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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raich Dipl.-Ing. Anne-Kathrin He Dipl.-Ing. Thoma Seel Fachgebiet Regelungyteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Techniche Univerität Berlin Integrierte Lehrverantaltung Grundlagen der Regelungtechnik 5. Praktikum Die Abgabe der Vorbereitungaufgaben erfolgt einzeln, im Praktikum können dann wieder 3er-Gruppen gebildet werden. Name: Matrikelnummer: Datum: Die Vorbereitungaufgaben ind päteten am Montag, den 7. Februar, um 16:3Uhr bei einem Tutor oder bei Thoma Seel in EN-233 abzugeben! Konultationen zu den Vorbereitungaufgaben werden nur bi echließlich Freitag, den 4. Februar, angeboten! 1 Einleitung Die Antwort de Körper auf chwere Verletzungen beinhaltet oftmal Störungen de - Stoffwechel. Ein hoher -Gehalt im Blut erhöht da Riiko von chweren Infektionen, Neuropathie und Multiorganveragen. In dieen Fällen it eine küntliche Anpaung der Blutzuckerwerte mittel Verabreichung von Inulin oder unabdingbar, beondere auf Intenivtationen. Eine Regelung der Blutglukoe reduziert die Sterblichkeit bei Patienten in Intenivtationen um bi zu 45 %. 2 Modellbechreibung 2.1 Phyiologiche Bechreibung In Abbildung 1 it da Prinzip de Kohlenhydrate-Stoffwechel zu entnehmen. Die Tabelle 1 beinhaltet eine Zuammenfaung der medizinichen Begriffe. 1

2 Darm Kohlenhydrat Adenointriphophat (ATP) CO 2 + H 2 O Zentralnervenytem (ZNS) NIMGU NIMGU GLUT 4 NEFA Glycerin Triglyceride Fettgewebe NIMGU Leber Glykogen cat glcg cat cort Gluconeogenee Glykogen glcg cat GLUT 4 Glucoe 6 phophat Glykolye Pyruvat CO 2 Lactat Skelettmukulatur Glycerin Lactat Aminoäure glcg Abbildung 1: Kohlenhydrate-Stoffwechel. cat: Katecholamine; glcg: Glucagon; : Inulin; NIM- GU: not-ulin-mediated glucoe uptake (nicht durch Inulin verurachte -Aufnahme); GLUT- 4: Glucoetranporter. 2

3 Begriff Inulin Glucagon Katecholamine GLUT-4 Glykogen Gluconeogenee Cortiol Glucoe-6-phophat Glykolye Glycerin Adenointriphophat NEFA Erklärung Tabelle 1: Mediziniche Begriffe it ein Einfachzucker und gehört damit zu den Kohlenhydraten. Sie it die wichtigte Energiequelle für den Körper Inulin it ein Peptidhormon, da in den β-zellen der Bauchpeicheldrüe gebildet wird, und it da einzige Hormon, da den Blutzuckerpiegel enken kann. Glucagon it ein Peptidhormon, deen Hauptaufgabe die Erhöhung de Blutzuckerpiegel it. Katecholamine, auch Catecholamine oder Brenzcatechinamine, ind eine Klae von körpereigenen und küntlichen Stoffen, die an den ympathichen Rezeptoren de Herz- Kreilaufytem eine anregende Wirkung haben. Zu ihnen gehören beipielweie Adrenalin und Noradrenalin. Diee Tranporter-Protein it für die durch Inulin angeregte -Aufnahme im Mukel und Fettgewebe verantwortlich. Da Glykogen it ein Vielfachzucker, der au -Einheiten aufgebaut it. Glykogen dient der kurz- bi mittelfritigen Speicherung und Bereittellung de Energieträger im menchlichen und tierichen Organimu. In Leber- und Mukelzellen wird bei einem Überangebot von Kohlenhydraten Glykogen aufgebaut. Bei vermehrtem Energiebedarf de Körper wird da in der Leber gepeicherte Glykogen wieder zu aufgepalten und dem Geamtorganimu zur Verfügung getellt. Die Mukelzellen nutzen Glykogen auchließlich zur Deckung ihre eigenen Energiebedarf. Dieer Vorgang wird al Glykogenolye bezeichnet. Die Gluconeogenee it eine Neuynthee von au organichen Nicht-Kohlenhydrat- Vortufen wie Pyruvat. Cortiol it ein Steroidhormon und hat im Stoffwechel vor allem Effekte auf den Kohlenhydrathauhalt (Förderung der Glukoneogenee in der Leber) und den Fetttoffwechel (Förderung der lipolytichen Wirkung von Adrenalin und Noradrenalin). Glucoe-6-phophat it ein organiche Molekül, da im Stoffwechel fat aller Lebeween eine wichtige Rolle pielt. E beteht au einem -Molekül (Traubenzucker), an deen echtem Kohlentoffatom ein Phophatret angehängt it. Glykolye it der erte Teil de -Abbau in den Zellen. In dieem biochemichen Vorgang wird ein Molekül in zwei Pyruvat-Moleküle umgewandelt. Glycerin oder Glycerol it die gebräuchliche Bezeichnung von Propantriol und tellt einen dreiwertigen Zuckeralkohol dar. Adenointriphophat (ATP) it ein energiereicher Bautein der Nukleäuren DNA und RNA. ATP it jedoch auch die univerelle Form unmittelbar verfügbarer Energie in jeder Zelle und gleichzeitig ein wichtiger Regulator energieliefernder Prozee. Not Eterified Fatty Acid 3

4 2.2 Mathematiche Modell Da Stoffwechelmodell eine Diabetiker (Typ I) ei gegeben durch: dz(t) dt dw (t) dt di(t) dt = (P 1 W (t)) Z(t) P 1 Z + F Z(t) V Z, = P 2 W (t) + P 3 (I(t) I ), = F I(t) V I P I(t). Erläuterungen der Formelzeichen owie deren Einheiten ind Tabelle 2 zu entnehmen. Da Modell ermöglicht die Unteruchung der Wirkung von exogener infuionrate F Z (t) und Inulininfuionrate F I (t) auf die Blutzuckerkonzentration Z(t). Da jedoch nur der Einflu der Inulininfuionrate F I (t) im Foku der Unteruchungen tehen oll, wählen wir vereinfachend F Z (t) für alle folgenden Betrachtungen. Tabelle 2: Nomenklatur dyn. Größen Erklärung Einheit Z(t) Blutzuckerkonzentration mmol/l W (t) Inulinwirkung 1/min I(t) Konzentration de freien Plamaul mu/l F I (t) Inulininfuionrate mu/min F Z (t) Exogene infuionrate mmol/min Parameter Erklärung Einheit Z Baalwert de Blutzucker mmol/l I Baalwert de Plamaul mu/l V Z verteilungvolumen l V I Inulinverteilungvolumen l P Inulinzerfallrate 1/min P 1 wirkunggrad 1/min P 2 Verzögerung der Inulinwirkung 1/min P 3 Verzögerung der Wirkung de infundierten Inul l/(min 2 mu) Für die in Abchnitt 3 geforderte Berechnung der Übertragungfunktion owie für Simulation und Reglerentwurf (Abchnitt 4) ollen folgende Parameterwerte angenommen werden: Tabelle 3: Modellparameter für 7 Kg Körpergewicht Parameter Wert Einheit Z 4.5 mmol/l I 15 mu/l V Z 12 l V I 12 l P.9 1/min P /( 2 min) P /( 2 min) P 3 13 l/( 6 min 2 mu) 4

5 3 Vorbereitungaufgaben Aufgabe 5.1 (Berechnung der Ruhelage) Der Reglerentwurf oll anhand der Lineariierung de gegebenen Modell durchgeführt werden. Betrachten Sie dazu die Ruhelage, in der die Blutzuckerkonzentration ihren Baalwert annimmt (Z RL = Z ). Geben Sie die entprechenden Werte für W RL und I RL owie die zugehörige tationäre Inulininfuionrate F I,RL an! Aufgabe 5.2 (Lineariierung) Lineariieren Sie da Stoffwechelmodell an der gefundenen Ruhelage und überführen Sie e in die Zutandraumdartellung! (Einganggröße de Sytem u ei dabei die (Abweichung der) Inulininfuionrate F I (t) (vom tationären Wert), Auganggröße y ei die (Abweichung der) Blutzuckerkonzentration Z(t) (vom tationären Wert)). Geben Sie die Matrizen A, B, C, D an! ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t). Gehen Sie nun von den in Tabelle 3 angegebenen Parameterwerten au und berechnen Sie die Übertragungfunktion G() de lineariierten Sytem. Anmerkung: E it zu beachten, da die Strecke G() einen negativen Vertärkungfaktor aufweit. Diee Problem kann leicht umgangen werden, indem man z.b. mit den bekannten Methoden (anhand der Wurzelortkurve oder im Bode-Diagramm) für die Strecke G() einen Regler entwirft und dieen dann mit ( 1) multipliziert. 5

6 4 Praktikumaufgaben Die folgenden Aufgaben ind allein zur beeren Vorbereitung gedacht und entprechen nur ehr grob den während der Praktikumtermine zu löenden Aufgaben. Ziel it der Entwurf einer küntlichen Regelung für die Blutzuckerkonzentration eine Patienten unter der Annahme, da die Inulininfuion mit Hilfe einer Pumpe intravenö erfolgt und da ein Senor die Blutzuckerkonzentration mit. Die Übertragungfunktion de Senor it gegeben durch G Senor () = 1 mit einer Zeitkontante τ τ +1 von Minuten. Der Regelkrei it in Abbildung 2 dargetellt. Die entworfene Regelung it anchließend imulativ durch Ein- Referenz Regler Intravenöe Inulininfuionrate F I Modell de /Inulin- Stoffwechel y Senorglukoe 1 τ + 1 Blutzucker G Merauchen Senordynamik Abbildung 2: Regelkrei bringen von prungförmigen Augangtörungen der Höhe 5mmol/l zu erproben. Der Regler it o auzulegen, da die Blutzuckerkonzentration möglicht chnell, jedoch ohne große Unterchwingen (4 mmol/l darf nicht unterchritten werden.) ihren Sollwert wieder erreicht. Hierbei it zu beachten, da die Stellgröße auf den Bereich F I 3 U/h bechränkt it. Aufgabe 5.3 (Reglertruktur und Wurzelortkurve) 1+T Für diee Regelungproblem wird ein realer PID-Regler (K() = k I +T I T D 2 p T I ) mit (1+T ) T = 2min vorgechlagen. Entcheiden Sie anhand der Wurzelortkurve, wo die Nulltellen de Regler platziert werden ollten! 6

7 Aufgabe 5.4 (Bodediagramm) E wird angenommen, da eine Phaenreerve von 6 aureicht, um ein Unterchwingen und damit eine Unterzuckerung der Patienten zu vermeiden. Skizzieren Sie da Bodediagramm de offenen Regelkreie K()G p ()G Senor () für k p = 1! Wählen Sie eine geeignete Reglervertärkung und geben Sie die Übertragungfunktion de Regler an. Hinwei: E it zu beachten, da die Frequenzache in rad dargetellt werden oll. Aufgabe 5.5 (Quantitative Regelkreieigenchaften) Zeichnen Sie die Amplituden- und Phaenverläufe der Frequenzgänge der Senitivitätfunktion und der komplementäre Senitivitätfunktion in ein Bode-Diagramm! Aufgabe 5.6 (Simulation in Scilab) Simulieren Sie den Regelkrei in Scilab (Scilab-Anweiung cim). Skizzieren Sie den Verlauf der Blutzuckerkonzentration für ein viertündige Szenario, in dem die Referenz zu Beginn prungförmig auf 5 mmol/l über den Baalwert und nach zwei Stunden wieder zurück geetzt wird. 7

8 6 4 2 gainindb ω in rad phaein ω in rad gainindb ω in rad phaein ω in rad 8

9 Aufgabe 5.7 (Simulation in Scico) Implementieren Sie da nichtlineare Modell (ohne die exogene infuionrate) in Scico und zeichnen Sie ein Blockchaltbild Ihre Scico-Modell! Geben ie an, nach welcher Zeit der Blutzuckerpiegel über 6 mmol/l teigt, wenn man die Inulininfuionrate prungförmig beendet! 9

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