Einführung in die Lineare Algebra

Einführung in die Linere Alger Linere Gleichungssysteme Dieses Kpitels dient zur Motivtion und Vorereitung der systemtischen Drstellung. Wir hen dfür ds wichtigste Prolem der elementren lineren Alger gewählt, nämlich linere Gleichungssysteme. Dei knn mn sehr schön die wesentlichen Aspekte vorführen: den geometrischen Hintergrund und die lgorithmische Methode. Auf die präzisen Beweise mit Hilfe der ülichen theoretischen Hilfsmittel wird hier zunächst verzichtet. Der reelle n-dimensionle Rum Ein großer Fortschritt in der Geometrie gelng durch Einführung von Koordinten, die mn zur Erinnerung n R. DESCARTES uch krtesische Koordinten nennt. Ddurch knn mn Punkte in den Räumen der Geometrie eschreien durch Systeme von Zhlen, und mit den Zhlen knn mn rechnen. Diese Methode zur Behndlung geometrischer Frgen nennt mn nlytische Geometrie. Die elementrsten Begriffe hierzu seien kurz erklärt... Wir gehen us von den reellen Zhlen, deren Gesmtheit wir mit ezeichnen. Ihre Einführung ist Gegenstnd der Anlysis, in der Geometrie dienen sie ls Zhlengerde, und diese Zhlen knn mn nch den ülichen Regeln ddieren und multiplizieren. Punkte der Eene sind festgelegt durch Pre, Punkte des gewöhnlichen Rumes durch Tripel von reellen Zhlen. Für die Theorie mcht es keine Proleme, gleich n-tupel zu etrchten, woei n eine elieige ntürliche Zhl ist. Dmit erhält mn den reellen Stndrdrum der Dimension n n = { = (,, n ):,, n } d.h. die Menge der geordneten n-tupel (oder Vektoren) von reellen Zhlen. Geordnet heißt, dss die Reihenfolge wichtig ist, d.h. zwei n-tupel (,, n ) und (y,,y n ) sind genu dnn gleich, wenn = y,, n = y n. Die Zhlen,..., n heißen Komponenten von. Der Fll n = ist sinnlos, ist die Zhlengerde, entspricht der Eene und dem Rum". Für größere n ht mn zunächst keine unmittelre geometrische Vorstellung mehr, dfür er eine gnz ndere und sehr relistische Interprettion. Ht etw eine Bnk n Kunden, so knn mn deren Kontostände zu einem estimmten Zeitpunkt mit,, n ezeichnen, lle zusmmen (und geordnet!) sind ein Punkt" = (,, n ) n Die Entwicklung der Kontostände im Lufe der Zeit wird dnn durch eine Kurve" im n eschrieen, ihre Beschreiung geht schon üer den Rhmen der lineren Alger hinus. Eine linere Opertion ist etw die Berechnung der ugenlicklichen Bilnz. Hen die Einlgen neen dem Nennwert i einen Börsenkurs i, so ist ds ewertete Kpitl gegeen durch... n n ein typischer Fll für eine linere Gleichung. In der Pris ht mn mehrere Bedingungen, und diese sind meist nicht durch Gleichungen, sondern durch Ungleichungen gegeen, von der Art, dss für die oige Summe Begrenzungen vorgegeen sind. Und ds Prolem esteht drin, einen Gewinn" zu optimieren. Zur Lösung solcher Aufgen in der lineren Optimierung enötigt mn genügende Kenntnisse üer linere Gleichungen, ws vielleicht uch einen gewinnorientierten Leser eine Zeit lng ei der Stnge hlten knn.,

.. In der lineren Alger muss mn mit n-tupeln rechnen. Die grundlegenden Opertionen sind eine Addition und eine Multipliktion mit einer Zhl R (,..., n ) ( y,..., yn ) : ( y,..., n y n (,..., n ) : (,..., n ). Mn knn diese Opertionen geometrisch deuten, wenn mn die n-tupel ls Vektoren nsieht, d.h. niv ls Pfeile vom Ursprung = (,...,) mit Spitze in = (,, n ). Für n = knn mn ds einfch zeichnen: ) +y +y λ λ y y y +y λ λ Bild Der Ursprung selst heißt uch Nullvektor, wenn mn ihn ddiert, ht ds keine Wirkung. Multipliziert mn mit λ =, so wird jedes zum Nullvektor. Ds Negtive von ist gegeen durch - := (-,,- n ). Es gilt + (-) =. Sttt + (-y) schreit mn kürzer y. - - - Bild Nch diesen wenigen Formlitäten können wir nun die einfchsten Beispiele von lineren Gleichungen ehndeln. Um die geometrische Anschuung dei zu enutzen, etrchten wir zunächst usführlich die Fälle n = und n =.

Gerden in der Eene.. Durch zwei verschiedene Punkte geht genu eine Gerde, ds gehört zu den wenigen Ttschen der Geometrie, die uch Nicht-Mthemtikern einleuchten. Mit Hilfe von Vektoren knn mn ds so eschreien: Sind v, v' die eiden Punkte, so ist w:= v' - v. Die Punkte uf der Gerden L durch v und v' knn mn unter Benutzung eines reellen Prmeters λ drstellen ls L = { : es git ein λ mit = v + w} =: v + w. v+ w v v L w Mn knn L uch nsehen ls Bild der Zhlengerde R unter der Aildung Φ: L, v + w. Ds nennt mn eine Prmetrisierung der Gerden. Bild.. Die zweite Möglichkeit der Beschreiung enutzt eine linere Gleichung der Form + =. Dei gelten, ls Unestimmte und, ls Koeffizienten. Die Unestimmten sind vriel, die Koeffizienten fest. Mn etrchtet die Menge der Lösungen L := {(, ) : + = }. Ist = =, so ist L = für und L = für =. Dieser Fll gilt ls entrtet". Andernflls müsste mn im Prinzip lle Pre (, ) in die Gleichung einsetzen und feststellen, o sie erfüllt ist. Wenn mn ds ohne System tut, wird mn dei sehr selten Glück hen. Ein gutes System ist eine Prmetrisierung, mit deren Hilfe sich lle Lösungen produzieren lssen. Ds ist in diesem Fll leicht zu erhlten. ) Ist = und, so wird die gegeene Gleichung zu, ds ist eine zur -Achse prllele Gerde, und eine Prmetrisierung ist gegeen durch

L,,. Hier ist lso die erste Koordinte fest, die zweite frei wählr. Ist =, er, so ht mn nur die Rollen von und zu vertuschen. ) Ist und, so knn mn die Gerde leicht zeichnen, indem mn die Schnittpunkte mit den Achsen = und = erechnet:, L Bild Wählt mn wieder die -Koordinte eines Punktes der Gerden ls Prmeter, so knn mn drus erechnen, und eine Prmetrisierung der zunächst durch die Gleichung gegeenen Gerden ist gefunden: L,,... Zwei Gerden in der Eene schneiden sich in genu einem Punkt, es sei denn, sie sind gleich oder prllel. Sind sie durch Gleichungen gegeen, so stellt sich die Frge, wie mn entscheiden knn, welcher Fll vorliegt, und wie mn eventuell den eindeutigen Schnittpunkt findet. Dzu einige Beispiele: ) Die Gerden seien gegeen durch Der Schnittpunkt p ist gnz einfch zu finden, indem mn = us der zweiten Gleichung in die erste einsetzt: = + =, lso p = (, ). Eine Vrinte sind die Gleichungen

+ = = p p - - - = - = Bild Zieht mn die erste Gleichung von der zweiten und dividiert die Differenz durch vier, so erhält mn wieder die oigen Gleichungen, und mn sieht n den Zeichnungen, dss der Schnittpunkt der gleiche ist. ) Die Gerden seien gegeen durch - Bild 6 mit elieigem. Mn sieht sofort, dss sie für = gleich und für prllel, lso ohne Schnittpunkt sind. Druf kommt mn uch durch formles Rechnen, wenn mn wieder die -fche erste Gleichung von der zweiten zieht. Ds ergit. Die zweite Gleichung lutet in jedem Fll =. Ist so gewählt, knn mn sie weglssen und es leit die erste. Ist gewählt, so ist die zweite Gleichung nie erfüllt und mn knn die erste weglssen. c) Nun nehmen wir zu den zwei Gerden us Beispiel ) eine dritte hinzu:

,,. I II III II II III I III I Bild 7 Dss sie keinen gemeinsmen Schnittpunkt hen, sieht mn n Bild 7, wir wollen es uch durch formles Umformen zeigen. Wie umgeformt wurde, ist rechts vermerkt., 8, I II' II I. III' III I Die Gleichungen II und III verlngen = und = ½, ds ist ein Widerspruch. Wie mn sieht, sind derrtige Umformungen von Gleichungssystemen wirksm, wir werden in.6 eine Rechtfertigung dfür geen. In oigem Beispiel sollte mn emerken, dss die gemeinsmen Schnittpunkte von I mit II und I mit III erhlten leien... Den Begriff Gerde htten wir isher noch nicht präzise erklärt, ds soll schleunigst nchgeholt werden: Definition. Eine Teilmenge L heißt Gerde, wenn es,, mit (, ) (,) git, so dss L = {(, ) : + = }. Dss mn eine Gerde genuso gut mit Hilfe einer Prmetrisierung eschreien knn, ist die Aussge von folgendem Stz. Eine Teilmenge L ist genu dnn eine Gerde, wenn es v, w mit w git, so dss L = v + w. Dieser Stz folgt später sehr leicht us der llgemeinen Theorie. Ohne weitere Hilfsmittel ist der Beweis etws mühsm, wir wollen es dennoch vorführen: ) Ist L eine Gerde im Sinne der oigen Definition, so git es v und w mit den ngegeenen Eigenschften. Sei lso L gegeen durch,, mit (, ) (, ). Wir führen den Fll us, der Fll geht nlog. Indem mn im Ergenis von.. = und = setzt (siehe Bild.8), kommt mn zu der Definition 6

v :,, w := (-, ), L' := v + w. und es ist zu zeigen, dss L = L'. Dzu ist L L' und L L zu eweisen. v+ w w L v ) L L : Ist (, ) L, so ist + =. Also gilt für := /,, v w. Somit ist (, ) L. ) L L: Ist L, so git es ein mit v w,,. 7 Bild 8 Setzt mn und = in die Gleichung von L ein, so erhält mn + = + =. Also ist L. ) Ist L = v + w, so ist eine Gleichung zu finden. Ist v = (v, v ) und w = (w, w ) mit w, so zeigt eine einfche Üerlegung (siehe Bild.), dss v w, lso w w = w v w v v w sein muss. Wir definieren dher := w, := -w, := w v w v und L' := {(, ) : + = ). ) L L': Dzu muss mn = v + w = (v + w, v + w ) L in die Gleichung einsetzen. Ds ergit w (v + w ) w (v + w ) = w v w v.

Also ist L. v+ w (, ) (v +w,v +w ) (v,v ) L v w w v ) L' L: Sei = (, ) L '. Dzu muss mn ein finden, so dss = (, ) = v + w = (v + w, v + w ). Wegen w knn mn us der ersten Komponente usrechnen, dss v w sein muss. Definiert mn durch diese Gleichung, so folgt us L ', dss uch Also ist L. w v w v w. v w w Bild 8

Eenen und Gerden im Stndrdrum.. Als Rum" etrchten wir den dreidimensionlen reellen Rum. Wie in der Eene geht durch zwei verschiedene Punkte v,v' genu eine Gerde L. Ist w := v' - v, so ist wie in.. L = { v + w: λ } = v + w eine Prmeterdrstellung von L. Es git jedoch zwei wesentliche Unterschiede zur Eene: ) Zwei Gerden sind im Allgemeinen windschief, d.h. ohne Schnittpunkt und nicht prllel. ) Eine linere Gleichung im eschreit eine Eene, zur Beschreiung einer Gerden enötigt mn zwei linere Gleichungen (d.h. mn stellt sie ls Schnitt von zwei Eenen dr). Ds wird im Folgenden genuer usgeführt... Wir etrchten eine linere Gleichung der Form und die Menge der Lösungen E = {(,, ) : + + = }. Ist = = =, so ist E = für und E = für =. Für = =, er lutet die Gleichung, Bild ds ist eine Eene prllel zur Eene =. Ist = und (, ) (, ), so hen wir eine Gerde L = {(, ) : + = }, und E entsteht drus, indem mn lle im Rum drüer- und drunterliegenden Punkte dzu nimmt, d.h. (siehe Bild ) E = {(,, ) : (, ) L}. Sind lle drei Koeffizienten i, so schneidet E die Achsen n den Stellen / i.

Bild Nch diesen Beispielen eine präzise Definition. Eine Teilmenge E heißt Eene, wenn es,,, mit (,, ) (,,) git, so dss E = {(,, ) : + + = }. Bild. Zur Prmetrisierung einer Gerden reicht ein Prmeter, ei einer Eene geht es mit zweien, und zwr wie folgt. In der Eenengleichung nehmen wir n (ndernflls vertusche mn die Indizes). Wir etrchten die Stndrdeene und ezeichnen die Punkte mit (, ). Setzt mn =, = in die Eenengleichung ein, so erhält mn. Astrkter usgedrückt erhält mn eine Aildung :,,,,.

Eine trivile Rechnung ergit, lso ist ( ) E, und mit etws mehr Rechnung ls in. knn mn zeigen, dss : E sogr ijektiv ist. Wir verzichten druf, ds hier vorzurechnen, weil es us der llgemeinen Theorie folgt. Die so erhltene Aildung von der Stndrdeene uf die in liegende Eene E heißt Prmetrisierung. In der oen ngegeenen Form ht sie eine einfche geometrische Interprettion: ist die Umkehrung der Projektion : E,,,,, uf die Koordinteneene. Ntürlich git es viele ndere Prmetrisierungen von E. Die oen mit Hilfe der Aildung ngegeene Prmetrisierung der Eene E knn mn noch etws nders schreien. Sind u, v, w Є gegeen, so sei u + v + w := { : es git, mit = u + v + w}. Ds ist ds Bild von, wenn mn u = (,) =,,, v = (,) - u =,, w = (,) =,, wählt., Bild Bild

. Nun wollen wir zwei Eenen schneiden. Dzu zunächst ein Beispiel. Wir etrchten die Gleichungen 6 I II und formen sie um zu 6 I II' II - I Der Schnitt der eiden Eenen ist eine Gerde L, ein Punkt druf ist festgelegt durch seine -Koordinte. Üersetzt in eine Rechnung edeutet ds: Mn wählt einen reellen Prmeter, setzt = und erechnet erst mit II und dnn mit I. Ds ergit eine Prmetrisierung von L : L,,,. Bild Ht mn llgemein zwei Eenengleichungen I ' ' ' ', II und ist, so führt eine Umformung wie oen zu einem Unglück, wenn es ein ϱ git mit (,, ' ) = (ϱ, ϱ, ϱ ). (*) Dnn wird nämlich die linke Seite von II := II - ϱi gleich Null. Ds ht einen geometrischen Hintergrund, denn (*) edeutet, dss die durch I und II eschrieenen Eenen prllel oder gleich sind... Nun schneiden wir schließlich drei Eenen im. Beispiel. Wir nehmen zu dem Beispiel us.. noch eine Gleichung dzu: 6 I 6 8 II III

Bild 6 Die drei Eenen schneiden sich in einem Punkt. Um ihn zu erechnen, formen wir wieder um. Die erste Runde ergit 6 Bild 7 6 III' III - I Um den Schnittpunkt gnz schemtisch usrechnen zu können, formen wir III noch einml um zu = - III = III II Dmit ergit sich durch Einsetzen von unten nch oen nch III'' I II' nch II' nch I II - I Der einzige Schnittpunkt der drei Eenen ist lso (-, -, -). O dieses Verfhren im Allgemeinen einen einzigen Schnittpunkt liefert, hängt gnz von den Koeffizienten der drei Gleichungen.

Bild 8 Aufgen zu. Zeigen Sie, dss für zwei Punkte v, w n die folgenden Bedingungen äquivlent sind: i) v, und es git kein mit w = ϱ v. ii) w, und es git kein mit v = ϱ w. iii) Sind λ, µ mit λv + µw =, so folgt notwendigerweise λ = µ =. Mn nennt v und w liner unhängig, flls eine der oigen Bedingungen erfüllt ist. v und w heißen liner hängig, flls sie nicht liner unhängig sind. Im untenstehenden Bild sind v und w liner unhängig, v und w liner hängig. w v w Bild. ) Beweisen Sie, dss eine Teilmenge E des genu dnn eine Eene ist, wenn es Vektoren u, v, w git, so dss v und w liner unhängig sind und E = u + v + w. ) Finden Sie für die Eene E = {(,, ) : - + = -} eine Prmetrisierung. c) Geen Sie für die in Prmeterdrstellung gegeene Eene E = (,, ) + (,, 6) + (7, 8, ) eine eschreiende linere Gleichung n.. Zeigen Sie: Sind, y, z drei Punkte, die nicht uf einer Gerden liegen, so git es genu eine Eene E, die, y und z enthält, nämlich E = + ( - y) + ( - z).

Ds Elimintionsverfhren von GAUSS. Nch den vielen Spezilfällen und Beispielen ist der Leser hoffentlich gerüstet für den llgemeinen Fll. Die Zhl n ist die Zhl der Unestimmten, dvon unhängig knn mn eine Zhl m für die Anzhl der lineren Bedingungen wählen. D m die Anzhl der verfügren Buchsten üerschreiten knn, verwenden wir für die Koeffizienten ij doppelte Indizes. Ds Gleichungssystem lutet lso:... n n (*) m... und gesucht ist die Menge der (,..., n ) n, die lle Gleichungen erfüllen. Ds System (*) ist mühsm ufzuschreien. Ein Meister in üersichtlichen Rechenverfhren wr A. CAYLEY, der uch erstmls systemtisch Mtrizen verwendete. Ds hilft hier sofort. Die Koeffizienten ij schreit mn, wie sie in (*) vorkommen, ls rechteckiges Schem (Mtri gennnt)... n A : m... mn Nun ist der Kniff, nicht die liegenden Vektoren (oder Zeilen) (,..., n ) und (,..., n ) zu etrchten, sondern entsprechend der Anordnung der i in (*) die stehenden Vektoren (oder Splten) : und : m m Zwischen der Mtri A und der Splte der Höhe n erklärt mn ein Produkt, ds eine Splte der Höhe m ergit:... n n A :.... m mn n Dei ist entscheidend, dss so viele Zeilen wie A Splten ht. Ds linere Gleichungssystem (*) knn mn dnn in der Form (* ) A : schreien, woei ds eine Gleichheit von zwei Splten mit jeweils m Zeilen edeutet. Diese geschickte Schreiweise ist gewöhnungsedürftig und uch etws gefährlich, weil mn leicht vergessen knn, ws sie eplizit edeutet. Mn nennt A die Koeffizientenmtri des lineren Gleichungssystems. Hängt mn die Splte noch n, so erhält mn die Mtri... n A, :, m... mn m sie heißt erweiterte Koeffizientenmtri. Drin ist lle Informtion üer ds Gleichungssystem enthlten. Ht eine Mtri A insgesmt m Zeilen und n Splten, so spricht mn zur Akürzung von einer (m n)-mtri. Mn schreit dfür A = ( ij ), die reellen Zhlen ij heißen Einträge von A. mn n m

Eine ndere Methode, ds Gleichungssystem (*) kürzer ufzuschreien, enutzt ds Summenzeichen. Allgemein ist n j c j : c c... c Dei heißt j der Summtionsinde, mn knn ihn durch jeden nderen Buchsten ersetzen. In dieser Schreiweise lutet die i-te Gleichung ds gnze System lso n ij j : i, j n ij j : j i für i =,, m. Welche Schreiweise mn evorzugt, ist neensächlich. Wir werden vorwiegend A = enutzen, weil dei die geringste Anzhl von Buchsten erforderlich ist.. Nchdem eine energiesprende Schreiweise für Gleichungssysteme vereinrt ist, können wir ds Prolem der Lösung in Angriff nehmen. Die Lösungsmenge ist nch Definition gleich Lös (A,) := { n : A = }, woei ls Spltenvektor geschrieen ist. Ds System zu lösen heißt, eine effiziente Methode zur Beschreiung der Menge Lös (A, ) nzugeen. Ws wir schließlich erhlten werden, ist eine Zhl k und eine eplizit ngere ijektive Aildung Φ: k Lös (A,) n, sie heißt Prmetrisierung. Die Berechnung von Φ mit Hilfe des nch C.F. GAUSS ennnten Elimintionsverfhrens ist recht einfch, ds ist Ziel dieses Kpitels. Der Nchweis der guten Eigenschften von Φ erfordert etws Theorie und wird in Kpitel nchgeholt. Der strkte Hintergrund von lineren Gleichungssystemen wird schließlich in Kpitel 6 erläutert.. In den Beispielen us und htten wir Gleichungssysleme so lnge umgeformt, is eine Prmetrisierung schrittweise von unten nch oen erechnet werden konnte. Beispiele für so umgeformte Koeffizientenmtrizen A wren,,. Die Nullen zu Beginn der Zeilen hen dei eine typische Stffelung, die Trennlinie von den nderen Einträgen ht Stufenform. Definition. Eine m n-mtri A = ( ij ) heißt in Zeilenstufenfonn, wenn sie von der folgenden Form ist; n. (* ) A r 6

Dei müssen die Einträge n den mit mrkierten Stellen ungleich Null sein, und unterhl der eingezeichneten Stufenlinie" dürfen nur Nullen stehen. Dmit uch die Grenzfälle klr geregelt sind, knn mn diese Definition noch präziser ufschreien. A ist in Zeilenstufenform, wenn folgendes gilt:. Es git eine Zhl r mit < r < m, so dss in den Zeilen mit Inde is r jeweils nicht nur Nullen stehen und in den Zeilen mit Inde r + is m nur Nullen stehen.. Für jedes i mit < i < r etrchten wir den niedrigsten Inde j, der Splte, in der ein Eintrg ungleich Null steht, in Zeichen j i := min{j: ij }. Offensichtlich ist j i n, und die zusätzliche Stufenedingung lutet j j... j r. Mn echte, dss der Fll r = zugelssen ist; dnn sind lle Einträge von A gleich Null. Die esonders usgezeichneten und oen durch gekennzeichneten Einträge, j, rjr heißen Pivots (uf deutsch Angelpunkte) von A. Sie sind nch Definition von Null verschieden. Beispiel. Für 6 A ist m =, n = 7, r =, j =, j =, j = 6. Besonders einfch ufzuschreien ist der Spezilfll, in dem j =, j =,..., j r = r. Dnn ht A die Form A Durch eine Umordnung der Splten von A, d.h. eine ndere Nummerierung der Uneknnten des entsprechenden Gleichungssystems, knn mn ds stets erreichen. Für die Pris ist ds neensächlich, er für die Theorie knn mn sich ddurch die lästigen Doppelindizes j i erspren.. Nun geen wir ein Lösungsverfhren für ein lineres Gleichungssystem n, ei dem die Koeffizientenmtri A in Zeilenstufenform ist. Zur Vereinfchung nehmen wir n, dss die Pivots in den ersten r Splten sitzen. Dnn ht die erweiterte Koeffizientenmtri die Gestlt r 7

( A, ) rr 8 r r m mit,..., rr. Die Einträge r+,.... m sind entscheidend für die Frge, o es üerhupt eine Lösung git. Bemerkung. Git es ein i mit r + i m, so ist Lös {A, } leer. Beweis. Die i-te Gleichung lutet +... + n = i. Diese Bedingung knn kein erfüllen. Im gegenteiligen Fll r+ =... = m = geen wir nun eine Methode n, Lösungen zu konstruieren. Dzu unterscheiden wir zwischen zwei Arten von Vrilen: r+,..., n sind freie Vrilen, sie können lle elieigen Werte nnehmen.,..., r sind geundene Vrilen, sie sind eindeutig ddurch festgelegt, für welche Werte sich die freien Vrilen entschieden hen. Ds knn mn so eschreien. Mn setzt k := n - r, ds ist die Zhl der freien Vrilen, wählt λ,...,λ k ls Prmeter, und setzt r+ = λ, r+ = λ,..., n = k. Zur Berechnung der,..., r drus eginnt mn mit der r-ten Gleichung rr r + r,r+ λ +... + rn k = r.. Drus erhält mn r ( r r, r... rnk ). rr Setzt mn ds in die (r - l)-te Gleichung ein, erhält mn nlog r d r, rr d r, rr cr,... cr, kk, woei die uftretenden Zhlen c und d von den Eintrgen der Zeilen r - und r us der Mtri A hängen. Fährt mn so fort, erhält mn schließlich d d rr c... c kk. Insgesmt ergit sich eine Aildung Φ: k Lös (A, ) n, (λ,,λ k ) (,, r, λ,,λk, woei für,..., r die oen erechneten von λ,,λk, den Einträgen von A und,..., r hängigen Ausdrücke einzusetzen sind. D hierfür nch den oigen Rechnungen lle r

Gleichungen erfüllt sind, liegen die Werte von Φ in der Lösungsmenge Lös (A, ). Mn ht lso für elieig gewählte Prmeter λ,,λk eine Lösung des gegeenen Gleichungssystems erhlten. Beispiel. Ist A die ( 7)-Mtri us.., und wählt mn =, =, =, =, so sind die Lösungen von A = lso in Splten geschrieen gegeen durch 7 6. Einen wichtigen Spezilfll wollen wir noch erwähnen: Ist die Mtri A qudrtisch, so ht mn eensoviele Gleichungen wie Uneknnte. Ist speziell A uf Zeilenstufenform mit r = n, so ist A, und es git wegen k = n - r = keinen freien Prmeter, lso eine einzige Lösung = (,..., n ), die mn wieder von unten nch oen erechnet. Ist üerdies =... = n =, so ist n =... = =, mn erhält lso nur die trivile Lösung. Beispiele für eindeutig lösre Gleichungssysteme findet mn in.. ),.. und Aufge..6 Nchdem wir gesehen hen, wie sich ein Glcichungssystem in Zeilenstufenform lösen lässt, versuchen wir nun. ein elieiges System uf diese Form zu ringen. Dzu enutzen wir zwei Arten von elementren Zeilenumformungen der erweiterten Koeffizientenmtri: ) Vertuschung von zwei Zeilen. ) Addition der -fchen i-ten Zeile zur k-ten Zeile, woei λ und i k ist. Diese Umformungen sind gerechtfertigt durch den Stz. Sei (A,) die erweiterte Koeffizientenmtri eines lineren Gleichungssystems, und ) ~, ~ ( A us (A, ) durch endlich viele elementre Zeilenumformungen entstnden. Dnn hen die Systeme A = und A ~ ~ gleiche Lösungsräume, in Zeichen Lös (A, ) = Lös ) ~, ~ ( A. Vorsicht! Mn echte, dss Spltenumformungen eine völlig ndere Wirkung hen, weil ddurch die Uneknnten gemischt werden. Ds ist unerwünscht. Nur Vertuschungen in den ersten n Splten sind ungefährlich, sie ewirken lediglich eine Umnummerierung der Uneknnten.

Beweis. Es genügt zu eweisen, dss der Lösungsrum ei einer einzigen elementren Zeilenumformung unverändert leit, denn dnn ändert uch Wiederholung nichts. Typ ) ist völlig unprolemtisch, weil lle Gleichungen simultn erfüllt sein müssen, die Reihenfolge ist gleichgültig. Bei Typ ) muss mn etws rechnen. D nur die Zeilen i und k etroffen sind, genügt es zu zeigen, dss die eiden us jeweils zwei Gleichungen estehenden Systeme und ( k i ) i in n i k kn n k i ( kn in in ) n n i k gleiche Lösungsräume hen. Erfüllt = (,..., n ) die Gleichungen (*), so uch die erste von (* ), und durch Addition der λ-fchen ersten Gleichung von (*) zur zweiten die zweite Gleichung von (* ). Umgekehrt folgt durch Sutrktion der λ-fchen ersten Gleichung us (* ) von der zweiten uch die zweite Gleichung us (*). Ws ei Umformungen vom Typ ) geometrisch vorgeht, sieht mn m einfchsten in der Eene. Zwei Gleichungen eschreien zwei Gerden, die Lösungsmenge esteht us den Schnittpunkten (keiner, einer, oder eine gnze Gerde, vgl..). Ws verschiedene Fktoren λ ewirken, wollen wir m esten n einem Beispiel zeigen: Gegeen seien Gerden L i durch = und L k durch =. i (*) (* ) L i L k+i L k (,) (,) (,-) Dnn ist L k+i gegeen durch (+λ) = + λ. Diese Schr von Gerden mit Prmeter k geht durch (, -), sie enthält lle Gerden durch (,-) mit Ausnhme von L i, und die Zhl ist m Schnittpunkt mit der Gerden = zu sehen. Bild

.7 Der letzte und m schwierigsten in llgemeiner Form ufzuschreiende Schritt ist enthlten in dem Jede Mtri A knn mn durch elementre Zeilenumformungen in eine Mtri Ā in Zeilenstufenform üerführen. Beweis. Wir geen ein konkretes Verfhren n, ds schrittweise durchgeführt wird und so ufgeut ist, dss drus ohne große Schwierigkeiten ein Computerprogrmm gemcht werden knn. Wer durch die vielen Indizes verwirrt ist, möge zunächst ds unten ngegeene Beispiel studieren, ei dem drei Runden nötig sind. Sei A eine m n -Mtri. Ist A =, so ht A nch Definition schon Zeilenstufenform mit r =. Ist A, so git es mindestens einen Eintrg. Also git es mindestens eine von Null verschiedene Splte, wir wählen die mit dem kleinsten Inde j, in Zeichen j = min {j: es git ein i mit ij }. Ist ij, so können wir es ls Pivot wählen. Andernflls suchen wir uns ein i j und vertuschen die Zeile mit der Zeile i. Ds ist schon die erste Zeile von Ā, lso gilt für den ersten Pivot ~ j i j. Durch Umformungen vom Typ ) knn mn lle unterhl von ~ j stehenden Einträge zu Null mchen. Ist einer dvon, so soll ~ j werden, lso ht mn ~ j zu wählen. Ds Ergenis dieser Umformungen ist von der Gestlt ~ j * * ~ A A woei n den mit * mrkierten Stellen irgendwelche Einträge stehen. Die Mtri A ht m - Zeilen und n - j Splten. Im zweiten Schritt mcht mn mit A ds Gleiche wie oen im ersten Schritt mit A = A : Ist A =, so ht Ā schon Zeilenstufenform; ndernflls suche mn j > j und den Pivot ~ j. Die dei nötigen Zeilenumformungen von A knn mn uf die Zeilen is m von Ā usdehnen, ohne dss sich in den Splten is j etws ändert, denn dort stehen nur Nullen. Ist A umgeformt, so erhält mn A, u.s.w. Ds Verfhren muss rechen, weil die Zeilenund Spltenzhlen der Mtrizen A k nehmen, oder weil im Luf des Verfhrens eine Mtri A k = entsteht. Ds Endergenis ist ~ * * ~ A j ~ j ~ rj r * (*)

Beispiel. Dmit der Gng der Rechnung mit dem loßen Auge zu erkennen ist, sind die Einträge so gewählt, dss sie gnzzhlig leien. A 6 7 8 6 7 8 6 8 A ~ Bei dem oen llgemein eschrieenen Verfhren wird us r verschiedenen Splten jeweils ein Eintrg ls Pivot usgewählt, Kndidten sind lle von Null verschiedenen Einträge. Für die Theorie wird sich später zeigen, dss ds Ergenis nicht von der Whl hängt. Für die Pris ist es vorteilhft, den vom Betrg her größten Eintrg zu wählen, weil entsprechend (*) durch den Pivot dividiert wird, und kleine Nenner zu großen Schwnkungen führen können (vgl. Aufge )..8 Nun ist ds Elimintionsverfhren von GAUSS für ein System von m lineren Gleichungen und n Unestimmten mit reellen Koeffizienten komplett, wir fssen die einzelnen Schritte noch einml zusmmen: ) Mn schreie die erweiterte Koeffizientenmtri (A, ) uf. } Mn ringe A uf Zeilenstufenform und forme dei die Splte mit um. Ergenis ist ~ ( A ~, ), insesondere die Zhl r. Bechte, dss in der -Splte kein Pivot gesucht wird! ) Mn lese n ~, o es Lösungen git und wenn j, erechne mn die Prmetrisierung Φ: n-r ~ ~ Lös ( A, ) = Lös (A,) n der Lösungsmenge. Nun zu der entscheidenden Frge nch den Eigenschften der so erhltenen Aildung Φ, der Prmetrisierung der Lösungen. Zu verschiedenen k-tupeln von Prmetern gehören uch verschiedene Lösungen, d die Prmeter direkt in die letzten k- Komponenten der Lösung eingetrgen werden (vgl...), Also ist Φ injektiv. Bleit die Frge, o Φ surjektiv ist, d.h. o lle Lösungen von der Prmetrisierung erreicht werden. Zur Bentwortung der letzten Frge muss mn etws reiten. Insesondere ist zu zeigen, dss die mit Hilfe der Umformungen erhltene Zhl r nur von der Mtri A und nicht vom Verfhren (etw der Auswhl der Pivots) hängt. Mn knn ds lles reltiv direkt ngehen, er viel schöner geht es mit Hilfe von etws Theorie, die j ohnehin schmckhft gemcht werden soll. Die Zhl r wird sich ls Rng der Mtri A erweisen, und die Losungsmenge Lös (A, ) ht die Struktur eines ffinen Rumes der Dimension k = n - r. In dieser Sitution folgt die Surjektivität von Φ us der Injektivität, die Begründungen werden in. nchgeholt. Ds soll er nicht drn hindern, schon vorher Gleichungssysteme zu lösen, wenn sie uftreten.

Aufgen zu. Lösen Sie folgende linere Gleichungssysteme: ) 6 ) 8 6 6. Geen Sie die Lösung des lineren Gleichungssystems n, ds durch die folgende erweiterte Koeffizientenmtri gegeen ist: 7. Bestimmen Sie, für welche t ds folgende linere Gleichungssystem in Mtridrstellung lösr ist und geen Sie gegeenenflls die Lösung n. 8 7 7 6 7 t t t. Lösen Sie ds folgende linere Gleichungssystem uf einem Tschenrechner mit einer Rechengenuigkeit von n Stellen hinter dem Komm (Aschneiden weiterer Stellen ohne Rundung!) für ε = -k für größer werdendes k n, und zwr einml mit dem Pivot ε und einml mit dem mimlen Zeilenpivot" der ersten Splte.., y y Beschreien Sie den geometrischen Hintergrund dieser Umformungen