Gegeben: Punkte A, B Gesucht: Mittellotebene und Komponenten des Vektors u von A nach B

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1 Dr. Hermann Vogel, TUM Geometrie und Visualisierung M10 Beispiele zur RaumGeometrie Dynamische Geometrie Konstruktionsprotokoll zu Komponenten.ggb Nr. Name Befehl Wert 1 Punkt A A=(2,-1,1) 2 Punkt B B=(4,2,4) 3 Texte Text1 "Gerade g=ab" 4 Gerade g Gerade[A,B] g: X=(2,-1,1)+λ(2,3,3) 5 Vektor u Vektor[A,B] û=(2,3,3) 6 Zahl λₒ λₒ= Punkt P A+λₒ u P=(3.5,1.25,3.25) 8 Text Text2 "Mittellotebene 9 Punkt M 1/2(A+B) M=(3,0.5,2.5) 10 Ebene h u (x,y,z)= u M h: 2x+3y+3z=15" 11 Text Text3 "Werkzeug zur 12 Text Text4 "B'=(x(B),y(B),z(A))" 13 Punkt B' (x(b),y(b),z(a)) B'=(4,2,1) 14 Text Text5 "A'=(x(B),y(A),z(A))" 15 Punkt A' (x(b),y(a),z(a)) A'=(4,-1,1) 16 Strecke a Strecke[A,A'] a=2 17 Strecke b Strecke[A',B'] b=3 18 Strecke c Strecke[B',B] c=3 19 Text Text6 "Siehe Werkzeug 20 Punkt C C=(0,0,0) 21 Punkt D D=(-2,-3,4) 22 Strecke d Komponenten[C,D] d=2 22 Strecke e Komponenten[C,D] e=3 22 Strecke f Komponenten[C,D] f=4 23 Fkt. in mehr Variablen Eingabe s. rechts HNF(x,y,z)= sqrt(22).. 24 Zahl d A HNF(D) d A = Im Konstruktionsprotokoll kann man die Reihenfolge der Konstruktionen durch Anklicken und Verschieben mit der Maus ändern soweit es die Konstruktion zulässt. Gegeben: Punkte A, B Gesucht: Mittellotebene und Komponenten des Vektors u von A nach B Siehe File: Komponenten.ggb Klicke dich mittels der Navigationsleiste durch die Konstruktion GeoGebra liefert Geraden in Punkt-Richtungsform und Ebenen in Koordinatenform, Eingabe mit Skalarprodukt s. Schritt 10. Man kann die Hesse-Normal-Form definieren: HNF(x,y,z) = (u*(x,y,z)-u*m)/sqrt(u*u) und erhält mit HNF(D) den Abstand von D zu h. Beachte Bedingung der Sichtbarkeit der Ebene h unter Eigenschaften von h -> Erweitert. Mehr zum Makro siehe Beispiel Spat.

2 Dr. Hermann Vogel, TUM Geometrie und Visualisierung M10 Beispiele zur RaumGeometrie Dynamische Geometrie Konstruktionsprotokoll zu Spat.ggb Gegeben: 4 nichtkomplanare Punkt O, A, B,C Gesucht: Spat und Spatvolumen Nr Name Befehl Wert 1 Punkt O O=(0,0,0) 2 Punkt A A=(3,3,1) 3 Punkt B B=(2,1,3) 4 Punkt C C=(-1,2,3) 5 Punkt D A+B D=(5,4,4) Viereck 6 Vieleck1 Vieleck[O,A,D,B] Vieleck1=11,05 7 Prisma p Prisma[Vieleck1,C] p=31 8 Vektor a Vektor[O,A] a=(3,3,1) 9 Vektor b Vektor[O,B] b=(2,1,3) 10 Vektor c Vektor[O,C] c=(-1,2,3) 11 Vektor n a b n=(8,-7,-3) 12 Text Text1 "Spat aufges "Spat aufges 13 Text Text2 "Spatvolumen "Spatvolumen 14 Winkel α Winkel[A,O,B] α= Text Text3 "mit "mit 16 Winkel β Winkel[n,c] β= Zahl s n * c s= Text Text4 "und "und Siehe File: Spat.ggb Klicke dich mittels der Navigationsleiste durch die Konstruktion/Berechnung. Verschiebe die Punkte z.b. A=(3,1,1) oder Hänge Punkt C an Vieleck1 an, siehe unter Punkt. Makro-Erstellung unter Werkzeuge Beachte: Der Wert des Objekts Prisma p gibt bereits das Spatvolumen an, siehe Schritt 7. a*b liefert das Skalarprodukt der Vektoren a und b, a b das Vektorprodukt, siehe Sonderzeichen. Wähle unter Werkzeuge -> Neues Werkzeug erstellen, dann unter Ausgabe Objekte das Prisma p. Unter Eingabe Objekte sind die Punkte A,B,C,O vorausgewählt, ggf. ist die Reihenfolge noch zu ändern. Unter Name & Symbol kann man dem Werkzeug einen Namen geben und ggf. Werkzeug Hilfen und ein Symbol mitgeben oder später unter Werkzeuge verwalten nachreichen. Das Werkzeug erscheint dann in der Werkzeugzeile. Dabei kann man das Werkzeug auch als GeoGebraTool abspeichern, um es in anderen GeoGebra-Fenstern weiter verwenden zu können. Öffne GeoGebra neu, ziehe das File Spat.ggt mit Drag & Drop in das Geogebrafenster oder öffne es unter Datei. Ggf. muss man das Werkzeug unter Werkzeugleiste anpassen in die Leiste für 3D Grafik übernehmen.

3 Dr. Hermann Vogel, TUM Geometrie und Visualisierung M10 Beispiele zur RaumGeometrie Dynamische Geometrie Konstruktionsprotokoll zu Ebenen und Texte Gegeben: Punkte A,B,C Gesucht: Koordinatengleichung der Ebene e = ABC Nr. Name Beschreibung Wert 1 Punkt A A = (-2, 1.5, 1) 2 Punkt B B = (-1, 1, 1) 3 Punkt C C = (-0.5, 0.5, 2) 4 Vektor a A a = (-2, 1.5, 1) 5 Vektor u Vektor[A, B] u = (1, -0.5, 0) 6 Vektor v Vektor[A, C] v = (1.5, -1, 1) 7 Vektor nn u v nn = (-0.5, -1, -0.25) 8 Vektor n Vektor[A, A + nn] n = (-0.5, -1, -0.25) 9 Ebene e n (x, y, z) = n A e: -0.5x - y z = Text Text1 11 Zahl cosalfa "$\vec{n}= $ siehe Eingabemaske u v / sqrt(u u) / sqrt(v v) $\vec{n}=... $ cosalfa = Zahl αbog arccos(cosalfa) αbog = Zahl α αbog / π 180 α = Text Text2 "$cos(α)= $ siehe Eingabemaske $cos(α)= $ Öffne GeoGebra, wähle zur 2D-Grafik ein 3D-Grafikfenster und folge dem Konstruktionsprotokoll. Definiere die Ebene analytisch als n*(x,y,z) = n*a mit n nn = u v. Eingabe von a = A liefert den Ortsvektor zu A, Eingabe von u = Vektor[A,B] den Vektor "# $$$$$%. Das Zeichen für das Vektorprodukt findet man in der Eingabezeile unter den Sonderzeichen, die LaTeX-Befehle für die Formeln im Pulldownmenu, z.b. \vec{x} für '$%, \frac{a}{b} für den Bruch ( oder die Befehle für Klammern und Matrizen (array). ) Im Textfeld erhält man Werte von Objekten einfach durch Auswahl unter Objekte. Unter Eigenschaften -> Grundeinstellungen kann man mit LaTeX-Befehlen die Vektoren mit Vektorpfeilen versehen, siehe z.b. Beschriftung $\vec{u}$. Leider geht die Beschriftung der Objekte in der 3D Grafik beim Drehen der Ansicht nicht immer konsistent mit, weswegen man Figuren nur sparsam beschriften sollte. Unter Bearbeiten -> Eigenschaften -> 3D-Grafik kann man die Navigationsleiste auch im 3D-Fenster einfügen oder das Clipping ein- und ausschalten.

4 Dr. Hermann Vogel, TUM Geometrie und Visualisierung M10 Beispiele zur RaumGeometrie Dynamische Geometrie Makro zur Bestimmung der Koeffizienten einer Ebene Nr. Name Definition Wert 1 Ebene a a: 2x + 3y - z = 1 2 Vektor n 1 Richtung[a] n 1 = (-0.53, -0.8, 0.27) 3 Funktion in mehreren Variablen aa aa(x, y, z) = LinkeSeite[a] - RechteSeite[a] aa(x, y, z) = 2x + 3y - z - 1 Gegeben: Ebene a: 2x + 3y z =1 Gesucht: na = (2,3,-1) T 4 Vektor n a (aa(1, 0, 0) - aa(0, 0, 0), aa(0, 1, 0) - aa(0, 0, 0), aa(0, 0, 1) - aa(0, 0, 0)) n a = (2, 3, -1) 5 Ebene b b: 3x + y + 2z = 5 6 Vektor n b Koeffizienten[b] n b = (3, 1, 2 Der Befehl Richtung[a] liefert den Normaleneinheitsvektor der Ebene a. Den Vektor na mit den Koeffizienten von a (vgl. Schritt 4) erhält man mit Hilfe der Funktion aa(x,y,z), was man als Makro definieren kann, siehe Werkzeuge -> Neues Werkzeug erstellen: Wähle dazu na als Ausgabe Objekt, a als Eingabe Objekt, Koeffizienten als Name & Symbol -> Fertigstellen liefert ein Werkzeugbutton in der Werkzeugleiste, mit dem man die Koeffizienten der Ebene b direkt erhält, vgl. Koeffizienten.ggb Das Werkzeug kann man als GeoGebraTool abspeichern und mit Drag& Drop in einem neuen GeoGebra-Fenster zur Verfügung stellen, vgl. Schnittgerade- Winkel.ggb. Ggf. muss man das Werkzeug unter Werkzeugleiste anpassen in die Leiste für 3D Grafik übernehmen. Das Befehl Schneide liefert direkt die Schnittgerade g von a und b mit der Richtung (-7,7,7) in Punkt-Richtungsform, allerdings nicht mit dem Aufpunkt P(1,0,1). Die Richtung r von g erhält man analytisch direkt als Vektorprodukt r = n_a n_b (siehe Sonderzeichen in der Eingabezeile), wobei die Vektoren na, nb und r zunächst im Ursprung O angehängt sind. Gegeben: Ebenen a und b Gesucht: Schnittgerade und -Winkel Der Befehl Winkel liefert direkt den Winkel α = 60. Mit dem Skalarprodukt n_a*n_b erhält man den Winkel der Ebenen analytisch als (arccos(n_a*n_b / sqrt(n_a*n_a) / sqrt(n_b*n_b)) / π 180). Diesen sieht man in der Frontalansicht (im Pulldownmenü unter Drehe Ansicht) in Richtung von g als Winkel zwischen na und nb unverzerrt. Verschiebe mit dem Befehl Vektor[P, P+r] den Vektor r durch P.

5 Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. Hermann Vogel Dynamische Geometrie Körper und Schnitte Umkugel eines (allgemeinen) Tetraeders Öffne GeoGebra und definiere ein Makro für die Mittellotebene zu zwei Punkten A und B, z.b. analytisch als (B A) (x,y,z) = 1/2 (B A) (B + A). Setze vier Eckpunkte, z.b. A = (-2,-2,1), B = (2,-3,0), C = (1,2,-1) und D = (-1,-1,3). Erzeuge mit dem definierten Makro (oder dem Befehl Halbierungsebene[A,B]) die Mittellotebene e von A und B, f von B und C und g von C und D. Erzeuge die Schnittgerade h von e und f SchneideBahnkurven[e, f]. Der Schnittpunkt von h mit der Ebene g ist der gesuchte Kugelmittelpunkt M. Der Befehl Kugel[M,A] liefert die Umkugel des Tetraeders Pyramide[A,B,C,D]. Zur besseren Übersicht kann man die Ebenen und die Schnittgerade mit einem Kontrollkästchen ausblenden. Zum Abschluss kann man ein Makro für den Umkugelmittelpunkt definieren und als ggt-datei in einem Ordner für Makros abspeichern und für weitere Konstruktionen bereitstellen. Würfelschnitt Öffne GeoGebra und wähle im 3D-Fenster zwei Punkte, z.b. A = (0,0,0) und B = (3,0,0). Verschiebe und zoome das Koordinatensystem so, dass die Achsen von -1 bis 12 laufen. Erzeuge mit dem Werkzeug Würfel den Würfel mit den Ecken A und B. GeoGebra erzeugt dabei automatisch eine Ecke C auf dem Kreis um B mit Radius!" #### senkrecht zur Strecke AB. Zudem sämtliche Ecken, Kanten und Seitenflächen, vgl. Schritt Setze einen Punkt P auf die z-achse und definiere mit dem Vektor n = (1,1,1) die Ebene n (x,y,z) = n P und schneide diese mit dem Würfel SchneideBahnkurven[a,b] GeoGebra erzeugt das Schnittvieleck mit allen Ecken und Kanten, das man durch rechten Mausklick -> Erstelle 2D-Ansicht in einen eigenen Fenster unverzerrt darstellen kann. Name Definition Wert 1 Punkt A Schneide[yAchse, xachse] A = (0, 0, 0) 2 Punkt B Punkt[xAchse] B = (3, 0, 0) 3 Punkt C Punkt[Kreis[B, Abstand[A, B], Strecke[A, B]]] C = (3, 3, 0) 4 Würfel a Würfel[A, B, C] a = 27 4 Eckpunkte Würfel[A, B, C] z.b. D = (0, 3, 0) 4 Kanten Strecke[D, A, a] z.b. KanteAD = 3 Seiten- z.b. FlächeABCD = 4 Vieleck[D, A, B, C, a] Vierecke 9 5 Punkt P Punkt[zAchse] P = (0, 0, 4.48) 6 Vektor n n = (1, 1, 1) 7 Ebene b n (x, y, z) = n P b: x + y + z = Vieleck Vieleck1 SchneideBahnkurven[b, a] Vieleck1 = Eck-Punkte SchneideBahnkurven[b, a] z.b. I = (3, 1.48, 0) 8 Strecke Strecke[I, J, Vieleck1] z.b. f = 2.15 Für welche Lagen von P ist der Schnitt ein regelmäßiges Sechseck, ein gleichseitiges Dreieck? Was ergibt sich bei Drehung von C? Man kann nun in einem 2D-Fenster eine Schaltfläche erzeugen, mit der man P und C in die entsprechenden Positionen bringt.

6 Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. Hermann Vogel Dynamische Geometrie Körper und Schnitte Schiebe Kegel auf Zylinder Öffne GeoGebra, wähle zur 2D-Grafik ein 3D-Grafik-Fenster und folge dem Konstruktionsprotokoll. GeoGebra erzeugt im Schritt 3 und 6 automatisch die grau unterlegten Objekte. Nr. Name Definition Wert 1 Punkt O O = (0, 0, 0) 2 Punkt M M = (0, 0, 2) 3 Zylinder a Zylinder[O, M, 2] a: Fläche b Seitenfläche[a] b: Kreis c Enden[a] 3 Kreis d Enden[a] c: X = (0, 0, 0) + (2 cos(t), d: X = (0, 0, 2) + (2 cos(t), 4 Punkt Q Q = (0, 0, 6) 5 Punkt P P = (0, 0, 4) 6 Kegel e Kegel[P, Q, 2] e: Fläche g Seitenfläche[e] g: Kreis f Enden[e] 7 Zahl t t = 0.5 f: X = (0, 0, 4) + (2 cos(t), 8 Vektor v (0, 0, -t) v = (0, 0, -0.5) 9 Kegel e' Verschiebe[e, v] e': Schaltfläche Schaltfläche1 Schaltfläche Schaltfläche2 Beschriftung: "Verschiebe" Beschriftung: "Zurück" Schaltfläche1 Schaltfläche2 Die Ansichten kann man durch Anklicken in der Kopfzeile freisetzen (siehe Rechteck) oder durch Verschieben anders positionieren. Beachte: Das Grafik-Fenster gibt zunächst die xy-ebene der 3D-Grafik aus. Unter Objekt- Eigenschaften -> Erweitert kann man wählen, in welchem Fenster das Objekt erscheinen soll. Die GeoGebra-Skript-Befehle zu den Schaltflächen sind: StartAnimation[t] bzw. t = 0. Beim File Kegelschnitt.ggb wird die Ebene b um die Parallele zur y-achse durch den Punkt A gedreht. Die Schnittkurve f mit dem Kegel c erzeugt GeoGebra automatisch.

7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. Hermann Vogel DGS-Praktikum Eigenvektoren Ausblick auf die Lineare Algebra Betrachtet man die lineare Abbildung ": $ %& % & mit einer 2x2-Matrix, als Selbstabbildung des Vektorraums % & auf sich, so kann man nach Vektoren -) )* fragen, deren Bild ein ()* +()* Vielfaches des Vektors -) )* ist. Da das Bild des Nullvektors stets der Nullvektor ist, sucht man speziell Vektoren -) )* /* deren Bild -) )* 0 =,-))* = λ -))*, λ % ist. Öffne das File Eigenvektoren.ggb und klicke dich mittels der Navigationsleiste durch die ersten Schritte bis zum Schritt 9. Versuche dann durch Verschieben von -) )* Eigenvektoren zu finden. Was kannst Du dabei feststellen? Gehe in der Navigation weiter. In der Grafik-Ansicht 2 erscheint ein Polynom 45λ6, dessen Nullstellen notwendige Bedingungen für die Existenz von nichttrivialen Lösungen des LGS: -) )* 0 =,-))* = λ-) )*, -))* /*,-))* = λ7-))*, -))* /* 5, λ76-) )* =/*,-))* /* det 5, λ76 =0 mit der Einheitsmatrix 7 liefern, wobei det5, λ76 =: 45λ6 ein Polynom 2.Grades in λ ist. Beachte: Für =>?5, λ76 0 ist 5, λ76 invertierbar und -) )* =/* einzige Lösung des LGS. Die reellen Nullstellen λ,! bezeichnet man als Eigenwerte von + und die Lösungen >*,! /* des LGS ", λ,!7#>*,! =/* als Eigenvektoren von + Da in diesem LGS die beiden Gleichungen linear abhängig sind, erhält man jeweils eine Lösung >*,! /* aus einer der beiden Gleichungen einfach als: e_i=vektor[wenn[x(v_2) 0 x(v_1) - λ_i 0, (y(v_2) - λ_i, -y(v_1)), (-x(v_2), x(v_1) - λ_i)]] i=1 oder 2, wobei berücksichtigt wird, dass die erste Gleichung eine Nullzeile sein könnte. >*,! spannen dabei jeweils einen eindimensionalen Lösungsraum auf. Beachte: Nicht alle 2x2-Matrizen besitzen zwei verschiedene reelle Eigenwerte und zugehörige reelle Eigenvektoren. Diese Fälle müssen eigens untersucht werden -> Lineare Algebra. 1 / 2

8 Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. Hermann Vogel DGS-Praktikum Eigenvektoren Hauptachsentransformation von Quadriken (Bestimmung der Symmetrieachsen) als Anwendung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix (Physik Hauptträgheitsmomente) Im R 2 ist eine Quadrik k definiert als Nullstellenmenge der Gleichung: &" ' ( &" ) 2," ' &" ) - = 0 mit einer symmetrischen Matrix ( =. / =(' , einem Vektor," =. 3 2 und einer 4 Konstanten - mit konstanten a, b, c, d, e, f R. Beachte: k kann die leere Menge sein. Man kann leicht zeigen, dass die symmetrische Matrix A stets reelle Eigenwerte λ 1, λ 2 und Eigenvektoren 4",4"! besitzt, die im Fall λ 1 λ 2 aufeinander senkrecht stehen. Denn es gilt: 394; =det9( 4@; = 9/ 4; 91 4; 0! =4! 9/)1; 4)9/1 0! ; =0 genau dann, wenn 4,! = ;: ;<957;= : ; = ;7;: 6= :, wobei λ 1,2 offenbar stets reell sind und!! genau dann zusammenfallen, wenn c = a und b = 0 ist, also A = a E. Dann sind alle Vektoren Eigenvektoren von A und die Quadrik (sofern {}) ein Kreis um einen Mittelpunkt M, s.u. Im Fall λ 1 λ 2 folgt für die zugehörigen Eigenvektoren: 4" ' 4"! =0, d.h. 4" >4"! aus: λ 94" ' 4"! ;=9λ 4" ; ' 4"! =9(4" ; ' 4"! =4" ' ( ' 4"! = 4" ' ( 4"! =4" ' 9λ! 4"! ; = λ! 94" ' 4"! ; Die normierten Eigenvektoren bilden eine ONB und liefern mit? =94" 4"! ; eine Transformation &" =? &" von k auf k : &" '? ' (?&" M )2," '?&" M )-=λ & M! ) λ! A M! )23 M & M )24 M A M )-=0 (Beachte:? ' (? = 94" 4"! ; ' (94" 4"! ; = 94" 4"! ; ' 9(4" (4"! ; = 94" 4"! ; ' 9λ 4" λ! 4"! ; =B λ 0 0 λ! C und =?' ) Für λ D λ! 0 liefert die quadratische Ergänzung die Normalform von k: λ & MM! ) λ! A MM! =- mit dem Mittelpunkt M. Für λ =0 oder λ! =0 erhält man eine Parabel mit Scheitel M. Bemerkung: Für λ D λ! =/1 0! =det 9(; 0 (vgl. 394;; erhält man M direkt aus (ESS" =,". 2 / 2