Parameterschätzung für Poisson-Verteilungen bei unvollständiger Beobachtung

Transkript

1 Sttst Prmtrschätzug für Posso-Vrtlug b uvollstädgr Bobchtug Mchl Wody Isttut für Bomtr ud Mdzsch Iformt W.-Rthu-Str Grfswld wody@bomtr.u-grfswld.d Zusmmfssug Btrchtt wrd d Schätzug ds Prmtrs r Posso-Vrtlug. tsprcht dr rwrtt Azhl vo Objt r dfrt Prob. D uvollstädg Bobchtug rsultrt drus, dss d zl Prob d trssrd Objt cht drt gzählt wrd ö. Durch tsprchd Exprmt ur tschd wrd, ob d Objt vorhd wr odr cht. Solch Problmstllug fdt m z. B. dr Mdz ud Bolog. D Schätzug vo rgbt sch us dr xprmtll Auswrtug dfrtr Vrdüugsrh. Es wrd chgws, dss d bt ML- Schätzug dutg bstmmt st. Für d Mmum-χ -Schätzug glgt ds cht. Es rgbt sch br, dss d vrrt Mmum-χ -Mthod ud d ML-Schätzug übrstmm. Für d Schätzug ö symptotsch Kofdztrvll ggb wrd. I dr Ltrtur wrd mpfohl, cht drt, sodr µ:=l( zu schätz, wl dr Vrtlug r Normlvrtlug "ählchr" sht. I m Smultosxprmt wurd fstgstllt, dss bd Schätzug ds α Rso hlt. D vorggb vrrt zwsch ud 30. Als rchtchsch Lösug wrd SAS-Progrmm vorgstllt. Durch d Vrwdug vo Arrys d vorgschlg Lösug mt dm Stdrdumfg vo SAS gutzt wrd. Schlüsslwörtr: Posso-Vrtlug, ML-Schätzug, Smultosxprmt. ML-Schätzug ud dutg Lösbrt I d bologsch ud mdzsch Wssschft trtt häufg folgds Schätzproblm uf: I r größr Probmg soll d Azhl gwssr Tlch pro Volumht bstmmt wrd. Ds ö Mroorgsm m Bod odr Krbszll Körprflüssgt s. Ds Problm bstht dr, dss d zu zähld Objt cht drt bobchtbr sd. Durch bstmmt Duplzrugsvrfhr, Azüchtugsvrsuch odr chmsch Tsts st ur tschdbr, ob sch dr Volumht d gsucht Objt bfd odr cht. Es st b m postv Ausgg ds Exprmts cht zu sg, w vl s gws sd. Dr Tst st qulttv, cht qutttv. E orts Bspl st d Kochmrstrspltto b bösrtg Blutrr- 369

2 M. Wody ug. Nchdm d Ptt durch Chmothrp ds g blutbldd Org zrstört wurd, wrd Kochmr s Spdrs fudrt. D Stmmzll sdl sch ud bu us Systm uf. W pssdr Spdr gfud wrd, sd Egspd möglch Altrtv. Ds gwo Kochmr wrd xtr so bhdlt, dss möglchst wg rhft Zll übrlb. Um bzuschätz, w vl Krbszll sch och dm zur Trspltto vorgsh Mtrl bfd, wrd dfrt Prob tomm ud ds so lg vrmhrt, bs vtull Krbszll chwsbr sd. Um Schätzug dr Azhl zu rmöglch, wrd dfrt Vrdüugsrh ds Mtrls rzugt ud mt jdr Vrdüugsstuf gwss Azhl dr Dupltosvrsuch odr Tsts durchgführt. W d dfür vrwdt Mg jdr Stuf ostt Volumht blbt, vrrgrt sch d Whrschlcht dfür, dss sch d gsucht Objt d Probvolum bfd dm Vrhälts dr Vrdüug ud d Azhl dr postv Tstrgbss d Stuf ght gg Null mt wchsdr Vrdüug. Grudvorusstzug zur Lösug ds Ausggsproblms st, dss d Azhl dr zu bstmmd Objt ggübr d dr Tlch dr Prob shr l st. Dmt ghorcht dr Azhl X pro Volumht r Posso-Vrtlug mt dm Prmtr. Es glt 370 j P( X = j =, j=0,,,3. j! Dmt st bschrb, mt wlchr Whrschlcht sch m fxrt Volum gu j dr gsucht Objt bfd. D dr Erwrtugswrt r possovrtlt Zufllsgröß glch st, tsprcht dr gsucht mttlr Azhl vo Objt pro Volumht dr Ausggsprob. W scho usgführt, ufgrud dr Vrsuchsbdgug ur tschd wrd, ob sch d Probtöpfch r Volumht Objt bfud hb odr cht. D Atwort st gtv mt dr Whrschlcht - (ds tsprcht P(X=0 ud tsprchd postv mt - - (P(X 0. Es soll gomm wrd, dss Prob gomm word sd ud utr ds postv rgrt hb. B m Bomlstz st d Whrschlcht dfür, dss grd Vrsuch postv usgh P( B = = ( ( ( W gomm wrd, dss - Vrdüugsstuf V, =,...,, gfrtgt wrd, d zur Ausggsoztrto V m Vrhälts V V =:v sth, jdr Stuf Vrsuch durchgführt wrd ud dvo postv usgh, glt für jd Stuf v v ( P( B = = ( (, =,,. I dr Prxs wrd m Allgm d Vrdüugsstuf Zwrpotz g-

3 Sttst lgt, d. h. vo r Stuf zur ächst wrd uf d Hälft vrdüt, sodss sch d Volumht m Mttl hlb so vl Objt bfd w dr vorhrghd Stuf. Um d Argumtto cht uötg omplzrt zu mch, soll vo so r Vrdüugsrh usggg wrd. Es glt d v = -, =,,...,. D Argumtto glt uch für blbg v. Wchtg st d Fststllug, dss zur Erzugug jdr Vrdüugsstuf mmr wdr uf ds Ausggsmtrl zurücggrff wrd. Um zu r, dss d Vrsuch dr gsmt Vrdüugsrh stochstsch ubhägg sd, d m sch lsts Schöpfgfäß vo - Volumht. Mt dsm wrd mmr wdr us dm Ausggsmtrl tomm. D - -fch Vrdüug uch mt dsm lst Topf rlsrt wrd, wrd Probthm bötgt um d Vrsuch dr ltzt Vrdüugsstuf zu rlsr. I dr dvor lgd Stuf st d Koztrto m Mttl dopplt so hoch, sodss für jd dr - Prob j zw Ihlt ds lst Schöpfgfäßs bötgt wrd. E Prob dr (--t Stuf zgt ur d gtvs Rsultt, w sch bd Ihlt Objt bfdt: P( B = 0 P( B = 0 = = = P( B = 0. Dmt sd d zl Probthm ubhägg. Dr Prmtr wrd so bstmmt, dss d Azhl dr ort ufgtrt postv Ergss,,..., mxml Whrschlcht bstzt. Aufgrud dr stochstsch Ubhäggt bdutt ds, dss d Llhoodfuto : = = ( ( ( mxml gmcht wrd muss. D dr türlch Logrthmus L strg mooto Futo st, stll vo uch d fchr zu bhdld Futo L( = = L + L( ( mxmrt wrd. Ds st ur für >0 dfrt. Notwdg Bdgug für lols Extrmum st dl( = L( ' = d = ( = Ds Futo st ur für =0 cht dfrt. Für postv glt lm L ( ' = + bzw. = lm L( ' 0 = ud für (cht trssrd gtv lm L ( ' =, lm L( ' = 0 < 0. = Wl d zwt Abltug 0. ( 37

4 M. Wody d L( d = L( " = = ( ( lr ls Null st für ll 0, st L(' strg mooto flld für ll 0. Dmt xstrt gu Nullstll vo L(' ud zgs lols Mxmum * dr Mxmum-Llhood-Futo bzw. L(. Dss st größr ls Null, w wgsts < xstrt. * = ML z. B. mt dm Nwto-Vrfhr trtv bstmmt wrd: L( ' + := - L( ", =0,,,...,m. Als Strtwrt 0 sollt l Wrt butzt wrd. Bwährt ht sch 0 =0.0. Als zusätzlch Schrht ö währd ds Itrtosprozsss uftrtd gtv + durch d Btrg rstzt wrd. Groß Strtwrt führ ufgrud dr Gstlt vo L(' lchtr zur Dvrgz (vrglch Abbldug. D symptotsch Vrz V( ML ds Mxmum-Llhood-Schätzrs rgbt sch zu V ( ML = L( Ml " (FISHER 9. Dmt pproxmtvs (-α-kofdztrvll durch d Bzhug ML ± z -α V( ML ggb wrd. E dr Möglcht st d Bschrbug ds Vrsuchsufbus durch Polyomlmodll. Ds Vrsuchsrgbs tsprcht r Stchprob, b dr Ergss mt d Whrschlcht ( ud ( - Ergss mt d Whrschlcht, =,,,, uftrt. Dr Stchprobumfg tsprcht N=. D dr Polyomloffzt ubhägg vo st, rhält m d glch = ML-Schätzr w bm obg Bomlmodll. Bspl Als Bspl s Vrdüugsrh mt =5 Stuf, v = - ud =0 für ll vo bs 5 vrwdt. D Azhl dr postv Vrsuchsusgäg s =0, =0, 3 =5, 4 = ud 5 =0. D rst Abbldug zgt Ausschtt dr Futo L(. 37

5 Sttst Abbldug : Ausschtt dr Futo L( zu d Bspldt Abbldug : Ausschtt dr Abltug L(' D Schätzug lfrt ML = Als Vrz rhält m V( ML = 0.84 ud somt rgbt sch pproxmtvs 0.95-Kofdztrvll vo [.036,.430]. 373

6 M. Wody 3 Smulto Zl ds Smultosxprmts st dr Vrglch ds ML-Schätzrs ML mt r Modfto. Es wrd cht drt, sodr µ:=l( gschätzt. Dss Vorgh wrd vorgschlg, wl d Vrtlug dr µ ML r Normlvrtlug "ählchr" sht ls d dr ML (vrglch Fcs d St. Groth 98 ud Mc 999. D Bzhug ( ght übr L(L (µ = L = + L( xp( µ ( Es s µ ML dr bflls dutg bstmmt Mxmum-Llhood-Schätzr für µ. Dsr bstzt d symptotsch Vrz Vr(µ ML = -L(L (µ ML " ud ds pproxmtv (-α-kofdztrvll G ± := µ ML ± z -α. Vr ( µ ML Dr gtlch gsucht Schätzr folgt us = ML = µml ud dss pproxmtvs Kofdztrvll us [ G-, G + ]. ( µ. Abbldug 3: Vrtlug dr gschätzt Azhl ML b m Smultosxprmt mt =.59, = 5, = 0, =,,,5, ud m Smultosumfg vo

7 Sttst Abbldug 4: Vrtlug dr gschätzt µ ML mt µ = L( = L(.59= b m log Smultosxprmt. I Tbll sd b vrrt vorggb ud sost uvrädrt Smultosbdgug mt =5 ud =0, =,,,, ud 0 5 Rus utr drm d rmttlt α-rs ufgführt, mt dm ds vorggb cht m brcht pproxmtv 0.95-Kofdztrvll thlt wr. M bcht, dss b Bbhltug vo ud mt wchsdm d Whrschlcht für = bsodrs b l wächst. Kosquz st größr mprsch Stdrdbwchug. Dshlb st b =0 ud =30 =0 vrwdt word. Tbll : Smultosrgbss b dr ML-Schätzug vo. Vorggbs Mttlwrt dr ML mprsch Stdrdbwchug α-rso b dr Smulto dr ML Ds α-rso wrd d hr utrsucht Brch vo uch b dr Schätzug vo ML m Wstlch ghlt. I Tbll sd b d glch vorggb ud sost uvrädrt Smultosbdgug d Ergbss dr ML-Schätzug vo µ=l( mtgtlt. Ds α- Rso tsprcht wdr dr rltv Häufgt, mt dr ds vorggb cht d übr ( brcht 0.95-Kofdztrvll thlt wr. 375

8 M. Wody 376 Tbll : Smultosrgbss b dr ML-Schätzug vo µ Vorggbs Mttlwrt µ mt dr µ ML mt = µ mt mprsch Stdrdbwchug dr µ ML α-rso Ds α-rso wrd ghlt. Es scht, dss = µ bssrr Schätzr st, wl mt = µ mt ähr m vorggb lgt. Ds wrd br durch ds Logrthmr vorgtäuscht. Brcht m b jdm Smultosschrtt us µ ML ds gschätzt, rgbt d Auswrtug log Ergbss w Tbll, d zu vorggb Ausggsdt st ML = µ ML. D Putschätzr stmm übr. 4 Adr Schätzmthod 4. D Mmum- χ -Mthod Ausggsput dsr Schätzug vo st ds PEARSON sch χ = χ ( = ( ( = + ( ( = ( = ( Notwdg Bdgug für lols Extrmum st χ ( ' = = + + ( ( ( ( ( = 0.

9 Sttst Abbldug 5: χ ( für d Bspldt Abbldug 6: D Abltug χ ( '. D dutg Lösug dr Glchug χ ( ' = 0 für >0 lässt sch ll us d Mootogschft dr zwt Abltug cht für d llgm Fll hrlt. 377

10 M. Wody 4. D vrrt Mmum-χ -Mthod B dr vrrt Mmum-χ -Mthod wrd ur dr Zählr dr Summd vo χ = χ ( bgltt ud dr Nr ls ostt btrchtt. Es tstht d Futo ( Vrχ ( =, = ( dr Nullstll brcht wrd müss. Nch glchztgr Addto ud Subtrto vo m Zählr rhält m Vrχ = ( + ( +. ( ( = = = D Nullstll dsr Futo stmm mt d vo L(' übr. Drus folgt, dss b dr vorlgd Problmstllug d Mxmum-Llhood-Schätzug ud d Schätzug ch dr vrrt Mmum-χ -Mthod dtsch sd (vrglch uch Rsch, St 3. 5 SAS-Lösug %LET Az_Vrd=5; * Azhl dr Vrdüug odr Dmso dr Vtor, ud VR; DATA ERG(KEEP = Lmbd Abl utr_kof_grz obr_kof_grz; ARRAY {*} -&Az_Vrd; ARRAY {*} -&Az_Vrd; ARRAY VR{*} VR-VR&Az_Vrd; INPUT {*} {*} VR{*}; =DIM(; Lmbd=0.0; Dl=0; WEI:Abl=0; Abl=0; DO = TO ; =Exp(LmbdVR[]; Abl=Abl + []VR[](- - ([]-[]VR[]; Abl=Abl - []*(VR[]*(-**; END; Dl=Dl+; IF Dl>50 THEN GOTO AU; Lmu=ABS(Lmbd - AblAbl; IF ABS(Lmbd - Lmu<E- THEN GOTO AU; Lmbd=Lmu; GOTO WEI; AU:StAbw=SQRT(-Abl; utr_kof_grz=lmbd *StAbw; 378

11 Sttst obr_kof_grz =Lmbd *StAbw; OUTPUT; *************************************************************** * Dt dr Vrdüugsvrsuch * *. Zl: Azhl dr Vrsuch [] d Vrdüugsrh * *. Zl: Azhl dr postv Ergbss [] vo [] * * 3. Zl: Vrdüugsftor VR[] * *************************************************************** DATALINES; ; RUN; TITLE "ML-Schätzug dr mttlr Azhl Lmbd us Vrdüugsstuf"; TITLE "mt zughörgm pproxmtvm 0.95-Kofdztrvll."; PROC PRINT DATA=ERG NOOBS; RUN; PROC DELETE DATA=ERG; RUN; TITLE; TITLE; 5. Progrmmusgb ML-Schätzug dr mttlr Azhl Lmbd us Vrdüugsrh mt zughörgm pproxmtvm 0.95-Kofdztrvll. utr_ obr_ Kof_ Kof_ Lmbd Abl grz grz e Lmbd: ML-Schätzug für Abl: L(Lmbd ' Lgt Abl cht h b Null, d s sch cht um d Lösug hdl. Ds Nwto-Vrfhr ht b d vorgsh 50 Itrto ovrgt Folg rzugt. 379

12 M. Wody Ltrtur [] d St. Fzs, S. Groth,: Th vluto of lmtg dluto ssys. J. Immuol. Mthods, 49,, 98. [] R.A. Fshr: O th mthmtcl foudtos of thortcl sttstcs. Phlos. Trs. R. Soc. Lodo, A. -309, 9. [3] C. Mc: Dsg d lyss of srl lmtg dluto ssys wth smllsmpl szs. Jourl of Immuologcl Mthods, 3-9, 999. [4] D. Rsch: Eführug d mthmtsch Sttst Bd I Dutschr Vrlg dr Wssschft Brl, 978. [5] C. Tswll: Lmtg dluto ssys fort th sprto, chrctrzto, d quttto of bologclly ctv prtcls d thr clol progy I: T.G. Prtlow, T.P. Prtlow (Eds: Cll Sprto: Mthods d Slctd Applctos, Vol 4, Acdmc Prss, Nw Yor, 987 [6] SAS Isttut Ic.: SAS Lgug: Rfrc Vrso 6, Frst Edto. Cry, NC 753,