Kpitel 3 Kurven und Bogenlänge 3.1 Motivtion Der Begriff der Kurve in der Ebene oder im Rum spielt in den Nturwissenschften, insbesondere der Physik, Technik (Robotik) und der Informtik (Computergrphik) eine trgende Rolle. Neben der Berechnung von Flächen und Volumin ist die Definition / Ermittlung der Länge von Kurven eine weitere wichtige Anwendung der Integrlrechnung. 3. Definition: (Prmetrisierte Kurve) Eine (prmetrisierte) Kurve im R n ist eine Abbildung c : [, b] R n t (x 1 (t),..., x n (t)) T : x 1 (t). x n (t) deren Komponentenfunktionen x 1,..., x n : [, b] R stetig sind. c heißt differenzierbr (stetig differenzierbr, C 1 -Kurve), wenn lle x i differenzierbr (stetig differenzierbr) sind. Mn definiert, ċ(t) : ( dx1 dt (t),..., dx ) T n dt (t). Ds Bild c([, b]) heißt Spur von c. Bewegung eines Punktes im Rum, c(t) ls Ort des Punktes zur Zeit t. 37
3.3 Beispiele () Ellipse mit Huptchsen und b: x(t) cos t y(t) b sin t Aus cos t + sin t 1 folgt die Spurgleichung x + y b 1. (b) (c) Zykloide Kurve eines Rndpunktes eines Kreises, der uf einer Gerden brollt. x(t) t sin(t) y(t) 1 cos(t) ( ) ( ) x(t) t Überlgerung des Mittelpunktsbewegung ( ) ( y(t) ) 1 x(t) sin(t) und einer Kreisbewegung im Uhrzeigensinn. y(t) cos(t) Schrubenlinie c(t) (r cos t, r sin t, h t) T, t R. Überlgerung einer Kreisbewegung mit Rdius r in der x y Ebene und einer lineren Bewegung in z-richtung. 3.4 Definition: (Prmeterwechsel, Umprmetrisierung) Ist c : [, b] R n eine Kurve und h : [α, β] [, b] eine stetige, bijektive und monoton wchsende Abbildung, so ht die neue Kurve c(τ) : c(h(τ)), τ [, b] die selbe Spur und den selben Durchlufsinn von c. Mn nennt t h(τ) einen Prmeterwechsel (oder Umprmetrisierung). Kurven, die durch einen Prmeterwechsel useinnder hervorgehen, werden ls gleich ngesehen. Ist c stetig differenzierbr, so werden nur stetig differenzierbre Funktionen h : [α, β] [, b] mit h (τ) > ls Prmeterwechsel zugelssen (C 1 -Prmeterwechsel). 38
3.5 Bemerkung: Verschiedene Kurvenprmetrisierungen können zur selben Spur führen: c 1 (t) : (cos t, sin t), t [, π] und c (t) : (cos t, sin t), t [, π] hben den Einheitskreis ls Spur, unterscheiden sich ber im Durchlufsinn. Bogenlänge einer Kurve wichtige Anwendung der Integrlrechnung uf Kurven. Motivierendes Beispiel: (Kreisumfng) Approximiere Kreis durch einbeschriebene regelmäßige n -Ecke (n ). Ihre Umfänge S n wchsen monoton in n und sind z.b. durch den Umfng eines umbeschriebenen Qudrts nch oben beschränkt. Somit existiert sup(s n ). n Es definiert den Kreisumfng. Allgemein: 39
Approximiere die Kurve c(t) durch einen Polygonzug. Für eine Zerlegung Z { t < t 1 <... < t m b} von [, b] ist seine Länge gegeben durch L(Z) Dbei bezeichnet (x 1,..., x n ) T : n (x 1,..., x n ) T. c(t i+1 ) c(t i ). x i die euklidische Norm eines Vektors 3.6 Definition: (Länge, Rektifizierbrkeit einer Kurve) Es bezeichne Z[, b] die Menge ller Zerlegungen von Z[, b]. Ist die Menge {L(Z) Z Z[, b]} nch oben beschränkt, so heißt die Kurve c rektifizierbr, und heißt die Länge der Kurve c. L(c) : sup{l(z) Z Z[, b]} 3.7 Stz: Jede C 1 -Kurve c : [, b] R n ist rektifizierbr, und es gilt Beweis: Für eine Zerlegung Z gilt: L(c) : b ċ(t) dt. L(Z) c(t i+1 ) c(t i ) n (x k (t i+1 ) x k (t i )) Def. der euklid. Norm k1 n (ẋ k (τ ki )) (t i+1 t i ) Mittelwertstz k1 4
mit τ ki [t i, t i+1 ]. Für die zu Z gehörende Rechtecksumme R(Z) von R(Z) b n (ẋ k (t i )) (t i+1 t i ) k1 ċ(t) dt gilt: Zur Abschätzung von L(Z) R(Z) verwenden wir die gleichmäßige Stetigkeit der ẋ k (t) uf dem Kompktum [, b]: ɛ > δ > : t t < δ ẋ k ( t) ẋ k (t) < ɛ, k 1,..., n. Gilt nun für gegebenes ɛ >, dss die Feinheit Z der Zerlegung Z < δ erfüllt, so folgt dmit L(Z) R(Z) n (ẋ k (τ ki )) n (ẋ k (t i )) (t i+1 t i ) k1 k1 Ungl. n (ẋ k (τ ki )) n (ẋ k (t i )) k1 k1 (t i+1 t i ) n (ẋ k (τ ki ) ẋ k (t i )) (t i+1 t i ) ( ) ( ) k1 denn mn zeigt für die eukl. Norm: b b ) n (t i+1 t i ) k1 ɛ }{{} n ɛ n ɛ(b ) für ɛ. 3.8 Beispiel: ( x(t) Kreisumfng: c(t) y(t) ) ( r cos t r sin t ), t [, π] L(c) ċ(t) ċ(t) L(c) π ċ(t) dt ( ) ( ) ẋ(t) r sin t ẏ(t) r cos t r sin t + r cos t r (sin t + cos t) r π r dt πr. stimmt 41
Wrum ist die Kurvenlänge wichtig? 3.9 Lemm: (Prmetrisierungsinvrinz) Die Länge einer C 1 -Kurve ist prmetrisierungsinvrint. Beweis: Mit einem C 1 -Prmeterwechsel h : [α, β] [, b] gilt ufgrund der Substitutionsregel β L(c h) α ċ(h(τ)) h (τ) }{{} dτ (Kettenregel) τβ τα tb t L(c). > ċ(h(τ)) h (τ) dt }{{} d t ċ(t) dt (Substitutionsregel) 3.1 Definition: (Bogenlängenfunktion) Es sei c : [, b] R n eine C 1 -Kurve. Die Funktion s(t) : heißt Bogenlängenfunktion von c. t ċ(τ) dτ t [, b] Bedeutung: Reprmetrisiert mn eine Kurve mit ihrer Bogenlänge (Bogenlängenprmetrisierung), so vereinfchen sich viele Formeln. 3.11 Definition: (Tngentilvektor, Tngenteneinheitsvektor) Es sei c : [, b] R n eine C 1 -Kurve. Dnn nennt mn ċ(t) (ẋ 1 (t),..., ẋ n (t)) T uch Tngentilvektor (Geschwindigkeitsvektor) der Kurve c n der Stelle t. Für ċ(t) heißt T c (t) : ċ(t) ċ(t) der Tngenteneinheitsvektor. 4
Bemerkung: Bei Bogenlängenprmetrisierung (!) ist ċ(t) 1, d.h. T c (s) : ċ(s) ist bereits Tngenteneinheitsvektor. Aus 1 ċ(s) (ẋ 1 (s)) + (ẋ (s)) +... + (ẋ n (s)) folgt durch Differentition nch der Bogenlänge s: ẋ 1 ẍ 1 + ẋ ẍ +... + ẋ n ẍ n ẋ 1. ẋ n, ẍ 1. ẍ n (Hierbei beschreibt, ds Sklrprodukt in R n.) Somit steht bei Bogenlängenprmetrisierung der Beschleunigungsvektor c(s) ( ) ẍ(s) senkrecht uf dem Geschwindigkeitsvektor ċ(s). ÿ(s) Mn bezeichnet N(s) : c(t) c(t) ls Huptnormlenvektor von c, und κ(s) : c(t) ls Krümmung von c. 3.1 Beispiel: Krümmung eines Kreises mit Rdius r 43
Kreis in Bogenlängenprmetrisierung: x(s) m 1 + r cos s r y(s) m + r sin s r ẋ(s) sin s r ẏ(s) cos s r ẍ(s) 1 r cos s r ÿ(s) 1 r sin s r κ ẍ + ÿ 1 r cos s r + 1 r sin s r 1 r Bemerkung: Allgemein gilt: Die Krümmung gibt den reziproken Rdius des Kreises n, der sich n der Stelle t n die Kurve c(t) nschmiegt (Schmiegkreis, uch Krümmungskreis). Der Schmiegkreis besitzt dieselbe Tngente und dieselbe Krümmung wie die Kurve. 3.13 Die Sektorfläche Ziel: Bestimmung des Flächeninhlts, der den Fhrstrhl von nch c(t) für t [, b] überstreicht. Methode: pproximiere Dreiecksflächen 44
Zerlegung Z {t < t 1 <... < t n b} Mn knn zeigen (z.b. us dem Schulunterricht beknnt): ( ) xi Die Fläche des durch die Eckpunkte, c(t i ), c(t y i+1 ) i festgelegten Dreiecks beträgt Die Gesmtfläche beträgt dher 1 x iy i+1 x i+1 y i A(Z) 1 n 1 (x i y i+1 x i+1 y i ) ( xi+1 y i+1 ) geeignete Orientierung der Dreiecke vorusgesetzt (so dss Beträge entfllen können). Deswegen wird im Folgenden ein orientierter Flächeninhlt eingeführt. 3.14 Definition: (Orientierter Flächeninhlt) Der Fhrstrhl n die Kurve c : [, b] R überstreicht den orientierten Flächeninhlt F (c), wenn es zu jedem ɛ > ein δ > gibt, so dss für jede Zerlegung Z von [, b] mit Z δ gilt A(Z) F (c) ɛ. 3.15 Stz: (Sektorformel von LEIBNIZ) Sei c : [, b] R eine stetig differenzierbre Kurve. Dnn überstreicht der Ortsvektor c(t) im Zeitintervll t [, b] die Fläche Beweis: F (c) 1 b (xẏ yẋ) dt 45
Ähnlich zum Beweis von Stz 3.7 uf Seite 4 Nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung gibt es in (t i, t i+1 ) stellen τ i und τ i mit x i+1 x i ẋ(τ i )(t i+1 t i ) y i+1 y i ẏ(τ i )(t i+1 t i ). } ( ) Somit gilt für die Summen der Dreiecksflächen A(Z) 1 n 1 (x i y i+1 x i+1 y i ) 1 n 1 x i y i+1 x i y i + x i y i x i+1 y i }{{}}{{} x i(y i+1 y i) y i(x i+1 x i) ( ) n 1 (x i ẏ( τ i ) y i ẋ(τ i )) (t i+1 t i ) Wir vergleichen A(Z) mit der Riemnn-Summe R(Z) 1 n 1 (x i ẏ i y i ẋ i )(t i+1 t i ). Sei ɛ > gegeben und δ > so gewählt, dss gilt: (i) Für jede Zerlegung Z mit Z δ ist R(Z) 1 b xẏ yẋ dt ɛ (ii) Für lle Pre t, s [, b] mit t s δ ist } ẋ(t) ẋ(s) ɛ Stetigkeit von ẋ, ẏ ẏ(t) ẏ(s) ɛ Es sei Z Zerlegung von [, b] mit Z δ. Ferner sei M obere Schrnke für x(t) und y(t) uf [, b]. Dnn gilt: A(Z) R(Z) M n 1 ( ẏ( τ i ẏ i ) + ẋ(τ i ) ẋ i ) (t i+1 t i ) n 1 ɛm (t i+1 t i ) ɛm(b ). Zusmmen mit (i) ergibt sich A(Z) 1 b (xẏ yẋ) dt A(Z) R(Z) + R(Z) 1 b ɛ(m(b ) + 1) für ɛ 46 (xẏ yẋ) dt
Nch Def. 3.14 uf Seite 45 folgt hierus die Behuptung. 3.16 Beispiele () Der Fhrstrhl n den orientierten Kreisbogen x r cos t überstreicht die orientierte Fläche 1 φ (xẏ yẋ) dt 1 y r sin t t [, φ] φ Für φ π ergibt sich die Kreisfläche πr. r cos t r cos t + r sin t r sin t dt r φ. (b) Der Fhrstrhl n den Zykloidenbogen x t sin t überstreicht die (orientierte) Fläche 1 π y 1 cos t t [, π] ((t sin t) sin t (1 cos t) ) dt 1 1 1 π (Negtiv, wegen mthemtisch negtiven Drehsinn) t sin t sin t 1 + cos t cos t dt [ t cos t]π + 1 π 3 cos t dt [ t cos t + 3 sin t t]π 3π. 47
48