Klausur Grundlagen der Mechatronik

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1 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matrikel-Nr.: Hinweise zur Bearbeitung: Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben. Es sind alle Aufgaben zu bearbeiten. Die Bearbeitungszeit beträgt 10 Minuten. so dass die Gesamt- Bei jeder Aufgabe können maximal 30 Punkte erreicht werden, punktzahl 10 Punkte beträgt. Beschriften Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer, und nummerieren Sie die Lösungsblätter durch. Lösungsblätter ohne Beschriftung können nicht bewertet werden. Fangen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt an. Die Aufgabenblätter sind am Schluss der Klausur mit abzugeben.

2 Aufgabe 1 1.1) Dynamisches Mehrkörpersystem (MKS) Zur statischen und dynamischen Auslegung der Bodentragkraft eines Labors sind die Kräfte zu ermitteln, die von einem Prüfstand in den Boden eingeleitet werden. Das reale System kann in Form konzentrierter Elemente wie in Abb. 1 skizziert, modelliert werden. Es besteht aus drei Starrkörpern. Der Prüftisch besitzt die Masse m T = 500 kg und ist über eine Feder (c T ) mit der Anregeeinheit gekoppelt. Die Anregeeinheit besteht im Wesentlichen aus einem E-Motor (m M = 100 kg) und einer Unwuchtmasse (m U = 50 kg). Die gleichförmige Rotationsbewegung (ω=konst.) der Unwuchtmasse stellt die Eingangsgröße in das System dar. Sie erzeugt eine Kraft die das System vertikal anregt. Der gesamte Prüfstand ist über eine Feder (c P ) sowie einen parallel dazu geschalteten Dämpfer (d P ) an den Untergrund angebunden. xt m T c T m U x m A M c P d P Abb. 1: Prüfstand Hinweise: Zentrifugalbeschleunigung a Z = ω r, Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ=konst. ; Stablänge r Die Auslenkungen x A und x T erfolgen aus der statischen Ruhelage! Horizontale Kräfte werden nicht betrachtet! a) Schneiden Sie das System frei, und tragen Sie alle relevanten Schnittkräfte ein. F U xt m T x A F ct m M F ct F cp FdP Abb. : Freigeschnittene Massen des Prüfstands b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Massen m T und m M in den Größen x A (t) und x T (t) auf.

3 Wir gehen von Zugfedern und -dämpfern aus, so dass gilt: F ct = c T (x T x A ) ; F cp = c P x A ; F dp = d P ẋ A Gleichung der Vertikaldynamik des Prüftischs m T ẍ T + F ct = 0 ẍ T = c T m T x A c T m T x T Gleichung der Vertikaldynamik der Antriebseinheit Die Unwuchtmasse wird durch die Translationsbewegung der Antriebseinheit und durch die Rotationsbewegung beschleunigt. Auf die Unwuchtmasse wirkt die vertikale Beschleunigung a U,z = r ω sin ϕ ẍ A. Der vertikale Anteil der aus der Unwucht erzeugten Kraft berechnet sich somit zu F U,z = a U,z m U = (r ω sin ϕ ẍ A ) m U m A ẍ A + F cp + F dp F ct F U,z = 0 m A ẍ A + c P x A + d P ẋ A c T (x T x A ) (r ω sin ϕ ẍ A ) m U = 0 c) Ist die Linearisierung des betrachteten Systems sinnvoll? (Begründung!) Das System ist aufgrund der starken Auslenkung (360 -Drehung der Unwuchtmasse) derart nichtlinear, dass eine Linearisierung ein lineares System hervor bringen würde, dessen Verhalten zu stark vom eigentlichen abweicht. 1.) Auslegung der Deckentragkraft a) Die statische Tragkraft der Aufstellfläche beträgt 9 kn. Ist der Boden ausreichend stark dimensioniert um den Prüfstand darauf aufbauen (nicht betreiben) zu können? (Beantworten Sie diese Frage mit einer Ungleichung!) m ges = m T + m M + m U = 650kg F N = m ges g 6.500N < 9kN max. statische Deckentragkraft b) Aus Messungen eines Referenzprüfstandes sei die Auslenkung x A (bezogen auf die statische Ruhelage) und damit auch ẋ A, ẍ A bekannt. Geben Sie eine Gleichung für die Aufstandskräfte an. Die statische Last ist zu berücksichtigen, da wir die Auslenkung x A aus der statischen Ruhelage heraus betrachten. F Aufstand = d ẋ A + c x A + (m T + m M + m U ) g 3

4 1.3) Zustandsraumdarstellung Ein mechatronisches System werde durch folgende zwei Differentialgleichungen beschrieben: d dt i(t) L + R i(t) + U EMK(t) U 0 (t) = 0 (E-Motor) (1) Θ ϕ(t) + d ϕ(t) + c ϕ(t) M M (t) + M L (t) = 0 (Welle) () Mit dem elektrischen Strom i(t), der Winkelposition der Welle ϕ(t), dem Motormoment M M (t) = k M i(t) und der elektrischen Gegeninduktion U EMK (t) = k M ϕ(t) R: elektrischer Widerstand, L: elektrische Induktivität, Θ: Drehträgheit, d: Drehdämpfung, c: Drehsteifigkeit, U 0 : Speisespannung, M L : Lastmoment a) Überführen Sie die Differentialgleichungen (1, ) in die Zustandsraumdarstellung! Einsetzen der Funktionen von Motormoment und Gegeninduktion. Auflösen der beiden DGLs nach der höchsten zeitlichen Ableitung: di dt = 1 L ( R i k M ϕ + U 0 ) ϕ = 1 Θ ( d ϕ c ϕ + k M i M L ) Zustandsraumdarstellung i R 0 k M L L i ϕ = ϕ + k ϕ MΘ c d ϕ Θ Θ 1 0 L Θ [ U0 M L ] b) Welche Komponenten sind in der Lage Energie zu speichern? die Spule speichert kinetische elektrische Energie die Drehträgheit speichert kinetische mechanische Energie die Drehsteifigkeit der Welle speichert potentielle mechanische Energie 4

5 Aufgabe.1) Operationsverstärker Für die rechts dargestellte Schaltung kann der eingesetzte Operationsverstärker als ideal betrachtet werden. a) Leiten Sie die Gleichungen, die die Schaltung beschreiben mit Hilfe der Kirchhoffschen Knoten- und Maschenregeln her! b) Geben Sie die Übertragungsfunktion G(s) = U a (s)/u e (s) an. U e i 1 R R 3 R 1 C - + i U a c) Geben Sie die Eckfrequenzen in Abhängigkeit von den elektronischen Bauelementen an. Abb. 3: Operationsverstärkerschaltung zu a) Knotengleichungen k 1 : i e = i 1 + i k : i = i a k 3 : i 3 = i 1 Maschengleichungen M 1 : U 1 + U 3 U e = 0 M : U + U 0 U 1 = 0 U 1 = U M 3 : U a U 3 U 0 U 4 = 0 mit U 1 = R 1 i 1, U = R i, U 3 = i 3 /(C s), U 4 = R 3 i a zu b) gesucht ist die Übertragungsfunktion G(s) = U a U e = U 3 + U 4 U 1 + U 3 = i 3/(C s) + R 3 i a R 1 i 1 + i 3 /(C s) i 1/(C s) + R 3 i a R 1 i 1 + i 1 /(C s) aus U 1 = U folgt R 1 i 1 = R i i = R 1 R i 1 mit i = i a folgt i a = R 1 R i 1 G(s) = U a = i 1/(C s) + R 3 ( R1 R i 1 ) = U e R 1 i 1 + i 1 /(C s) = R R 1 R 3 Cs R Cs R 1 Cs+1 Cs 1 Cs R 1R 3 R R Cs = R R 1 R 3 Cs R + R 1 R Cs = 1 R1R3Cs R 1 + R 1 Cs 5

6 zu c) Zeitkonstanten G(s) = 1 T Zjω 1 + T N jω mit T Z = R 1R 3 C, T N = R 1 C R.) Messdatenaufbereitung In Abb. 4 ist das Frequenzspektrum eines Messsignals dargestellt. Es setzt sich aus dem eigentlichen Nutzsignal sowie zwei überlagerten Störsignalen a zusammen. Die Messdaten können ohne eine Datenaufbereitung nicht sinnvoll verwendet werden! [ db ] 0 db Störsignale Nutzsignal [Hz] a aus dem Versorgungsnetz und aus der Elektronik des Sensors Abb. 4: Frequenzdiagramm a) Wie sind die Daten aufzubereiten um Aliasing zu verhindern? Tiefpassfilterung b) Wie sind die Rohdaten technisch aufzubereiten um das Nutzsignal zu erhalten? Benennen Sie die Maßnahme mit ihrer spezifischen Bezeichnung. Bandpassfilterung c) Skizzieren Sie im Frequenzdiagramm (Abb. 4) den Amplitudengang der in (b) durchgeführten Maßnahme. [ db ] Störsignale Nutzsignal 0 db [Hz] Bandpassfilter d) Abgesehen von der Bereinigung des Messsignals von den Störanteilen soll das Nutzsignal so wenig wie möglich verändert werden. Welchen Phasenverlauf sollte dann die Komponente zur Datenaufbereitung besitzen? Die durch das Filter eingebrachte Phase sollte im Bereich des Nutzsignals 0 Grad betragen, d.h. das Signal wird dann nicht verzögert ausgegeben, sondern unmittelbar. 6

7 .3) Fragen zur digitalen Signalverarbeitung Nebenstehend ist eine Encoderscheibe abgebildet. Sie wird an einer Motorwelle appliziert und ermöglicht durch optische Abtastung eine kraftrückwirkungsfreie Messung der Rotordrehung. Ihr Umfang ist in diskrete Flächen (500 weiße, 500 schwarze) eingeteilt, die von einem Laser abgetastet werden. Dabei werden die Flächenwechsel detektiert, um so auf die Winkelposition sowie die Winkelgeschwindigkeit schließen zu können. Abb. 5: Encoderscheibe a) Die Auswerteelektronik tastet mit 100 khz ab. Wie schnell (Umdrehungen/Sekunde) darf sich der Motor laut Abtasttheorem maximal drehen, damit die Auswerteelektronik des optischen Sensors die Flächenwechsel noch unterscheiden kann? Laut Shanonschem Abtasttheorem muss mindestens mit dem Zweifachen der höchsten auftretenden Frequenz abgetastet werden. Umgekehrt bedeutet dies bei einer Abtastung von 100kHz darf die höchste auftretende Frequenz maximal 50kHz betragen. Ein Umdrehung entspricht 1000 Wechseln, somit darf sich die Welle maximal mit 50 Umdrehungen pro Sekunde drehen. b) Der Motor wurde für einen Moment zu schnell betrieben, so dass zwei Flächenwechsel nicht mitgezählt wurden. Lässt sich dieser Offsetfehler anhand der Messdaten aus der optischen Messung sicher erkennen und korrigieren? Wenn ja, wie? (Begründung) Nein, da die Messung nicht absolut sondern relativ erfolgt. c) Wie wirkt sich der Offsetfehler auf die Messung der Winkelgeschwindigkeit aus? (Begründung!) Der Offsetfehler wirkt sich nur kurzfristig bei seiner Entstehung auf die Geschwindigkeitsmessung aus. Darüber hinaus beeinflußt er die Geschwindigkeitsmessung nicht! d) Wie groß ist der maximale Winkelfehler bei der gegebenen Encoderauflösung generell, sowie für zwei übersprungene Flächen? Geben Sie die Werte in Radiant an! Eine Umdrehung entspricht π rad = Stufen. Der maximale Fehler, der zwischen einer kontinuierlichen und der diskreten Abtastung auftreten kann entspricht einer halben Stufe und somit 0, 5 π rad für eine Stufe Beispiel: Für einen kontinuierlicher Wert (Ist-Wert) von 5 und zwei übersprungenen Flächen ergibt sich ein Fehler von Diskretisierungsstufen. Der Maximale Fehler tritt auf, wenn zu den übersprungenen Flächen auch noch der ohnehin vorhandene Diskretisierungsfehler hinzu kommt. Für einen kontinuierlicher Wert (Ist-Wert) von 5,5 und zwei übersprungenen Flächen ergibt sich ein Messfehler von 5, 5 3 =, 5 Diskretisierungsstufen. 7

8 Aufgabe 3 3.1) Blockschaltbilderstellung Die beiden nachfolgenden Differentialgleichungen beschreiben ein aus zwei Teilsystemen bestehendes mechanisches System. Dabei stellen x 1 (t), x (t) translatorische und ω(t) eine rotatorische Bewegung dar. Die Eingangsgröße in das System ist die externe Kraft F S (t). Es gilt zudem ẋ 1 (t) = k ϕ(t) und ω(t) = ϕ(t). d ẋ 1 (t) + c x 1 (t) = F S (t) (3) m ẍ (t) + d ẋ (t) F S (t) = d ω(t) (4) a) Stellen Sie das System in Form eines Blockschaltbildes dar, wobei keine D-Glieder verwendet werden dürfen. Auflösen nach der höchsten zeitlichen Ableitung ẋ 1 = 1 d (F S cx 1 ) ẍ = 1 ( F S dẋ d ) m k ẋ1 c F S 1/d x x 1 1 d/k F S 1/m x x x d b) Sind die beiden Systeme miteinander gekoppelt? Wenn ja, wodurch und mit welcher Wechselwirkung? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Die beiden Systeme sind einseitig verkoppelt. Dabei wirkt das Bewegungsverhalten des ersten (Index 1) auf das des zweiten, jedoch nicht umgekehrt. 8

9 3.) Blockschaltbildumformung Ein mechatronisches System werde durch das rechts dargestellte Blockschaltbild beschrieben. Die Blöcke (A bis E) repräsentieren hierbei LZI-Übertragungsglieder. + - A B Bestimmen Sie durch geeignete Umformung und Vereinfachung das Übertragungsverhalten G(s) = Y (s)/w (s). Stellen Sie jeden der Umformschritte einzeln und nachvollziehbar dar! Benennen Sie die jeweils betrachteten Konstrukte/Muster! W(s) + + C + - D E Abb. 6: Blockschaltbild Y(s) 1. Verzweigung vor dem D nach dahinter verschieben und im Abzweig eine Korrektur von D 1 vornehmen. Gegenkopplung aus D und E zusammenfassen ( D 1+DE ) 3. Parallelschaltung aus A und B zusammenfassen (A B) 4. Reihenschaltung aus C und DE-Konstrukt zusammenfassen (C D 1+DE ) 5. Mitkopplung aus CDE-Konstrukt im Vor- und AB-Konstrukt im Rückzweig zusammenfassen CD G(s) = 1 + DE CD = 1 CDD 1 (A B) 1 + DE C(A B) 1 + DE 9

10 Aufgabe 4 4.1) Zeitantwort und Endwertsatz Nachfolgende Übertragungsfunktion beschreibt das dynamische Verhalten eines mechanischen Systems. G(s) = X(s) F (s) = s + 3s + 7 s 3 + s + s + (5) a) Ermitteln Sie die Systemantwort im Zeitbereich für eine kurze kraftvolle Anregung durch einen Schlag mit einem Anregehammer. Anregung mittels Anregehammer entspricht einer Kraftimpulsanregung U(s) = F (s) = 1. Damit ist die Systemantwort im Laplace-Bereich Y (s) = G(s) F (s) = G(s) Wir erraten s = 1 als eine Nullstelle im Nenner und führen mit (s ( 1)) eine Polynomdivision durch. (s 3 + s + s + )/(s + 1) = s + Daraus folgt s + 3s + 7 (s + 1)(s + ) und somit der Ansatz A s Bs + C s + Zusammenfassen der Summanden und Koeffizientenvergleich führt auf folgendes lineare Gleichungssystem s : A + B = (6) s 1 : C + B = 3 (7) s 0 : A + C = 7 (8) Wir erhalten als Ergebnis der Partialbruchzerlegung Rücktransformation die Zeitantwort s s + und durch y(t) = 1 s s + ( ) (9) = e t + 3 sin( t) (10) b) Läßt sich der Endwertsatz auf die Systemantwort anwenden? (Begründung!) Der erste Summand klingt für t auf null ab, während der zweite Summand ewig oszilliert. Es kann daher keinen Endwert geben, der Endwertsatz ist nicht anwendbar. 4.) Übertragungsfunktion und Bode-Diagramm X soll e U M G R(s) G A(s) G (s) S X ist G (s) M Regler Aktor Strecke Messglied X Mess Abb. 7: System in der Regelschleife 10

11 Die einzelnen Komponenten besitzen die folgenden Übertragungsverhalten G R (s) = K R = (Regler) G A (s) = 10 s (Aktor) G M (s) = 100 0, 1s (Messglied) G S (s) = 0 8s + 8s + (mechanische Strecke) a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion F o(s) = X Mess (s)/e(s) des offenen Regelkreises! (Nennerpolynome sind nicht durch Ausmultiplizieren aufzulösen!) 10 1 F o (s) = G A (s) = 10 s , 1s = s + 8s + 00 (s + 100)(0, 1s + 100)(8s + 8s + ) b) Zeichnen Sie den Amplitudenverlauf von F o (s) als asymptotische Näherung in das Bode- Diagramm (letztes Aufgabenblatt) ein. Die Übertragungsfunktionen in normierter Form lauten G R (s) = 1 G A (s) = 0, 1 0, 01s + 1 G M (s) = 0, 01 0, 001s + 1 G S (s) = 10 4s + 4s + 1 Daraus berechnet sich die Gesamtverstärkung zu K ges = 10 0, 1 0, = 0, 1, bzw. in Dezibel K ges,db = 0dB. Um diesen Wert ist die 0dB-Linie später nach oben zu verschieben! Die Knickfrequenzen sind:, fach ω S = 0, 5 rad/s, ω A = 100 rad/s, ω M = 1000 rad/s, Zeichnungsreihenfolge (aufsteigende Knickfrequenz, d.h. von rechts nach links im Bodediagramm) ist 1. mechanische Strecke als zwei PT 1 -Glieder mit einer Korrektur des Amplitudenverlaufs von 6dB an der Eckfrequenz. Aktor als PT 1 -Glied mit 3dB Korrektur 3. Messglied als PT 1 -Glied mit 3dB Korrektur c) Wie groß sind die Abweichungen zwischen Asymptotenwert und tatsächlichem Verlauf bei den Eckfrequenzen? Der korrigierte Verlauf ist einzuzeichnen und der Korrekturwert an die entsprechende Eckfrequenz zu schreiben! siehe b) d) Wie antwortet das System auf eine sinusförmige Anregung x soll (t) = 10 sin(0.5 t)? Lesen Sie die notwendigen Informationen aus dem Bode-Diagramm ab und markieren Sie diese im Diagramm. Das Antwortsignal ist als Formel anzugeben! Die Verstärkung beträgt -6dB. Dieses entspricht in linearer Skalierung 10 6/0 0, 05. Die Antwort eilt der Anregung mit einer Phase von -90 nach. In Radiant umgerechnet (π ˆ=360 ) folgt ϕ = 0, 5π. Die Formel für die Systemantwort lautet damit x ist (t) = 0, 5 sin(0, 5 + 0, 5t) 11

12 4.3) Endwertsatz und Bode-Diagramm Für die Positionsregelung wird der Regelkreis (Abb. 7) durch die Rückführung des Messsignals geschlossen. Die Position x(t) wird mit dem Sollwert x soll (t) verglichen um die sogenannte Regeldifferenz e(t) zu erhalten. Diese wird über den P-Regler mit der Übertragungsfunktion G R (s) = K R = verstärkt. a) Geben Sie die Übertragungsfunktion F W (s) = X(s)/X soll (s) des Regelkreises an. (Nennerpolynome sind nicht durch Ausmultiplizieren aufzulösen!) F W (s) = X(s) X soll (s) = F Z o(s) 1 + F o (s) = N = Z 1 + Z Z + N N 000 = (s + 100)(0, 1s + 100)(8s + 8s + ) (11) (1) b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Endwertsatzes die stationären Werte von x(t), wenn am Eingang ein sprungförmiges Signal der Höhe h aufgeschaltet wird. y(t = ) = lim s h s 0 s 000 (13) (s + 100)(0, 1s + 100)(8s + 8s + ) = h 000 (14) 000 = h (15) Bei der gewählten Regelung erreicht das System nur ca. Sprunghöhe. Es verbleibt ein Regelfehler. 10 Prozent der geforderten 1

13 Skript zum Bode-Diagramm-Plot mit Matlab close all;clear all;clc s = tf( s ) K_R = 1000 K_A = 10 K_S = 0 K_M = 1 % Reglerverstärkung Regler = K_R Aktor = K_A/(s+100) Strecke = K_S/(8*s^ + 8*s + ) Messglied = K_M/(0.1*s+100) % offener Regelkreis F_ORK = Regler*Aktor*Strecke*Messglied figure(1) bode(f_ork,{ }) grid;hold on % offener Regelkreis, normierte Übertragungsfunktionen Regler_n = 1 Aktor_n = 1/(0.01*s+1) Strecke_n = 1/(4*s^ + 4*s + 1) Messglied_n = 1/(0.001*s+1) K_ges = 1000 * 0.1 * 1 * 10 K_ges_dB = 0*log10(K_ges) F_ORK_norm = Regler_n*Aktor_n*Strecke_n*Messglied_n bode(f_ork_norm,{ }) 13

14 Gesamtverstärkung von 60 db = Korrektur von -6dB Korrektur von -3dB Korrektur von -3dB Kreisfrequenz (rad/s) Phase ( ) Betrag (db) Abb. 8: Bode-Diagramm 14