Das Merkmalschema der Schaltalgebra ist genau so aufgebaut wie das der

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1 3. Schaltalgera Das Merkmalschema der Schaltalgera ist genau so aufgeaut wie das der Aussagenalgera. Schaltalgera {1,0} oder, symolisch + und, symolisch 1 = Einselement 0 = Nullelement = Negation Die Bezeichnungen werden aer dem Zweck angepasst. Aussagenalgera Wahrheitswert Wahrheitswerttaelle oder Wahrheitstaelle Logische Verknüpfung Logischer Ausdruck oder Boole scher Ausdruck Logische Funktion oder Boole sche Funktion Logische oder Boole sche Variale Schaltalgera Schaltwert, Schaltzustand Schalttaelle Logische Verknüpfung Schaltalgeraischer Ausdruck Schaltfunktion Schaltvariale Für die logischen Verknüpfungen UND und ODER werden im Folgenden das üliche Multiplikations- und das Additionssymol verwendet. Das erleichtert das Umrechnen von logischen Ausdrücken, weil man ekannte Rechenregeln mit reellen Zahlen assoziieren kann. Das sollte man aer nicht edenkenlos tun, wie die Zusammenstellung der grundsätzlichen Verknüpfungsregeln zeigt. Produktform Summenform Kommutativgesetz A B = B A A + B = B + A Distriutivgesetz A (B + C) = A B + A C A + (B C) = (A + B) (A + C) Neutrale Elemente A 1 = A A + 0 = A Komplement A A = 0 A + A = 1 Idempotenzgesetz A A = A A + A = A Asorption mit 0,1 A 0 = 0 A + 1 = 1 Komplement 0 = 1 1 = 0 Doppeltes Komplement A = A Assoziativ-Gesetze A (B C) = (A B) C A + (B + C) = (A + B) + C Asorptionsgesetze A (A + B) = A (A + B) ( A + B) = B A ( A + B) = A B A + (A B) = A (A B) + ( A B) = B A + ( A B) = A + B De Morgan A B = A + B A + B = A B 13

2 Auffällig ist das Distriutivgesetz in Summenform. Da versagt die Analogie zum Rechnen mit reellen Zahlen. Außerdem sind alle Gesetze, die die Komplementildung zw. Negation eineziehen, Besonderheiten der Boole schen Algera, die man sich nicht auf dem Wege der Assoziation zu den gewohnten Rechenregeln merken kann. Diese Gesetze sind die Grundlage für die Umformung von schaltalgeraischen Ausdrücken. Die Bildung solcher Ausdrücke hängt immer von einem Realisierungsziel a. Beispiel: Es soll eine Schaltung entworfen werden, die eine Tür automatisch entriegelt, wenn estimmte Zutrittsregeln eingehalten werden, z.b. die Regeln, die oen definiert wurden. Daei erga sich folgende Schaltfunktion: o = (a c d e) Eine konkrete Realisierung des Prolems kann man mit folgendem konkreten Szenario deutlich machen. (Quelle: Das Türverriegelungssystem wird mit einer Microcontroller-gestützten Steuerung gesteuert. Ein Taster Öffnen ist entweder im gedrückten oder im nicht gedrückten Zustand, sein Kontakt schließt zw. öffnet entsprechend einen Stromkreis. Soald der Stromkreis geschlossen wird, interpretiert die Steuerung das als einen Befehl, die Tür zu entriegeln, d.h. das Öffnen frei zu geen. Die Steuerung schickt dann an den Motorkasten eine Meldung, dass die Riegel zurückzuziehen sind. Der Stromkreis soll nun so geschlossen zw. geöffnet werden, dass die Schaltfunktion o realisiert wird. 14

3 An den Anschlussklemmen der Steuerung könnte man den Taster Öffnen durch ein geeignetes Netz von Tastern ersetzen, deren ewegliche Kontakte den Strom in einem Stromkreis eeinflussen. Es git zwei Typen von Kontakten: Öffner: wenn der Taster gedrückt wird, öffnet der Kontakt. Der Stromkreis, in dem der Kontakt liegt, ist im nicht gedrückten Zustand (= Ruhezustand) geschlossen, im gedrückten Zustand geöffnet. Schließer: wenn der Taster gedrückt ist, schließt der Kontakt. Der Stromkreis, in dem der Kontakt liegt, ist im nicht gedrückten Zustand (Ruhezustand) geöffnet, im gedrückten Zustand geschlossen. Wie soll man nun diese Taster als Realisierungen von Schaltvarialen verstehen? Schaltvariale sind elektronische Größen, die - wie logische Variale - zwei Zustände annehmen können, die mit Eins-Zustand (1) und Null-Zustand (0) ezeichnet werden. In einem schaltalgeraischen Ausdruck steht der Name einer Schaltvariale für einen dieser Werte. Die Namen der Schaltvarialen erscheinen in Ausdrücken entweder ohne oder mit Negationssymol. Eine Realisierung legt zu jeder dieser eiden Formen eindeutig fest, was die logischen Zustände physikalisch edeuten. Nimmt man es physikalisch genau, dann liegt ei jedem Taster folgende Wirkungskette vor: Der Lagezustand des Tasters erzeugt den Lagezustand des Kontaktes, der den Leitfähigkeitszustand des Stromkreises erzeugt, der den Üertragungszustand des Steuerefehls erzeugt. Jede der Zustandsgrößen kann man als zweiwertige Schaltvariale modellieren. Praktisch ist nur interessant, wie der Lagezustand des Tasters mit dem Üertragungszustand des Steuerefehls zusammenhängt. Deshal interessiert die Schaltvariale am Anfang der Wirkungskette. Der Name der der Variale soll Taster sein. Und es interessiert die Schaltvariale am Ende der Kette, deren Name Steuerefehl sein soll. 15

4 Um Eindeutigkeit zu schaffen, muss man für jede Schaltvariale angeen, was die logische 1 zw. die logische 0 physikalisch edeuten soll. Varialenname physikalische Zustände Schaltwerte Taster gedrückt 1 nicht gedrückt 0 Steuerefehl möglich 1 nicht möglich 0 Für einen Taster mit Öffner ergit sich: gedrückt =1 nicht möglich=0 Taster= nicht gedrückt=0 erzeugt Steuerefehl= möglich=1 Für einen Taster mit Schließer ergit sich: gedrückt =1 möglich=1 Taster= nicht gedrückt=0 erzeugt Steuerefehl= nicht möglich=0 Wenn also eine Taste nicht gedrückt werden soll, dann muss man einen Öffner einsetzen, um einen Steuerefehl zu ermöglichen. Wenn eine Taste gedrückt werden soll, dann muss man einen Schließer einsetzen, um einen Steuerefehl zu ermöglichen. Nun soll das Prolem untersucht werden, dass gleichzeitig eine Taste A nicht gedrückt UND eine andere B gedrückt werden soll. Die Lösung liegt darin, dass eide gleichzeitig einen Stromkreis schließen und damit einen Steuerefehl ermöglichen müssen. Das können sie nur, wenn sie in Reihe im Stromkreis liegen. Die Schaltvariale für Taster A soll a und die für Taster B soll heißen. Dann ergit sich: a = 0 =1 Für die Schaltvariale Steuerefehl ergit sich die Schaltfunktion: Steuerefehl = a 16

5 Die Schaltfunktion o = (a c d e) wird dann durch folgende Schaltung realisiert. a c d e Mit diesem Schaltungsvorschlag könnte man eine Zugangskontrolle realisieren. Nun entspricht das Anwendungsszenario, das dem Entwurf zugrunde liegt, dem Stand der Technik. Der Schaltungsvorschlag mit dem Drücken der 5 Taster wäre eine Anwendung, die dem Stand der Technik nicht mehr entspräche. Diese macht eine Zugangskontrolle mit speziellen Schlüsseln in Form von sendefähigen Chips (Transponder) möglich, deren Sendung durch ein spezielles Erfassungsmodul an der Tür empfangen und zum Microcontroller zur Auswertung weitergeleitet wird. Man kann Schaltfunktionen, die als Operatoren UND, ODER und NEGATION enthalten, mit Hilfe von Kontakten einfach realisieren. Nicht negierte zw. negierte Variale werden durch schließende zw. öffnende Kontakte realisiert, eine UND-Verknüpfung wird durch eine Serienschaltung realisiert. Eine ODER-Verknüpfung wird durch eine Parallelschaltung von Kontakten realisiert. Die Leser können sich das als Üung selst erareiten. Man nennt die Realisierungen solcher Schaltfunktionen Schaltnetze. Es git verschiedene technische Ansätze, Aufgaen, die mit logischen Ausdrücken formal widerspruchsfrei definiert sind, zu realisieren, also nicht nur mit mechanischen Schaltern, ei denen Kontakte ewegt werden, sondern auch mit elektronischen wie Transistoren, die die Widerstandsänderung im Stromkreis mit Stromsteuerungseffekten in Halleitern erzeugen. Das Realisierungseispiel deutet an, dass schaltalgeraische Ausdrücke mit einfachen Regeln in konkrete Realisierungen umsetzar sind. Das soll später vertieft werden. Zuerst soll das Formen von schaltalgeraischen Ausdrücken im Vordergrund stehen. 17

6 4. Normal- und Minimalformen von Schaltfunktionen Ist eine schaltalgeraische Funktion durch ihre Wertetaelle definiert, dann wird ein schaltalgeraischer Ausdruck gesucht, der die Funktion angit. Beispiel: a y In einer Wertetaelle sind die Wertekominationen, denen der Funktionswert 1 zugeordnet ist, eindeutig von denen zu unterscheiden, denen der Funktionswert 0 zugeordnet ist. Man kann jede Komination, die eine 1 liefert, durch einen einfachen UNDverknüpften Ausdruck erkennen, d.h. der Ausdruck liefert immer dann eine 1, wenn genau diese Wertekomination vorliegt : a y a a a Wenn mindestens einer dieser elementaren Ausdrücke 1 ist, dann ist auch die Funktion 1. Das edeutet, dass man die Ausdrücke ODER-verknüpfen muss, um alle Fälle, in denen die Funktion 1 wird, zu erfassen. y = a + a + a Diese Form der Funktionsangae nennt man disjunktive Normalform. Der schaltalgeraische Ausdruck, der eine Funktion insgesamt eschreit, kann durch Klammerung in sinnvolle Teilausdrücke zerlegt werden. Bei der Beschreiung von Schaltfunktionen ezeichnet man solche Teilausdrücke als Terme. Als Verknüpfungsojekte innerhal eines Terms erkennt man die unahängigen Schaltvarialen, die entweder negiert oder nicht negiert sind. Man ezeichnet diese Verknüpfungsojekte auch als Literale. Wenn in einer disjunktiven Normalform jeder Term mit UND-verknüpften Literalen alle unahängigen Schaltvarialen enthält, nennt man die Normalform Minterm- Normalform. Die Terme heißen Minterme. Eine andere Bezeichnung ist kanonische disjunktive Normalform. Es git nur eine einzige Minterm-Normalform einer Funktion. Es kann aer mehrere disjunktive Normalformen geen, weil man auf die Minterm-Normalform die Umformungsgesetze der Schaltalgera anwenden kann. Das Ziel ist daei, die Funktion zu 18

7 vereinfachen, d.h. den Wegfall von Literalen in den Termen zu ewirken, z.b. durch Asorption. Man nennt das Minimierung. Davon später. Die Funktion ist durch die Minterm-Normalform vollständig definiert. Sie erfasst alle Wertekominationen, die eine 1 liefern sollen, und stellt damit auch sicher, dass die Funktion 0 wird, wenn eine andere Komination vorliegt. Es ist natürlich auch umgekehrt zulässig, alle Wertekominationen erfassen, die eine 0 liefern sollen. Man kann eine Komination, die eine 0 liefert, durch einen einfachen ODER-verknüpften Ausdruck erkennen. a y Im vorliegenden Beispiel git es nur einen Term. a + y = a + Im allgemeinen Fall hat die Funktion mehrere Terme. Beispiel: a y a + a + Wenn auch nur einer dieser elementaren Ausdrücke 0 wird, dann ist auch die Funktion 0. Das edeutet, dass man die Ausdrücke UND-verknüpfen muss, um alle Fälle, in denen die Funktion 0 wird, zu erfassen. y = (a + ) ( a + ) Diese Form der Funktionsangae nennt man konjunktive Normalform. Wenn in einer konjunktiven Normalform jeder Term mit ODER-verknüpften Literalen alle unahängigen Schaltvarialen enthält, nennt man sie Maxterm-Normalform. Die Terme heißen Maxterme. Eine andere Bezeichnung ist kanonische konjunktive Normalform. Es git nur eine einzige Maxterm-Normalform einer Funktion. Es kann aer mehrere konjunktive Normalformen geen, weil man auf die Maxterm-Normalform die Umformungsgesetze der Schaltalgera anwenden und sie damit minimieren kann. 19

8 Beispiel: Gesucht ist die Maxterm-Normalform von y: a c y Ein systematischer Weg, die Maxterm-Normalform zu ilden, geht von der Funktion y aus. Die Wertetaelle für y entsteht dadurch, dass man jeder Wertekomination denjenigen Funktionswert zugeordnet, der aus demjenigen für y durch Negation entsteht. a c y y Man ildet die Minterm-Normalform für y. y = a c + a c + a c Negiert man y, so erhält man y. y = a c + a c + a c Für die Negation gilt der Inversionssatz (Shannon), eine Erweiterung der De Morgan schen Regel: Jede nur mit den Operatoren für UND, ODER und NEGATION geildete Schaltfunktion kann dadurch negiert werden, dass die Operatoren für UND und ODER miteinander vertauscht werden und jedes Literal negiert wird. Außerdem sind 0 und 1 zu vertauschen. y = (a + + c) (a + + c) (a + + c) Die Minterm-Normalform für y erfasst die Wertekominationen, für die y = 0 ist. Die Invertierung mit Hilfe des Inversionssatzes erzeugt die Maxterm-Normalform von y. 20