P heißt feiner als P : P P. (IX.2)

Kpitel IX Integrtion In diesem Kpitel führen wir ds Riemnn-Integrl für reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen ein. Ds Lebesgue-Integrl wird in einer späteren Vorlesung behndelt. IX. Prtitionen, Ober- und Untersummen Definition IX.. Seien,b R, < b. (i) Eine endliche Teilmenge P x,x 2,...,x L (,b) von (,b) heißt Prtition von [, b]. Wir wollen stets nnehmen, dss die Punkte in P ufsteigend geordnet sind, lso : < x < x 2 <... < x L < x L+ : b. (IX.) Die Menge der Prtitionen von [,b] bezeichnen wir mit P[,b]. (ii) Seien P,P P[,b] zwei Prtitionen von [,b]. P heißt feiner ls P : P P. (IX.2) Wir sgen uch, dss P eine Verfeinerung von P ist. Bemerkungen und Beispiele. Wir bemerken, dss zwei Prtitionen nicht immer vergleichbr bezüglich ihrer Feinheit sind. Sind nämlich P \P und P \P beide nicht leer, so ist weder P feiner ls P noch P feiner ls P. Es lässt sich ber immer eine Prtition P finden, die sowohl feiner ls P ls uch feiner ls P ist, nämlich P P P. (IX.3) Eine Ordnungsreltion mit dieser Eigenschft bezeichnet mn ls prtielle Ordnung. Definition IX.2. Sei f : [,b] R eine beschränkte Funktion, lso f([,b]) [ R,R], für genügend großes R <. Sei weiterhin P x,x 2,...,x L (,b) eine Prtition. 96

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.. PARTITIONEN, OBER- UND UNTERSUMMEN (i) Wir definieren die Untersumme I(f;P) und die Obersumme I(f;P) durch I(f;P) : I(f;P) : (x j+ x j ) inf f(x) xj x x j+, (IX.4) j (x j+ x j ) sup f(x) xj x x j+. (IX.5) j (ii) Wir definieren ds Unterintegrl f(x)dx und ds Oberintegrl f(x)dx von f durch f(x)dx : sup I(f;P) P P[,b], f(x)dx : inf I(f;P) P P[,b]. (IX.6) (IX.7) Lemm IX.3. Seien,b R, < b, f : [,b] R beschränkt und P,P P[,b] zwei Prtitionen von [,b]. Ist P feiner ls P, so gilt I(f;P) I(f;P ), und I(f;P) I(f;P ). (IX.8) Beweis. Wir beweisen nur I(f;P) I(f;P ). Sind P x,x 2,...,x L, : < x <... < x L < x L+ : b, und y (,b)\p, dnn gibt es ein k,,2,...,l, so dss x k < y < x k+, und es gilt (x k+ x k ) inf f(x) xk x x k+ (IX.9) ( x k+ y ) inf f(x) x k x x k+ +(y xk ) inf f(x) x k x x k+ Dher ist ( x k+ y ) inf f(x) y x xk+ +(y xk ) inf f(x) xk x y. I(f,P y) I(f,P) (y x k ) inf f(x) xk x y +(x k y) inf f(x) y x xk+ ( x k+ x k ) inf f(x) xk x x k+. (IX.) Für P \P y,y 2,...,y M erhlten wir lso in M Schritten ( ) ( ) I(f;P) I f;p y I f;p y,y 2 ( )... I f;p y,y 2,...,y M I(f,P ). (IX.) 97

IX.. PARTITIONEN, OBER- UND UNTERSUMMEN KAPITEL IX. INTEGRATION Lemm IX.4. Seien,b R, < b, und f : [,b] R beschränkt. Dnn ist f(x)dx f(x)dx. (IX.2) Beweis. Nch Lemm IX.3 gilt für je zwei Prtitionen P,P P[,b] von [,b], dss I(f;P) I(f;P P ) I(f;P P ) I(f;P ). (IX.3) D P eine beliebige Prtition ist, folgt drus uch P : I(f;P) inf I(f;P ) P P[,b], (IX.4) lso sup I(f,P) inf I(f,P ). (IX.5) P P[,b] P P[,b] Definition IX.5. Seien,b R mit < b. Eine beschränkte Funktion f : [,b] R heißt Riemnn-integrierbr uf [, b]: f(x)dx : f(x)dx f(x)dx. (IX.6) In diesem Fll schreiben wir f R[,b] und f(x)dx heißt (Riemnn-)Integrl von f von nch b. Lemm IX.6. Seien,b R, < b und f : [,b] R beschränkt. Dnn gilt folgende Äquivlenz: [ ] [ ] f R[,b] ε > P P[,b] : I(f;P) I(f;P) ε. (IX.7) Stz IX.7. Seien,b,α R, < b und f,g R[,b]. (i) Dnn ist (f +αg) R[,b], und es gilt ( f +αg ) (x)dx f(x)dx + α g(x) dx. (IX.8) (ii) Ist f(x) g(x), für lle x [,b], so gilt f(x)dx g(x) dx. (IX.9) (iii) Mit f R[,b] ist uch f R[,b], und es gilt f(x)dx f(x) dx. (IX.2) 98

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.2. RIEMANN-INTEGRIERBARE FUNKTIONEN IX.2 Riemnn-integrierbre Funktionen In diesem Abschnitt wollen wir eine (möglichst große) Fmilie Riemnn-integrierbrer Funktionen identifizieren. Dfür stellen wir zunächst fest, dss stetige Funktionen uf [, b] Riemnnintegrierbr sind. Stz IX.8. Seien,b R, < b und f : [,b] R stetig uf [,b]. Dnn ist f R[,b]. Beweis. D [,b] kompkt ist, nimmt nch Korollr VII. f uf [,b] ein Minimum und Mximum n. Mit M : mx supf([,b]), inff([,b]) < gilt lso x [,b] : f(x) [ M,M], (IX.2) und f ist beschränkt. Außerdem ist f sogr gleichmäßig stetig uf [, b], ds heißt, zu jedem ε > gibt es ein δ >, so dss x,x [,b], x x δ : f(x) f(x ) ε. (IX.22) Sei nun ǫ >. Dnn existiert δ > wie oben und ohne Einschränkung nehmen wir δ b. Dnn setzen wir :, x : +δ, x 2 : +2δ,...,x L : +Lδ, x L+ : b, (IX.23) wobei L N so gewählt wird, dss +Lδ < b +(L+)δ. (IX.24) Weiterhin ist f : I k : [x k,x k+ ] R stetig, für jedes k,,2,...,l, und us der Kompktheit von I k folgt die Existenz von x min k,x mx k I k, sodss Dnn ist x min k f(x min k ) inf x I k f(x), x mx k δ und nch (IX.22) f(x mx k ) sup x I k f(x). supf(x) inf f(x) f(x mx k ) f(x min k ) ε. x I k x I k Definieren wir durch P : x,x 2,...,x L P[,b] eine Prtition, so erhlten wir dmit (IX.25) (IX.26) Also ist I(f;P) I(f;P) (x k+ x k ) (sup f(x) inf f(x) ) x I k x I k ε ε (x k+ x k ) ε (b ). (IX.27) f(x)dx f(x)dx I(f;P) I(f;P) ε (b ), (IX.28) und dies gilt für jedes ε >. Es folgt lso f(x)dx f(x)dx. 99

IX.2. RIEMANN-INTEGRIERBARE FUNKTIONEN KAPITEL IX. INTEGRATION Weiterhin beobchten wir, dss ein Ausreißer ls Funktionswert ds Integrl nicht verändert. Stz IX.9. Seien,b,c R, < c < b und f R[,b]. Dnn ist f R[,c] R[c,b], und es gilt f(x)dx c f(x)dx+ c f(x)dx. Sind umgekehrt f c R[,c] und f cb R[c,b], dnn ist mit f c (x) für x [,c), f(x) : beliebig, R für x c, f cb (x) für x (c,b] (IX.29) (IX.3) uch f R[,b] und es gilt f(x)dx c f c (x)dx+ c f cb (x)dx. (IX.3) Aus den Sätzen IX.8 und IX.9 ergibt sich durch eine einfche Induktion sofort folgendes Korollr. Korollr IX.. Seien,,..., M R, j < j+, und f : [, M ] R stückweise stetig, d.h. f ist stetig uf ( j, j+ ) und die Grenzwerte lim xցj f(x) und lim xրj f(x) exitieren für j,,2,...,m. Dnn ist f R[, M ]. Bemerkungen und Beispiele. Sei ( n ) n eine Abzählung von Q (,). Seien M N und f M : [,],,, flls x,, f M (x) : 2,..., M,, sonst. (IX.32) Mit einer geeigneten Umordnung ist dnn < i < i2 <... < im <, und f M ist stückweise stetig. Nch Korollr IX. ist lso f M R[,] und f M (x)dx. (IX.33) Die Dirichlet-Funktion f : [,] R ist definiert durch f (x) :, flls x Q,, flls x R\Q. (IX.34) Seien P x,x 2,...,x L (,), : < x < x 2 <... < x L < x L+ :, eine Prtition von [,]. Zu jedem k,,...,l gibt es zwei Zhlen, α Q (x k,x k+ ), β (R\Q) (x k,x k+ ). (IX.35)

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.2. RIEMANN-INTEGRIERBARE FUNKTIONEN Dies ht zur Folge, dss inf x I k f (x) f (β), (IX.36) Somit ist, für lle P P[,], lso I(f ;P) I(f ;P) sup x I k f (x) f (α). (x k+ x k ) (x k+ x k ) f (x)dx sup x I k f (x) inf x I k f (x) Die Dirichlet-Funktion ist lso nicht Riemnn-integrierbr. f (x)dx. (IX.37), (IX.38), (IX.39) (IX.4) In der Dirichlet-Funktion mnifestiert sich die Schwäche des Riemnn-Integrlbegriffs. Nicht, dss der Wert des Integrls dieser pthologischen Funktion irgend eine Bedeutung hätte. Vielmehr ist f ls Limes von f M nzusehen: Für festes x [,] betrchten wir die Folge (f M (x)) M in,. (i) Ist x R\Q, dnn ist f M (x) f (x), M N. (ii) Ist umgekehrt x Q, dnn gibt es ein K(x) N, so dss x K(x). Für lle M K(x) ist dnn f M (x) f (x). Zusmmenfssend erhlten wir, dss f M punktweise gegen f konvergiert, d.h. x [,] : lim f M(x) f (x). M (IX.4) Die Folge (f M ) M und ihr Limes f bilden lso ein Gegenbeispiel für die Vermutung, dss [ ] [ ] pktw. f M f f M (x)dx f (x)dx, (IX.42) j sogr, dss lim M [ ] pktw. f M f, f M R[,] [ ] f R[,], (IX.43) d.h. Aussgen (IX.42) und (IX.43) sind i.a. beide flsch! Aus diesem Grund wurden vor über hren die Mßtheorie und ds Lebesgue-Integrl entwickelt eine sehr fruchtbre Entwicklung, wie sich später gezeigt ht.

IX.3. INTEGRATION UND DIFFERENTIATION KAPITEL IX. INTEGRATION Schließlich beobchten wir, dss sich us der Dirichlet-Funktion leicht ein Gegenbeispiel für die Umkehrung von Stz IX.7 (iii) konstruieren lässt: Setzen wir f : f, so ist 2 f R[,] ber f / R[,]. 2 IX.3 Integrtion und Differentition Stz IX.. Seien,b R, < b und f R[,b]. Sei F : [,b] R definiert durch Dnn gelten folgende Aussgen: (i) F ist stetig uf [, b]. x (,b] : F(x) : f(t)dt, F() :. (IX.44) (ii) Ist f stetig in (,b), dnn ist F differenzierbr bei, und es gilt F ( ) f( ). (IX.45) Beweis. Zu (i): Aus der Riemnn-Integrierbrkeit von f folgt uch dessen Beschränktheit, Dmit ist ber nch Stz IX.7 M R + x [,b] : f(x) M. y < x b : F(x) F(y) y f(t)dt M(x y), und F ist (sogr gleichmäßig) stetig uf [,b]. Zu (ii): Sei ε >. D f stetig in (,b) ist, gibt es ein δ >, so dss t [ δ, +δ] : f(t) f( ) ε. (IX.46) (IX.47) (IX.48) Für < x +δ gilt lso nch Stz IX.7 (iii) F(x) F( ) f( ) x F(x) F(x ) (x ) f( ) x x ( ) f(t)dt f( )dt x f(t) f( ) dt x f(t) f( ) dt x ε dt ε. (IX.49) Anlog zu (IX.49) erhält mn dieselbe Ungleichung, flls δ x < und somit insgesmt F(x) F(x ) lim f( ). (IX.5) x x 2

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.3. INTEGRATION UND DIFFERENTIATION Stz IX.2 (Huptstz der Integrl- und Differentilrechnung ). Seien,b R, < b, f R[,b] und F : [,b] R stetig uf [,b], differenzierbr uf (,b) und derrt, dss x (,b) : F (x) f(x). (IX.5) Dnn heißt F Stmmfunktion von f 2, und es gilt f(x)dx F(b) F(). (IX.52) Beweis. Sei P x,...,x L P[,b] eine Prtition mit : < x < x 2 <... < x L < x L+ : b. Nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung, Stz VIII.8, gibt es zu jedem k,,2,...,l ein y k (x k, x k+ ), so dss F(x k+ ) F(x k ) (x k+ x k ) f(y k ). (IX.53) Also ist F(b) F() F(x L+ ) F( ) [F(x L+ ) F(x L )]+[F(x L ) F(x L )]+...+[F(x ) F( )] D F(x k+ ) F(x k ) (x k+ x k ) f(y k ). (IX.54) inf f(x) f(y k ) x k x x k+ sup x k x x k+ f(x), (IX.55) folgt us (IX.54), dss I(f;P) F(b) F() I(f;P). (IX.56) Also ist b f(x)dx sup I(f;P) F(b) F() inf I(f;P) f(x)dx. P P[,b] P P[,b] (IX.57) Bemerkungen und Beispiele. Wir berechnen I 2 x2 dx. Für F,f : R R, mit F(x) : 3 x3 und f(x) : x 2 sind F und f stetig und differenzierbr uf R, deswegen ist uch f R[,2], und weiterhin gilt F f uf R. Dher ist 2 x 2 dx 2 engl.: fundmentl theorem of clculus 2 engl.: integrl of f. f(x)dx F(2) F() 23 3 3 7 3. (IX.58) 3

IX.3. INTEGRATION UND DIFFERENTIATION KAPITEL IX. INTEGRATION Wir berechnen 5 cos(x)dx. Für F,f : R R, mit F(x) : sin(x) und f(x) : cos(x) sind F und f stetig und differenzierbr uf R, deswegen ist uch f R[,5], und es gilt F f uf R. Dher ist 5 cos(x)dx 5 f(x)dx F(5) F() sin(5) sin() sin(5). (IX.59) Stz IX.3 (Prtielle Integrtion). 3 Seien,b R, < b und F,G : [,b] R stetig uf [,b], differenzierbr uf (,b) und F,G R[,b]. Dnn sind F G,G F R[,b], und es gilt F (x)g(x)dx F(b)G(b) F()G() F(x)G (x)dx. (IX.6) Beweis. Mn sieht leicht, dss mit f,g R[,b] uch f g R[,b]. D F und G stetig uf [,b] sind, gilt insbesondere F,G R[,b]. Demnch sind lso uch F G,G F R[,b]. Setzen wir x [,b] : H(x) : F(x) G(x), so folgt (IX.6) direkt us Stz IX.2 und der Produktregel, Stz VIII.4. Bemerkungen und Beispiele. (IX.6) Wir wollen I 2 x2 sin(x)dx mit Hilfe der prtiellen Integrtion berechnen. Dbei stellt sich zunächst die Frge, welche Whl wir für F und G treffen. Definieren wir F (x) : x 2 und G(x) : sin(x), so sind F(x) 3 x3 + C und G (x) cos(x), wobei C R eine frei wählbre Konstnte ist, die wir gleich Null wählen, lso F(x) 3 x3. Dmit sind F,F,G,G lle integrbel uf [,2], und I 2 F (x)g(x)dx [ 3 x3 sin(x) ] 2 3 2 [ ] 2 F(x)G(x) x 3 cos(x)dx, 2 F(x)G (x)dx (IX.62) wobei wir wie üblich [ h(x) ] b : h(b) h() notieren. Nun ist jedoch ds ursprünglich zu berechnende Integrl I in ein komplizierteres umgewndelt worden. Die obige Whl von F und G ist lso offensichtlich ungeeignet. Wir mchen einen zweiten Versuch zur Berechnung von I 2 x2 sin(x)dx mit Hilfe der prtiellen Integrtion. Diesml setzen wir F (x) : sin(x) und G (x) : x 2, sodss F (x) cos(x)+c und G (x) 2x, wobei C R eine frei wählbre Konstnte ist, die wir gleich Null wählen, lso F (x) cos(x). Dmit sind F,F,G,G lle integrbel uf [,2], und 2 [ ] 2 2 I F (x)g (x)dx F (x)g (x) F (x)g (x)dx [ ] 2 2 cos(x)x 2 +2 x cos(x) dx. (IX.63) 3 engl.: integrtion by prts und nicht prtil integrtion 4

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.3. INTEGRATION UND DIFFERENTIATION Der Grd des Monoms ist lso um eins reduziert worden. Wir wenden nochmls prtielle Integrtion n, und zwr mit F 2 (x) : cos(x) und G 2(x) : x, sodss F 2 (x) sin(x) und G 2(x). Dmit wird [ I [ ] 2 x 2 cos(x) +2 ] 2 x 2 cos(x) +2 2 x cos(x)dx [ x sin(x) ] 2 2 2 ] 2 sin(x) dx [ x 2 cos(x)+2x sin(x)+2cos(x) 2cos(2)+4sin(2) cos() 2sin(). (IX.64) Stz IX.4 (Vriblensubstitution). Seien,b R, < b und ϕ : [,b] R, stetig uf [,b], differenzierbr uf (,b) und strikt monoton steigend, ϕ (t) >, t (,b). Sei weiterhin f R[ϕ,ϕ b ], wobei ϕ : ϕ(),ϕ b : ϕ(b). Dnn ist (t (f ϕ)(t) ϕ (t)) R[,b], und es gilt f[ϕ(t)] ϕ (t) dt ϕb ϕ f(s)ds. (IX.65) Beweis. Ht f eine Stmmfunktion F (d.h. es gilt F f), dnn folgt die Aussge direkt us dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung und der Kettenregel. Einerseits gilt nch dem Huptstz ϕb ϕ f(s) ds F(ϕ b ) F(ϕ ) F(ϕ(b)) F(ϕ()). Andererseits ist (F ϕ) (t) F (ϕ(t))ϕ (t) f(ϕ(t))ϕ (t) und dher f[ϕ(t)] ϕ (t) dt (F ϕ) (t) dt (F ϕ)(b) (F ϕ)() F(ϕ(b)) F(ϕ()), ws die Behuptung zeigt. Den usführlichen Beweis im llgemeinen Fll findet mn im Anhng. Bemerkungen und Beispiele. Wir bemerken, dss es einen Stz IX.4 entsprechenden Stz für strikt monoton fllendes ϕ gibt. Merkregel: Substituiere s : ϕ(t) und erweitere mit dt: ϕ(b) ϕ() f(s)ds f[ϕ(t)] dϕ(t) dt dt. (IX.66) Wir bemerken, dss (IX.66) uch im Prinzip für nicht-monotone ϕ : [, b] R gilt. Allerdings sind die Vorussetzungen stärker, und mn muss uf formle Mnipultion chten. 5

IX.4. ABSOLUTE INTEGRABILITÄT UND UNEIGENTLICHE INTEGRALE KAPITEL IX. INTEGRATION Wir berechnen 5 ds. Dzu definieren wir ϕ : ( π/2,π/2) R, ϕ(t) : tn(t) +s 2 und beobchten, dss sin(t) cos(t) ϕ (t) sin2 (t)+cos 2 (t) cos 2 (t) Nch Stz IX.4 ist dmit + sin2 (t) cos 2 (t) +tn2 (t) +ϕ 2 (t). (IX.67) rctn(5) rctn() ϕ (t)dt +ϕ 2 (t) rctn(5) dt rctn(5). (IX.68) IX.4 Absolute Integrbilität und Uneigentliche Integrle In Kpitel VI.2 hben wir gesehen, dss der Begriff der bsoluten Konvergenz von Reihen eine zentrle Bedeutung besitzt; unter nderem wegen des großen Umordnungstzes, Stz VI.7. Wir buen nun nlog den entsprechenden Begriff der bsolut integrierbren Funktionen uf. Dzu verwenden wir folgende Nottion: Sind f : R R eine Funktion und λ >, so definieren wir f λ : [ λ,λ] [ λ,λ] durch f λ (x) : x : f(x) λ (x)f(x) λ x : f(x)< λ (x) + λ x : f(x)>λ (x), (IX.69) d.h. nschulich gesprochen setzen wir einen qudrtischen, um den Ursprung zentrierten Rhmen der Kntenlänge 2λ uf den Grphen von f und schneiden lles ußerhlb des Rhmens b. Anlog zu (IX.8) sieht mn, dss für jedes Intervll [ λ,λ] gilt, worus wiederum sup fλ inf fλ sup f inf f (IX.7) I(f λ ;P) I(f λ ;P) I(f;P) I(f;P) (IX.7) für jede Prtition P P[ λ,λ] folgt. Nch Lemm IX.6 ist lso f λ R[ λ,λ], flls f R[ λ,λ]. Definition IX.5. Eine Funktion f : R R heißt bsolut (Riemnn-)integrbel In diesem Fll heißt : λ > : f λ R[ λ,λ], (IX.72) λ fλ (x) dx <. (IX.73) sup λ> uneigentliches Integrl von f über R. λ λ f(x)dx : lim f λ (x)dx λ λ 6 (IX.74)

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.4. ABSOLUTE INTEGRABILITÄT UND UNEIGENTLICHE INTEGRALE Stz IX.6. Seien f,g : R R bsolut integrbel und α, R Dnn ist uch f +αg bsolut integrbel und es gelten ( ) f +αg (x)dx f(x)dx + α g(x) dx, (IX.75) m m f(x)dx lim lim f(x)dx lim lim f(x)dx, (IX.76) n n m f(x)dx m Bemerkungen und Beispiele. f(x)dx + n Die Abbildungen f,g,h : R R, die durch f(x) : (,)(x) x g(x) : +x h(x) : R\(x) x +x 2 f(x)dx. x, < x <, sonst, n (IX.77) (IX.78) 2, (IX.79) x +x, x, 2, x, (IX.8) gegeben sind, sind lle bsolut integrbel. Für f gilt x, < x <, λ 2 f λ (x) λ, < x, λ 2, sonst. (IX.8) Also ist für λ > λ λ f λ (x)dx /λ 2 λdx+ /λ 2 x dx. (IX.82) Es ist /λ 2 λdx+ /λ 2 dx x λ [ λ + 2 ] x ( 2 /λ 2 λ +2 ) λ 2, (IX.83) im Limes λ. Zur Untersuchung von g bemerken wir, dss g λ (x) +x 2 für λ > und dher λ λ im Limes λ gilt. g λ (x)dx rctn(λ) rctn( λ) π 2 ( π 2 ) π. (IX.84) 7

IX.4. ABSOLUTE INTEGRABILITÄT UND UNEIGENTLICHE INTEGRALE KAPITEL IX. INTEGRATION Für h ist ds Argument etws ufwändiger: Für x < mit x gilt h(x), und x für x gilt h(x) +x 2. Insgesmt ist lso h(x), x,, < x <, x, x. +x 2 (IX.85) Für x < rgumentieren wir wie für f, und für x rgumentieren wir wie bei der Untersuchung von g. Ingesmt sehen wir, dss für λ > λ λ h λ (x) dx λ dx /λ 2 +x + 2 dx dx λ + + x /λ x 2 dx +x2, (IX.86) wobei wir dx : dx schreiben. Aus den vorigen Beispielen wissen wir, dss lle q(x) q(x) vier Integrle für λ > beschränkt sind und dher folgt die bsolute Integrbilität von h. (Bechte: Den Wert des uneigentlichen Integrls h(x)dx hben wir nicht berechnet, ber wir wissen, dss er existiert und eindeutig ist.) Es ist zwr für lle λ > λ λ sin(x) dx, (IX.87) d sin( x) sin(x), und dher ist uch λ lim sin(x) dx, λ λ (IX.88) ber dennoch ist x sin(x) nicht bsolut integrbel, denn für jedes k Z gilt und dher (k+)π kπ sin(x) dx 2 (IX.89) λ λ sin(x) dx 2k, (IX.9) für λ kπ. Also ist λ sup λ> λ sin(x) dx sup λ> 2(λ ) π. (IX.9) m Wir bemerken, dss in diesem Fll uch die beiden Grenzwerte lim n sin(x)dx und n m lim m sin(x)dx nicht existieren. n 8

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.5. ERGÄNZUNGEN IX.5 Ergänzungen IX.5. Beweis von Lemm IX.6 Beweis. : Gemäß der rechten Seite in (IX.7) gilt für jedes ε >. Also muss f(x)dx f(x)dx I(f;P) I(f;P) ε, (IX.92) f(x)dx f(x) dx (IX.93) und somit f R[,b] sein. : Nch Definition von Infimum und Supremum gibt es zu jedem ε > zwei Prtitionen P,P P[,b] von [,b], so dss I(f;P ) I(f;P ) f(x)dx ε 2, f(x)dx+ ε 2. D f R[,b], gilt lso für die Prtition P : P P von [,b], dss I(f;P) I(f;P) I(f;P ) I(f;P ) (IX.94) (IX.95) ( f(x)dx+ ε ) ( f(x)dx ε ε. (IX.96) 2 2) IX.5.2 Monotonie und Linerität des Integrls Beweis von Stz IX.7. Seien c,d [,b] mit c < d, sodss : [c,d] [,b] ein Teilintervll von [,b] ist. Wir beobchten zunächst, dss für je zwei beschränkte Funktionen f,f 2 : [,b] R sup f +f 2 supf +supf 2, (IX.97) inf f +f 2 inf f +inf f 2 (IX.98) gilt, wobei wir hier und im Weiteren sup f : sup x f(x) schreiben. Für jede Prtition P P[,b] erhlten wir drus I(f +f 2 ; P) I(f ; P)+I(f 2 ; P), I(f +f 2 ; P) I(f ; P)+I(f 2 ; P). (IX.99) (IX.) 9

IX.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL IX. INTEGRATION Zu (i): Wegen I( g,p) I(g,P) ist mit g R[,b] uch g R[,b], und es gilt Dher reicht es, (IX.8) für α > zu zeigen. Sind nun P,P P[,b] so, dss I(f,P ) f(x)dx + ε 2 g(x)dx g(x) dx. und I(g,P ) g(x)dx + ε 2(α+), so setzen wir P : P P. Lemm IX.3 und (IX.97) implizieren nun, dss I(f +αg; P) I(f; P)+I(αg; P) I(f; P)+αI(g; P) (IX.) (IX.2) (IX.3) Mit ε folgt I(f; P )+αi(g; P ) f(x)dx + g(x)dx + ε. Anlog erhält mn f(x)+αg(x)dx f(x)+αg(x)dx f(x)dx + α g(x) dx. f(x)dx + α g(x) dx, (IX.4) (IX.5) und somit (i). Zu (ii) Glg. (IX.9) ergibt sich us (IX.8) und der Ttsche, dss offensichtlich, für h R[,b] mit h(x), für x [,b], uch h(x) dx, d I(h;P), für lle P P[,b]. Mit (IX.8) und (IX.6) erhlten wir nämlich (IX.6) g(x)dx f(x)dx (g f)(x)dx. (IX.7) Zu (iii) Sei : [c,d] [,b] ein Teilintervll von [,b] wie oben. Wir zeigen zunächst, dss sup f inf f sup f inf f (IX.8) gilt. Für f und somit f f uf ist dies offensichtlich, ebenso für f, d.h. f f uf. Sind hingegen inf f < < sup f, so folgt mit f ± : ±f [±f > ] und f f + f und f f + +f, (IX.9)

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.5. ERGÄNZUNGEN dss sup f sup f +, inf f sup f und deshlb sup f inf f sup sup f+ + sup f sup f+ +f sup f f inf f. (IX.) Somit gilt (IX.8) llgemein für lle f R[, b]. Aus (IX.8) folgt jedoch unmittelbr für jede Prtition P P[,b], dss I( f ;P) I( f ;P) I(f;P) I(f;P), (IX.) und Lemm IX.6 impliziert sofort, dss uch f R[,b]. Die Ungleichung (IX.2) ist nun eine unmittelbre Konsequenz us (ii) und f ±f. IX.5.3 Beweis von Stz IX.9 Beweis von Stz IX.9. Für den Beweis führen wir etws neue Nottion ein. Ist P P[,b] eine Prtition, P x,...,x L (,b), : < x,x 2,... < x L < x L+ : b, und ist f : [,b] R beschränkt, so schreiben wir I b (f;p) : (x j+ x j ) sup f(x), x j x x j+ j I b (f;p) : (x j+ x j ) inf f(x). x j x x j+ j (IX.2) (IX.3) Seien ε > und P P[,b] eine Prtition derrt, dss I b (f;p) I b (f;p) ε. (IX.4) Dnn ist P (,c) P[,c] eine Prtition von [,c], und es gilt [ ] [ ] I c f;p (,c) I c f;p (,c) [ ] [ ] [ ] [ ] I c f;p (,c) I c f;p (,c) +I b c f;p (c,b) I b c f;p (c,b) [ ] [ ] I b f;p c I b f;p c wobei wir I b (f;p) I b (f;p) ε, [ ] [ ] [ ] I b f;p c I c f;p (,c) + I b c f;p (c,b) (IX.5) (IX.6)

IX.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL IX. INTEGRATION benutzen. Aus (IX.5) folgt ber nch Definition IX.5, dss f R[, c]. Anlog zeigt mn, dss f R[c,b]. Aus (IX.6) erhlten wir ußerdem, dss f(x)dx inf I b (f;p) inf I b (f;p c) P P[,b] P P[,b] inf P P[,b] inf P P[,c] c I c (f;p (,c)) + I b c (f;p (c,b)) I c (f;p) + inf I b c (f;p) P P[c,b] f(x)dx+ c f(x)dx, (IX.7) und nlog zeigt mn die Gleichheit der Unterintegrle. Für den Beweis von (IX.3) bemerken wir zunächst, dss mit f c,f cb und f(c) R uch die Funktion f : [,b] R in (IX.3) beschränkt ist, lso f(x) M, für ein gewisses M < und lle x [,b] gilt. Seien ε > und P P[,c], P P[c,b] so, dss I c (f c,p ) I b c (f cb,p ) Wählen wir nun δ > so klein, dss c c f c (x)dx ε 4, f cb (x)dx ε 4. P (,c δ) P (c+δ,b), (IX.8) (IX.9) (IX.2) so folgt mit (IX.7) und P : P c δ,c+δ P, (IX.2) dss I b c δ (f;p) I (f;p ) + I c+δ c δ (f; ) + I b c+δ (f;p ) I c δ (f c ;P ) + I c+δ c δ (f; ) + I b c+δ (f cb;p ) I c (f c;p ) + 6δM + I b (f cb;p ) c f c (x)dx + c f cb (x)dx + ε 2 + 6δM. (IX.22) Wählen wir nun δ ε/2m, so folgt us (IX.22), dss c f(x)dx I b (f;p) f c (x)dx + c f cb (x)dx+ε, (IX.23) 2

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.5. ERGÄNZUNGEN für jedes ε >. Also ist f(x)dx c f c (x)dx + c f cb (x)dx. (IX.24) Genuso zeigt mn, dss f(x)dx c f c (x)dx + c f cb (x)dx, (IX.25) und drus folgt die Behuptung, denn ds Unterintegrl ist stets kleiner ls ds Oberintegrl. IX.5.4 Vriblensubstitution Beweis von Stz IX.4 Beweis. (i): Wir nehmen zunächst n, f wäre konstnt uf [ϕ,ϕ b ], lso ϕ s ϕ b : f(s) λ, (IX.26) für eine geeignete Konstnte λ R. Dnn ist die Behuptung sicher richtig, denn nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung gilt f[ϕ(t)]ϕ (t)dt λ ϕ (t)dt λ[ϕ(b) ϕ()] λ ϕb ϕ ds λ ϕb ϕ f(s)ds. (IX.27) (ii): Als Nächstes beobchten wir, dss sich diese Aussge nch Korollr IX. uf stückweise konstnte Funktionen überträgt. Sind nämlich P y,y 2,...,y L P[ϕ,ϕ b ], mit y : ϕ() < y < y 2 <... < y L+ : ϕ(b), und f(s) : λk, flls s (y k,y k+ ), µ k, flls s y k, (IX.28) mit λ,λ 2,...,λ L, µ,µ,...,µ L+ R, so gilt nch (IX.27)) f[ϕ(t)]ϕ (t)dt ϕ (y k+ ) λ k ϕ (t)dt ϕ (y k ) λ k [ϕ ( ϕ (y k+ ) ) ϕ ( ϕ (y k ) )] yk+ y k f(s)ds ϕb ϕ f(s)ds. λ k (y k+ y k ) (IX.29) (iii): Seien nun f R[ϕ,ϕ b ] ohne weitere Zustznnhmen, ε > und P P[ϕ,ϕ b ], mit P y,...,y L so, dss y : ϕ < y < y 2 <... < y L < y L+ ϕ b und I ϕ b ϕ (f;p) I ϕ b ϕ (f;p) ε. (IX.3) 3

IX.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL IX. INTEGRATION Wir definieren nun f gr,f kl R[,b] durch λ : λ L+ :, λ : λ L+ :, f gr (s) : λk : sup yk s y k+ f(s), flls s (y k,y k+ ) mx λ k, λ k, flls s y k, (IX.3) und f kl (s) : λk : inf yk s y k+ f(s), flls s (y k,y k+ ) min λ k, λ k, flls s y k, (IX.32) Dmit sind s [ϕ,ϕ ] : f kl (s) f(s) f gr (s). (IX.33) Außerdem sind I ϕ b ϕ (f;p) I ϕ b ϕ (f gr ;P) (IX.34) ϕb ϕ f gr (s)ds f gr (ϕ(t))ϕ (t)dt f(ϕ(t))ϕ (t)dt und nlog Also ist I ϕ b ϕ (f;p) I ϕ b ϕ (f kl ;P) ϕb ϕ f kl (s)ds ( fkl ϕ ) (t)ϕ (t)dt f(ϕ(t))ϕ (t)dt. (IX.35) und genuso f(ϕ(t))ϕ (t)dt I ϕ b ϕ (f;p) I ϕ b ϕ (f;p)+ε ϕb ϕ f(s)ds+ε (IX.36) f(ϕ(t))ϕ (t)dt I ϕ b ϕ (f;p) I ϕ b ϕ (f;p) ε für jedes ε >. Mit ε erhlten wir lso ϕb ϕ f(s)ds ε, (IX.37) ϕb ϕ f(s)ds f(ϕ(t))ϕ (t)dt f(ϕ(t))ϕ (t)dt ϕb ϕ f(s)ds, (IX.38) ws die Behuptung ergibt. 4

KAPITEL IX. INTEGRATION IX.5. ERGÄNZUNGEN IX.5.5 Der Stz von Tylor mit Integrlrestglied Wir geben noch eine Formulierung des Stzes von Tylor, in der ds Tylorsche Restglied R n+ [f, ;x] us Stz VIII.2 durch ds Tylorsche Integrlrestglied R n+ [f, ;x] ersetzt wird. Dies ht den Vorteil, dss R n+ [f, ;x] genu qunitifiziert ist, während bei R n+ [f, ;x] (x ) n+ (n+)! f (n+) (x ) die durch Anwendung des Mittelwertstzes resultierende Zwischenstelle x unbestimmt bleibt. Allerdings sind in Stz IX.7 die Vorussetzungen etws stärker ls in Stz VIII.2, denn zusätzlich zur (n+)-mligen Differenzierbrkeit von f wird die Stetigkeit der(n+). Ableitung f (n+) gefordert. Stz IX.7 (Tylor). Seien,b, R, < < b,n N und f : (,b) R uf (,b) (n+)-ml differenzierbr und f (n+) stetig uf (,b). Dnn ist, für lle x (,b) f(x) T n [f, ;x] + R n+ [f, ;x] (IX.39) n f (k) ( ) (x ) k + k! n+ [f, ;x], (IX.4) wobei ds Tylorsche Integrlrestglied (n + ). Ordnung durch R n+ [f, ;x] : (x t) n n! f (n+) (t)dt, flls x, bzw. (IX.4) R n+ [f, ;x] : x (t x) n n! f (n+) (t)dt, flls x <, (IX.42) gegeben ist. Beweis. Wir beweisen durch Induktion, dss für lle m,,2,...,n f(x) m f (k) ( ) k! (x ) k + R m+ (x), (IX.43) gilt, wobei wir der Einfchheit hlber x > nnehmen wollen. (Der Fll x < ist nlog, und x ist trivil.) Für m ergibt sich (IX.43) us dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, f(x) f( )+f(x) f( ) f( )+ f (t)dt f( )+ R (x). (IX.44) 5

IX.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL IX. INTEGRATION Gilt nun (IX.43) für m m,,2,...,n, so erhlten wir f(x) m f (k) ( ) (x ) k k! ( f(x) m f (k) ( ) k! (x ) k ) f(m) ( ) m! (x ) m R m (x) f(m) ( ) (x ) m m! x (x t) m ( f (m) (t) f (m) ( ) ) dt, (IX.45) (m )! d (x t) m dt (x ) m ist. Durch bermlige Anwendung des Huptstzes der Differentilund Integrlrechnung erhlten wir lso, m dss f(x) Setzen wir nun m f (k) ( ) (x ) k k! (x t) m (m )! ( t ) f (m+) (s)ds dt. (IX.46) F(t) : t f (m+) (s)ds und G(t) : (x t)m m!, (IX.47) so folgt dss F (t) f (m+) (t) und G (t) (x t)m (m )!, und erhlten wir durch prtielle Integrtion, dss (x t) m (m )! ( t ) f (m+) (s)ds dt F(x)G(x) F(x ) G(x ) f (m+) (t) (x t)m m! dt. F(t)G (t)dt F (t)g(t)dt (IX.48) (IX.49) 6