4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich und Bild Teilmengen der reellen Zhlen R sind. Definition 4. (Funktion) Sei D R. Eine Vorschrift f : D! R, diejedem 2 D genu einen Funktionswert f() 2 R zuordnet, heißt reellwertige Funktion. 4. Intervlle Ein häufiger nzutreffender Fll für den Definitionsbereich D R sind Intervlle. Definition 4.2 (Intervlle) Für die Endpunkte, b 2 R mit <pple b< notiert mn die Intervlle [, b] :={ 2 R pple pple b}, (, b) :={ 2 R <<b}, [, b) :={ 2 R pple <b}, (, b] :={ 2 R <pple b}, (bgeschlossenes Intervll), (offenes Intervll), (rechts hlboffenes Intervll), (links hlboffenes Intervll), und die uneigentlichen Intervlle [, ) :={ 2 R pple }, (nch oben unbeschränktes Intervll), (,b]:={2r pple b}, (nch unten unbeschränktes Intervll). In diesem Zusmmenhng ist derabschluss einer Menge interessnt. Dieser wird ddurch gebildet, dss mn die Rndpunkte der Menge mit hinzunimmt. Anschulich sind dies lle Punkte, die sich durch Folgen mit Folgengliedern in der Menge selbst nnähern lssen. Dbei muss der Grenzwert dieser Folge nicht in der Menge enthlten sein, knn lso m Rnd liegen. Forml definiert mn: Definition 4.3 (Abschluss) Eine Teilmenge M R heißt bgeschlossen,fllsdergrenzwertjederkonvergentenfolge ( n ) n2n von Punkten n 2 M ebenflls in der Menge M liegt, d.h. lim n! 2 M. 6
4Stetigkeit Für eine Teilmenge M R ist der Abschluss M definiert durch n o M := 2 R Es gibt eine Folge ( n ) n2n, n 2 M mit = lim n. n! Jeder Punkt von M ist utomtisch in M enthlten, d mn ls Folge die konstnte Folge von diesem Punkt wählen knn. Eine Menge ist bgeschlossen, flls M = M gilt. Beispiele 4.4 (i) Die Menge [, b] ist bgeschlossen. (ii) Der Abschluss von (, b), (, b] und [, b) ist gegeben durch [, b]. (iii) Die Menge [0, ) ist bgeschlossen. (iv) Der Abschluss von R \{0} ist gegeben durch R. 4.2 Folgenstetigkeit Nun lässt sich der Grenzwertprozess uf Funktionen übertrgen. Definition 4.5 (Grenzwert einer Funktion in einem Punkt) Sei D R und f : D! R eine Funktion. Die Funktion ht einen Grenzwert c 2 R in einem Punkt 2 D, wennfürlle Folgen von Punkten ( n ) n2n mit Grenzwert = lim n! n uch die Folge ( f( n )) n2n mit Grenzwert c konvergiert, d.h. wenn gilt n! (n!) ) f( n )! c (n!). In diesem Fll wird uch kurz notiert: lim f() =c.!, 2D Mn bechte, dss der betrchtete Punkt nicht im Definitionsbereich liegen muss. Er muss lediglich im Abschluss D liegen, dmit überhupt eine Folge n! eistiert. Im Speziellen muss lso uch die Funktion f : D! R dort nicht definiert sein. Dies wird bei der späterten Definition der Ableitung wesentlich sein. Zunächst sei ber die Eigenschft der Stetigkeit einer Funktion betrchtet. Eine Funktion uf einem reellen Intervll ist nschulich gesprochen dnn stetig, wenn der Grph zusmmenhängt, d.h. ohne bzusetzen zeichenbr ist. Forml lässt sich dies ddurch erklären, dss lle Folgen zu einem Punkt (im Speziellen die von links und die von rechts ) denselben Grenzwert hben. Definition 4.6 (Stetigkeit) Eine Funktion f : D! R heißt stetig in einem Punkt 2 D, wennfürjedefolge ( n ) n2n in D gilt: n! (n!) ) f( n )! f() (n!). 62
4.2 Folgenstetigkeit f () f (2 ) f (3 ) f () f ()!! f (2 ) f ( )! f (2 ) f ( ) 2 3! 3 2 f () 2 3! 3 2 Abbildung 4.: Stetigkeit nch der Folgendefinition: Für lle Folgen (n )n2n mit n! muss uch f (n )! f () gelten. (Links: stetig / Rechts: unstetig) Andernflls heißt die Funktion unstetig in. Ist die Funktion stetig in jedem Punkt von D, so nennt mn sie stetig uf D (oder uch schlicht: stetig). Für einen stetige Funktion gilt lso lim f () = f (lim ),!! d.h. Stetigkeit erlubt es, dss die Grenzwertbildung mit dem Anwenden der Funktion vertuscht wird. Beispiele 4.7 (i) Für ein beliebiges c 2 R ist eine konstnte Funktion f () = c ( 2 R) gegeben. Diese ist stetig, denn die Folge ( f (n ) )n2n = (c)n2n konvergiert für lle Folgen (n )n2n gegen c. f () c f () = c 63
4Stetigkeit (ii) Die Identitätsfunktion f() = ist stetig. Hier sind ( n ) n2n und ( f( n )) n2n gleich und die eine konvergiert genu dnn, wenn die ndere konvergiert. f() f() = (iii) Die Eponentilfunktion f() =e ist stetig. f() 4 f() =e 3 e 2.7828... 2 2 2 Zunächst ist f() =e stetig im Punkt =0,d.hlim!0 e = e 0 =,dennesgilt für < e = 0 0! +! + 2 2! + 3 3! +... =! + 2 2! + 3 3! +... pple! + 2! + 2 +... 3! pple! + 2! + 3! +... = (e )! 0 (! 0). Sei nun 2 R beliebig und ( n ) n2n eine Folge mit n!. Dnngilt: e e n = e e n! e =0 für ( n )! 0. 64
4.3 - -Stetigkeit (iv) Die Hevisidefunktion ( 0, für <0, H() :=, für 0, ist unstetig im Punkt =0. f() 3 2 2 3 f() =H() Dzu betrchtet mn die Folge n :=, (n 2 N). Fürdiesegilt: n+ n! 0(n!) und f( n )=0für lle n 2 N, jedoch f(0) =. (v) Für eine endliche Zerlegung eines Intervll [, b) durch Punkte = p 0 <p <p 2 <...<p k = b ist eine Treppenfunktion stückweise definiert durch f() f() :=c i für 2 [ p i,p i ), pple i pple k. p p 2 p 3 p 4 p 5 b Eine Treppenfunktion ist im Allgemeinen in den Zerlegungspunkten p i unstetig (ußer für c i = c i ) und zwischen den Zerlegungspunkten stetig. 4.3 - -Stetigkeit Die Definition der Stetigkeit besgt qulittiv, dss mn denselben Wert erhält, egl uf welchem Weg mn zum Punkt gelngt. Der Nchweis der Stetigkeit für eine kon- 65
4Stetigkeit krete Funktion ist mit diesem Kriterium jedoch oftmls schwierig, d mn lle Folgen betrchten muss. Eine quntittive, äquivlente Definition der Stetigkeit ist wie folgt. Stz 4.8 ( - -Stetigkeit) Eine Funktion f : D! R ist genu dnn stetig in einem Punkt 2 D, wenneszu jedem > 0 ein > 0 gibt, so dss für lle Punkte 2 D gilt: < ) f() f() <. Beweis. - -stetig! Folgen-stetig: Sei ( n ) n2n eine beliebige Folge mit n! (n!). Zuzeigenist,dssdnnuch f( n )! f() gilt. Sei lso > 0 vorgegeben. Dnn gibt es nch - -stetig ein > 0, so dss für lle < der Abstnd f( n ) f() < ist. D die Folge ( n ) n2n gegen konvergiert, gibt es uch ein n,sodss n < für lle n n.somitgiltuch f( n ) f() < für lle n n. Folgen-stetig! - -stetig: Widerspruchsrgument: Angenommen, zu einem vorgegebenen > 0 gibt es kein geeignetes,d.h.esgibtzujedemnochsokleinen > 0 immer einen Punkt mit <, ber f() f(). Dnnwähltmn =,,,,...und bildet mit diesen Punkten 2 3 4 die Folge, 2, 3, 4,...FürdieseFolgegiltnun n < n und f( n ) f(). Dmit gilt n!, jedochnichtf( n )! f() im Widerspruch zum Folgenkriterium der Stetigkeit. Anschulich bedeutet dies, dss der Funktionswert f() beliebig nhe n f() liegt, sofern nur uch hinreichend nhe n gewählt wird. Beispiele 4.9 (i) Für die Identität f() = knn mn für jedes ds gesuchte = wählen. Dmit gilt dnn < ) f() f() = < =. (ii) Für die konstnte Funktion f() =c gilt immer f() f() = c c =0für lle, 2 R. 66
4.4 Rechenregeln für stetige Funktionen f () f () + f () f () + f () f () f () f () + {z}? Abbildung 4.2: Stetigkeit nch der - -Definition: Für lle > 0 muss sich ein lssen, so dss lle Funktionswerte für Argumente 2 D mit die Funktionswerte höchstens f () f () < entfernt liegen. (iii) Die Betrgsfunktion f () = ist stetig. Mn wähle hung y finden < =. Denn mit der Bezie- y für lle, y 2 R gilt dnn die Abschätzung: < ) f () f () = f () < < =. f () = 4.4 Rechenregeln für stetige Funktionen Funktionen mit demselben Definitionsbereich lssen sich uf ntürliche Weise ddieren oder multiplizieren. Definition 4.0 Für Funktionen f, g : D! R mit demselben Definitionsbereich ist Summe und Produkt 67
4Stetigkeit der Funktionen definiert durch: (f + g)() :=f()+g(), und (f g)() :=f() g(). Die Stetigkeit bleibt bei solchen Opertionen erhlten. Stz 4. Seien f,g : D! R stetig. Dnn ist uch f + g und f g stetig. Beweis. Sei ( n ) n2n mit n!. Dnngilt Beispiel 4.2 Polynome lim (f + g)( n)= lim {f( n )+g( n )} n! n! = lim n! f( n )+ lim n! g( n )=f()+g() =(f + g)(). P () = nx k k = 0 + + 2 2 + 3 3 +...+ n n k=0 sind stetig. Denn diese sind Summe und Produkt von stetigen Funktionen (konstnte Funktionen und die Identität f() =). Es sei drn erinnert, dss für injektive Funktionen die sogennnte Umkehrfunktion eistiert. Definition 4.3 (Umkehrfunktion) Sei f : D! B R eine injektive Funktion mit Definitionsbereich D, Bild B. Die zugehörige Umkehrfunktion f : B! D (oder uch inverse Funktion) istufdembild von f definiert durch f (y) :=, y = f(). Die Umkehrfunktion f () drf nicht mit der reziproken Funktion f() = f() verwechselt werden. Es ist vielmehr diejenige Funktion, für die f (f()) =, 2 D gilt. Zudem sei drn erinnert, dss die Verkettung von Funktion definiert werden knn, sofern der Bildbereich der einen Funktion im Definitionsbereich der nderen liegt. Definition 4.4 (Komposition von Funktionen) Für zwei reellwertige Funktionen g : D! B R und f : B! R ist die Komposition (uch: Verkettung ) f g : D! R definiert durch: (f g)() :=f(g()), für lle 2 D. 68
4.4 Rechenregeln für stetige Funktionen Beispiele 4.5 (i) Für k 2 N ist die k-te Potenz gegeben durch die Funktion f() := k, 2 R. Beschränkt mn den Definitionsbereich uf [0, ) =R + [ {0}, soistdieseinjektiv mit Bild R + [ {0} und die zugehörige Umkehrfunktion wird ls die k-te Wurzel bezeichnet: f : R + [ {0}! R + [ {0}, f () := kp. Für einen rtionlen Eponenten z n Komposition definiert: mit z 2 Z,n 2 N wird die Potenzfunktion ls f() = z n :, f () = z,f 2 () = np und f() =f (f 2 ()),2 R + [ {0}. 4 f() = 2 3 2 f() = 2p 2 2 3 4 5 (ii) Die Eponentilfunktion f() =ep() =e ist für gnz R definiert und nimmt nur positive Werte n. Die Umkehrfunktion ist definiert ls der ntürliche Logrithmus f () =:ln(), d.h. Für lle 2 R + gilt : y := ln() :, = e y. Somit gilt für lle 2 R: ln(e )= = e ln(). 69
4Stetigkeit 5 f() =e 4 3 2 2 2 3 4 5 f() =ln() 2 Stz 4.6 (Stetigkeit der Umkehrfunktion) Sei die uf einem beschränkten und bgeschlossenen Definitionsbereich D definierte reellwertige Funktion f : D! B R injektiv und stetig. Dnn ist uch die Umkehrfunktion f : B! D stetig. Beweis. Sei (y n ) n2n eine beliebige Folge in B mit y n! b 2 B, (n!). Dmitdie Umkehrfunktion stetig, muss nun gezeigt werden, dss für die Folge der Funktionswerte gilt: n := f (y n )! f (b) =:, (n 2 N). Dies sieht mn wie folgt: Die Folge ( n ) n2n ist beschränkt, d lle Folgenglieder in der beschränkten Menge D liegen. Dmit besitzt ( n ) n2n eine konvergente Teilfolge nk! p 2 D. Df stetig ist, konvergieren ber uch die Funktionswerte f( nk )! f(p). Zudemgiltberuch,dssf( nk )=y nk! b = f() konvergiert und somit f() =f(p) gilt. Wegen der Injektivität von f folgt drus = p. Somit besitzt jede konvergente Teilfolge von ( n ) n2n den gleichen Grenzwert und es gilt n!, wszuzeigenwr. Beispiele 4.7 (i) Die k-te Wurzel f() = kp ist ls Umkehrfunktion von k stetig. (ii) Der ntürliche Logrithmus f() =ln() ist ls Umkehrfunktion von e stetig. 4.5 Zwischenwertstz Stetige, reellwertige Funktion uf reellen Intervllen sind ddurch gekennzeichnet, dss sie keine Sprünge in den Funktionswerten ufweisen. Besitzt eine Funktion unterscheidliche Funktionswerte f() 6= f(b) n zwei Stellen 6= b,, b 2 D und ist dzwischen stetig, 70
4.5 Zwischenwertstz so nimmt die Funktion dher uch lle Werte zwischen f() und f(b) n. Dies lässt sich so vernschulichen: Geht ein Bergsteiger us dem Tl uf den Gipfel und dies durch einen stetigen Aufstieg (d.h. er knn nicht plötzlich etliche Meter in die Höhe springen), dnn kommt er bei seinem Aufstieg uch n jedem Höhenmeter zwischen Tl und Gipfel vorbei. Mthemtisch wird dies durch den sogennnten Zwischenwertstz usgedrückt. Stz 4.8 (Zwischenwertstz) Sei f :[, b]! R eine stetige Funktion. Dnn gibt es zu jeder Zhl y zwischen f() und f(b), d.h.f() pple y pple f(b) bzw. f() y f(b), einc 2 [, b] mit f(c) =y. Beweis. (Skizze) Durch Einschchtelung lässt sich ein immer kleineres Intervll finden, in dem der gesuchte Punkt liegen muss. Aufgrund der Vollständigkeit von R konvergiert dies gegen den gesuchten Punkt c. f(b) f() f(c) f() c b Abbildung 4.3: Illustrtion zum Zwischenwertstz Beispiel 4.9 Der Zwischenwertstz ht zhlreiche Anwendungen. Eine dvon ist die Eistenz von Fipunkten einer Funktion f. Dies sind Punkte 2 R für die f( )= gilt. Es gilt: Jede stetige Funktion f :[, b]! [, b] besitzt einen Fipunkt. Mn betrchte dzu die Funktion g() := f(). Diese ist wiederum stetig und d lle Funktionswerte im Intervll [, b] liegen, muss im Speziellen f(),f(b) 2 [, b] gelten. Dmit ist g() = f() 0 und g(b) =f(b) b pple 0. Aus dem Zwischenwertstz folgt, dss es eine Nullstelle 2 [, b] mit g( )=0gibt. Für diese gilt dnn f( )=. 7