Erste 3D-Konstruktionen mit GeoGebra 5.0

Transkript

1 3D-Geometrie Erste 3D-Konstruktionen mit GeoGebra 5.0 Nach dem Start von GeoGebra kann man unter Ansicht/Graphik 3D ein 3D-Fenster öffnen und durch Klicken auf das Rechteck nach Wunsch in einem eigenen Fenster darstellen. Im 3D-Fenster kann man unter mit der Maus einen Punkt zunächst in der xy-ebene platzieren und dann nach Anklicken mit der linken Maustaste in z-richtung verschieben. Alternativ kann man die Koordinaten des Punktes in der Eingabezeile eingeben, z.b. (-2,2,1) und diesen dann nach Anklicken mit der linken Maustaste wahlweise parallel zur xy-ebene oder vertikal dazu verschieben. Nach Doppelklick kann man die Koordinaten direkt ändern. Nach Eingabe von 3 Punkte A, B, C kann man mit den bereitgestellten Tools das Dreieck ABC oder die Ebene e durch die 3 Punkte konstruieren und das Objekt von verschiedenen Seiten an sehen. Dabei wird deutlich, dass GeoGebra nur das anzeigt, was sich in einem Koordinatenquader befindet, der Rest wird abgeschnitten. Man kann aber Zoomen (ggf. mit dem Scroll-Rad der Maus oder Vergrößern/Verkleinern im Pulldown-Menü unter ) und das Koordinatensystem verschieben wahlweise (Anklicken mit der linken Maustaste) parallel zur xy-ebene oder in z-richtung. Weitere Optionen zur Eingabe von Ebenen findet man im Pulldown- Menü unter oder als Auswahl bei Eingabe von Ebe in der Eingabezeile. Nach Eingabe zweier weiterer Punkte S und R kann man mit 1 / 4 den Strahl von S durch R eingeben und mit direkt den Schnittpunkt D mit dem Dreieck konstruieren. Im Algebra- Fenster werden die Koordinaten von D aber auch der Strahl in Punkt-Richtungsform sowie die Ebene in Koordinatenform dargestellt. Direkte Eingabe einer Gerade durch X=S+ (R-S) in der Eingabezeile. Für Ebenen ist die Punkt-Richtungsform leider (noch) nicht verfügbar.

2 3D-Geometrie Mit einem Schieberegler im parallel angezeigten 2D-Fenster kann man auf dem Strahl d den Punkt T=S+ (R-S) eintragen und feststellen, dass T für =1.5 im Dreieck/in der Ebene liegt. Didaktisch kann man hier unterschiedliche Berechnungen des Schnittpunkts D ansprechen. Erstens über das Einsetzen der Punktrichtungs-Form der Geraden in die Koordinatenform der Ebene, womit man eine lineare Gleichung für und damit D erhält. Zweitens das Gleichsetzen der Punkt-Richtungs-Formen der Geraden und der Ebene e: X=A+ (B-A)+ (C-A). Letzteres führt auf ein Lineares Gleichungssystem, dessen Lösung im Fall, dass >0 und >0, >0, + <1 ist, angibt, dass D innerhalb des Dreiecks ABC liegt. Dies erkennt man aber auch, wenn man die Ansicht in Blickrichtung der Geraden wählt. Erkunde nun weitere 3D-Befehle in der Werkzeugleiste und in der in der Eingabehilfe ( rechts unten) sowie die möglichen Einstellungen unter Eigenschaften insbesondere die Deckkraft der Ebene unter Farbe, vgl. 1-3D-SchnittGeradeDreieck.ggb. Betrachte z.b. den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene, vgl. Kegelschnitt-3D.ggb. Man kann auch eigene Werkzeuge als Makros definieren, z.b. die Mittellotebene zu zwei Punkten A und B. Konstruiere dazu zunächst die Mittellotebene zu A und B senkrecht zur Stecke AB durch den Mittelpunkt von A und B. Klicke in der Menüleiste Werkzeuge/Neues Werkzeug erstellen, wähle die Ausgabeobjekte (Ebene), die Eingabeobjekte (A,B), einen Werkzeugnamen und ggf. ein Symbol sowie Werkzeughilfen und klicke auf Fertigstellen. Dann steht das Werkzeug in der Werkzeugleiste zur Verfügung und kann ggf. unter Werkzeuge/Werkzeuge verwalten als Makro abgespeichert werden. Das Makro Mittellotebene.ggt kann durch Drag&Drop in ein neu geöffnetes GeoGebra-Fenster gezogen werden und steht dann auch dort zur Verfügung, vgl. Mittellotebene.ggb. Beachte: Das Grafik-Fenster stellt die xy-ebene des 3D-Fensters dar. Um Objekte nur in einem Fenster anzuzeigen, wählt man unter Einstellungen/Erweitert das gewünschte. Erzeuge z.b. ein Makro für die Umkugel/Inkugel eines Tetraeders. GeoGebra kann mit Vektoren und Matrizen rechnen, z.b. über ein Lineares Gleichungssystem den Schnitt Gerade-Ebene oder über das Vektorprodukt der Richtungen die Normale einer Ebene und damit über das Skalarprodukt die Koordinatengleichung der Ebene sowie den Winkel zwischen den Richtungsvektoren, vgl. 2-3D-Ebenendarstellungen.ggb. 2 / 4

3 3D-Geometrie Matrizen werden als Listen von Listen eingegeben M={{-2,1,-1}{2,-2,-2},{0,1,-1}} und können im Grafikfenster als Objekt unter LaTeX-Formel ausgegeben werden (allerdings leider nicht unter HTML5 im Browser). Die Lösung des Linearen Gleichungssystem Ml = a mit einer nn- Matrix (hier n=3) erhält man direkt als l = M -1 a, vgl. bei Wahl von Schnitt den Lösungsvektor l des LGS im Algebrafenster. Zur einfacheren Eingabe der Matrix M=(u,v,w) kann man ein Makro definieren, vgl. Matrix33-Makro.ggb bzw. Matrix33.ggt. Wählt man Q in e?, so wird die Aufgabe gestellt, die Parameter (, ) im Grafik-Fenster so zu wählen, dass P = Q gilt. Die Lage von Q = A + λ1 u + μ1 v kann man durch Anklicken der Schaltfläche über GeoGebra-Skript mit Hilfe von Zufallszahlen neu setzen, vgl. Eigenschaften von Schaltfläche1: Zur Berechnung des Skalarprodukts und des Vektorprodukts bei Wahl von Normale gibt man einfach in der Eingabezeige ein: vgl. im Algebrafenster den Vektor n und die Zahl sp. Damit kann man die Koordinatenform der Ebene e als x(n)*x+y(n)*y+z(n)*z = n*a (leider im DGS-Teil noch nicht als n*(x,y,z) = n*a ) angeben oder den Winkel der Vektoren u und v bestimmen, vgl. im Algebrafenster die Zahl c und d Winkel. Beachte: Der Vektor n=u v hängt zunächst am Ursprung O. Um ihn in A anzuhängen, verschiebt man A mit um den Vektor n und definiert dann nʹ=vektor[a.aʹ]. In der Figur 3-3D-Schnittgerade-Schnittwinkel.ggb wird die Richtung der Schnittgeraden und den Winkel zweier Ebenen bestimmt, die über die Koordinatenform gegeben sind: 3 / 4

4 3D-Geometrie In der Figur 4-3D-Lage-zweier-Geraden.ggb werden die möglichen Lagebeziehungen zweier Geraden g: X = A + u und h: X = B + v dargestellt (Verzicht auf Vektorpfeile). Liegen g und h nicht parallel, so erhält man die Richtung des Gemeinlotes EF als n = u v und die Punkte E und F über die Vektorkette. Geometrisch erhält man die Ebene e durch B senkrecht zu n auch als Verbindungsebene von h mit der Parallelen zu g durch B und E als Schnitt von g mit der Ebene f durch B mit den Richtungen v und n (f e durch h). F ist dann der Lotfußpunkt von E auf die Ebene e. Betrachte auch weiterführende Beispiele z.b. aus der Geometrie die Polarität von Punkt und Ebene an der Kugel, vgl. 5-3D-Polar-zu-Kugel.ggb, oder die Umkugel eines Tetraeders. An diesen Beispielen wird deutlich, dass GeoGebra enormes Potential besitzt, aber auch, dass sich 3D-Bilder eigentlich erst durch das Drehen des Objektes erschließen, weshalb der haptische Umgang mit 3D-Objekten nicht durch eine 3D-Software ersetzt werden kann. 4 / 4

5 Konstruktionsprotokolle zu ersten 3D-Konstruktionen 1) Konstruktionsprotokoll zu 3D-SchnittGeradeDreieck.ggb: Die 3 Punkte A, B, C legen die Ebene e und ein Dreieck, das Vieleck1 fest. Die Punkte können im Bewegungsmodus durch Anklicken wahlweise parallel oder vertikal zur xy-ebene verschoben werden oder durch Vorgabe der xyz-koordinaten positioniert werden. Durch die Punkte S und R ist der Strahl d festgelegt, der bei geeigneter Wahl von S und R das Dreieck in D trifft. Mit der Zahl ist der Punkt T auf d über die Punkt-Richtungsform definiert und man kann feststellen, für welches der Punkt T in der Ebene e liegt. Ändere die Ansicht so, dass e projizierend als Gerade erscheint bzw. wähle die Ansicht parallel zu d. Über die Eingabezeile kann man den Kegel mit Basiskreis um S mit Radius 1 und Spitze R definieren. Im Algebra-Fenster werden das Volumen, die Oberfläche und die Parameterdarstellung des Basiskreises ausgegeben. Der Punkt E kann direkt in der Ebene e oder auf dem Kegelmantel positioniert werden. 1 / 8

6 2) Konstruktionsprotokoll zu 3D-Ebenendarstellung.ggb Den 3 Teilen dieser Figur liegt das gemeinsame File 3D-Ebenendarstellungen-Teil0.ggb mit folgendem Konstruktionsprotokoll zugrunde. Die 3 Punkte A, B, C legen im 3d-Fenster die Ebene e und die Vektoren a, u und v für die Punkt-Richtungsform für e fest, wobei im 3D-Fenster auf Vektorpfeile verzichtet wird, da diese dort (noch) nicht verfügbar sind. Im Grafik-Fenster 2 legen die xy-koordinaten eines Punktes mit der Bezeichnung Parameter den Punkt P im 3D-Fenster auf der Ebene e mittels der Punkt-Richtungsform fest. Mit dem Text0 werden die Werte für und ausgegeben. Dieser ist über Eigenschaften -> Position an den Punkt Parameter gebunden. Die Punkte P u, P v und die Vektoren p u, p uv, p v und p vu visualisieren die Definition von P über die Punkt-Richtungsform der Ebene e. Der Text1 gibt im Grafik-Fenster 2 die analytische Darstellung der Punkt-Richtungsform aus. 2 / 8

7 Im File 3D-Ebenendarstellungen-Teil1.ggb wird mit den Parametern 1 und 1 ein weiterer Punkt Q in der Ebene e festgelegt und die Frage gestellt, die Parameter (, ) für den Punkt P so zu bestimmen, dass P = Q ist, vgl. Text2. Mit der Schaltfläche1 Setze Q werden über GeoGebra-Skript die Paramater 1 und 1 zufällig im Raster 0.5 (n,m), n, m Z vorgegeben, siehe Eigenschaften -> Skripting: SetzeWert[λ1,0.5*Zufallszahl[-1,5]] ; SetzeWert[μ1,0.5*Zufallszahl[-1,5]]. Im File 3D-Ebenendarstellungen-Teil2.ggb werden durch die Punkte S und T die Gerade d und die Vektoren s, r und rʹ = -r für die Punkt-Richtungsform für d und die analytische Berechnung des Schnittpunkts D festgelegt. Die Koeffizientenmatrix M des LGS wird als Liste von Listen definiert und damit das LGS (vgl. Text3) gelöst als l = (M^(-1)(s-a) (bei nicht invertierbaren Matrizen treten Probleme auf). Mit der Schaltfläche2 Setze P = D werden die Paramater (, ) (der Punkt Parameter) des Punktes P auf (x(l), y(l)) über GeoGebra-Skript gesetzt, siehe Eigenschaften -> Skripting: SetzeWert[Parameter,(x(l),y(l))] 3 / 8

8 Im File 3D-Ebenendarstellungen-Teil3.ggb wird der Vektor n als Vektorprodukt von u und v bestimmt (Das Sonderzeichen findet man im Tableau, das durch Anklicken des Buttons in der Eingabezeile erscheint). Er erscheint zunächst als Vektor von O aus. Durch Verschiebe[A, n] (bzw,. das Werkzeug oder Aʹ = A + n ) erhält man den Punkt Aʹ und damit den Vektor nʹ. Text5 gibt die Normale und die Koordinatengleichung von e analytisch aus. Winkel α gibt den mit dem Werkzeug gemessenen Winkel aus. Mit dem Skalarprodukt sp = u v erhält man den Winkel φ mit Hilfe der Formel für cos φ, wobei man ihn zunächst im Bogenmaß erhält und daher in Gradmaß umrechnen muss. Unter Eigenschaften -> Erweitert kann man die Winkeleinheit wählen und die Arcusfunktion direkt im Gradmaß ausgeben lassen. Im File 3D-Ebenendarstellungen.ggb sind alle drei Teile zusammengefasst und können mit Hilfe von Kontrollkästchen wechselweise ausgewählt werden, siehe Wahrheitswerte w1, w2, w3 und die Eintragungen bei den Objekten unter Eigenschaften -> Erweitert. 3) Konstruktionsprotokoll zu 3D-Schnittgerade-Schnittwinkel.ggb 4 / 8

9 Mit dem Aufpunkt A 1 und dem Normalenvektor n 1 (festgelegt über den Punkt N 1 ) definiert man die Ebene e 1 durch Eingabe der Koordinatengleichung in der Eingabezeile und legt den Normalenvektor nʹ1 in A 1 mit Hilfe des Punktes Nʹ1 fest (Beschriftung mit n 1 ). Analog legt man eine zweite Ebene e 2 fest. Die Richtung r der Schnittgeraden c, die mit Hilfe des Werkzeugs erzeugt wird, erhält man mit dem Vektorprodukt r = n 1 n 2 und gibt sie nach Wahl eines Punktes G von g mit Hilfe des Punktes R als Vektor rʹ aus, entsprechend auch die Vektoren nʹʹ1 und nʹʹ2. Den Schnittwinkel der Ebenen kann man analog zu obigem Beispiel mit dem GeoGebra- Werkzeug messen oder mit Hilfe des Skalarprodukt n 1 n 2 analytisch bestimmen. 5 / 8

10 Zusatz : Konstruktionsprotokoll zu 3D-Kegelschnitt.ggb Der Befehl Kegel[A,B,2] erzeugt den Kegel samt Mantel und Basiskreis und gibt das Volumen und den Inhalt der Mantelfläche sowie eine Parameterdarstellung des Basiskreises aus. Die Schnittkurve des Kegels mit der Ebene e wird als parametrisierte Kurve bestimmt. 6 / 8

11 4) Konstruktionsprotokoll zu 3D-Lage-zweier-Geraden.ggb ohne Eingabefelder und erklärenden Text. Die Punkte A und B bestimmen mit den Vektoren u und v und den Punkten Aʹ und Bʹ die Geraden g und h, wobei man auf die Punkte Aʹ und Bʹ verzichten könnte, indem man z.b. u_a = Vektor[A, A+u] und g = Gerade[A, u] setzt. Als Bezeichnung von u_a wähle u. Der Normalenvektor n = u v wird als Vektor n_b = Vektor[B, B+n] in B angetragen. Bestimme mit die Zahlen det und, die wegen det,, übereinstimmen. Im Fall n o (Nullvektor) liefert d_0 den Abstand der windschiefen/schneidenden Geraden, Beachte: Das Skalarprodukt der Vektorkette w = u + n + v mit n liefert w n = (n n). Im Fall n = o liefert d_0 = Abstand[A, h] den Abstand der parallelen/identischen Geraden. 7 / 8

12 Das Skalarprodukt der Vektorkette w = u + n + v mit u oder v liefert das LGS: (u u) + (v u) = w u und (u v) + (v v) = w v mit der Koeffizientenmatrix M in Zeile 18, die im Fall n o invertierbar ist. Identität von Lagrange: n 2 = (u v) 2 = u 2 v 2 (u v) 2 = det(m). Da GeoGebra im Fall n = o bei der inversen Matrix M^(-1) in einen Bug läuft, wurde der Vektor l direkt mit det(m) M^(-1) bestimmt und dann die Koeffizienten zur Bestimmung der Lösungen und durch det(m) geteilt. Diese legen dann (falls definiert, d.h. det(m) 0 n o) die Punkte E und F und im Fall d_0 0 das Gemeinlot d =EF fest. Im Fall d_0 = 0 schneiden sich g und h im Punkt S = E = F und haben das Lot in S auf die Ebene e als Gemeinlot. Im Fall det(m) = 0, sind g und h parallel oder identisch und jedes Lot auf g auch Lot auf h. Mit den Wahrheitswerten in Zeile kann man die vorliegende Lage der Geraden als Text (vgl. Zeilen 32 33) ausgeben und z.b. im Fall, dass die Geraden einander schneiden, S einblenden (Bedingung schneidend unter Eigenschaften -> Erweitert von S). 8 / 8