Skript. Vektorgeometrie: Vektorprodukt

Transkript

1 Skript Vektorgeometrie: Vektorprodukt 1

2 Lorentzkrft ls Vorbild Beegt sich eine elektrische Ldung in einem mgnetischen Feld, so erfährt sie eine Krft, die nch ihrem Entdecker, dem niederländischen Mthemtiker und Physiker Hendrik Lorentz, Lorentzkrft (im engeren Sinne) gennnt ird. nötig, die zei gegebene Vektoren in einen neuen Vektor umndelt, elcher senkrecht uf jedem der Inputektoren steht. In Anlehnung n die Lorentzkrft und ndere physiklische Vorbilder urde in der Vektorgeometrie eine Opertion eingeführt, die genu dieses Verhlten modelliert: ds Vektorprodukt. Es ordnet lso zei Inputektoren und einen neuen Vektor (lies: Kreuz ) zu:, Es soll betont erden, dss diese Opertion, enn sie einml genu definiert ist, uch innerhlb der Mthemtik bemerkenserte und erfreuliche Vorzüge ht, uf die ir bld detilliert eingehen erden. Genuer: Beegt sich eine positie Ldung q in einem Leiter mit der Geschindigkeit, und befindet sich der Leiter in einem Mgnetfeld B, so erfährt die Ldung eine Krft F L, elche soohl senkrecht zur Geschindigkeit ls uch senkrecht zu den Mgnetfeldlinien gerichtet ist und nch der Rechte-Hnd-Regel beschrieben erden knn. Bei dieser Regel richtet mn den Dumen der rechten Hnd in Richtung der Geschindigkeit und den Zeigefinger in Richtung der Mgnetfeldlinien (in der Abbildung ins Bltt hinein) us. Dnn ird der Mittelfinger gerde die Richtung der Lorentzkrft nzeigen. Bei negtien Ldungen müsste mn entsprechend mit der linken Hnd rbeiten. Im sogennnten Leiterschukelersuch knn die Wirkung dieser Krft probt demonstriert erden. Dieses Phänomen ist überus ichtig; so knn dmit et die Funktionseise eines einfchen Elektromotors erklärt erden. Dmit ist die Lorentzkrft ein ichtiges Bindeglied zischen Elektrizität und Mechnik. Zur mthemtischen Beschreibung dieses Scherhlts ist offenbr eine Opertion Definition des Vektorproduktes Wir gehen lso don us, dss zei nichtkollinere Vektoren und gegeben sind, die im Einführungsbeispiel die Rolle der Geschindigkeit und des Mgnetfeldes gespielt hben. Diesen Inputektoren soll nun durch eine neue Opertion ein Outputektor zugeordnet erden. Es ist klr, dss es nicht genügt zu fordern, dss der Output unserer neuen Opertion ein Vektor sein soll, der uf der on und ufgespnnten Ebene senkrecht steht, denn solche gibt es unendlich iele. Wir müssen diese Forderung ielmehr in zeierlei Hinsicht präzisieren: Wir sollten ets über die Länge des neuen Vektors sgen und ebenflls ets über die Richtung. Zuerst zur Länge: Es ht sich ls prktisch herusgestellt, die Länge so festzulegen, dss sie gerde der Msszhl der Fläche des on

3 und ufgespnnten Prllelogrmms entspricht. Dmit ist schon jetzt klr, ie die genue Länge unseres neuen Vektors sein muss: Dmit ird der Rechte-Hnd-Regel Genüge getn. Mn sgt uch, die drei Vektoren, und (genu in dieser Reihenfolge) bilden ein sogennntes Rechtssystem. Mit diesen drei Angben ist ds Vektorprodukt präzise und eindeutig definiert. Wir prägen uns gut ein: Definition: Bezeichnet nämlich den on den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel, so findet mn mit ein enig Trigonometrie: Also: A h sin sin Der den beiden Inputektoren und zugeordnete Vektor soll lso senkrecht uf diesen beiden stehen und ls Länge gerde die Msszhl der Fläche des ufgespnnten Prllelogrmms hben. Nun besteht noch immer Unsicherheit bezüglich der Richtung. Und hierbei orientieren ir uns n dem physiklischen Vorbild; ds heisst, ir legen die Richtung so fest, dss die Rechte-Hnd- Regel eingehlten ird. Noch genuer: Der Outputektor soll in diejenige Richtung zeigen, us elcher die kürzeste Drehung, die in überführt, ls Gegenuhrzeigersinn erscheint. Sind und zei nicht-kollinere Vektoren, so ersteht mn unter dem Vektorprodukt der beiden Vektoren den (eindeutigen) Vektor mit den folgenden drei Eigenschften: (1) Der Vektor steht senkrecht uf der durch und ufgespnnten Ebene. () Die Länge des Vektors entspricht der Msszhl der Fläche des on und ufgespnnten Prllelogrmms. (3) Die drei Vektoren, und (genu in dieser Reihenfolge) bilden ein Rechtssystem und genügen somit der Rechte-Hnd-Regel. Für kollinere Vektoren und definiert mn zudem: 0 Jetzt, d ds Vektorprodukt präzise definiert ist, sollten ir unbedingt noch ergänzen, dss sich die Lorentzkrft nch folgender Formel berechnet: F L q B Obige Definition legt ds Vektorprodukt zr geometrisch eindeutig fest; ber sie erlubt uns nicht, den zei Inputektoren zugeordneten Vektor konkret zu berechnen. 3

4 Immerhin können ir schon jetzt llein us der Anschuung einige enige Vektorprodukte bestimmen. Bilden (ie im Skript 4.9) e1, e, e 3 iederum die Stndrdbsis des Anschuungsrumes, so ist nämlich e1 e e3 Ds sieht mn sofort, enn mn den Dumen der rechten Hnd in Richtung der positien x-hlbchse und den Zeigefinger in Richtung der positien y-hlbchse usstreckt und zudem bedenkt, dss ds on diesen beiden Vektoren ufgespnnte Prllelogrmm gerde den Flächeninhlt 1 ht. In ähnlicher Weise knn mn leicht einsehen, dss Aber: e e3 e1 e3 e1 e e e1 e3 e3 e e1 e1 e3 e Vorsicht bei Gesetzen! Schon diese einfchen Beispiele mchen deutlich, dss ds Vektorprodukt keine kommuttie Opertion ist im Gegenstz et zum Sklrprodukt. Allgemein gilt offenbr: Auch ds Assozitigesetz gilt hier im Allgemeinen nicht. Würde es gelten, so müssten die beiden Seiten j so luten: Linke Seite: u Rechte Seite: u Während die linke Seite ber einen Vektor in der durch u und ufgespnnten Ebene drstellt, ist die rechte Seite ein Vektor, der in der on und ufgespnnten Ebene liegt; im Allgemeinen können diese beiden Vektoren sicher nicht gleich sein. Nun hben ir schon ein recht klres Bild on dieser neuen Opertion geonnen. Und ir können uch schon erhnen, dss sie uch für die Vektorgeometrie Wertolles leisten ird. Denn: Sie liefert sofort die zu einer Ebene senkrechte Richtung. Und sie knn uch helfen, Flächeninhlte on Polygonen zu bestimmen, die irgendie im Anschuungsrum liegen. Jedes Polygon knn j in Dreiecke zerlegt, und jedes Dreieck knn ls hlbes Prllelogrmm ufgefsst erden. Und den Inhlt eines Prllelogrmms findet mn leicht durch Norm- Bildung bei einem geeigneten Vektorprodukt. Es zeichnen sich lso schon jetzt tolle Anendungen b. Aber es fehlt uns ets gnz Entscheidendes: Eine Formel zur Berechnung eines Vektorproduktes. Ds muss jetzt schleunigst errbeitet erden. Berechnung des Vektorproduktes Unser Pln sieht so us: Wir gehen on zei beliebigen nicht-kollineren Vektoren und us und suchen gezielt nch einem Vektor x, elcher die Bedingung (1) in obiger Definition erfüllt, elcher lso senkrecht uf beiden Inputektoren steht. Um die Erfüllung der Bedingungen () und (3) kümmern ir uns nchher. 4

5 D der gesuchte Vektor x uf und senkrecht stehen soll, muss folgendes gelten: I. x 0 II. x 0 Ausgeschrieben ergibt ds: I. x x x II. x x x Können ir us diesen Gleichungen den Vektor x bestimmen? Nein, ntürlich nicht. Zum einen sind ds j nur zei Gleichungen in drei Unbeknnten ( x, x, x ), ir hben 1 3 lso zu enig Informtion. Zum nderen ist ds uch gnz klr: Ds Gleichungssystem fordert j einzig, dss x senkrecht uf zei Inputektoren stehen soll. Und d es unendlich iele Vektoren mit dieser Eigenschft gibt, können ir nicht errten, us dem System sofort den einen gesuchten Vektor zu finden. Aber ir können sicherlich einen Vektor mit der Eigenschft (1) bestimmen. Einen on unendlich ielen. Dzu reduzieren ir ds System einfch um eine Gleichung und eine Unbeknnte. Addieren ir I zu II, so können ir 3 3 dmit die dritte Unbeknnte eliminieren: I. x x x II. x x x x x Wie muss mn diese Gleichung einordnen? Nun, d j lle Komponenten der beiden Inputektoren beknnt sind, sind die Klmmern einfch gegebene Zhlen. Im konkreten Fll könnte die Gleichung lso so ussehen: 5x 7x Eine solche linere Gleichung in zei Unbeknnten ht unendlich iele Lösungen; ds hben ir oben schon festgehlten. Aber es ist ein Leichtes, Lösungen nzugeben: Mn knn j et für x irgendeine Whl treffen, und dnn 1 x pssend dzu bestimmen. Ws äre eine besonders nheliegende Weise, ds zu tun? Besonders nheliegend äre sicher, für den Wert 7 und für x 1 x ds Negtie on 5 zu ählen. Dmit äre die Aussgeform uf lle Fälle erfüllt. Zurückkommend uf unsere llgemeine Herleitung bedeutet ds, dss ir sicherlich einen Vektor x finden, enn ir die ersten beiden Komponenten ie folgt ählen: x x Durch Einsetzen in enteder I oder II können ir dnn die zugehörige dritte Vektorkomponente berechnen: x Ds Nchrechnen überlssen ir den interessierten Leserinnen und Lesern. Insgesmt können ir einen Teilerfolg erbuchen, nämlich diesen: Sind und zei beliebige nichtkollinere Vektoren, so ist der folgende Vektor sicherlich senkrecht uf der on und ufgespnnten Ebene, erfüllt lso Bedingung (1) der Definition: 3 3 x

6 Ds ollen ir gleich usprobieren. Betrchten ir dzu die beiden Vektoren 1 4 3, 0 können. Unser Vektor x ht die Norm 1, ds heisst, er erfüllt uch noch die Bedingung (). Und enn mn die drei Vektoren in die rechte Hnd nimmt, stellt mn fest, dss er uch noch Bedingung (3) erfüllt. Ist ds ein Zufll? Wir htten ll die obigen Rechnungen usgeführt, um (1) zu erfüllen; und nun erfüllt unser Vektor geissermssen grtis uch noch () und (3). Ds ist überrschend, und es ist klr, dss ir drüber mehr sgen müssen. Zuor mchen ir ber einen kleinen Abstecher zu den sogennnten Determinnten: Determinnten Gemäss obiger Formel ist x Dieser Vektor ist lso sicherlich senkrecht uf den beiden Inputektoren, s sich uch gnz einfch mit dem Sklrprodukt überprüfen lässt. Betrchten ir ein zeites Beispiel: 1 0 1, Hierzu erhlten ir den Vektor 0 x 0 1 Ist ds überrschend? Nun j, die beiden Inputektoren liegen in der x x -Ebene; 1 es ist drum klr, dss der Vektor x nch oben zeigen muss; er genügt j der Bedingung (1). Aber ir issen zudem, dss ds on den beiden Inputektoren ufgespnnte Prllelogrmm den Flächeninhlt 1 ht, eil ir uns ds Prllelogrmm leicht orstellen Wir greifen ets or und geben hier eine uf Leibniz zurückgehende Definition der Determinnte n: Ist A eine nn-mtrix, so knn ihr die folgende sklre Grösse zugeordnet erden: A i, i det : sgn S n n i 1 Dbei ird die Summe über lle Permuttionen der Gruppe S genommen, und sgn, ds Vorzeichen einer Permuttion, ist 1 oder 1, je nchdem, ob die Anzhl Fehlstände gerde oder ungerde ist. Ds ist n dieser Stelle ermutlich unerständlich, und drum ollen ir uns sofort uf ds beschränken, s uns hier ichtig ist: Für eine -Mtrix A ergibt Leibniz Formel nämlich dies: Determinnte einer -Mtrix A: Für A 1,1 1,,1, 1,1 1,,1, det n ist A 1,1,,1 1, Offenbr berechnet mn die Determinnte einer solchen Mtrix nch dem folgenden Schem: 6

7 die richtige Länge. Seine Norm entspricht lso dem Inhlt des on und ufgespnnten Prllelogrmms. Wie können ir ds überprüfen? Nun j, ziemlich stright forrd, indem ir die Fläche des Prllelogrmms berechnen und dnn mit der Norm unseres Vektors ergleichen. Mn rechnet lso übers Kreuz, steigt oben links ein, multipliziert die beiden Einträge der ersten Digonlen und subtrhiert dnn ds Produkt der Einträge der zeiten Digonlen. Aufmerksmen Leserinnen und Lesern ist es bestimmt schon ufgefllen: Jede der drei Komponenten unseres Vektors x ht exkt die Form einer Determinnte einer -Mtrix. Wir können den Vektor folglich ie folgt notieren, und ds ht den grossen Vorteil, dss mn sich die einzelnen Komponenten einfcher einprägen knn: x Allerdings muss mn sich frgen, ob es sich überhupt lohnt, sich diesen Vektor gut einzuprägen, denn es ist j bloss ein Vektor, der Bedingung (1) der Vektorprodukt-Definition erfüllt. Es lässt sich ermuten, dss ir diesen Vektor in Länge und Richtung noch erändern müssen, dmit uch die Bedingungen () und (3) erfüllt sind. Dzu gibt es eine überrschend gute Nchricht: Dieser Vektor erfüllt die Bedingungen () und (3) uch; ir hben lso gerde den richtigen Vektor gefunden. Toll, nicht hr!? () und (3) gelten uch! Ntürlich muss mn ds erifizieren. Wir behupten lso, unser Vektor x ht gerde Betrchten ir dzu erneut ds Prllelogrmm: Den Flächeninhlt hben ir eiter oben schon bestimmt. Um Wurzelterme zu ermeiden, gehen ir gleich zum Qudrt des Flächeninhltes über: A sin 1 cos cos (*) Über die Norm des Vektors x ndererseits issen ir: (**) x 1 3 Fleissige Rechnerinnen und Rechner können nun erifizieren, dss (*) und (**) identische Terme sind. Wir erzichten hier ber gerne druf. 7

8 Nun d ir gezeigt hben, dss unser Vektor x soohl Eigenschft (1) ls uch Eigenschft () erfüllt, müssen ir uns nur noch don überzeugen, dss uch seine Richtung stimmt, dss lso, und x (genu in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem bilden. Um ds zu klären, erlgern ir die beiden Inputektoren und im Rum so, dss der erste Vektor in Richtung der positien x1-hlbchse zu liegen kommt und der zeite so in der x1 x-ebene liegt, dss seine zeite Koordinte positi ist. Ds ist immer möglich. Freilich tun ir ds so, dss der Zischeninkel der beiden Vektoren sich nicht ändert. In dieser neuen Lge nennen ir die beiden Vektoren ' und '. Für diese Vektoren liefert unsere x -Formel den Output x Wegen 1 0 und 0 zeigt dieser Vektor sicherlich nch oben, in Richtung der positien x 3 -Hlbchse. Dher ist Bedingung (3) erfüllt; ', ' und x bilden (in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem. Und drum gilt ds uch für, und x. Dmit ist lles gezeigt. Wir issen nun, dss unser Vektor x lle drei Bedingungen der Definition des Vektorproduktes erfüllt, obohl ir uns bei seiner Konstruktion j lediglich n Bedingung (1) orientiert hben. Toll, nicht hr!? Wir ollen uns gut einprägen, dss ir nun in der Lge sind, ein Vektorprodukt rechnerisch zu bestimmen und zr so: Während dieser Beegung ändert sich der Zischeninkel nicht und ändern die Normen der Vektoren nicht. Zudem erändern sich die Koordinten der Vektoren stetig. Drum ändern sich uch die Koordinten des Vektorproduktes, elche ir nch unserer Formel für x berechnen, stetig. Wir können lso sgen, dss, flls unsere x - Formel m Ende die Bedingung (3) einhält, sie ds uch m Anfng tut. Wrum geährleistet die Formel m Ende der Beegung ein Rechtssystem? Gnz einfch, eil in der Endlge der beiden Vektoren Folgendes gilt: Wir besprechen im Folgenden drei besonders häufige und nsprechende ektorgeometrische Vorzüge dieser neuen Opertion. 1 1 ' 0, ' 0 0 mit 1 0 und 0 8

9 Ebene durch drei Punkte Angenommen, ir ollen eine Gleichung finden für die Ebene durch drei gegebene 4,,1 B 0,1,3 und Punkte, et A, C 1,5,5. Wir können dieses Problem bereits lösen, keine Frge. Aber ir können es nun bedeutend einfcher lösen! Wrum ds? Nun, die beiden Vektoren AB und AC spnnen die gesuchte Ebene uf, und ds Vektorprodukt dieser beiden Vektoren ist ein Vektor, elcher senkrecht uf dieser Ebene steht. Er ist somit ein Normlektor der gesuchten Ebene. Und diesen berechnen ir jetzt: 4 5 AB AC n E 4 13 D dies ein Normlektor der gesuchten Ebene ist, können ir die Koordintengleichung der Ebene schon beinhe fertig hinschreiben: E : x 6 y 13z d 0 Durch Einsetzen eines Punktes finden ir uch noch d: A 4,,1 E d 33 Dmit hben ir die Ebene bestimmt: Dnk dem Vektorprodukt ist ds gnz einfch möglich. Ds Vektorprodukt der beiden Vektoren AB und AC liefert einen Vektor, der norml uf beiden Inputektoren und dmit norml uf der Ebene steht, die durch ds Dreieck definiert ird. Aber ds ist hier nicht ds Entscheidende. Entscheidend ist, dss ir j issen, dss die Norm des Vektorproduktes gerde die Msszhl der Fläche des Prllelogrmms ist, elches on den Inputektoren ufgespnnt ird. Der gesuchte Flächeninhlt ist drum gleich 1 Fl. ABC AB AC D ir dieses Vektorprodukt eiter oben schon berechnet hben, folgt sofort: 1 Fl. ABC E : x 6 y 13z 33 0 Inhlt eines Dreiecks Die eben erendeten drei Punkte A4,,1, B 0,1,3 und C 1,5,5 sind nicht kolliner und bilden dher ein Dreieck im Anschuungsrum. Wäre es nicht prktisch, ir könnten den Flächeninhlt eines Dreiecks gnz einfch us den Koordinten der Eckpunkte berechnen? Abstnd eines Punktes on einer Gerden Dnk der Hesse-Normlform können beknntlich einige Abstndprobleme gelöst erden: Abstnd zischen Punkt und Gerde in der Anschuungsebene und Abstnd zischen Punkt und Ebene im Anschuungsrum. Aber den Abstnd zischen einem Punkt und einer Gerden im Rum knn mn dmit nicht finden, eil es zu 9

10 einer Gerden im Rum keine eindeutige Normlen-Richtung gibt. Selbsterständlich lässt sich ein solcher Abstnd ohne Vektorprodukt berechnen, ie interessierte Leserinnen und Leser sicher leicht herusfinden können. Aber der Weg ist ets bescherlich. Und hier nun knn ds Vektorprodukt eine irklich elegnte Alterntie beisteuern: Es sei lso eine Gerde g im Anschuungsrum gegeben. Wir kennen on der Gerden dher uf jeden Fll einen Punkt Q soie einen Richtungsektor r g. Zudem sei ein Punkt P gegeben, dessen Abstnd zu der Gerden bestimmt erden soll. Die Abbildung zeigt deutlich, dss die beiden Vektoren QP und r g ein Prllelogrmm ufspnnen, dessen eine Höhe gerde den gesuchten Abstnd drstellt. Den Flächeninhlt des Prllelogrmms finden ir leicht ls Norm des Vektorproduktes. Es ist lso QP r g r g x und somit: x QP r r g g 10