berechnet werden. Dies ist die Fläche unter der Kurve h(x) im Intervall (x1 < x < x

Transkript

1 I Lösng Afgbe 3: Nrmlverteilte Messgrößen ) Anteil der Stifte mit d i 4,3 mm: Die Whrscheinlichkeit P( < 2) dfür, dss ein Messwert im Intervll < < 2 liegt, knn drch ds Integrl P( < ) = 2 2 Δn h()d = lim n n 2 berechnet werden. Dies ist die Fläche nter der Krve h() im Intervll ( < < 2). Die Fläche nter der gesmten Krve ist wie die Fläche nter dem Histgrmm gleich, d.h.: P ( < ) = Die Whrscheinlichkeitsfnktin der Verteilngsfnktin P() gibt die Whrscheinlichkeit dfür n, dss ein Messwert kleiner der gleich einer Schrnke ist. P () = P( ) = h( ) d Im vrliegenden Fll hndelt es sich bei der Verteilngsdichtefnktin m eine Gßsche Nrmlverteilng mit einem Erwrtngswert vn μ = 4,5 mm nd einer Stndrdbweichng vn = 0,064 mm. In Afgbeteil ) ist nn die Whrscheinlichkeit für den Fll gescht, dss ein Messwert kleiner der gleich der Schrnke = 4,3 mm ist. Entsprechend biger Nttin schen wir ls die Whrscheinlichkeit P() für den Fll = 4,3 mm: P(4,3 mm) = P( 4,3 mm) =? Die nchflgende Abbildng vernschlicht die Prblemstellng. Die schrffierte Fläche kenneichnet drin ds Integrl nter der Verteilngsdichtefnktin der gegebenen Gßschen Nrmlverteilng in den Grenen vn bis = 4,3 mm.

2 J P() = 4,3 mm mm Die Whrscheinlichkeitsfnktin der Gßschen Nrmlverteilng ist nicht ls geschlssene Fnktin drstellbr. Sie ist ls grfische Drstellng bw. tbellrisch in sttistischen Hndbüchern finden. P() Entsprechende Tbellen liegen ntrgemäß jedch nicht für die jeweilige Nrmlverteilng mit speiellen Werten vn Erwrtngswert nd Stndrdbweichng vr. Stttdessen geben diese Tbellen die Whrscheinlichkeitsfnktin P( ) in nrmierten Krdinten n. Die entsprechend nrmierte Gßsche Nrmlverteilng weist die Prmeter μ = 0 nd = f nd wird ls stndrdisierte Nrmlverteilng beeichnet. Um nhnd einer derrtigen Tbelle Assgen über die in dieser Afgbe betrchtete Verteilng treffen können, mss ls eine entsprechende Nrmierng vrgenmmen werden. Anschlich entspricht dies der Anwendng einer Berechnngsvrschrift, welche die gegebene Nrmlverteilng der Größe in eine stndrdisierte Nrmlverteilng der Größe trnsfrmiert. In nchflgender Abbildng sind die beiden Verteilngen die stndrdisierte Nrmlverteilng mit μ= 4,5 nd = 0, 064 μ= 0 nd = swie die betrchtete speielle Nrmlverteilng mit in einem gemeinsmen Digrmm fgetrgen.

3 K = 4,5; = 0,064 =0; = Um nn die speielle Nrmlverteilng in eine stndrdisierte Nrmlverteilng trnsfrmieren, mss erstens eine Verschiebng m μ nd weitens eine Spreing m den Fktr vrgenmmen werden. Die trnsfrmierte Krdinte der stndrdisierten Nrmlverteilng ergibt sich s der Krdinte der speiellen Nrmlverteilng ls gemäß flgendem Zsmmenhng: μ = Im vrliegenden Fll wird ls dem, der -Krdinte entsprechenden, beren Drchmesser d i = 4,5 mm die entsprechende, f die stndrdisierte Nrmlverteilng begenen - Krdinte gescht. Mit den beknnten Prmetern μ = 4,5 nd = 0, 064 der vrliegenden Verteilng ergibt sich dher: 4,3 4,5 = = 2, ,064 D in der ns r Verfügng stehenden Tbelle der Smmenfnktin der stndrdisierten Nrmlverteilng (siehe Übngsskript S. 9) die Schrittweite der eingetrgenen -Werte Δ = 0,0 beträgt, ist es sinnvll, die berechneten -Werte f wei Nchkmmstellen rnden. Es flgt smit: = 2,34 Z diesem -Wert gilt es nn, s der besgten Tbelle die reltive Smmenhäfigkeit Φ () ermitteln. Die vn ns gentte Tbelle weist in Zeilenrichtng eine Schrittweite vn Δ = 0, nd in Spltenrichtng eine Schrittweite vn Δ = 0, 0 f. Der geschte Wert Φ() befindet sich n der Psitin innerhlb der Tbelle, für welche die Smme s dem m

4 L Zeilennfng nd dem m Spltennfng vereichneten -Werten dem vrliegenden -Wert entspricht (vergleiche hier ch ds Ablesebeispiel im Kpf der Tbelle). Im vrliegenden Fll finden wir den Wert Φ( = 2,34) m Schnittpnkt der Zeile mit dem Wert 2,3 nd der Splte mit dem Wert 0,04. Der drt vereichnete Wert der Smmenfnktin ltet: Φ ( = 2,34) = 0, Dieser Zhlenwert gibt wie eingngs erlätert eine Whrscheinlichkeit n. Als prentle Whrscheinlichkeit sgedrückt, entspricht dieses Ergebnis dher: Φ ( = 2,34) = 99,0358% Die Antwrt f die eingngs gestellte Frge ltet smit: Bei den vrgegebenen Pressprmetern weisen rnd 99,04% ller gefertigten Stifte einen Drchmesser vn d i 4,3 mm f! b) Whrscheinlichkeit für einen Stift mit 4,09 mm d i 4,23 mm: In Afgbeteil b) ist nn die Whrscheinlichkeit für den Fll gescht, dss ein Messwert größer der gleich einer nteren Schrnke vn = 4,09 mm nd kleiner der gleich einer beren Schrnke vn = 4,23 mm ist: P( ) = der mit den vrliegenden Zhlenwerten: P(4,09 mm 4,23 mm) =?? Wie nschlich nchvlliehbr ist, lässt sich die geschte Whrscheinlichkeit ddrch ermitteln, dss nächst seprt die Whrscheinlichkeiten für die beiden Fälle ermittelt werden, dss ein Messwert kleiner der gleich der beren Schrnke bw. kleiner der gleich der nteren Schrnke ist nd nschließend die Differen dieser beiden Whrscheinlichkeiten ermittelt wird. Wir können ls llgemein schreiben: P( ) = P( ) P( ) Mit den vrgegebenen Zhlenwerten ergibt sich ls: P(4,09 mm 4,23 mm) = P( 4,23 mm) P( 4,09 mm) Die nchflgende Abbildng vernschlicht diesen Lösngsnst. Die bl schrffierte Fläche kenneichnet drin ds Integrl nter der Verteilngsdichtefnktin der gegebenen Gßschen Nrmlverteilng in den Grenen vn bis = 4,23 mm, die rt schrffierte Fläche entspricht dem Integrl in den Grenen vn bis = 4,09 mm.

5 M P( ) = 4,09 mm = 4,23 mm P( ) mm Die Berechnng der Whrscheinlichkeiten P( ) nd P( ) erflgt nlg Afgbenteil ). Für die bere Schrnke = 4,23 mm ergibt sich dher: μ 4, 23 4,5 0,064 = = =,25 Für die ntere Schrnke = 4,09 mm gilt entsprechend: μ 4, 09 4,5 0,064 = = = 0,9375 0,94 As der Tbelle der Smmenfnktin der stndrdisierten Nrmlverteilng erhlten wir die r beren Schrnke gehörige Smmenhäfigkeit: Φ ( =,25) = 0,89435 Z der nteren Schrnke finden wir in der Tbelle nächst keinen pssenden Wert, d die Tbelle nr die Smmenhäfigkeiten für -Werte im Bereich vn 0 bis 2,99 flistet. D es sich bei der grndeliegenden Verteilngsdichtefnktin der stndrdisierten Nrmlverteilng jedch m eine r Krdinte Nll symmetrische Fnktin hndelt, lssen sich drch Asntng der Symmetrie drs ch die Smmenhäfigkeiten für -Werte im Bereich vn 2,99 bis 0 bleiten. Wie im Kpf der Tbelle fgeführt, gilt die Symmetriebedingng: Φ ( ) = Φ( ) Für den vrliegenden Wert vn = 0,94 gilt ls: Φ ( 0,94) = Φ(0,94) Mit Hilfe der Tbelle ergibt sich smit: Φ ( = 0,94) = 0,82639= 0,73609 Die geschte Whrscheinlichkeit P(4,09 mm 4,23 mm) ergibt sich dmit :

6 N P(4,09 mm 4,23 mm) = Φ( ) Φ( ) = 0, ,73609 = 0,72074 = ˆ 72,07% Die Antwrt f die eingngs gestellte Frge ltet smit: Die Whrscheinlichkeit dfür, dss bei einer Stichprbe der Drchmesser eines eineln entnmmenen Stiftes im Bereich 4,09 mm d i 4,23 mm liegt, beträgt rnd 72,07%! c) Anteil der Stifte im Bereich 4,086 mm d i 4,24 mm: Prinipiell lässt sich Afgbenteil c) rechnerisch nlg Afgbenteil b) lösen. Bei den gegebenen Werten bietet sich jedch eine elegntere Lösng n, welche eine epliite Berechnng überflüssig mcht. Es fällt f, dss ds betrchtete Intervll [4,086 mm; 4,24 mm] symmetrisch m Erwrtngswert der vrgegebenen Verteilng vn μ = 4,5 mm liegt, nd dss ferner die Intervllgrenen m den Betrg der Stndrdbweichng vn = 0,064 mm gegenüber dem Erwrtngswert verschben sind. [ 4,086 mm; 4,24 mm] = [4,5 mm 0,064 mm; 4,5 mm + 0,064 mm] Allgemein lässt sich ds Intervll ls wie flgt sdrücken: [ 4,086 mm; 4,24 mm] = ˆ [ μ ; μ + ] Wie nn s der Vrlesng beknnt ist (vgl. Vrlesngsskript, Tbelle 2.2), liegen bei einer nrmlverteilten Größe in einem Intervll vn ± m den Erwrtngswert μ stets 68,3% ller Werte. Die Antwrt f die eingngs gestellte Frge ltet smit: Bei den vrgegebenen Pressprmetern weisen 68,3% ller gefertigten Stifte einen Drchmesser im Bereich vn 4,086 mm d i 4,24 mm f! Anmerkng: D in der Pris meist Knfidenintervlle ngegeben werden, die eine Breite vn ±, ±2 der ±3 symmetrisch m Erwrtngswert μ fweisen, ist es lhnenswert, sich die gehörigen Whrscheinlichkeiten merken: [ μ ; μ + ] 68,3% [ μ 2; μ + 2] [ μ 3; μ + 3] 95,45% 99,73%

7 O d) Benötigte Stndrdbweichng für mindestens 80% der Stifte im Bereich 4,086 mm d i 4,24 mm: D, wie bereits nter Afgbenteil c) festgestellt, ds betrchtete Intervll symmetrisch m Erwrtngswert μ liegt, knn ch hier die Berechnng vereinfcht werden, wenn die ddrch bedingte Symmetrie sgentt wird. Wenn innerhlb des Intervlls 80% ller Messwerte liegen sllen, liegen ls 20% ßerhlb des Intervlls. Afgrnd der Symmetrie bedetet dies gleich, dss 0% der Werte kleiner ls die ntere Schrnke vn d min = 4,086 mm nd ebenflls 0% größer ls die bere Schrnke vn d m = 4,24 mm sind. Wir können im vrliegenden Fll dher die Betrchtng f eine der beiden Grenen des Intervlls beschränken. D die vrliegende Tbelle psitive -Werte flistet ls Grenen, die größer ls der Erwrtngswert sind wählen wir der Einfchheit hlber die bere Grene vn d m = 4,24 mm. As nserer ben ngestellten Betrchtng wissen wir nn, dss die Smmenhäfigkeit dieser beren Grene Φ = 0,9 beträgt, dss ls im Intervll vn bis d m 90% ller Werte liegen. Znächst müssen wir den dieser Whrscheinlichkeit gehörigen -Wert ermitteln. Wir schen ls ein, für ds gilt: Φ() = 0,9! Eine Möglichkeit, diesen Wert bestimmen, besteht drin, die bereits vr verwendete Tbelle der Smmenfnktin rückwärts blesen, ls in der Tbelle den Φ-Wert schen, welcher m nächsten n dem vrliegenden Wert vn 0,9 liegt nd s der Zeilen- nd Spltenpsitin den gehörigen -Wert ermitteln. Einfcher ist es im vrliegenden Fll jedch, die kleine seprte Tbelle m Fß der Hpttbelle nten. Drt sind für einige gltte Werte vn Φ() die gehörigen -Werte fgeführt. Drt finden wird die Zrdnng: Φ ( ) = 90% =,282 Um nn f die geschte Stndrdbweichng kmmen, nten wir die ben eingeführte Gleichng: μ = D im vrliegenden Fll die Größen, μ nd beknnt sind, frmen wir nch der geschten Größe m: μ =

8 P Mit den gegebenen bw. berechneten Größen = d m = 4,24 mm μ = 4,5 mm =,282 ergibt sich für die geschte Stndrdbweichng smit: 4,24 mm 4,5 mm = 0,0499 mm,282 Die Antwrt f die eingngs gestellte Frge ltet smit: Dmit bei gleichem Erwrtngswert μ mindestens 80% der Psitinierstifte im Intervll 4,086 mm d i 4,24 mm liegen, müsste die Stndrdbweichng f rnd 0,0499 mm verbessert werden! e) Betrchtng der Mittelwerte s Stichprben vm Umfng n: Führt mn bei einer mit den Prmetern μ nd nrmlverteilten Messgröße ncheinnder viele Messreihen vm Umfng n nter gleichen Rndbedingngen drch, s knn mn feststellen, dss deren Mittelwerte i eine m den Fktr kleinere Streng S fweisen, n ls die Einelmesswerte. Dieser Schverhlt lässt sich wie im Vrlesngsskript eingeführt mit Hilfe der Abweichngsfrtpflnng für fällige Abweichngen herleiten. Allgemein gilt für den Erwrtngswert nd die Stndrdbweichng des Mittelwertes: μ = μ = n Mn bechte hierbei den Einflss der Anhl der Messngen f die Stndrdbweichng. Misst mn m Beispiel vierml sttt einml s hlbiert sich die Stndrdbweichng des Mittelwertes. Im vrliegenden Fll, bei einer Messgröße mit einer Stndrdbweichng vn = 0,064 mm, ergibt sich für die Stndrdbweichng des Mittelwertes vn Stichprben vm Umfng n = 5 smit: 0,064 mm = 0,02862 mm 5 Die Berechnng der Whrscheinlichkeit, dss die s Stichprben vm Umfng n errechneten Mittelwerte in ds Intervll [4,09 mm; 4,23 mm] fllen, erflgt nlg Afgbenteil b), nr mit dem Unterschied, dss die betrchtete Zfllsgröße hier der nrmlverteilte Mittelwert mit den Verteilngsprmetern μ = 4,5 mm nd = 0,02862 mm ist.

9 Q Es flgt dher: μ 4, 23 4,5 = = 0, μ 4, 09 4,5 = = 0, ,8 2, Mit Hilfe der Tbelle der Smmenfnktin der stndrdisierten Nrmlverteilng erhlten wir: Φ( = 2,8) = 0, Φ ( = 2,) = 0,98236 = 0,07864 Die geschte Differen dieser beiden Whrscheinlichkeiten ergibt sich smit : P(4,09 mm i 4,23 mm) = Φ( ) Φ( ) = 0, ,07864 = 0,97958 = ˆ 97,96% Die Antwrt f die eingngs gestellte Frge ltet smit: Die Whrscheinlichkeit dfür, dss die s Stichprben vm Umfng n = 5 errechneten Mittelwerte des Drchmessers im Bereich 4,09 mm d i 4,23 mm liegen, beträgt rnd 97,96%!