Petri nets, event structures and domains

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1 RWTH Aachen University Lehrstuhl 2 für Informatik: Softwaremodellierung und Verikation Petri nets, event structures and domains Seminararbeit von Achim Lindt (231288) 08. Dezember 2009 Seminar Concurrency Theory Betreuer: Dr. rer.nat. Henrik Bohnenkamp

2 2 Zusammenfassung Diese Arbeit gliedert sich in den Kontext des Seminars Concurrency Theory, in welchem verschiedene Ansätze zur Modellierung und Analyse nebenläuger Systeme betrachtet werden. Im Folgenden wird eine formale Übersetzung des Konzepts der Petri-Netze [1] in die Domain Theory nach D. Scott [2] erläutert. Die hierzu verwendeten mathematischen Aspekte und Methoden basieren auf grundlegenden Begrien der Algebra und werden in dem dieser Arbeit zugrunde liegenden Artikel Petri Nets, Event Structures and Domains [3] vollständig behandelt. Die vorliegende Arbeit kann hier nur eine Einführung in die Thematik und einen Rahmen für das Verständnis weiterführender Literatur geben. 1 Einleitung und Motivation Nebenläuge Prozesse sind dadurch charakterisiert, dass Berechnungen einerseits (zeitlich) unabhängig voneinander erfolgen, deren Teilergebnisse andererseits im Gesamtprozess an bestimmten Punkten wieder zusammengeführt werden müssen. Die Teilprozesse können das Gesamtergebnis unter Umständen nur durch ihre zeitliche Abfolge oder durch ihre gegenseitige Beeinussung über Seiteneekte bestimmen. Aus dem Bereich der Systemprogrammierung sind hier auch die negativen Eekte bekannt: zum Beispiel wenn zwei unabhängige Prozesse zum gleichen Zeitpunkt auf die gleichen Systemressourcen zugreifen möchten(dead-/livelock). Um die so entstehenden Probleme zu verstehen, zu analysieren und letztendlich auch zu lösen wurden in den vergangenen Jahrzehnten verschiedene formale Modellierungsmethoden entwickelt und diskutiert. Ein erster Ansatz ist die Modellierung eines nebenläugen Systems (oder einer konkreten Berechnung / eines konkreten Prozesses) durch eine alternierende Abfolge von Bedingungen und Ereignissen, welche als Graph den gesamten Prozessablauf als Folge von Einzelschritten plastisch darstellen. Dieser Ansatz wurde 1962 von Carl Adam Petri in seiner Arbeit Kommunikation mit Automaten[4] eingeführt und später unter dem Begri der Petri-Netze weiter entwickelt. Die Modellierung von Systemen durch Petri-Netze ist neben der Informatik auch in den Ingenieursdisziplinen weit verbreitet und ndet demnach auch in der Praxis vielfältige Anwendungsmöglichkeiten (siehe Beispiele in [5]). Dana Scott entwickelte im Rahmen der Domain Theory Formalismen zur semantischen Analyse von Programmiersprachen (genannt: denotationelle Semantik ). Hierbei wird eine Berechnung, welche durch ein Programm beschrieben ist, durch eine Folge von partiell denierten Funktionen beschrieben, welche jeweils über eine Anweisung das System von einem Zustand in den nächsten überführen. Die Schwierigkeit in dem formalen Umgang mit partiell denierten Funktionen, das sind Funktionen die nicht für den gesamten Bereich der Quellmenge deniert sind, wird hierbei durch ihre Darstellung als Relationen aufgelöst. Diese Relationen bilden zusammen mit der Zustandsmenge eine mathematische Struktur, die sich formal in die Theorie der Verbände und damit in den Bereich der Ordnungstheorie eingliedert. Zur Analyse eines so modellierten Systems stehen somit die mathematischen Mittel der Algebra (etwa Homomorphismen) zur Verfügung. Eine tiefer gehende Betrachtung der Scott'schen Domain Theory würde den Rahmen dieser Seminararbeit allerdings deutlich sprengen. Für das betrachtete Thema werden daher nur essentielle formale Konstrukte vorgestellt. Wesentliche Aspekte publizierte Scott in dem Artikel Data types as lattices [2]. Eine umfangreiche Behandlung ndet sich auch im Handbook for Logic in Computer Science [6]. Eher mathematisch motiviert ist die Sichtweise in dem Buch Continuos Lattices and Domains [7]. In dieser Arbeit werden also zwei formale Modellierungsmöglichkeiten betrachtet, die auf den ersten Blick sehr unterschiedlich ausfallen. Beide behandeln jedoch ähnliche Begrie von Zuständen (Scott) und Ereignissen (Petri). Auch deniert ein Petri-Netz durch seine Graphdarstellung stets eine Relation auf einer Menge von solchen Ereignissen (Berechnungsschritten).

3 3 Abbildung 1: Themenübsersicht dieser Arbeit Wie lassen sich jedoch die Probleme der Nebenläugkeit, der Konikte in algebraischen Strukturen erhalten und beschreiben? Der Inhalt der nächsten Kapitel wird sich also mit der Frage auseinandersetzen, inwiefern die beiden Ansätze vergleichbar sind und ob sogar verlustfreie Übertragung von Informationen stattnden kann. Die Anordnung der Themen illustriert Abbildung 1. Diese Arbeit reektiert hierzu die Ergebnisse von Mogens Nielsen et al. aus dem Jahr 1981 [3]. Seit seiner Veröentlichung vor 28 Jahren wurde dieser Artikel bereits mehr als 600 mal zitiert (Quelle: CiteSeer.org), was hier durchaus auf die Relevanz der Publikation zurück schlieÿen lässt, die bis heute nicht aus dem Fokus der Forschung verschwunden ist. Einer der Autoren, Glynn Winskel, hat jüngst einen Artikel über Prime Algebraicity veröentlicht, in dem er die wesentlichen Konstrukte des ursprünglichen Artikels in den Kontext der modernen Algebra einbettet [8]. Schritt für Schritt werden in den nächsten Kapiteln die im Verlauf notwendigen Begrie wie Ereignisse, Petri-Netze, Halbordnungen, Verbände, Domänen und Ereignisstrukturen deniert und erläutert. Das 3. Kapitel beschäftigt sich dazu mit einer allgemeinen Einführung in Petri-Netze. Im darauf folgenden werden die Scott'schen Domänen in der hier benötigten Tiefe vorgestellt. Das 5. Kapitel stellt sich schlieÿlich den Fragen der Gleichwertigkeit und der Übersetzung dieser beiden Modellierungsmethoden von Petri und Scott. Zentrales Thema sind dort die sogenannten Ereignisstrukturen (engl. event structures). Die Herangehensweise unterscheidet sich bewusst von [3], da es für den Zweck und die Zielgruppe dieser Seminararbeit sinnvoll erscheint, zunächst eine Einführung in die beiden Hauptthemen zu geben, bevor schlieÿlich eine Brücke zwischen ihnen gebaut wird. Insgesamt wird mehr Wert auf eine gesamtheitliche, erklärende Darstellung als auf detaillierte mathematische Beweise gelegt, hierzu sei auf die verwendete Literatur verwiesen. Die verwendeten Denition sind, sofern die Quelle nicht explizit benannt wird, u.u. leicht angepasste Formen der Denitionen aus [3] bzw. aus [5] und [9]. 2 Grundbegrie 2.1 Ereignisse in nebenläuge Prozessen Ein Zentraler Begri für die Modellierung (nebenläuger) Prozesse ist das Ereignis (engl. event). Oensichtlich lassen sich allgemein und intuitiv betrachtet Prozesse in Teilabschnitte und Berechnungen in Teilergebnisse zerlegen. In beiden Fällen ergeben sich dabei Kausalitäten: 1. Ein Prozessabschnitt kann u.u. erst dann erfolgen, wenn der vorherige Abschnitt (und damit der vorige Teilprozess) abgeschlossen ist. 2. Das Gesamtergebnis einer Berechnung setzt sich analog aus den Ergebnissen der (nicht

4 4 notwendigerweise zusammenhängenden) Teilrechnungen zusammen. Diese einzelnen, kausal zusammenhängenden Punkte werden im folgendenen allgemein als Ereignisse bezeichnet. Betrachtet man einen tatsächlichen Ablauf eines Prozesses, so nimmt natürlich jedes Ereignis eine bestimmte Zeitspanne und einen bestimmten Platz (z.b. Speicherplatz) in Anspruch. Die Gröÿe dieser zeitlichern und räumlichen Ausdehnung hängt oensichtlich bis zu einer bestimmten Stufe von dem Abstraktionsgrad der Betrachtung ab. Dies wirft die Frage der Zerlegbarkeit von Ereignissen auf. Auÿerdem führt eine zu detallierte Modellierung über diese beiden Gröÿen unter Umständen gar zu den relativistischen Problemen der Gleichzeitigkeit bei unterschiedlichen Beobachtern (vgl. Motivation in [10]). Der Begri der Nebenläugkeit (siehe 2.3) wäre aus dieser Anschauung heraus also schwer zu fassen. Ein Ausweg aus diesem Problem wird hier in sofern aufgezeigt, als dass man lediglich die kausalen Abhängigkeiten von Ereignissen betrachtet. Hierbei ist also nicht entscheidend wann (zeitlich) ein Ereignis auftritt, sondern welche Vorbedingungen (die gemeinsame Vergangenheit der ursächlichen Ereignisse) und welche Auswirkungen (kausal folgende Ereignisse) es hat. 2.2 Monokausale Prozesse Im einfachsten, monokausalen, Falle hat ein Ereignis genau eine Vorbedingung und genau einen Nachfolger: Beispiel 1 (Zählprozess). Ein Zählprozess ist ein Prozess, welcher nacheinander die natürlichen Zahlen aufzählt (0,1,2,3,...). Jede Zahl n tritt hierbei erst genau dann auf, nachdem genau die Zahl n 1 aufgezählt wurde und schat somit die Bedingung für das Aufzählen der Zahl n + 1. (vgl. ticking clock [10], S.327) Aus dieser Forderung ist ersichtlich, dass nach dem Ereignis n nur das Eregeignis n+1 folgen kann. Alle Ereignisse dieses Prozesses stehen also in einer kausalen Relation zueinander (siehe Korollar 1). Oensichtlich gibt es keine gleichzeitigen Ereignisse oder Ereignisse, die gleichzeitig mehrere nachfolgende Ereignisse induzieren oder aus verschiedenen Prozessen angeregt werden können. Folglich reicht zur Modellierung monokausaler Prozesse eine Kette von Ereignissen e 0,..., e n aus: e i : e i 1 e i e i+1. Das verwendete Relationssymbol ist hier in dem Sinne der Kausalität der Ereignisse zu verstehen: e i hat also genau einen Vorgänger (Ursache / Bedingung) und ein nachfolgendes Ereignis (vgl. Denition 6). 2.3 Nebenläuge Prozesse In den tatsächlichen Anwendungen tritt allerdings eher der allgemeinere Fall ein: Ein Ereignis hat entweder mehrere Ursachen mit unterschiedlicher (disjunkter) Vergangenheit oder der Prozess kann nach dem Eintreten eines Ereignisses mehrere a<lternative Wege einschlagen oder mehrere unabhängige Dinge bewirken. In solchen Fällen spricht man von Nebenläugkeit. Die Untersuchung solcher nebenläuger Prozesse beschäftigt sich nun vor allem mit solchen Ereignissen, oder allgemeiner Folgen von Ereignissen, die in einer Konkurrenz oder Koniktsituation stehen und welche somit Auswirkungen auf das Ergebnis des Gesamtprozesses haben. Eine zentrale Frage ist hier die Erreichbarkeit von Ereignissen und deren gegenseitige Beeinussung. Der folgende Abschnitt widmet sich nun zunächst der Modellierung solcher nebenläuger Systeme nach einem Ansatz von C.A. Petri.

5 5 3 Petri-Netze Im Jahr 1962 stellt C.A. Petri in seiner Dissertation ein mathematisches Modell für nebenläuge Prozesse vor [4], welches unter dem nach ihm benannten Begri der Petri-Netze Eingang in die Forschung und Anwendung in der Informatik und in den ingenieurswissenschaften gefunden hat. Die Idee der Petri Netze folgt direkt aus der Idee der Ereignisse wie sie im vorangegangenen Abschnitt eingeführt wurden: Ein Prozess wird durch die Struktur seiner Ereignisse und ihrer Abhängigkeiten, also der kausalen Verbindungen, untereinander beschrieben. Dieser Prozess kann dann durch ein Petri-Netz aus Ereignissen und Bedingungen modelliert werden: Denition 1 (Petri-Netz). Ein Petri-Netz ist ein Tripel N = (B, E, F ) mit B ist eine Menge von Bedingungen E ist eine Menge von Ereignissen B E = F (B E) (E B) Fluÿrelation (vgl. Denition 9 S.10) (engl. causal dependency relation) B E = {x B E y : (xf y) (yf x)} (Der Graph eines Petri-Netzes ist zusammenhängend) (engl. conditions) (engl. events) Anmerkung: Im Zusammenhang mit den später eingeführten Transitionsnetzen werden jeweils die synonymen Begrie Stellen (engl. places) für Bedingungen und Transitionen (engl. transitions) für Ereignisse verwendet. Diese erste Denition eines Petri-Netzes ist als statische Systembeschreibung aufzufassen. Hier werden also lediglich die Abhängigkeiten von Ereignissen und Bedingungen modelliert. Später werden die Begrie Markierung und Schaltfolge eingeführt, die es erlauben ein zunächst statisches Netz mit Leben zu füllen und eine tatsächliche Berechnung oder einen Prozess zu simulieren. In einem Petri-Netz alternieren stets Ereignisse und Bedingungen (d.h. e E, b B, i, j, k, l N gilt (e i, e j ) / F und (b k, b l ) / F und B E = ). D.h. ein Ereignis hat stets mindestens eine Vor- und mindestens eine Nachbedingung, und auf jede Bedingung muss ein Ereignis folgen. Es können also nie zwei Ereignisse ohne Bedingung direkt nacheinander folgen. Ereignisse haben nur die Aufgabe, den Wandel der Bedingungen auszudrücken [1]. Die Abhängigkeit der Ereignisse untereinander wird durch die in Denition 1 eingeführte Relation F modelliert. Hieraus ergibt sich auch eine Unterscheidung zwischen kausalen und unabhängigen oder strenger nebenläugen Ereignissen: Korollar 1 (Concurrency Relation). Zwei verschiedene Ereignisse e 1, e 2 E sind entweder kausual ((e 1, e 2 ) F + ) oder nebenläug ((e 1, e 2 ) co N ), wobei co N = def (B E) (E B)\(F + (F + ) 1 ) d.h. x, y co N (x, y) / F + (y, x) / F + Anmerkung: F + bezeichnet die transitive Hülle der Relation F (siehe dazu Def. 9) mit F + = {(x, y) z 1... z n (B E), i 1... n : xf z 1 z i F z i+1 z n F y}

6 6 Die Modellierung nebenläuger Ereignisse erfolgt also hierbei nicht durch z.b. eine Projektion auf einer Zeitachse (im Sinne von Gleichzeitigkeit"), sondern durch das Einführen obiger Nebenläugkeits-Relation co N (engl. concurrency relation), welche genau die unabhängigen Ereignisse zueinander in Beziehung setzt. Die Unterscheidung in kausale und nebenläuge Ereignisse aus Korollar 1, wird im späteren Verlauf präzisiert werden, da momentan noch keine Aussage darüber getroen wird, wie sich diese Nebenläugkeit ausdrückt. Aus der Nebenläugkeit zweier Ereignisse lässt sich bislang zum Beispiel noch nicht darauf schlieÿen, ob diese Ereignisse eine Koniktsituation darstellen. Denition 2 (Vor- und Nachbereich). Für jedes x B E bezeichnet. x den Vorbereich {y yf x} x. den Nachbereich {y xf y} von x bezüglich der Relation F. Folgendes, einfaches Beispiel soll die obige mathematische Denition veranschaulichen Beispiel 2 (Student Petri-Netz). Ein einfacher Student in der Prüfungsvorbereitung lässt sich etwa durch folgendes Petri-Netz modellieren (vg. Abb. 2): - B = {hungrig, müde, wach} - E = {Essen, Schlafen, Lernen} - F = {(hungrig, Essen), (Essen, müde), (müde, Schlafen), (Schlafen, wach), (wach, Lernen), (Lernen, hungrig)} Anmerkung: Aus der Bedingung hungrig kann also nicht ohne das Ereignis Essen die Bedingung müde folgen. Abbildung 2: Graph des Petri Netzes zu Beispiel 2 - links als statische Systembeschreibung; - rechts als dynamisches System (Denition 3) mit Anfangsmarkierung. Bis zu diesem Punkt modelliert ein Petri-Netz also statisch die Abhängigkeiten von Prozesschritten durch die beiden Relationen der Kausalität(F) und Nebenläugkeit(co N ). Der durch die Relation F induzierte Graph eines Petri-Netzes N lässt sich anschaulich darstellen, wobei Bedingungen als Rechtecke und Ereignisse als Kreise gezeichnet werden. Da Ereignisse und Bedingungen gem. Denition disjunkte Mengen sind, sind die Graphen eines Petri-Nets stets bipartit. Eine Kante verbindet eine Bedingung b B und ein Ereignis e E genau dann, wenn (b, e) F oder (e, b) F. Ein Beispielgraph des Petrinetzes aus Beispiel 2 ist in Abbildung 2 dargestellt.

7 7 3.1 Berechnungen auf Petri-Netzen Eine statische System- oder Pozessbeschreibung durch ein einfaches Petri-Netz kann aber auch zu einer aktiven Simulation eines solchen Prozesses benutzt werden. Hierzu wird der Begri des Petri-Netzes in Denition 3 erweitert: Denition 3 (Stellen-/Transitionsnetz). Ein Stellen-/Transitionsnetz (S/T-Netz) beschreibt das dynamische Verhalten eines zugehörigen Petri-Netzes. Ein (S/T-Netz) ist im allgemeinenen ein 6-Tupel (S, T, F, K, W, M 0 ) mit: (S, T, F ) ist ein Petri-Netz (hier: B = S und E = T) K : S N { } W : F N M 0 : S N 0, s ins : M 0 (s) K(s) (Kapazitäten der Stellen) (Kantengewichte) (Anfangsmarkierung) Anmerkung: Für die hier benötigten Zwecke genügt die vereinfachte Annahme, dass alle Kanten das Kantengewicht 1 und jede Stelle nur aktiviert oder nicht aktiviert sein kann. In diesem Sinne spricht man auch von einem Bedingungs-Ereignis-System (siehe [5]). Im weiteren Verlauf wird der Begri Transitionsnetz synonym für ein Stellen- / Transitionsnetz verwendet und beschreibt stets einen dynamischen Ablauf in einem Petri-Netz. Eine Markierung eines Transitionsnetzes lässt sich dabei durch Markierungspunkte darstellen. Das Prinzip hierbei ist, dass man zunächst eine endliche Anzahl von Markerierungspunkten (engl. Tokens) auf beliebige Stellen verteilt und diese dann entlang des Netzes wandern lässt. Glynn Winskel verwendet hier den anschaulichen Begri token game ([3],[11]). Hierbei gibt das konkrete Petri-Netz Regeln für zulässige Bewegungen der Markierungspunkte vor: Durch die jeweilige Verteilung der Markierungspunkte entstehen aktivierte und nicht aktivierte Transitionen. Denition 4 (aktivierte Transition). Eine Transition t T eines Transitionsnetzes heiÿt aktiviert unter M falls s. t : M(s) W (s, t) (Mindestens soviele Tokens wie Summe der Gewichte eingehender Kanten) s t. : M(s) K(s) W (t, s) (Genügend freie Kapazitäten in den Zielstellen) Da im weiteren Verlauf ausschlieÿlich Bedingungs-Ereignis-Systeme behandelt werden genügt hier folgendes Korollar zur Beschreibung aktiver Transitionen: Korollar 2 (Aktivierung im Bedingungs-Ereignis-System). Eine Transition t T ist dann aktiv, wenn alle Stellen im Vorbereich von t aktiv und alle Stellen im Nachbereich von t inaktiv sind. Das dynamische Verhalten eines Petri-Netzes ist zunächst durch seine Anfangsmarkierung vorgegeben. In dem Transisitonsnetz, welches auf der rechten Seite von Abbildung 2 dargestellt ist, ist also die Tranisition Lernen aktiv. In anderen Worten: die notwendige Bedingung wach für das Ereignis Lernen ist eingetreten. Die Folge-Markierungen werden dann durch die aktivierten Transitionen bestimmt, ein Übergang von einer Markierung M i des Netzes N in eine neue Markierung M i+1 wird als Schaltung des Netzes bezeichnet. Damit lässt sich nun der Begri der Schaltfolge denieren:

8 8 Denition 5 (Schaltfolge). Seien M i Markierungen (M 0 ist Anfangsmarkierung) und t i Transitionen auf einem Transitionsnetz N (i n, n N) dann bezeichnet eine Schaltfolge auf N falls σ = M 0 t 0 M 1 t 1... t n M n+1 i n : (. t i M i ) (M i+1 = (M i \. t i ) t. i) Anmerkung: Der Übergang von M n 1 t n 1 nach M n wird auch als das Schalten oder auch das Feuern von t n bezeichnet. Abbildung 3: Schaltfolgen auf einem Transitionsnetz 1. Abbildung 3 illustriert eine Schaltfolge durch den Wechsel der Markierungen von M 0 = {B1, B2} über M 1 = {B3, B4, B5} nach M 2 = {B6, B7}. An die Markierung M 2 schlieÿt wieder eine Markierung an, welche wieder identisch mit M 0 ist. Die folgende Denition des kausalen Petri-Netzes schränkt den allgemeinen Begri des Petri Netzes aus Denition 1 stark ein. Ein solches Netz dient aber als Ausgangspunkt für die Beschreibung algebraische Strukturen auf Petri-Netzen. Im weiteren Verlauf wird diese Denition dann stufenweise zu allgemeineren Petri Netzen erweitert. Die Denition der korrespondierenden algebraischen Struktur folgt dann diesem sukzessivem Ausbau. 1 Das Beispiel wird später für die Entfaltung eines Petri-Netzes (siehe Kapitel 5) wiederverwendet, daher sind bereits zusätzliche Eigenschaften des Beispielnetzes hervorgehoben: Es lässt sich oenbar in zwei Teilverhalten zerlegen, welche in der ersten Darstellung farbig unterlegt sind, auÿerdem sind die initialen Zustände der zwei Teilprozesse durch eine Schraerung gekennzeichnet.

9 9 Denition 6 (Kausalnetz). Ein Petri-Netz N ist ein Kausalnetz (engl. causal net ), falls: 1. b B : b. 1. b 1 (N ist monokausal) 2. F + ist nicht reexiv (N ist kreisfrei) 3. b 1, b 2 B : (. b 1 =. b 2 ) (b. 1 = b. 2) b 1 = b 2 (Eindeutigkeit der Ereignisse) Abbildung 4: Teilnetze (a) und (b) sind in monokausalen Netzen nicht erlaubt, (c) schon. Ein Petri-Netz, welches der dritten Bedingung aus Denition 6 genügt wird in der Literatur allgemein als schlicht oder einfach bezeichnet. Insbesondere sind Teilnetze wie in Abbildung 4(a) und Abbildung 4(b) nicht erlaubt. Je zwei Ereignisse haben keine gemeinsame Vorbedingung und die gleiche Bedingung kann nicht alternativ nach zwei verschiedenen Ereignissen eintreten. Desweiteren impliziert die Kreisfreiheit, dass jedes Ereignis nur genau einmal auftreten kann und dabei mit Def.6.1 Koniktsituationen nicht erlaubt sind. Dies wiederum hat zur Folge, dass oensichtlich nur unendliche Kausalnetze interessant sind, da ansonsten eine Berechnung nach endlich vielen Schritten stoppt. Der Sinn unendlicher Kausalnetze wird im Kapitel 5 begründet wo diese Netze mit der Bezeichnung Occurence-Netze als Entfaltung einer tatsächlichen Berechnung auf einem (endlichen) Petri-Netz eingeführt werden. Nebenläuge Prozesse in einem Kausalnetz beginnen und enden also jeweils mit einem gemeinsamen Ereignis und werden spätestens an den gemeinsamen Endpunkten synchronisiert. Schaltungen auf solchen Netzen sind somit frei von Seiteneekten. Für ein Transitionsnetz, dessen zugrundeliegendes Netz genau ein Kausalnetz ist, ergibt sich aufgrund der Kreisfreiheit, dass ein Ereignis e E genau dann eintritt sofern alle Vorbedingungen erfüllt (d.h. aktiviert) sind. Dies führt zur Denition der sicheren und kontaktfreien Netze: Denition 7 (Sicheres Netz). Ein Netz N = (B, E, F ) heiÿt sicheres Netz, sofern zu keinem Zeitpunkt eines dynamischen Prozessablaufs mehr als eine Marke in einer Stelle liegt. Denition 8 (Kontakfreies Netz). Ein Netz N heiÿt kontaktfrei, falls eine Tranisition t T genau dann unter einer Markierung M aktiviert ist, wenn. t M, d.h. der Vorbereich ist aktiviert. Insbesondere folgt für eine erreichbare Tranisition t in einem kontaktfreiem Netz: Dabei ist M eine Markierung des Netzes.. t M M t. =. Damit kann Korollar 2 wie folgt verfeinert werden: Korollar 3 (Aktivierung im sicheren Bedinungs-Ereignis-System). Ein Ereignis e in einem sicheren Bedingungs-Ereignis-System N tritt genau dann ein, wenn alle Vorbedingungen erfüllt sind, d.h. wenn für eine Markierung M existiert mit. e M.

10 10 Angenommen zwei Transitionen t i und t j sind im Laufe einer Schalfolge σ innerhalb der gleichen Markierung M j aktiv. Nun ergibt sich anscheinend ein Nichtdeterminismus in Form einer Wahlfreiheit welche der Transitionen t i, t j zuerst geschaltet werden soll. In einem sicheren Transitionsnetz kann aber das Schalten einer der beiden Transitionen nicht das Schalten der jeweils anderen Transition verhindern. Es spielt in solchen Netzen keine Rolle welche der Transitionen t i, t j zuerst geschaltet wird. Somit ergeben sich Äquivalenzklassen für Schaltfolgen eines sicheren Netzes: Korollar 4 (Äquivalenz von Schaltfolgen). Sei N ein ein sicheres (kontaktfreies) Netz: Falls i n 1 mit. t i M i 1 D.h. das Schalten der Transition t i kann durch unterschiedliche Schaltungshistorien σ, σ bedingt sein. Die gesamte Vergangenheit von t n ist aber im Sinne von t n äquivalent (σ σ σ ): σ = M o t o... M i 1 t i 1 M i t i M i+1... t n M n+1 σ = M o t o... M i 1 t i M it i 1 M i+1... t n M n+1 Für den Fall, dass i = n 1: σ = M o t o... M n 1 t n M n+1 Die korrespondierende Äuqivalenzklasse zu einer Schaltung σ wird mit [σ] bezeichnet. Soweit genügt die Einführung in die Petri-Netze für die hier benötigten Zwecke. Das folgende Kapitel stellt nun die mathematischen Mittel für das Kapitel 5 bereit, welches dann schlieÿlich eine semantische Beschreibung dieser Petri-Netze ermöglicht. 4 Ordnungen, Verbände und Domänen In diesem Kapitel werden die zentralen Begrie der Ordnung, und darauf aufbauend der Verbände, eingeführt. Die Denitionen folgen hierbei der Darstellung von B.A.Davey et al. [9] und entstammen dem mathematischen Kontext der Ordnungstheorie. Schlussendlich formen die nun vorgestellten Konstrukte eine Basis für die Domänen nach den Ideen von Dana Scott (siehe [2], [6]). Denition 9 (Binäre Relation). Seien M und N Mengen, eine binäre Relation R ist eine Teilmenge der geordneten Paare der Elemente aus M und N: Eigenschaften der Relation R für M = N: R heiÿt 1. reexiv, falls (x, x) R x M R (M N) : {(m, n) m M n N} 2. symmetrisch, falls (x, y) R (y, x) R x, y M 3. antisymmetrisch, falls (x, y) R (y, x) R x = y x, y M 4. transitiv, falls (x, y) R (y, z) R (x, z) R, x, y, z M Relationen, welche Elemente einer Menge anordnen, bzw. in eine Kette von Beziehungen setzen, sind im Folgenden von besonderem Interesse:

11 11 Denition 10 (Ordnung). Ist R (M M) eine antisymmetrische, reexive und transitive Relation, so wird R als Ordnung (auch Halbordnung) auf der Grundmenge M bezeichnet und folgende, gebräuchliche Inxschreibweise verwendet: x y (x, y) R Gilt weiterhin (x y) (y x) x, y M so heiÿt R Totalordnung. Eine Menge M zusammen mit einer Ordnungsrelation wird als (halb-)geordnete Menge (M, ) bezeichnet (engl. poset: partial ordered set). Die folgenden Beispiele sollen die obigen formalen Denitionen greifbarer machen: Beispiel 3 (Ordnung). 1. (N, ) ist die bekannte Anordnung der natürlichen Zahlen: ; 2. (P(N), ) ist die Anordnung aller Teilmengen der natürlichen Zahlen durch die Inklusionsbeziehung : {2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}... ; 3. (Z, ), mit m, n Z, m n m teilt n: 2 4, 3 6, 3 9,.... Ordnungsrelationen lassen sich als Hasse-Diagramme graphisch darstellen. Hierbei werden die Elemente aufsteigend in Richtung der y-achse eingezeichnet. Zwei Elemente x, y sind genau dann mit einer Kante verbunden, falls x y. Abbildung 5 zeigt die zu Beispiel 3 korrespondierenden Hasse-Diagramme. Abbildung 5: Hasse Diagramme zu Beispiel 3. Denition 11 (Nachbar-Relation). Sei (M, ) eine geordnete Menge. Zwei Elemente x, y heiÿen Nachbarn (x y), falls x direkter Vorgänger oder direkter Nachfolger von y ist: x y x y x y ( z M, x z y x = z z = y) x heiÿt dann unterer Nachbar von y und y oberer Nachbar von x. Die Möglichkeit Elemente einer Menge durch eine Ordnungsrelation anzuordnen wirft intuitiv die Frage nach gröÿten und kleinsten Elementen auf. Oensichtlich ist z.b. 0 N das kleinste Element in (N, ). Da N unendlich ist, gibt es aber kein gröÿtes Element. Betrachtet man aber beliebige Teilmengen einer geodneten Menge, so lautet die Fragestellung nun, ob unabhängig von der Wahl dieser Teilmenge stets ein gröÿtes oder kleinstes Element dieser Menge existiert.

12 12 Denition 12 (Schranken). Sei (M, ) eine geordnete Menge, x M Falls x N M : y N y x, so heiÿt x obere Schranke von Nin M. analog heiÿt x untere Schranke von Nin M falls y N x y x heiÿt kleinste obere Schranke (gröÿte untere Schranke) von N in M falls z, z ist obere (untere) Schranke von N in M und z x(z x) folgt, dass x = z Sofern eine kleinste obere Grenze, oder eine gröÿte untere Grenze zu einer Teilmenge N M existiert, so sind diese Grenzen jeweils eindeutige Elemente von M. Diese eindeutigen Elemente werden als join (supremum) bzw.meet (inmum) bezeichnet. Dabei wird folgende Schreibweise verwendet: Denition 13 (Join / Meet). Seien x, y zwei einzelne Elemente x, y M und N eine Teilmenge N M, dann sind die Begrie Join und Meet wie folgt deniert: Join: x y(= sup{x, y}) oder N; Meet: x y(= inf{x, y}) oder N. Denition 14 (Verband). Sei M eine nichtleere geordnete Menge M ist ein Verband, falls für alle x, y M x y und x y existieren; M ist ein vollständiger Verband, falls für alle Teilmengen N M : N und N existieren. Anmerkung: Bezieht sich die zweite Forderung lediglich auf eine der Relationen oder, so spricht man von einem Halbverband (engl. join-semilattice, meet-semilattice). Da M in Denition 14 eine geordnete Menge ist, gilt oensichtlich für x y: x y = x und x y = y. Für den Nachweis, dass eine Menge M ein Verband ist, genügt es somit zu zeigen, dass je zwei im Sinne der Ordnungsrelation direkt unvergleichbare Elemente ein gemeinsames Supremum und Inmum haben (vgl. [9], S. 29). Beispiel 4 (Beispiele für Verbände). 1. Die geordnete Menge (P(M), ) aus Beispiel 3(2) bildet einen vollständigen Verband mit minimalem Element und maximalen Element M. Für zwei Teilmengen S, T M gilt S T = S T, S T = S T 2. Die Teilerbeziehung (N, ) aus Beispiel 3(3) bildet einen vollstängigen Verband mit minimalem Element 1 und maximalen Element. Es gilt für je zwei Zahlen k, l N): k l = ggt(k, l) und k l = kgv(k, l). Das maximale Element ensteht durch Konstruktion k = k und k = Betrachtet man die beiden geordneten Mengen aus Beispiel 4 genauer, so stellt man fest, dass sich oenbar jedes Element der jeweilgen Menge aus endlichen-elementen zusammensetzen lässt. Jede Menge aus Beispiel 4.1 lässt sich als Vereinigung ihrer endlichen Teilmengen darstellen, wobei die Vereinigung für unendliche Mengen aus unendlich vielen endlichen Teilmengen besteht. Jede Zahl aus Beispiel 4.2 lässt sich oenbar als kleinstes gemeinsames Vielfaches ihrer Teilfaktoren darstellen. Diese endlichen Elemente werden in der Literatur auch als kompakte

13 13 Elemente bezeichnet. In [3] werden solche Grundbausteine für gewisse Ordnungsstrukturen als Primelemente (engl. primes) eingeführt (siehe dazu auch Denition 17). Für einen vollständigen Verband ergibt sich dabei die einfacherere Aussage, dass die Primelemente genau die direkten Nachfolger des Nullelements (allgemein oft als bezeichnet) sind (vgl. Korollar 5). Die Existenz von kompakten Elementen oder von Primelementen fordert bestimmte Eigenschaften. Ein vollständiger Verband scheint diese Eigenschaften stets zu erfüllen, ein endlicher Verband ebenso. Zu vollständigen Chrakterisieung über die notwendigen Struktureigenschaften werden folgende Denitionen benötigt: Denition 15 (gerichtete Menge). Sei (M, ) eine geordnete Menge. Eine nichtleere Teilmenge S M heiÿt gerichtete Menge falls s, t S u S : s u t u d.h. je zwei Elemente s, t aus S haben ein Supremum u. Anmerkung: Eine alternative Charakterisierung für eine gerichtete Menge ist die Aussage, dass eine Menge S dann gerichtet ist, sofern jede endliche Teilmenge T S ein Supremum in S besitzt ( T S). Schränkt man die Ordnung (M, ) auf S ein (d.h. (S, M S 2 )) so erhält man eine vollständig geordnete Menge, die formale Denition lautet: Denition 16 (Vollständige Halbordnung). 1. Eine Menge M wird als vollständig geordnete Menge bezeichnet, sofern jede beliebige Teilmenge S M gerichtet ist (engl. CPO: complete partial ordered set). Jede vollständig geordnete Menge enthält ein minimales Element mit M =, (M, ) ist dann eine vollständige Halbordnung auf M 2. Wird die Existenz eines minimalen Elementes aus (1) nicht gefordert, so nennt man M eine gerichtete vollständig geordnete Menge (engl. dcpo directed complete partial ordered set) Anmerkung: Der Begri CPO wird in [9] synonym zum Begri pointed dcpo in [7] verwendet. Der Begri der vollständigen Halbordnung ist nicht mit dem Begri der Totalordnung zur verwechseln. In einer vollständigen Ordnung kann es durchaus direkt unvergleichbare Elemente geben, es wird nur gefordert, dass Sie ein gemeinsames Supremum (Meet) besitzen. Beispiel 5 (vollständig geordnete Menge). Die Menge M = {a, b} zusammen mit der Ordnung (M, ). M ist eine vollständig geordnete Menge: {, } = {{a}, } = {a} {{a}, {a}} = {a} {{b}, {b}} = {b} {{b}, } = {b} {{a}, {b}} = {a, b}

14 14 {{a, b}, {a}} = {a, b} {{a, b}, {b}} = {a, b} {{a, b}, {a, b}} = {a, b} Allerdings ist M keine Totalordnung, da z.b. {a} {b} Denition 17 (Primelement). Sei (M, ) eine geordnete Menge. Ein Element p M heiÿt vollständiges Primelement (engl. complete prime) von (M, ), falls: p X x X : p x für jede Teilmenge X M Unter der Bedinung das X existiert (also insbesondere wenn M eine vollständig geordnete Menge ist). Anmerkung: Die Bezeichnung Primelement folgt aus einer direkten Übersetzung aus [3], in der Literatur zu Verbandstheorie nden sich allerdings eher die Bezeichnungen kompakt oder im englischen compact oder nite für spezielle Ordnungen In vollständigen Verbänden kann man entlang der Ordnungsrelation herunterwandern und so zu jedem Element x eines vollständigen Verbands (V, ) die sogenannten irreduziblen Elemente nden. Das sind solche Elemente, welche keine Darstellung als Supremum von zwei anderen Elementen haben. Korollar 5 (Primelemente eines vollständigen Verbands). Ist (V, ) ein vollständiger Verband, so sind die Primelemente gerade die irrediziblen Elemente, d.h. die Menge der Primelemente ist P = {v V, ) v }. In diesem Fall werden Sie auch als Atome bezeichnet, aus denen eine (nicht notwendigerweise endliche) Basis für den Verband gebildet werden kann Ein Halbordnung, in der sich sich alle Elemente auf die korrespondierende Menge ihrer Primelemente zurückführen lassen, heiÿt prim-algebraische Halbordnung (engl. prime algebraic partial order), formal: Denition 18 (prim algebraische Ordnung). Sei (D, ) eine Halbordnung auf D, (D, ) heiÿt prim algebraisch, falls für jedes Element d D das Supremum P d = def {p d p ist Primelement} existiert und d = P d Korollar 6. Glynn Winskel zeigt in [8], das folgende Aussagen für eine geordnete Menge (M, ) äquivalent sind: (M, ) ist eine prim-algebraische Ordnung; (M, ) ist ein vollständiger Verband; (M, ) ist algebraisch und vollständig und ist distributiv. Beispiel 6 (Primelemente). Betrachtet man erneut die Strukturen aus Beispiel 4 so sind die Primelemente zu 1. genau die endlichen Teilmengen von N 2. genau die Primfaktoren, da bekannterweise jede Zahl n N eindeutig in ihre Primfaktoren zerlegt werden kann. Schlieÿlich gelangt man entlang der in diesem Kapitel aufgeführten Denition zu dem Begri der Domäne nach D. Scott. Sie bildet mit der Domain Theory [6] die formale Grundlage für die Analyse von Computerprogrammen und Programmiersprachen durch die denotationelle Semantik

15 15 Denition 19 (Scott Domäne). Sei (D, ) eine vollständige, prim-algebraische Ordnung. (D, ) heiÿt dann Scott Domäne. Anmerkung: Bei dieser Struktur handelt es sich fast um einen vollständigen Verband, dem jedoch bspw. das maximale Element fehlt. Innerhalb dieser Seminararbeit wird dieser Begri nicht weiter vertieft. Die im nächsten Kapitel folgende Konstruktion, welche genau aus einem Petri-Netz diese Struktur aus Denition 19 erzeugt, önet lediglich eine Tür in ein weiteres Feld der formalen Programmanalyse. Anknüpfungspunkte für eine intensivere Betrachtung der Domain Theory sind hier [6] und [7]. Auf der einen Seite wurden nun die Petri-Netze vorgestellt, auf der anderen Seite die hier denierten algebraischen Halbordnungen. Das nächste Kapitel beschäftigt sich nun mit dem zentralen Aspekt der Arbeit von Nielsen, Plotkin und Winskel [3], diese Seiten zu verbinden. 5 Ereignisstrukturen In diesem Kapitel werden Petri-Netze in die algebraische Struktur der Halbordnungen überführt (gem. [3]). Hierzu wird der Begri der (elementaren) Ereignisstruktur benötigt. Denition 20 (elementare Ereignisstrukur). Eine elementare Ereignisstruktur ist eine Halbordnung S = (E, ), wobei E eine Menge von Ereignissen ist, welche durch die Kausalitäts Relation halbgeordnet (siehe Denition 10) sind. Hierbei gilt für zwei Ereignisse e e genau dann, wenn das Eintreten des Ereignisses e von dem vorherigen Eintreten des Ereignisses e abhängig ist. Anmerkung: Statt wird im Folgenden für das Relationssymbol der Ereignisstruktur verwendet: S = (E, ). Werden zu einem Ereignis e nun die vollständige Menge der vorangehenden Ereignisse e = def {e E e e} betrachtet, so bedeutet dies anschaulich nichts anderes, als das jedes beliebige Ereignis, welches an einer Stelle des Prozessablaufs eintritt, eine endliche Verursachermenge hat. Diese Mengen sind oensichtlich linksseitig-abgeschlossen (engl. left-closed). Verfolgt man jedes Element in seiner Geschichte entlang seiner Verursacher zurück, landet man zwangsläug bei den ersten Ereignissen des Gesamtprozesses. Die Menge aller solcher linksseitig-abgeschlossenen Mengen über einer Ereignisstruktur (E, ) wird im folgenden als L(E) bezeichnet. Beobachtung. Betrachtet man nun die Struktur dieser linkseitig abgeschlossenen Teilmengen über einer Ereignisstrukur verbunden mit der Teilmengenbeziehung (L(E), ) so wird folgendes deutlich: Für zwei Teilmengen x, y L(E) bedeutet x y, dass alle Ereignisse in der Menge x auch als kausale Ereignisse für y auftreten. Somit beschreibt die Menge der Ereignisse x ein Teilverhalten des Prozesses der Ereignisse aus y. Da L(E), existiert für alle Teilmengen dieser Ordnung ein kleinstes, triviales Element ohne jegliche Ereignisinformation. Die Menge X = x L(E) aller Ereignisse in allen Teilprozesse ist oensichtlich ein maximales Element für alle Mengen x L(E) der Teilprozesse. Anmerkung: In [8] zeigt Winskell, dass die Struktur (L(E), ) für elementare Ereignisstrukturen ein vollständiger Verband (vgl. Denition 14) ist. Betrachtet man nun die Ereignisse, wie sie in den Kausalnetzen (Def. 6) auftreten, so führt folgende Konstruktion von einem Kausalnetz zu einer Ereignisstruktur gemäÿ Denition 20.

16 16 Korollar 7 (Kausalnetze als Ereignisstruktur). Sei N = (B, E, F ) ein Kausalnetz, dann ist ξ[n] = def (E, F (E E)) eine elementare Ereignisstruktur. Es werden also alle Bedingungsknoten b B aus dem Netz entfernt und die Flussrelation für Ereignisse beibehalten, d.h. (e i, e j ) ξ[n] (e i, e j ) F + N. Siehe dazu Abbildung 6: Der Graph der Ereignisstruktur ist rechts neben dem korrespondierendem Petri-Netz dargestellt. Abbildung 6: elementare Ereignisstruktur (rechts) zu einem Kausalnetz (links) In [3] wird auch die Rückrichtung, d.h. die Konstruktion eines Petri-Netzes aus einer Ereignisstruktur durch Hinzufügen von Bedingungen erläutert: Jedes Ereignis erhält stets eine Vor- und eine Nachbedingung und zwischen zwei Ereignissen liegt ebenfalls stets eine Bedingung. Auch wird dort eine Äquivalenzrelation zwischen Ereignisstrukturen und Kausalnetzen in dem Sinne betrachtet, dass zwei isomorphe Petri-Netze die gleiche Ereignisstruktur induzieren. Dies sogar in der stärkeren Variante, dass zwei Petri-Netze N 1, N 2 dann und nur dann isomorph zueinander sind, wenn die betrachteten Ereignisstrukturen identisch sind (ξ[n 1 ] = ξ[n 2 ] N 1 = N2 ) Es stellt sich intuitiv die Frage, wie viel Information verloren geht, wenn die Bedingungen aus einem Kausalnetz entfernt werden und nur noch die Kausalität der Ereignisse beibehalten wird. Die im vorigen Absatz erläuterte Äquivalenzrelation zeigt bereits, das der Informationsverlust nicht essentiell ist, was vor allem mit den Eigenschaften eines Kausalnetzes aus Denition 6 zusammenhängt: Jedes Ereignis hat hier exakt eine Vor- und eine Nachbedingung. Ist bekannt, dass ein Ereignis e 2 nach einem Ereignis e 1 auftritt. So ist sichergestellt, dass folgende Bedingungsmengen nacheinander erfüllt sind: 1. Jede Bedingung b 1 für das Eintreten von e 1, b 1. e 1 2. Jede Bedingung b 1 nach dem Eintreten von e 1, b 1 e Jede Bedingung b 2 für das Eintreten von e 2, b. e 2 (wobei u.u.. e 2 e. 1 ) 4. Jede Bedingung b 2 nach dem Eintreten von e 2 b 2 e Schlieÿlich sind folgende Bedingungen erfüllt: ({b 1 e. 1}\{b 1 b 1. e 2 }) {b 2 e. 2} Insgesamt kann damit ein Kausalnetz durch eine algebraische Struktur beschrieben werden, was eine semantische Beschreibung eines solchen Netzes durch die Relation ermöglicht. Jedes Ereignis kann über ( + ) 1 zu seinen ursächlichen Ereignissen zurückverfolgt werden. 5.1 Koniktsituationen Natürlich sind Ereignisse in realen Prozessen und Berechnungen nicht so trivial angeordnet wie es eine elementare Ereignisstruktur vorgibt. Diese Arbeit gliedert sich ja gerade in den Kontext der Modellierung nebenläuger Systeme. Mit der bislang vorgestellten Vorgehensweise

17 17 ist es lediglich möglich seiteneektfreie, sichere Netze beschreiben. Momentan lässt sich allenfalls ermitteln welche Ereignisse strikt sequentiell und welche anderen Ereignisse allgemein nebenläug sind. Da bei der Analyse nebenläuger Prozesse aber gerade die Koniktsituationen zwischen zwei nebenläugen Ereignissen und die Auösung solcher Konikte interessieren, ist es unabdingbar, dass die Struktur des Kausalnetzes als unzureichend eingestuft wird und somit erweiterungsbedürftig ist. Koniktsituationen können in allgemeinen Petri-Netzen auf zwei verschiedene Arten auftreten: ein vorwärts gerichteter Konikt: Eine Bedingung kann genau eins von zwei folgenden Ereignisse hervorrufen (Abbildung 7 links) ein rückwärtiger Konikt: Eine Bedingung kann nach zwei verschiedenen Ereignissen eintreten kann (Abbildung 7 rechts) Abbildung 7: Koniktsituationen: links vorwärts, rechts rückwärts Das Eintreten von Ereignissen suggeriert bereits eine Dynamik des zugrundeliegenden Petri- Netzes. Dies wird im weiteren Verlauf auch benötigt, da eine neue Klasse von Petri-Netzen anstelle der Kausalnetze benötigt wird um Konikte darzustellen. Dabei wird im folgenden nur der vorwärts gerichtete Konikt betrachtet. Die folgende Denition der Entfaltung eines statischen Petri-Netzes in ein dynamisches Transitionsnetz (vgl. Denition 3) ist ein wesentliches Ergebnis aus [3]. Statt einer statischen Systembetrachtung, in dem beide geschilderte Arten von Konikten auftreten können, betrachtet man im Folgenden sog. Occurence-Netze 2. Die Idee des Entfaltens (engl. unfolding) eines Petri-Netzes basiert auf dem Token-Game aus der Denition 5, welches auf einem statischen Netz gespielt wird. Die durch die wandernden Markierungen (Schaltfolge) passierten Bedingungen und Ereignisse werden eindeutig (auch bei wiederholtem Durchlauf desgleichen) in ein neues Netz kopiert. Mit fortschreitender Berechnung wächst also dieses zweite Netz. Es entsteht ein neues, azyklisches Netz, welches exakt die Berechnung des ersten Netzes ausrollt und simuliert. Durch die ausschlieÿliche Vorwärtsbewegung und die dadurch resultierende Kreisfreiheit genügt es, sich bei der Modellierung eines konkreten Prozessablaufs auf die Konikte zu beschränken welche vor einem aktuellen Event liegen. Für eine umfassende Analyse der ursprünglich statischen Systembeschreibung genügt es jedoch nicht, nur einmal ein Token Game auf diesem durchzuführen, da alle Wahlmöglichkeiten nach den Bedingungen, bei denen vorwärts gerichteter Konikt auftritt, berücksichtigt werden müssen. Das dynamische Occurence-Netz, welches aus einem Petri-Netz durch Ausrollen oder anders ausgedrückt auch durch Protokollierung der Schaltfolgen entsteht wird in Denition 22 charakterisiert. Vorher soll aber die ab sofort erlaubte Koniktsituation formal gefestigt werden. Denition 21 (Koniktrelation). Sei N = (B, E, F ) ein Netz. Im folgenden bezeichnet ā = def {e E ef a} die Menge aller einem bestimmmten Punkt a B E vorausgehenden Ereignisse. 2 Dieser Begri ist schwierig ins Deutsche zu Übersetzen. Ein wohl eher mäÿiger Übersetzungsversuch dafür wäre etwa Ereignis-Eintritts-Netz, da sich aber der Begri Occurence-Netz auch in der deutschsprachigen Literatur gefestigt hat wird auf eine Übersetzung verzichtet.

18 18 Zwei Ereignisse e 1, e 2 stehen genau dann in einem direktem Konikt, e 1 # 1N e 2, falls. e 1. e 2 und e 1 e 2 Zwei Elemente a 1, a 2 B E stehen genau dann in einem Konikt, a 1 # N a 2, falls e 1, e 2 E : (e 1 ā 1 ) (e 2 ā 2 ) (e 1 # 1N e 2 ). Ein Occurence Netz ist ein Kausalnetz, in dem ein vorwärts gerichteter Konikt gestattet ist und die Relation # N nicht reexiv ist (d.h. kein Ereignis steht in einem Konikt zu sich selber). Die Nebenläugkeitsrelation co N aus Korollar 1 wird wie folgt verfeinert: Korollar 8 (Concurrency Relation für Occurence Netze). Für ein Occurence-Netz N = (B, E, F ) ist die Nebenläugkeits-Relation co N (B E) (E B) wie folgt bestimmt: co N = def ((B E) (E B))\(F + (F + ) 1 # N ). Anmerkung: Zwei Ereignisse e 1, e 2 E eines Occurence Netzes sind somit entweder kausal, stehen im Konikt zueinander oder sind unabhängig nebenläug. Denition 22 (Occurence-Netz). Sei P = (B, E, F ) ein Petri-Netz gemäÿ Denition 1. Auÿerdem sei N = (S, T, F, M 0 ) ein dynamisches Bedingungs-Ereignis-System auf dem Netz P mit Anfangsmarkierung M 0 (S = B; T = E). Ein Occurence Netz O[N, M 0 ] ist ein Petri-Netz O[N, M 0 ] = (B, E, F ) mit folgender Denition: - B = { e, p e E ist eine Schaltung der Transition t T und die Stelle p t. } { 0, p p M 0 }; - E = { e 1,... e n [e] [e] Menge der Äquivalenzklassen aus Korollar 2}; - (e, b) F p N : b = e, p ; - (b, e) F b = [M 0 t 0... t n 1 M n ], p e = [M 0 t 0... t n 1 M n t n M n+1 ] und p t. oder b = 0, p, e = [M 0 t 0 M 1 ] und p. t 0. Aus der letzten Denition folgt, dass eine neue Flussrelation F für das Occurence-Netz deniert wird. Hierbei wird ein vorwärtsgerichteter Konikt gestattet. Ein Versuch nun aus einem solchen Occurence-Netz wieder eine elementare Ereignisstruktur wie in Denition 20 zu gewinnen, scheitert an den Koniktsituationen in # N. Eine ähnliche algebraische Struktur wie eine elementare Ereignisstruktur zu einem Kausalnetz, lässt sich allerdings auch aus einem Occurence-Netz gewinnen. Die entsprechende Denition der elementaren Ereignisstruktur wird dafür erweitert (vgl. [3]): Denition 23 (Ereignisstruktur). Eine Ereignisstruktur ist ein Tripel S = (E,, ) mit E1 (E, ) ist eine elementare Ereignisstruktur E2 ist eine symmetrische, nicht reexive Relation in E, genannt Koniktrelation mit e 1, e 2, e 3 E : e 2 e 1 e 2 e 3 e 1 e 3. (Ein Konikt vererbt sich in die Zukunft) Die Bezeichner # N und sind bewusst ähnlich gewählt. Aus einem Occurence-Netz N = (B, E, F ) lässt sich eine Ereignisstruktur ξ[n] durch Beschränkung der Relationen auf die Ereignisse gewinnen: ξ[n] = def (E, F (E E), # N (E E)

19 19 Die letzten Denitionen sollen nun greifbarer gemacht werden: Folgendes Konstruktionsschema (aus [11]) zur Entfaltung eines Petri-Netzes liefert ein Occurence Netz, welches Denition 22 genügt. Das Ausgangspetrinetz ist hierbei ein Transitionsnetz N = (S, T, F S/T, M 0 ) 3. Das daraus entstehende Occurence Netz ist von der Form O[N, M 0 ] = (B, E, F ). Für jede Schaltung σ einer Transition t i T des zugrundeliegenden Bedingungs-Ereignis- Systems werden die Mengen wie folgt deniert und erweitert: i=0 START: B 0 = {(0, p) p M 0 }, E 0 =, F 0 = # 0 = co N = (B 0 B 0 ) i=n+1 Es werden abwechselend die Mengen B n + 1 und E n + 1 wie folgt berechnet: 1. E n+1 = E n {(β, t) t T β B n β =. t ( b, b (β) 1 : b 2. B n+1 = B n {({e}, s) S S e E n s e. } co n b)} Die Relationen werden wie folgt erweitert: F n+1, co n+1, # n+1 auf (B n+1 E n+1 ) 2 : (x, x) F n+1 x (x) 0 (x, x) # n+1 e, e E n+1, e e (e, x) F n+1 (e, x) F n+1 (e) 0 (e) 0 co n+1 = (B n+1 E n+1 ) 2 \((F + n+1 (F + n+1) 1 ) # n+1 ) (Bezeichnungen wie in Denition 22. (x) 0, (x) 1 bezeichnet erste bzw. zweite Koordinate eines Paares.) Abbildung 8 zeigt die Schritte dieses Algorithmus auf dem Petri-Netz aus Abbildung 3. Die Schritte sind durch horizontale, gestrichelte Linien gekennzeichnet. Jeweils nach zwei dieser horizontalen Linien wird der Zähler i um 1 erhöht, danach wird im ersten Teilschritt die Menge B n + 1 der Bedingungen und im zweiten Teilschritt daraus die Menge der E n+1 der Ereignisse errechnet. Für die ersten Schritte ist die Bezeichnung der Bedingungen und Ereignisse analog zum o.g. Algorithmus gewählt. Da dies schnell unübersichtlich wird und eher formalen Charakter hat, wird in der Abbildung später lediglich der Name des korrespondierenden Knotens aus Abbildung 3 in eckigen Klammern gesetzt. Die Suche nach ezienten Algorithmen für endliche Präxe eines solchen unendlichen Berechnungsablaufs nach oben stehendem Konstrutktionsschema ist heute noch ein Forschungsthema (z.b. [12]). Prinzipiell ist das Problem der Berechnung eines endlichen Präxes der Tiefe n NPvollständig (vgl. Argumentation in [13] mit dem Vergleich zur Knotenüberdeckung in Graphen). Gesucht ist aber meist ein bestimmtes, endliches Präx. In dem hier betrachteten Kontext also die Kette der vorangegangenen Ereignissen (Verursachermenge) zu einer gegebenen Ereignismenge. Statt wie in Abbildung 8 dargestellt eine Breitensuche durchzuführen, bieten sich depth-rst-ansätze zur Reduktion der Platzkomplexität an. Hierbei werden können dann polynomielle Laufzeitkompläxitäten erreicht werden. Details hierzu nden sich in der unten (Kap. 6) angegebenen, weitererführenden Literatur. Bis hier wurde also gezeigt, dass sichere, kontaktfreihe Petri-Netz in Occurence-Netze entfaltet werden können. Diese wiederum lassen sich bis auf Isomorphie als Ereignisstrukturen darstellen. Wie bereits erwähnt wurde, ndet sich in [3] auch eine Konstruktion um aus einer gegebenen Ereignisstruktur ein Occurence-Netz zu gewinnen. Um zum Ziel, den Scott Domänen, zu gelangen wird die Struktur dieser Ereignisstrukturen genauer charakterisiert: 3 S/T Notation um Verwechslungen mit dem zugehörigen Occurence-Netz zu vermeiden.

20 20 Abbildung 8: Entfaltung des Transitionsnetzes aus Abbildung 3. Korollar 9 (Ereignisstruktur). Sei S = (E,, ) eine Ereignisstruktur gemäÿ Denition 23. Die Abbildung L (S) erzeugt eine Ordnung L (S) = (L(E), ) der linkseitig-abgeschlossenen Teilmengen von E: L(E) = {X E e X e X e e} geordnet durch Inklusion. (I) L (S) ist ein prim-algebraischer Halbverband. Die Primelemente sind die Elemente [e] = def {e E e e}. (II) L (S) ist dann eine Scott Domäne wie in Denition 19 Nielsen et al. verwenden den statt dem Begri Halbverband (engl. semilattice) den Begri kohärente Ordnung (engl. coherent partial order). Betrachtet man die Denition hierzu (siehe ebd.), so ist diese identisch zu der eines Halbverbands aus Denition 14. In beiden Fällen wird eine Ordnung charakterisiert, welche im Gegensatz zu einem vollständigen Verband nicht notwendigerweise ein maximales Element besitzt. Damit wurde gezeigt, dass bestimmte Petri-Netze auch in der Terminologie von Scott semantisch erfasst werden können. Nielsen, Plotkin und Wynskell zeichnen in [3] ein vollständiges Bild mit allen Verknüpfungen, was hier sowohl den räumlichen als auch thematischen Rahmen sprengen würde. Abschlieÿend zeigen die Autoren einen Anwendungsfall, in dem sie beweisen, dass ein Berechnung (also eine Schaltfolge ab M 0 ) auf einem sicheren Petri-Netz genau dann konfusionsfrei (siehe dazu [3],[5]) ist, wenn die Ereignisstruktur des korrespondierenden Occurence-Netzes eine distributive Domäne ist. 6 Ausblick - weitere Literatur Aus dem Artikel von Nielsen et al. lassen sich schwerlich weitere, direkte Anwendungsgebiete ableiten. Auch die Autoren bleiben den versprochenen 2. Teil des Papers [3], in dem solche Anwendungsbereiche aufgezeigt werden sollten, schuldig. Dennoch ist der hier diskutierte erste Teil des Artikels Grundlage für weitere Forschung geworden. Die dort eingeführten Occurence Netze werden für Erreichbarkeits- und Koniktanalysen auf Petri-Netzen verwendet [14]. Die dazu benötigten Entfaltungsalgorithmen wurden vielfältig optimiert und untersucht (z.b. in [13], [15] und [12]).