Vorbemerkung Dies ist ein bgegebener Übungszettel us dem Modul physik411. Dieser Übungszettel wurde nicht korrigiert. Es hndelt sich lediglich um meine Abgbe und keine Musterlösung. Alle Übungszettel zu diesem Modul können uf http://mrtin-ueding.de/de/university/bsc_physics/physik411/ gefunden werden. Sofern im Dokuments nichts nderes ngegeben ist: Dieses Werk von Mrtin Ueding ist lizenziert unter einer Cretive Commons Nmensnennung - Weitergbe unter gleichen Bedingungen 4.0 Interntionl Lizenz. [disclimer]
Gruppe Mrtin Ueding mu@uni-bonn.de 014-07-07 Symbolerklärung: Nbl, Lplce, d Almbert, Delt und, Vektor v, Tensor T. Aufgbe 1 3 4 5 Punkte xxxxx/ 8 xxxxx/ 1 xxxxx/ 5 xxxxx/ 9 xxxxx/ 9 xxxxx/ 43 1. Moleküle zählen 1. Wssergls 1 mol Wsser wiegt 18 g. Dort drin sind 6,0 10 3 Moleküle enthlten. Ds Volumen ist 18 ml. Im gnzen Gls sind lso 6,69 10 4 Moleküle enthlten. D 0, l nur eine signifiknte Stelle ht, ist meine Antwort 7 10 4 Moleküle. 1b. Mrkierung Zuerst schätze ich b, welche Wssermenge der Plnet ht. Dzu nehme ich n, dss, wenn mn die Meere gleichmäßig verteilt, sie eine Tiefe von vielleicht 1000 m hben. Ds Volumen ist dnn: V = 4πR E 1000 m = 5,15 1017 m 3 Geteilt durch die 18 ml/mol = 1,8 10 5 m 3 /mol erhlte ich eine Stoffmenge von,86 10 mol, ws 1,7 10 46 Teilchen entspricht. Im Meer ist jetzt ein Anteil von 3,89 10 Mrkiert. Wenn ich jetzt wieder 6,69 10 4 Moleküle uswähle, dnn ist der Erwrtungswert 600 mrkierte Moleküle im Gls. 1
. Flugzeit-Mssenspektrometer. Flugzeit-Mssenspektrometer. Skizze 10 mm 1 m NO Detektor Kondenstorpltten b. Flugzeit für 14 N 16 O Die Msse des Isotops ist 30 u = 4,98 10 6 kg. Ds Ion legt eine Potentildifferenz von 500 V zurück (mittig im Kondenstor), es bekommt lso 500 ev = 8,05 10 17 J Energie. Mit E kin = mv / erhlte ich eine Geschwindigkeit von v = 56 800 m/s. D die Ruhemsse im Bereich von MeV liegt, drf ich n dieser Stelle klssisch rechnen. Mit dieser Geschwindigkeit v legen die Ionen die Strecke von L = 1 m in t = 1,76 10 5 s zurück. Dbei hbe ich die Beschleunigungszeit nicht berücksichtigt. Ds Ion beschleunigt innerhlb von d/ = 5 mm uf die Geschwindigkeit v. Mit v = d/ erhlte ich eine Beschleunigung von = 3,3 10 11 m/s. Die Zeit, um diese Strecke zurück zu legen erhlte ich mit d/ = t /: t = 1,76 10 7 s. Der reltive Fehler ist lso 0,01. c. Flugzeitverbreiterung Für die Flugzeitverbreiterung betrchte ich zwei Ionen, die n beiden Enden des Wechselwirkungsgebietes gestrtet sind. Die Ionen bekommen nun ls Energie: E ± = d ± x eu 0 d Diese Energien sind: E + = 8,13 10 17 J, E = 7,96 10 17 J Mit den eben benutzten Formeln errechne ich die Flugzeit für beide Ionen us: t + = 1,750 56 10 5 s, t = 1,768 15 10 5 s Die Zeituflösung ist lso mximl 1,759 10 7 s, wenn die endliche Größe des Wechselwirkungsgebietes berücksichtigt wird. Nun berechne ich die Flugzeit für die verschiedenen Isotope, wenn sie us der Mitte des Kondenstors strten: Mrtin Ueding Seite / 8 Gruppe
3. Mittlere freie Weglänge Isotop Msse / u Flugzeit t / s 14 N 16 O 30 1,759 9 10 5 15 N 16 O 31 1,788 37 10 5 14 N 18 O 3 1,816 89 10 5 Die Werte unterschieden sich mehr ls 10 7 s, so dss eine Unterscheidung möglich ist, wenn uch knpp. 3. Mittlere freie Weglänge 3. Zimmerumgebung Gesucht ist die mittlere freie Weglänge l. Dzu stelle ich die Gsgleichung um: pv = N k B T p = nk B T n = p k B T Die mittlere freie Weglänge l ist: l = 1 nσ l = k BT pσ = l = 1,00 10 7 m Die Teilchendichte ist n =,50 10 5 m 3. Der mittlere Abstnd zwischen den Teilchen ist dnn: = 3 1 n = 3,4 10 9 m Dieser Abstnd ist um zwei Größenordnungen kleiner ls die mittlere freie Weglänge. Dies liegt drn, dss der Wirkungsquerschnitt bei diesem Abstnd einen kleinen Rumwinkel einnimmt. 3b. Evkuieren Die gesuchte Teilchendichte ist n = 1/lσ. Nch der Gsgleichung ist dies uch gleich p/k B T. Nch p ufgelöst: p = k BT lσ = 10 mp Mrtin Ueding Seite 3 / 8 Gruppe
4. De Broglie-Wellenlängen 4. De Broglie-Wellenlängen 4. Energie 10 ev Die Energie-Impuls-Reltion besgt mit Gesmtenergie E, Ruheenergie E 0 und Impuls p: E = E 0 + (cp). Die de Broglie-Wellenlänge eines Teilchens ist λ = h/p. Dmit errechne ich: λ = ch E0 + E E 0 Dort setze ich E = 10 ev und E 0 = 511 kev ein und erhlte λ = 3,86 10 10 m. 4b. Energie 0 kev Gleiche Rechnung, nur mit nderer E = 0 kev. Ds Ergebnis ist λ = 8,56 m. 4c. α-teilchen Die Ruhemsse eines α-teilchens ist m α = c 377 MeV. Ich bestimme die Geschwindigkeit mit der reltivistischen Formel: v = 1,70 10 7 m/s 4d. Stickstoffmolekül bei Zimmertempertur Die Msse von 14 N ist 8 u. Bei Zimmertempertur T = 90 K ist die kinetische Energie pro Freiheitsgrd E = kt/. Die mittlere Geschwindigkeit ist somit: v = E kt m = = 93 m/s m Der Impuls ist p = 1,37 10 3 kg m/s, die de Broglie-Wellenlänge dzu ist λ = 4,84 10 11 m. Der Ablenkwinkel α für ds erste Mximum ist mit der Formel us der Optik: sin (α) = λ = α = 484 µrd 4e. Schnecke Ds Gewicht einer Schnecke ist vielleicht m = 30 g. Die Kriechgeschwindigkeit ist vielleicht v = 1 mm/s. Dnn ist der Impuls p = mv = 3,0 10 5 kg m/s. Der Streuwinkel m Gitter mit = 10 cm ist α =,1 10 8 rd, lso nicht zu beobchten. Mrtin Ueding Seite 4 / 8 Gruppe
Dmit es ber überhupt wirklich zur Interferenz kommen knn, drf der Ort der Schnecke nicht mehr gemessen werden, bis sie durch den Grtenzun ist. Dies ist llerdings schwer möglich, d sie den Boden (der sie misst) zur Fortbewegung brucht. Ohne Luft und Licht ht es die Schnecke noch schwerer. 4f. Photon Die Energie des Photons ist E = ch/λ. Sein Impuls ist p = h/λ. Die de Broglie-Wellenlänge λ db ist dnn λ. Ich beginne mit der gegebenen Schrödingergleichung. i ψ(x, t t) = ψ(x, t) i ψ(x, ˆp ψ(x, t t) = m + U(x) t) Der Impulsopertor ˆp ist nch dem, ws ich in [?, Seite 496] gelesen hbe, ˆp = i x und nicht proportionl zu t. So knn ich die Schrödingergleichung schreiben ls: ψ(x, i ψ(x, t t) = m x + U(x) t) Ds Potentil U(x) ist innerhlb des kompkten Intervlls identisch null, so dss ich diesen Summnden weglssen knn, wenn ich ds Problem nur uf diesem Intervll betrchte. i t ψ(x, t) = m x i ψ(x, t t) = m x ψ(x, t) ψ(x, t) x, x, Diese prbolische prtielle Differentilgleichung uf einem kompkten Intervll löse ich mit einem Seprtionsnstz. Mein Anstz ist: ψ(x, t) = φ(x)θ(t). Dmit wird die Gleichung zu: iφ(x) θ(t) = m φ (x)θ(t) i θ θ = φ m φ = α Die Integrlbsis für φ besteht us folgenden Elementen: cos αx, sin αx m m x, x, Mrtin Ueding Seite 5 / 8 Gruppe
Die Integrlbsis für θ dgegen ist: exp iα Ds Teilchen drf sich ußerhlb des Intervlls nicht ufhlten, d es dfür dnn eine unendliche Energie bräuchte. Dher muss die Wellenfunktion dort null sein. Wegen der geforderten Stetigkeit von ψ muss n den Rndpunkten ψ ±/ = 0 gelten. Mit dieser Rndbedingung knn ich nun α näher bestimmen. Es muss für den Kosinus gelten: α m = n + 1 π α = (n + 1)π m Für den Sinus: α m = nπ α = nπ m Somit wird die Integrlbsis für φ zu: (n + 1)π nπ cos x, sin x, Ds α für den Kosinus eingesetzt in die Integrlbsis für θ liefert: exp i (n + 1) π m t Für den Sinus geht dies nlog. 5. Mögliche Impulse Die Wellenzhlen k, die die Welle nnehmen drf sind dnn nπ/. Je nch dem, ob es eine Sinus- oder Kosinuswelle ist, muss n gerde beziehungsweise ungerde sein. 5b. Energie der Welle Die Energie E ist ein Eigenwert des Energieopertors i t. Ich nehme mir den entsprechenden Teil us der Schrödingergleichung: E ψ = i t ψ E i t ψ = 0 E i t cos(kx) exp i (n + 1) π m t = 0 Mrtin Ueding Seite 6 / 8 Gruppe
Beim Ableiten nch der Zeit t erhlte ich die innere Ableitung der Exponentilfunktion. Multipliziert mit dem Vorfktor erhlte ich: E = (n + 1) π m Von den Einheiten: kg m J s = kg m N m s = kg m 3 N s = kg s m 3 kg m s = D stimmt lso etws nicht, es sollte N m heruskommen. s m 4 Jedenflls lässt sich diese Rechnung noch für den Sinus wiederholen, die Energie ist dnn für Buchzhl n: E = n π m 5c. Normierung Die Normierung verlngt, dss gilt: / dx φ(x, t) φ(x, t) = 1 / Abbildung 1: Bild us [?] Ds Argument der Exponentilfunktion in ψ ist rein imginär, so dss der Betrg gerde 1 ist. Diese knn ich hier weglssen. / dx ψ 0 cos (kx) = 1 / Mrtin Ueding Seite 7 / 8 Gruppe
Ich wende die Potenzformel für den Kosinus n. ψ 0 ψ 0 ψ 0 / dx ψ 1 + cos (kx) 0 = 1 / + 1 / k sin(kx) = 1 + 1 nπ k sin x / / / + (n + 1)π ( + 1)nπ sin ψ 0 + ( + 1)nπ = 1 = 1 = 1 ψ 0 = + 1/ ( + 1)nπ Somit ist die, für den Kosinus normierte, Wellenfunktion: ψ(x, t) = β n + n 1/ (n + 1)π cos x exp ( + 1)nπ i (n + 1) π m t Anlog knn eine weitere Wellenfunktion mit dem Sinus ufgestellt werden. Zusmmen sind sie dnn eine Fourierreihe der llgemeinen Lösung, die von den Anfngsbedingungen bhängt. Mrtin Ueding Seite 8 / 8 Gruppe