5. Praktikum. Maximal drei Personen in jeder Gruppe. Matrikelnummer: Die Vorbereitungsaufgaben sind vor dem Praktikumstermin zu lösen!

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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Stephanie Geist Behrang Monajemi Nejad Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik 5. Praktikum Maximal drei Personen in jeder Gruppe Name: Name: Name: Matrikelnummer: Matrikelnummer: Matrikelnummer: Datum: Die Vorbereitungsaufgaben sind vor dem Praktikumstermin zu lösen! 1 Einleitung Die Antwort des Körpers auf schwere Verletzungen beinhaltet oftmals Störungen des - Stoffwechsels. Ein hoher -Gehalt im Blut erhöht das Risiko von schweren Infektionen, Neuropathie und Multiorganversagen. In diesen Fällen ist eine künstliche Anpassung der Blutzuckerwerte mittels Verabreichung von Insulin oder unabdingbar, besondere auf Intensivstationen. Eine Regelung der Blutglukose reduziert die Sterblichkeit bei Patienten in Intensivstationen um bis zu 45 %. 2 Modellbeschreibung 2.1 Physiologische Beschreibung In Abbildung 1 ist das Prinzip des Kohlenhydrate-Stoffwechsels zu entnehmen. Die Tabelle 1 beinhaltet eine Zusammenfassung der medizinischen Begriffe. 1

2 Darm Kohlenhydrat Adenosintriphosphat (ATP) CO 2 + H 2 O Zentralnervensystem (ZNS) NIMGU NIMGU GLUT 4 NEFA Glycerin Triglyceride Fettgewebe NIMGU Leber Glykogen cats glcg cats cort Gluconeogenese Glykogen glcg cats GLUT 4 Glucose 6 phosphat Glykolyse Pyruvat CO 2 Lactat Skelettmuskulatur Glycerin Lactat Aminosäure glcg Abbildung 1: Kohlenhydrate-Stoffwechsel. cats: Katecholamine; glcg: Glucagon; : Insulin; NIM- GU: not-ulin-mediated glucose uptake (nicht durch Insulin verursachte -Aufnahme); GLUT- 4: Glucosetransporter. 2

3 Begriff Insulin Glucagon Katecholamine GLUT-4 Glykogen Gluconeogenese Cortisol Glucose-6-phosphat Glykolyse Glycerin Adenosintriphosphat NEFA Erklärung Tabelle 1: Medizinische Begriffe ist ein Einfachzucker und gehört damit zu den Kohlenhydraten. Sie ist die wichtigste Energiequelle für den Körper Insulin ist ein Peptidhormon, das in den β-zellen der Bauchspeicheldrüse gebildet wird, und ist das einzige Hormon, das den Blutzuckerspiegel senken kann. Glucagon ist ein Peptidhormon, dessen Hauptaufgabe die Erhöhung des Blutzuckerspiegels ist. Katecholamine, auch Catecholamine oder Brenzcatechinamine, sind eine Klasse von körpereigenen und künstlichen Stoffen, die an den sympathischen Rezeptoren des Herz- Kreislaufsystems eine anregende Wirkung haben. Zu ihnen gehören beispielsweise Adrenalin und Noradrenalin. Dieses Transporter-Protein ist für die durch Insulin angeregte -Aufnahme im Muskel und Fettgewebe verantwortlich. Das Glykogen ist ein Vielfachzucker, der aus -Einheiten aufgebaut ist. Glykogen dient der kurz- bis mittelfristigen Speicherung und Bereitstellung des Energieträgers im menschlichen und tierischen Organismus. In Leber- und Muskelzellen wird bei einem Überangebot von Kohlenhydraten Glykogen aufgebaut. Bei vermehrtem Energiebedarf des Körpers wird das in der Leber gespeicherte Glykogen wieder zu aufgespalten und dem Gesamtorganismus zur Verfügung gestellt. Die Muskelzellen nutzen Glykogen ausschließlich zur Deckung ihres eigenen Energiebedarfs. Dieser Vorgang wird als Glykogenolyse bezeichnet. Die Gluconeogenese ist eine Neusynthese von aus organischen Nicht-Kohlenhydrat- Vorstufen wie Pyruvat. Cortisol ist ein Steroidhormon und hat im Stoffwechsel vor allem Effekte auf den Kohlenhydrathaushalt (Förderung der Glukoneogenese in der Leber) und den Fettstoffwechsel (Förderung der lipolytischen Wirkung von Adrenalin und Noradrenalin). Glucose-6-phosphat ist ein organisches Molekül, das im Stoffwechsel fast aller Lebewesen eine wichtige Rolle spielt. Es besteht aus einem -Molekül (Traubenzucker), an dessen sechstem Kohlenstoffatom ein Phosphatrest angehängt ist. Glykolyse ist der erste Teil des -Abbaus in den Zellen. In diesem biochemischen Vorgang wird ein Molekül in zwei Pyruvat-Moleküle umgewandelt. Glycerin oder Glycerol ist die gebräuchliche Bezeichnung von Propantriol und stellt einen dreiwertigen Zuckeralkohol dar. Adenosintriphosphat (ATP) ist ein energiereicher Baustein der Nukleäuren DNA und RNA. ATP ist jedoch auch die universelle Form unmittelbar verfügbarer Energie in jeder Zelle und gleichzeitig ein wichtiger Regulator energieliefernder Prozesse. Not Esterified Fatty Acid 3

4 2.2 Mathematisches Modell Das Stoffwechselmodell eines Diabetikers (Typ I) ist gegeben durch: dg(t) dt dx(t) dt di F (t) dt = (P 1 X(t)) G(t) P 1 G 0 + F G(t) V G, F G (t) = 0, = P 2 X(t) + P 3 (I F (t) I 0 ), = F I(t) V I ni F (t). Nomenklatur und Modellparameterwerte sind in den Tabellen 2 und 3 angegeben. Tabelle 2: Nomenklatur Zustand Erklärung Einheit G Blutzuckerkonzentration mmol/l X Insulinwirkung 1/min I F Konzentration des freien Plasmaul mu/l Parameter Erklärung Einheit G 0 Basalwert des Blutzuckers mmol/l I 0 Basalwert des Plasmaul mu/l F G Exogene infusionsrate mmol/min F I Insulininfusionsrate mu/min V G verteilungsvolumen l V I Insulinverteilungsvolumen l P 1 wirkungsgrad 1/min P 2 Verzögerung der Insulinwirkung 1/min P 3 Verzögerung der Wirkung des infundierten Insul L/( 6 min 2 mu) n Insulinzerfallsrate 1/min Tabelle 3: Modellparameter für 70 Kg Körpergewicht Parameter Wert Einheit G mmol/l I 0 15 mu/l V G 12 l V I 12 l n /min P /( 2 min) P /( 2 min) P 3 13 L/( 6 min 2 mu) 4

5 3 Vorbereitungsaufgaben Aufgabe 5.1 (Linearisierung) Der Reglerentwurf soll anhand der Linearisierung des gegebenen diabetischen Stoffwechselmodells durchgeführt werden. Die Linearisierung des Modells soll an folgendem Arbeitspunkt erfolgen: G s = G 0 = 4.5 mmol/l, X s = X 0 = 0 1/min, I F s = I F 0 = 15 mu/l, F I s = F I0 = U/h. Geben Sie die linearisierte Differentialgleichungen an, die die Dynamik des Stoffwechsels mit dem Eingang F I (t) und dem Ausgang G(t) beschreiben. Aufgabe 5.2 (Übertragungsfunktion) Die Eingangsgröße des Systems u ist hier die Infusionsrate des Insul F I (t). Die Ausgangsgröße y ist der Blutzuckerwert G(t). Wählen Sie als Zustände des Systems x 1 = G, x 2 = X und x 3 = I F und bestimmen Sie die resultierende Zustandsraumdarstellung für das System in der Form ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), (1) y(t) = Cx(t) + Du(t). (2) 5

6 Geben Sie die Übertragungsfunktion G p (s) des Systems an. 4 Praktikumsaufgaben Ziel ist der Entwurf einer künstlichen Regelung für die Blutzuckerkonzentration eines Patienten unter der Annahme, dass die Insulininfusion mittels einer Pumpe intravenös erfolgt und dass mittels eines Sensors mit einer Zeitkonstante τ s von Minuten eine messung vorliegt. Die Übertragungsfunktion des Sensors ist gegeben durch G Sensor (s) = 1 τ ss+1. Der Regelkreis ist in Abbildung 2 dargestellt. Die Regelung ist danach simulativ zu erproben, wobei ein ini- Referenz Regler Intravenöse Insulininfusionsrate F I Modell des /Insulin- Stoffwechels y Sensorglukose 1 τ s s + 1 Blutzucker G Messrauschen Sensordynamik Abbildung 2: Regelkreis tialer Blutzuckerwert von mmol/l angenommen wird und der Zielwert 5,5 mmol/l beträgt. Die Regelung ist so auszulegen, dass der Sollwert möglichst schnell, jedoch ohne großes Unterschwingen (4 mmol/l darf nicht unterschritten werden.) erreicht wird. Hierbei ist zu beachten, dass die Stellgröße (Infusionsrate von Insulin) auf den Bereich 0 F i 30 U/h beschränkt ist. Aufgabe 5.3 (Reglerstruktur und Wurzelortskurve) Begründen Sie, warum die Wahl eines Reglers mit I-Anteil notwendig ist. 6

7 1 T Für dieses Regelungsproblem wird ein PID-Regler (K(s) = k I s+t I T D s 2 p T I ) vorgeschlagen. Entscheiden Sie anhand der Wurzelortskurve, wo die Nullstellen des Reglers plat- s(1+t s) ziert werden müssen. Hinweis: Die beiden langsameren Pole der Systemübertragungsfunktion sollen durch die Nullstellen des Reglers kompensiert werden. Begründen Sie anhand der WOK, warum diese Wahl sinnvoll ist. Die noch zu vergebene Polstelle des Reglers wählt man so, dass deren Zeitkonstante ungefähr 5-mal schneller als die schnellste Zeitkonstante von G p (s)g Sensor (s) ist. Begründen Sie diese Entscheidung und skizzieren Sie die Wurzelortskurve. Aufgabe 5.4 (Bodediagramm) Um ein Unterschwingen und damit eine Unterzuckerung der Patienten zu vermeiden, muss eine Phasenreserve von mindestens 60 erreicht werden. Skizzieren Sie das Bodediagramm des 7

8 Phase von G(s)Gf (s)k(s) in degree Betrag von G(s)Gf (s)k(s) in db offenen Regelkreises K(s)G p (s)g Sensor (s). Stellen Sie die Verstärkung des Reglers anhand des Bodediagramms entsprechend ein und geben Sie die Übertragungsfunktion des Reglers an. Hinweis: Es ist zu beachten, dass die Frequenzachse in rad dargestellt werden soll. s ω in rad s ω in rad s Aufgabe 5.5 (Quantitative Regelkreiseigenschaften) Geben Sie die Übertragungsfunktionen der Sensitivitätsfunktion und der komplementäre Sensitivitätsfunktion an. 8

9 Skizzieren Sie die Amplitudenverläufe der Frequenzgänge der beiden Funktionen. Aufgabe 5.6 (Simulation in Scilab) Simulieren Sie den Regelkreis in Scilab (Scilab-Anweisung csim). Skizzieren Sie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises für eine Sprung von 0 auf 4.5 mmol/l. Aufgabe 5.7 (Simulation in Scicos 1 ) Implementieren Sie das nichtlineare Modell in Scicos (mithilfe von nichtlinearen Blöcken). Implementieren Sie den in Abbildung 2 dargestellten Regelkreis in Scicos und Simulieren Sie den Regelkreis. 1 Zusatzaufgabe 9