Zusammenfassung / Fazit das Benfordsche Gesetz eigenet sich wie andere Verteilungen zur Überprüfung von Messreihen es sollte daher mit anderen Verteilungen in Programmbibliotheken aufgenommen werden auch Überprüfung studentischer Arbeiten oder wissenschaftlicher Veröffentlichungen ist denkbar TU Dresden, Folie 15 von 16

25 Literaturhinweise Norbert Hüngerbühler, Benfords Gesetz über führende Ziffern mat/analyis/benford/ (didaktisch aufbereiter Artikel zu Benfords Gesetz) Stefan Günnel, Karl-Heinz Tödter, Does Benford s law hold in economic research and forecasting? Ian Stewart, Das Gesetz der ersten Ziffer, Spektrum der Wissenschaft, April 1994, S. 16 ff TU Dresden, Folie 16 von 16

26 Andere Verteilungsfunktionen Gleichverteilung (Gesetz der großen Zahl) Poisson-Verteilung (Gesetz der kleinen Zahl) Binomialverteilung Normalverteilung (Gauß-Verteilung) TU Dresden, Folie 17 von 16

27 Geeignete Signifikanztests Chi-Quadrat-Test χ 2 P = m (n j n jo ) 2 n jo j=1 mit n j : gezählte Werte, n jo : Werte nach Verteilungsfunktion Kolmogorow-Smirnow-Test d oi = S(x i ) F 0 (x i ) d ui = S(x i 1 ) F 0 (x i ) ip n mit S(x i ): j n, F ip 0(x i ): n=1 n=1 n jo n TU Dresden, Folie 18 von 16

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