Zusammefassug: Theorie Beweisprizipie Direkter Beweis bleitug der zu beweisede ussage durch mathematische Umformuge aus Voraussetzug eiaderreihug vo ussage = 1, 2, 3,, =B Notatio B (logisches Schließe = Deduktio) Beispiel Behauptug: Das Quadrat eier ugerade atürliche Zahl ist wieder ugerade. Beweis: k N 0 =2k +1 2 =(2k +1) 2 =4k 2 +4 k +1 2 =2(2k 2 +2k )+1 Beweis durch Widerspruch gegebe ugerade arith. Umformug ist ugerade bleitug der zu beweisede ussage icht direkt, soder idem ma zeigt, dass ei Widerspruch etsteht, we icht gilt: Falls B ud B da gilt. Voraussetzug: ist etweder wahr oder falsch Beispiel Behauptug: Die Mege der Primzahle ist uedlich. Beweis: : Es gibt uedlich viele Primzahle. : Es gibt edlich viele Primzahle. B: Es gibt eie edliche Mege P ={p 1, p 2,...,p } Primzahle Es gilt offesichtlich: B Die Faktore der Primfaktorzerlegug vo z =(p 1 p 2... p )+1 köe icht i P sei, weil der Rest der Divisio jeweils 1 ergibt. Es gibt jedoch eie Primfaktorzerlegug ud jee muss eie Faktor p x P habe. P ka icht alle Primzahle ethalte B Beweis durch Iduktio Beispiel Behauptug: es gilt k 2 = ( +1) (2+1) k=1 6 Beweis: Iduktio über Iduktiosafag: = 1 k 2 k=1 + 1: 1 für = 1: k 2 =1 2 =1 k=1 N 6 ( +1) (2 +1) für = 1: 1 6 2 3=1 Seite 1 vo 7
ahme: Für ei N gilt Zu zeige: da muss auch gelte Beweis: +1 k 2 = k =1 k =1 k=0 +1 k=1 k 2 = ( +1) (2 +1) 6 k 2 = ( +2) (2 +3) 6 k 2 +(+1) 2 laut ahme +1 = 6 (+1)(2+1)+(+1)2 = +1 6 ((2+1)+6(+1))=+1 6 (+2)(2+3) Grudlage formaler Sprache Schreibweise für Mege M={x P (x )} M ist die Mege aller Elemete x, welche das Prädikat P(x) erfülle. M={x X P (x )} M ist die Mege aller Elemete x aus eier gegebee Mege X, welche das Prädikat P(x) erfülle. Partitioe Seie M 1, M 2, M 3,..., M Teilmege eier Mege M für die gilt M 1 M 2 M 3... M =M ud M i M j ={}für allei, j {1,...,} da heißt {M 1, M 2, M 3,...,M } Partitio vo M. lphabete, Wortmege, formale Sprache lphabet: edliche, icht leere Mege vo Symbole (im Weitere mit S geat) Wort über S: Folge w =s 1 s 2 s 3... s 1 s vo Symbole s i aus lphabet S ( 0 i, N ) leeres Wort ε: besteht aus leerer Symbolfolge Läge eies Wortes w: w zahl der Vorkomme des Symbols s i w: w s Mege aller Wörter der Läge über S: S :={w w ist Wort über S w =, N 0 } Mege der Wörter beliebiger Läge über S: S * :={w w ist Wort über S w 0} Mege aller icht leere Wörter über S: S + :={w w ist Wort über S w 1} (formale) Sprache L über S: Teilmege L S * Eigeschafte vo Relatioe für de Spezialfall R x Eie Relatio R i heißt reflexiv, we für alle a gilt: (a, a) R Jedes Elemet steht zu sich selbst i Relatio. irreflexiv, we für alle a gilt: (a, a) R Kei Elemet steht zu sich selbst i Relatio. symmetrisch, we für alle a, b gilt: (a, b) R (b,a ) R Jede Relatio gilt auch umgekehrt. atisymmetrisch, we für alle a, b gilt: (a, b) R ud (b,a ) R a=b Gilt eie Relatio umgekehrt sid die Elemete gleich. asymmetrisch, we für alle a, b gilt: (a, b) R (b, a) R Seite 2 vo 7
Keie Relatio gilt auch umgekehrt. trasitiv, we für alle a, b,c gilt: (a, b) R ud (b,c ) R (a,c ) R Bei Verkettug vo Relatioe besteht auch eie Relatio zwische erstem ud letzte Elemet. Äquivalezrelatio Eie Relatio R auf eier Mege heißt Äquivalezrelatio, we sie reflexiv, symmetrisch ud trasitiv ist. Für (a, b ) R sagt ma auch: a ist äquivalet zu b. Für Äquivalezrelatioe verwedet ma oft das Symbol ~. Beispiele Die Relatio < ist icht reflexiv, icht symmetrisch, trasitiv. Die Relatio >= ist reflexiv, icht symmetrisch, trasitiv. Die Relatio = ist reflexiv, symmetrisch ud trasitiv, d. h. eie Äquivalezrelatio. Äquivalezklasse R sei eie Äquivalezrelatio auf ud a. Da heißt die Mege [a ]={x (a, x ) R } die Äquivalezklasse vo a. Sie besteht als aus alle Elemete, die äquivalet zu a sid (ud je zwei Elemete aus [a] sid auch äquivalet zueiader). Ma et a ud jedes adere Elemet aus [a] eie Vertreter aus dieser Äquivalezklasse. Sei R eie Äquivalezrelatio auf, da gilt: Je zwei verschiedee Äquivalezklasse sid disjukt (besitze kei gemeisames Elemet). Die Vereiigug aller Äquivalezklasse ist gleich. Edliche utomate Determiistische edliche utomate =(X,S, s 0, δ, F ) X: Eigagsalphabet (edlich) S: Zustadsmege (edlich) s 0 : Startzustad, s 0 S δ: Zustadsübergagsfuktio ( δ : S x X S ) F: Edzustadsmege, F S Für jede Kote s ud jedes x X gibt es geau eie Kate mit fagskote s. Durch utomate akzeptierte Sprache Die akzeptierte Sprache besteht aus alle Wörter, die i eie Edzustad des utomats führe. Eie Sprache heißt regulär, we es eie edliche utomate gibt, der sie akzeptiert. Begriffe Zwei utomate sid äquivalet, we sie die gleiche Sprache akzeptiere. Zwei utomate sid isomorph, we sie (bis auf die Name der Zustäde) exakt gleich aufgebaut sid. Seite 3 vo 7
Nichtdetermiistische edliche utomate =(X,S, S 0, δ,f ) X: Eigagsalphabet (edlich) S: Zustadsmege (edlich) S 0 : Mege der Startzustäde, S 0 S δ: Zustadsübergagsfuktio ( δ : S x X P (S ) ) F: Edzustadsmege, F S Pumpig-Lemma Ist eie Sprache regulär, so gilt für sie das Pumpig-Lemma. Mit dem Beweis, dass das Pumpig Lemma icht gilt, ka ma die Nicht-Regularität eier Sprache beweise. Beispielbeweis Behauptug: Die Sprache L={x {a,b } + x a = x b } ist icht regulär. Beweis: 1. wähle x L mit x p wobei p N : x =a P b P ( x =2p p x L p) 2. UVW-Zerlegug: u: Weg zur Schleife v: Schleife w: Weg ach Schleife 1. Möglichkeit: x =a l a m a p l m b p mit v 1, uv p, m 1, l +m p, l, m N 0 u v w 2. Möglichkeit: x =a p b p l m b l u v b m w mit v 1, vw p, l 1, l +m p, l, m N 0 Hiweis: bei a b c x uv p, bei a x b c vw p 3. Pumpe v mit i N 0 : x i =uv i w =a l (a m ) i a p m l b p sei i = 0: x 0 =a l (a m ) 0 a p m l b p =a p m b p L Operatore über edliche utomate Vereiigug: 1 2 Beide utomate als eie große, ichtdetermiistische Gesamtautomate betrachte ud Zustäde eideutig beee. Komplemet NE zuächst i DE umwadel; Edzustäde werde zu Nicht-Edzustäde ud umgekehrt. Schitt: 1 2 Kombiatio vo Vereiigug ud Komplemet: L 1 L 2 = L 1 L 2 = L 1 L 2 Komplex-Produkt: 1 2 Edzustäde vo 1 werde mit de Folgezustäde der Startzustäde vo 2 verbude (mit der selbe Katebeschriftug, die auch vom Startzustad i 2 zum Folgezustad führt). Startzustäde vo 2 sid keie Startzustäde vo 1 2. Edzustäde vo 1 sid ur Edzustäde vo 1 2, we 2 das leere Wort akzeptiert. Kleee-Star: * lle Edzustäde werde mit de Folgezustäde des Startzustads verbude (mit der Katebeschriftug, die vom Startzustad zum Folgezustad führt). Es wird ei extra Zustad hizugefügt, der das leere Wort akzeptiert. Seite 4 vo 7
Reguläre usdrücke Erlaubte Operatore: *,, L-Operator ordet eiem reguläre usdruck eie Sprache zu Defiitio: Beispiele: x i ist ei regulärer usdruck,i =1,...,,L (x i )={x i } L( )={},L (ϵ )=ϵ L((R 1 R 2 )):=L (R 1 ) L (R 2 ) L((R 1 R 2 )):=L (R 2 ) L(R 2 ) L (R * ):=L(R ) * X =a, b, c L((a b ) * )={a,b } * L (c (a b) * )=c {a,b} * L(a bb * (c b) * )={a} {b} {b} * {c,b } * Grammatike G =(N,T, S,P ) N: lphabet der ichttermiale Symbole S: Startsymbol ( S N ) T: lphabet der termiale Symbole (wobei N T = ) P: edliche Teilmege vo (N T ) + (N T ) * ud heißt die Mege der Produktioe Ist (α,β ) P, so schreibe wir dafür auch α β. L(G ):={x T * S * x } heißt die durch G erzeugte Sprache. Liks- ud Rechtsableitug Rechtsableitug: Liksableitug: das rechteste Symbol wird immer zuerst ersetzt das likeste Symbol wird immer zuerst ersetzt Zuordug vo liks- zu rechtslieare Produktioe rechtsliear liksliear S Startsymbol S t t, B Nichttermiale t Termial S t S t tb B t t S t Chomsky-Hierarchie (absteigede Hierarchie) Typ 0: allgemeie Grammatike Typ 1: icht verkürzede Grammatike Typ 2: kotextfreie Grammatik (auf liker Seite darf immer ur ei Symbol stehe) Typ 3: rechtslieare Grammatike (auf der rechte Seite darf ur ei NT-Symbol stehe ud das auch ur gaz rechts) Der speziellste Typ eier Grammatik muss icht ubedigt der speziellste Typ der Sprache der Grammatik sei! Erweiterug vo Typ-2/Typ-3 Grammatike um leeres Wort zu erzeuge S ϵ, wobei folgede Eischräkuge gelte: S ist das Startichttermial der Grammatik S wird durch keie Produktio erzeugt, steht also ie rechts vom Pfeil Seite 5 vo 7
Eideutigkeit Eie kotextfreie Sprache L heißt eideutig, falls es eie eideutige Grammatik gibt, die L erzeugt. soste heißt sie mehrdeutig. (Im Fall vo reguläre Sprache lässt sich immer eie eideutige Grammatik bilde, idem ma die gegebee Typ-3- Grammatik ormalisiert.) Normalforme ε B Typ-3 Typ-2 Typ-1 Typ-0 t T termiale Symbole X,B,C, D N ichttermiale Symbole t X X X X tb X X BC X X X CD X X Typ-3 Normalform bilde Bsp.: P ={S abt,t C, C c } 1. Mehrelemetige Termialkette auflöse: P ' ={S ab, B bt,t C, C c } 2. Ketteregel auflöse: P ' ={S ab, B bt,t c, C c } Typ-2 Normalform bilde Bsp.: P ={S ab,c D E F, B X, X b } 1. Termialsymbole separiere: P ={T a a,t b b,s T a B,C D E F, B X, X b} 2. Kette vo mehr als 2 Nichttermiale auflöse: P ={T a a,t b b,s T a B,C D N 1,N 1 E F, B X, X b} 3. Ketteregel auflöse (betrifft Produktioe der Form N x N y ): P ={T a a,t b b,s T a B,C D N 1,N 1 E F, B b, X b} Kellerautomate K=(X,K,k 0, S,s 0, δ,f ) X: Eigabealphabet K: lphabet der Kellerzeiche S: Zustadsmege (edlich) k 0 : afägliches Symbol auf dem Keller ( k 0 K ) s 0 : Startzustad ( s 0 S ) δ: Zustadsübergagsfuktio (δ :S (X {ϵ }) K P edl (S K * )) F: Edzustadsmege ( F S ) Edzustadsmege ka weggelasse werde. Da wird we gleichzeitig die gesamte Eigabe gelese wurde ud der Keller leer ist akzeptiert (siehe kzeptaz-bedigug). Zweites rgumet i δ ka statt Symbol aus lphabet auch ε sei. Somit sid Veräderuge des Kellers möglich, ohe Symbole vom Eigabebad zu lese. Beispiel für Katebeschriftug Lese ei 'a' vom Eigabebad ud schreibe ei weiteres 'b' i de Keller, we dort bereits eies steht. : (a, b) / bb utomat ist determiistisch, we für jede Kombiatio aus Eigabezeiche ud oberstem Kellersymbol höchstes ei Zustadsübergag defiiert ist. Kofiguratio (s, x,k ) s: aktueller Zustad x X * : Resteigabe k K * : Wort auf dem Keller Startkofiguratio: Eigabe-Lesekopf über erstem Zeiche des Eigabebades Keller-Schreib-Lesekopf am uterste Ede des Kellerspeichers über k 0 Seite 6 vo 7
Stopp-Bedigug (etspricht icht kzeptaz der Eigabe!) Für δ (s, x, k ) kei Übergag awedbar Keller leer (es ka kei Symbol vom Keller geomme werde) Eigabebad abgearbeitet kzeptaz-bedigug utomat befidet sich i Edzustad, we Eigabe vollstädig verarbeitet wurde. Der Keller des utomate ist leer, we die Eigabe vollstädig verarbeitet wurde (we Edzustadsmege weggelasse wurde). Determiistische kotextfreie Sprache (Eiteilug ierhalb vo Typ 2) Eie kotextfreie Sprache heißt determiistisch, we es eie determiistische Kellerautomate K gibt mit L = L(K). soste heißt sie ichtdetermiistisch. Turigautomate/-maschie M=(X,B,S, s 0, δ,s f ) X: Eigabealphabet B: Badalphabet ( X B,# B X, #: Leerzeiche) S: Zustadsmege (edlich) s 0 : Startzustad ( s 0 S ) S f : Haltezustad ( S f S!, keie ausgehede Kate) δ: Zustadsübergagsfuktio (δ :S B ((S {S f }) (B {L,R })) { }) Beispiele für Katebeschriftug Lese ei 'a' vom Eigabebad ud schreibe a diese Stelle ei 'b' ohe de Schreiblesekopf zu bewege : a / b Lese ei 'a' vom Eigabebad ud bewege de Schreiblesekopf ach rechts : a / R Kofiguratio (s,l, r ) s S : aktueller Zustad l: Zeiche vor Schreiblesekopf r: Zeiche ab Schreiblesekopf ( fürr =ϵ gilt b=# ) Startkofiguratio: Zustad ist s 0, Schreiblesekopf steht über erste Zeiche vo x Nicht beutzte Zelle ethalte # Stopp-Bedigug Für δ (s, x ) kei Übergag awedbar utomat geht i de Zustad S f über kzeptaz Seite 7 vo 7