Formelsammlung. Mechanik 2. made by professionals. May 24, c 2017 easymech

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1 Formelsammlung Mechanik 2 made by professionals office@easymech.at May 24, 2017 c 2017 easymech

2 Kinematik 1. Relativkinematik 1.1. Absolutgeschwindigkeit: v P = v F + v R Führungsgeschwindigkeit: v F = v 0F + ω F r r Relativgeschwindigkeit: v R = ω R r P A Relativgeschwindigkeit v R = d F r r dt 1.2. Absolutbeschleunigung: a abs = a F + a R + a C Führungsbeschleunigung: a F = a 0F + ω F r r + ω F ( ω F r r ) Relativbeschleunigung: a R = ω R r P A + ω R ( ω R r P A ) Relativbeschleunigung a R = d F v R dt Coriolisbeschleunigung: a C = 2 ω F x v R 2. Absolutkinematik 2.1. Absolutgeschwindigkeit: v P = v A + v P A Geschwindigkeit Punkt A: v A = ω A r A Geschwindigkeit Punkt P gegen A: v P A = ω abs r P A 2.2. Absolutbeschleunigung: a P = a A + a P A Beschleunigung Punkt A: a A = a A trans + ω A r A0 + ω A ( ω A r A0 ) Beschleuigung Punkt P gegen A: a P A = ω abs r P A + ω abs ( ω abs r P A ) 3. Kreisbahn 3.1. Beschleunigung auf der Keisbahn: a P = a t + a n Tangentialbeschleuigung: a t = ω r P M Normalbeschleunigung: a n = ω 2 r P M Bahnkrümmungsradius: a n = v 2 /ρ 4. Impuls 4.1. Schwerpunktsatz: m a M = F R! a M ist die Beschleunigung des Massenmittelpunktes! Masse mal Beschleunigung des Massenmittelpunkts ist die Summe aller äußeren einwirkenden Kräfte (Eingeprägte und Zwangskräfte) 2 Seite 2

3 Stoß 5. Stoßannahmen 1. Die Deformationen sind klein gegenüber den Körperabmessungen 2. Das Zeitintervall t ist so klein, dass der Grenzübergang t 0 zulässig ist 3. Verformungswellen sollen vernachlässigt werden (Prinzip der Gleichzeitigkeit) 6. Stoßbedingung v B2x - v B1x = e ( v B2x v B1x )! gilt nur im Berührpunkt B! gilt nur für Geschwindigkeitskomponenten in Stoßnormalenrichtung Die Stoßziffer liegt: 0 < e < 1 - elastischer Stoß: e = 1 - plastischer Stoß: 0 < e < 1 - vollkommen unelastischer Stoß e = 0 7. tangentielle Stoßziffer: v B2y - v B1y = e t ( v B2y v B1y )! gilt nur im Berührpunkt B! gilt nur für Geschwindigkeitskomponenten in Tangentenrichtung Die tangentielle Stoßziffer liegt im Bereich: 1 < e t < 0 - reibungsfreier Stoß: e t = 1 - reibungsähnliches Verhalten: 0 > e t > 1 - Fixierung des Berührpunktes e t = 0 8. Drallsatz für beliebigen Punkt A: L A L A + r SA m ( v A v A ) = r BA S B 8.1. für A=M kann die einfache Form verwendet werden: L M L M = r BM S M 8.2. ist der Punkt A inertialfest vereinfacht sich der DS zu: L A L A = r BA S A 9. Drallerhaltung Gesamtsystem: L A = L A Teilsystem: L A - L A = Σ( r BA S B ) 10. Impulserhaltung Gesamtsystem: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 Teilsystem: m ( v v) = Σ S 11. Energieerhaltung T = T - nur bei voll elastischen Stoß 3 Seite 3

4 Arbeit, Energie und Leistung 12. Arbeit t W 1 2 = P dt = t 1 t 2 t 1 F v dt Arbeitssatz s W 1 2 = F d s = T 2 - T 1 s Kinetische Energie beliebiger Bezugspunkt-(A) am starren Körper: T = 1 2 m v 2 A + m ( v A ω) r MA L A ω Massenmittelpunkt-(M): T = 1 2 m v 2 M L M ω Potentielle Energie V = mgh Energiesatz! Die Arbeit die eine konservative Kraft (Gewichtskraft, Federkraft) auf dem Weg vom betrachteten Punkt zu einem definierten Nullniveau leistet bezeichnet man als potentielle Energie.! Das Nullniveau kann dabei beliebig gewählt werden! Kräfte die wegunabhängig sind bezeichnet man als konservativ (werterhaltend) T 0 + V 0 = T 1 + V Energieverlust! gilt nur in konservativen Systeme, also bei dissipativen Kräften nicht anwendbar! Energieerhaltung kann auch bei vollkommen elastischen Stoß (e=1) verwendet werden T 0 + V 0 = T 1 + V 1 + E! für dissipative Systeme (Energieverlust) 4 Seite 4

5 13. Leistung Leistung einer Einzelkraft: P = F v! Die eingeprägten äußeren und inneren Kräfte (Feder, Dämpfer, Reibung etc.) sind leistungsbehaftet und daher zu berücksichtigen! Zwangskräfte im Lager (Lagerkräfte) bzw. Kräfte zwischen Teilsystemen, sind bezogen auf das Gesamtsystem, leistungslos. Das gilt nicht für Antriebe!! Nur Kräfte die in Geschwindigkeitsrichtung wirken haben eine Leistung! Die Haftkraft is leistungslos, weil sie nur in einem sehr kurzen Augenblick angreift Leistung eines Moments: P = M ω = ( r s F G ) ω! Falls die Leistung über das Moment berechnet werden soll Arbeitssatz in differentieller Form: P = dw dt! Die kinetische Energie T und die Leistung P ist von der Wahl des IS abhängig.! Für Systeme mit nur einem Freiheitsgrad liefert der Leistungssatz direkt die Bewegungsgleichung. 14. Kraft, Moment, Arbeit und Leistung Kraft - F Moment - M Arbeit - W Leistung P Potential Feder F = c x - W = 1 2 c x 2 P = c x ẋ ja Drehfeder - M = c ϕ W = 1 2 c ϕ2 P = c ϕ ϕ ja Dämpfer F = k ẋ / W = k ẋ x P = k ẋ 2 dissipativ Drehdämpfer - M = k ϕ W = k ϕ ϕ P = k ϕ 2 dissipativ Gewichtskraft F = m g M = r F W = mgh P = F ẋ ja Reibkraft F R = m g µ g M = r F R W = F R x P = F R ẋ dissipativ Haftkraft F H = m g µ h M = r F H arbeitslos leistungslos nein *Bei F, M ergeben sich die Vorzeichen aus dem benutzen KS; Bei der Arbeit in Form von potentieller Energie (V) ist das Nullniveau ausschlaggebend. 5 Seite 5

6 15. Sonstiges Zeitfreie Gleichung: ads = vdv bzw ẍ dx = ẋ dẋ Rollbedingung: R ϕ = r ω gleichmäßig beschleunigte Bewegung:x (t) = x 0 +v 0t + a m t freier Fall: v = 2gh aus Energiesatz abgerollte Seillänge: s = r ϕ 6 Seite 6

7 Drall und Drallsatz 16. Drehimpuls Der Index S bezeichnet den Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) Drehimpuls bezüglich des Schwerpunktes: L S = I S ω abs Drehimpuls auf A umrechnen: L A = L S + r SA ( m v SA )! mit v SA = ω abs r SA! v SA ist die Geschwindigkeit vom Punkt S gegenüber dem Punkt A (es handelt sich um eine Geschwindigkeitsdifferenz) Drehimpuls auf 0 umrechnen: L 0 = L S + r S0 ( m v S0 )! v S0 ist die Geschwindigkiet gegenüber dem Inertialsystem (Absolutgeschwindkeit) 17. Drallsatz - allgemeine Form Die allgemeine Form des Drallsatzes lautet: d L 0 + ω F L 0 + r s0 (m a 0 ) = M 0 dt! ω F... hier wird die Winkelgeschwindigkeit benötigt mit dem sich das FS gegenüber dem IS dreht! a 0... ist die Beschleunigung des Punktes 0! r S0... Abstand des Gesamtschwerpunktes zum Punkt Drallsatz für ebene Probleme I SZ ω z = M SZ! Niemals bei Systemen wo sich der Drehpunkt bewegt! Drehpunkt muss inertialfest sein! 19. Drallsatz für Führungssysteme Bei Verwendung eines Führungssystems: d L S = d /F L S + ω F L S = M S dt dt! Alle äußeren Kräfte sind zu berücksichtigen: - eingeprägte Kräfte: Gewichtskraft F G, Gleitreibungskraft F R, Federkraft F F etc. - Zwangskräfte: Haftkraft F H ; Kraft einer starren reibungsfreien Führung etc. F N Wenn Koordinatensystem nicht körperfest ist: d L S = d /F L S + ω abs L S = M S dt dt! (dreht sich mit dem Propeller mit - siehe Flugzeugbeispiel) 7 Seite 7

8 Trägheit 20. Trägheitstensor I x I xy I xz I A(t) = I yx I y I yz I zx I zy I z! Ist das KS körperfest, ist der Trägheitstensor I A konstant und nicht mehr zeitabhängig.! Das KS in dem wir den Trägheitstensor ermitteln ist nicht notwendiger Weise unser BZS, es muss kein IS sein Hauptträgheitsmomente I x = y 2 + z 2 dm m I y = x 2 + z 2 dm m I z = x 2 + y 2 dm m Deviatonsmomente I xy = I yx = xy dm m I xz = I zx = xz dm m I yz = I zy = yz dm m 21. Trägheitshauptachsensystem I x 0 0 I A(t) = 0 I y I z! Ob Deviationsmomente vorkommen oder nicht, hängt einzig und alleine davon ab, wie man die Lage des KS wählt.! Ist das verwendete KS ein Trägheitshauptachsensystem, nimmt der Trägheitstensor Diagonalenform an. Die Deviationsmomente sind daher alle 0!! Es gibt in jedem Punkt des starren Körpers ein ausgezeichnetes Achsensystem für den alle Deviationsmomente 0 sind. Dieses Achsensystem nennen wir Trägheitshauptachsensystem 8 Seite 8

9 Schwingungen 22. ungedämpfte freie Schwingung ẍ + ω 2 0 x = 0 Lösung der DGL mittels Exponentialansatz: x = Ce λt ẋ = Cλe λt ẍ = Cλ 2 e λt einsetzten in die DGL liefert: Ce λt [ λ 2 + ω 2 0 ] = 0 x H = c 1 cos(ωt) + c 2 sin(ωt) 23. ungedämpfte erzwungene Schwingung ẍ + ω 2 0 x = ω2 0 A 0 E cos(ωt) 9 Seite 9

10 24. gedämpfte freie Schwingung: ẍ + k m ẋ + c m x = 0 Lösung der DGL mittels Exponentialansatz: x = Ce λt ẋ = Cλe λt ẍ = Cλ 2 e λt einsetzten in die DGL liefert: Ce λt [ λ 2 + 2Dω 0 λ + ω 2 0 ] = 0 Die Lösung der charakteristischen Gleichung lautet: λ 1,2 = Dω 0 ± ω 0 D Stark gedämpfte Schwingung D>1 EW sind reell und negativ: λ 1 = α + β λ 2 = α β x H = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t kritisch gedämpfte Schwingung D=1 λ 1 = λ 2 = -α = -ω 0 x H = (c 1 + c 2 t) e ω0t schwach gedämpfte Schwingung D<1 EW sind konjungiert komplex: λ 1 = -α + jω λ 2 = -α - jω x H = A e αt cos(ωt - ɛ) Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung: ω = ω 0 1 D 2 Amplitude: A = c c 2 2 Phasenverschiebung: ɛ = atan c 2 c 1 10 Seite 10

11 25. erzwungene gedämpfte Schwingung ẍ + 2Dω 0 ẋ + ω 2 0 x = ω 2 0 E A 0 cos(ωt) Federfußpunkt - Krafterregung ẍ + 2Dω 0 ẋ + ω 2 0 x = ω 2 0 A 0 cos(ωt) Erregerparameter: E = Dämpfungskrafterregt ẍ + 2Dω 0 ẋ + ω 2 0 x = 2Dω 0 Ω A 0 cos(ωt) Erregerparameter: E = 2Dη Massenkraft - Wegerregung ẍ + 2Dω 0 ẋ + ω 2 0 x = Ω 2 A 0 cos(ωt) Erregerparameter: E = η 2 Partikulärlösung Lösung der DGL mittels Ansatz der rechten Seite: x P = c P 1 cos(ωt) + c P 2 sin(ωt) ẋ P = c P 1 sin(ωt) Ω + c P 2 cos(ωt) Ω ẍ P = c P 1 cos(ωt) Ω 2 c P 2 sin(ωt) Ω 2 Einsetzten in die DGL liefert: x P = c P 1 cos(ωt) + c P 2 sin(ωt) 11 Seite 11

12 26. Gesamtlösung der erzwungenen Schwingung Die Gesamtlösung setzt sich aus der Homogen- und Partiuklärlösung zusammen x = x H + x P eingeschwungener Zustand Die Amplituden der Homogenlösung klingen exponentiell mit der Zeit ab für D > 0. Da die Ausschläge nach sehr langer Zeit t sehr klein sind im Vergleich zu den Ausschlägen der Partikulärlösung können diese vernachlässigt werden. EA 0 Amplitude: A = (1 η2 ) 2 (2Dη) 2 Phasenverschiebung: tan ɛ = 2Dη 1 η 2 12 Seite 12

13 Relativkinematik Absolutkinematik Absolutgeschwindigkeit: v P = v F + v R Absolutgeschwindigkeit: v P = v A + v P A Führungsgeschwindigkeit: v F = v 0F + ω F r r Geschwindigkeit Punkt A: v A = ω A r A0 Relativgeschwindigkeit: v R = ω R r P A Geschwindigkeit Punkt P gegen A: v P A = ω abs r P A Absolutbeschleunigung: a abs = a F + a R + a C Absolutbeschleunigung: a P = a A + a P A Führungsbeschleunigung: a F = a 0F + ω F r r + ω F ( ω F r r ) Beschl. Punkt A: a A = a A trans + ω A r A0 + ω A ( ω A r A0 ) Relativbeschleunigung: a R = ω R r P A + ω R ( ω R r P A ) Beschl. P gegen A: a P A = ω abs r P A + ω abs ( ω abs r P A ) Coriolisbeschleunigung: a C = 2 ω F x v R Impuls Schwerpunktsatz: m a M = F R wobei a M immer die Schwerpunktsbeschleunigung ist Beschleunigung auf der Keisbahn: a P = a t + a n Tangentialbeschleuigung: a t = ω r P M Normalbeschleunigung: a n = -ω 2 r P M Bahnkrümmungsradius: a n = v 2 /ρ Zeitfreie Gleichung: ads = vdv bzw ẍ dx = ẋ dẋ Rollbedingung: R φ = r ω gleichmäßig beschleunigte Bewegung:x (t) = x 0 +v 0t + a m t2 2 freier Fall: v = 2gh abgerollte Seillänge: s = r ϕ a t = 0 wenn ω konstant ist SPS integrieren führt zu dieser Gleichung Gleichung kommt aus Energiesatz Drall und Drallsatz Drehimpuls bzdl. des Schwerpunktes: L s = I S ω abs... falls DS um A dann auch I A notwendig Drehimpuls auf Punkt A umrechnen: L A = L S + r SA (m v SA )... v SA ist die Geschwindigkeit von S gegenüber A (Differenz) Drehimpuls auf Punkt 0 umrechnen: L 0 = L S + r S0 (m v S0 )... v S0 ist die Geschwindigkeit gegenüber dem Absolutsystem Allgemeine Form des Drallsatzes: d L 0/dt + ω F L 0 + r S0 (m a 0) = M 0 ω F... Winkelgeschwindigkeit des FS gegenüber dem IS a 0 Beschleunigung des Punktes 0 r S0 Abstand des Gesamtschwerpunktes zum Punkt 0 Drallsatz für ebene Probleme: I SZ ω z = M SZ niemals bei Systemen wo sich der Drehpunkt bewegt. Bestimmung und Ableitung des Drehimpulses muss gegenüber einem Inertialsystem erfolgen! Bei Verwendung eines Führungssystems gilt: d L S /dt = d F L S /dt + ω F L S = M S Arbeit, Energie und Leistung Feder F = c x W F = V F = 1/2 c x 2 P = c x ẋ Drehfeder M = c T ϕ W F = V F = 1/2 c T ϕ 2 /2 Dämpfer F = k ẋ W D = k x ẋ Drehdämpfer M D = k ϕ W D = k ϕ ϕ Energiesatz: T 1+V 1 = T 2 + V 2 = const. kinetische Energie: T = 1 / 2 m va 2 + m ( v A ω) r MA + 1 / 2 L A ω kinetische Energie: T = 1 / 2 m vs / 2 L S ω nicht bei Systemen wo Dämpfer oder Reibung gilt für beliebigen Bezugspunkt A am starren Körper für den Massenmittelpunkt M Arbeit: W 1 2 = F s + M ϕ verrichtete Arbeit von 1 nach 2 Arbeitssatz:W 1 2 = T 2 - T 1 Arbeitssatz in differentieller Form: P = dw Haftkraft kommt im Arbeits oder Leistungssatz niemals vor dt Seilreibung: S 1 = S 0 e µgα S 1 ist ziehend 13 Seite 13