Musterlösungen zum 6 Üungsltt Anlysis ei Dr Rolf Busm WS 6/7 Aufge 6 (Tois Hessenuer) ) 3 ep()d, setze u = ep(), v = 3 dnn gilt: 3 ep()d = ep() 3 = e (3 ep() ) 3 ep() d = e 3e + 6 ep() = 6e 3e + 6e 6e + 6 = e + 6 ) log()d setze u = und v = log() dnn gilt: log()d = log() = log() 3 4 6 ep()d) 6 ep()d d c) Knn ohne prtielle Integrtion erechnet werden (Fehler in Aufgenstellung? soll vielleicht cos()) heißen π cos()d = sin( π ) sin() = d) π ep() sin()d setze u = ep(), v = sin() dnn gilt: π ep() sin()d = ep() sin() π = ep()cos() π π π ep() cos()d ep() sin()d
und dmit: π ep() sin()d = ep() cos() π = (ep(π) + ) Aufge 7 (Thorsten Eppelmnn) Mn erechnet für lle [, ] [, ]: d = = lim d ε ε +ε = lim ε d ε +ε + = lim ε = = = = ε +ε ε +ε ε ε ε ε +ε d d d rcsin( ε) rcsin(+ε) rcsin( ε) rcsin(+ε) ( ) + rcsin ε +ε cos ϕ sin ϕ dϕ dϕ d Woei die letzte Gleichheit us der Stetigkeit des rcsin folgt Insesondere gilt für [, ] = [, ]: d = ( + π + π ) = π Der Inhlt der hlen Einheitskreisscheie ist lso π
Aufge 8 (Mrtin Heid) Nch dem Huptstz der Integrl- und Differentilrechnung gilt für die stetige Funktion und für lle R >, dss die Stmmfunktion L in stetig differenzierr ist mit L () = d immer positiv uf R > ist, gilt für < y: L(y) L() = y Weiterhin ist L () () = ( Konkvität t dt ) = t dt = y y t dt > y dt = y > y < und dies ist wie eknnt äquivlent zur Entweder mit den Ergenissen von Aufge, die nur uf der Definition des Integrls ufuen oder mit Hilfe der Sustitution: t = t/ folgt sofort: y L(y) = t dt = = t dt + = L() + L(y) Mit einer sehr groen Aschätzung ist: L( ) = L() = t dt > y t dt + t dt t dt = t dt < y dt > t dt dt = Für lle r R eistiert ein m N so dss m < r < m lso wegen (c): L(( )m ) < m < r < m < L(m ) und us dem Zwischenwertstz für ds stetige L folgt die Eistenz eines y [( )m, m ] mit L(y) = r Wegen der strengen Monotonie und der Surjektivität folgt sofort, dss L : R > R ijektiv ist Die Umkehrfunktion E eistiert dher und nch dem Eistenzstz üer die Aleitung der Inversen gilt für lle y R: E (y) = L (E(y)) = E(y) = E(y) Wir hen es hier lso mit einer völlig äquivlenten Definition der Fuktionen Ep und Ln zu tun: Sttt Ep üer die Eponentilreihe und Ln ls die Umkehrfunktion zu definieren, knn mn uch Ln ls Stmmfunktion von und Ep ls die Umkehrfunktion definieren Mn sieht dies zb drn, dss Ln () = L () = und Ln() = L() = oder indem mn die Funktion E in in eine Tylorreihe entwickelt und die Eponentilreihe erhält 3
Aufge 9 (Hrtmuth Henkel) Es gilt nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung: π [ ] π ep(im) d = im ep(im), für m Anhnd der Drstellung ep(i) = cos()+i sin(), R, sieht mn leicht, dss ep(i) die reelle Periode π ht Somit ist dieser Ausdruck gleich für lle m Für m = ist die Aussge trivil Aufge 3 (Christin Enz) Gesucht ist (u, v) N mit u 3v = Eine Gleichung vom Typ u Dv =, mit D einer qudrtfreien gnzen Zhl, nennt mn eine Pellsche Gleichung Um lle Lösungen zu estimmen, erechnet mn zuerst eine minimle Lösung, dh eine Lösung für die u + v D miniml ist Diese knn entweder durch systemtisches Proieren oder durch eine Kettenruchentwicklung (vgl Litertur zur elementren Zhlentheorie) estimmt werden Sei (u, v ) die minimle Lösung der Pellschen Gleichung Die nderen Lösungen erhält mn dnn durch die die Rekursion u n+ = u u n + Dv v n, v n+ = v u n + u v n Wir zeigen zunächst, dss (u n+, v n+ ) ttsächlich eine Lösung ist Ein einfcher Induktionseweis liefert die Identität u n + v n D = (u + v D) n+ Multipliziert mn die Gleichung mit ihrem rtionl konjugierten (u n v n D), so folgt, dss (u n, v n ) die Gleichung löst Um zu Zeigen, dss es keine weiteren Lösungen git, stellt mn fest, dss für eine Lösung (u, v), die nicht durch oige Rekursion gegeen ist, ein n N eistiert mit u n + v n D < u + v D < un+ + v n+ D Setze α+β D = (u+v D)/(u n +v n D) mit α, β Z Durch Division mit (un +v n D) folgt < α + β D < u + v D Multipliziert mn (α + β D) mit (α β D) = (u v D)/(u n v n D), so findet mn, dss (α, β) eine Lösung ist, im Widerspruch zur Minimlität von (u, v ) Zur Bestimmung der minimlen Lösung entwickelt mn D in einen Kettenruch [,,, ] Definiert mn dnn P =, P = +, P k = k P k + P k, Q =, Q =, Q k = k Q k + Q k, (k =, 3 ), so erhält mn für den k-ten Näherungsruch (us Theorie eknnt) [,,,, k ] = P k Q k 4
Aus der Theorie folgt, dss die minimle Lösung durch (P mp, Q mp ) gegeen wird, hierei ezeichnet p die Periode der Kettenruchentwicklung, m =, flls p gerde, und m =, flls p ungerde Im Fll D = 3 findet ml ls Kettenruchentwicklung 3 = [3, 6] Diese Kettenruchentwicklung ht Periode p = 5 Durch oige rekursive Vorschrift errechnet mn die minimle Lösung zu (P 9, Q 9 ) = (649, 8) 5