Vorbskript zur Vorlesung Mthemtik für Biologen Wintersemester 05/ 6 Prof. Dr. Helmut Mier Dr. Hns- Peter Reck Institut für Zhlentheorie und Whrscheinlichkeitstheorie Universität Ulm
Inhltsverzeichnis Grundlgen 4. Mengen............................................ 4. Die Menge der reellen Zhlen................................ 7.3 Anordnung der reellen Zhlen................................ 9.4 Summen und Produkte.................................... 0.5 Vollständige Induktion und Bernoulli-Ungleichung.....................6 Der Binomische Lehrstz................................... 4.7 Funktionen.......................................... 8 Folgen und Reihen 9. Folgen............................................. 9. Potenzen reeller Zhlen................................... 3.3 Exponentilfunktion..................................... 6.4 Reihen............................................. 30 3 Elementre Funktionen 33 3. Polynome........................................... 33 3. Trigonometrische Funktionen................................ 35 3.3 Funktionsgrenzwerte..................................... 36 3.4 Stetigkeit........................................... 37 4 Differentilrechnung 38 4. Ableitungen.Ordnung................................... 38 4. Lokle Extrem........................................ 4 5 Integrlrechnung 4 5. Riemnn-Integrl....................................... 4 5. Berechnung von Integrlen.................................. 45 5.3 Uneigentliche Integrle.................................... 47
6 Linere Algebr 48 6. Mtrizen............................................ 48 6. Linere Gleichungssysteme.................................. 50 6.3 Die Inverse Mtrix...................................... 5 3
Kpitel Grundlgen Zu einer einfchen Beschreibung von mthemtischen Zusmmenhängen dient der Begriff der Menge.. Mengen. Definition: Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Objekten. Diese Objekte werden Elemente der Menge gennnt. Schreibweise: x M bedeutet, dss x ein Element der Menge M ist, lso zu M gehört. x M bedeutet, dss x kein Element der Menge M ist, lso nicht zu M gehört. Bemerkung: Dieser nive Mengenbegriff geht uf Georg Cntor (845-98 zurück. In der höheren Mthemtik entstehen mit dieser Definition Probleme, ws zur Russellschen Antinomie führt. Deshlb gibt es eien xiomtische Mengenlehre in der Mthemtik. Bemerkung: Für unsere Zwecke reicht der Mengenbegriff im Sinne der Definition.. Beschereibung von Mengen: ufzählende Beschreibung: M {, b, c,..., x, y, z} M {, 3, 5} M {, } M {S, T } M {r, g}. chrkterisierende Beschreibung: M {x: x ht Eigenchft E}. 4
Bemerkung: Mnchml sind uch beide Schreibweisen gleichzeitig möglich: M {B, I, O, L, O, G, I, E} M {B, I, O, L, G, I, E} M 3 {B, I, O, L, G, E} M 4 {x: x ist ein Buchstbe im Wort Biologie }. Die Gleichheit der Mengen M, M und M 3 ergibt sich us der nächsten Definition.. Definition: (Verknüpfungen von Mengen Es seien M und M Mengen. i Mn nennt M Teilmenge von M (Schreibweise: M M, wenn für lle x M uch x M gilt. ii Die Mengen M und M heißen gleich (Schreibweise: M M, wenn M M und M M gilt. iii Die Vereinigung der Mengen M und M ist durch definiert. M M {x: x M oder x M } iv Der Durchschnitt der Mengen M und M ist durch definiert. M M {x: x M und x M } v Die Differenz der Mengen M und M ist durch definiert. M \M {x: x M und x M } vi Die Menge, die kein Element ht, bezeichnet mn ls leere Menge. vii Die Mengen M und M heißen disjunkt (durchschnittsleer, wenn M M gilt. viii Flls lle uftretenden Mengen M Teilmengen einer Grundmenge X sind, so nennt mn X die Grundmenge. Für M X heißt dnn M C X\M ds Komplement von M, lso M C {x X : x M}. ix Für eine Menge M bezeichnet mn mit M (selten uch mit #M die Anzhl ihrer Elemente. So gilt etw für M {,, 3} und M {5, 6, 7, 8,...} einerseits M 3 und M (unendlich. Bemerkung : Gelegentlich ist uch noch folgende Formulierung üblich: Mn nennt M echte Teilmenge von M (Schreibweise: M M, wenn M M und ein x M mit x M existiert. Meist schreibt mn M M und lässt dbei beide Fälle zu. Mit dieser Vereinbrung fhren wir b nun fort. 5
.3 Beispiele: Es sei die Grundmenge durch X {0,,,..., 9} gegeben. Weiter gelte A {, 3, 4, 5} und B 4, 5, 6, 7}C. Dnn gelten folgende Aussgen: i A C X\A {0,, 6, 7, 8, 9} ii A B {4, 5} iii A B {, 3, 4, 5, 6, 7} iv A\B {, 3} v B\A {6, 7} vi (A\B (B\A {, 3} {6, 7} vii X #X 0, A #A 4, B #B 4.4 Venn- Digrmme (uch Eulersche Kreise: Mengen und Verknüpfungen von Mengen lssen sich in sogennnten Venn- Digrmmen drstellen. Rechenregeln für Mengen formuliert:.5 Lemm: Es sei Ω eine Grundmenge, und es seien A, B, C Mengen mit A Ω, B Ω und C Ω. Dnn gelten folgende Aussgen: i A A, A, A Ω Ω und A Ω A Diese Aussgen lssen sich llgemeiner formulieren: Für A B gilt A B A und A B B ii Es gelten die de Morgnschen Gesetze : (A B C A C B C und (A B C A C B C Es gilt ds Assozitivgesetz: A (B C (A B C A B C und A (B C (A B C A B C Es gilt ds Distributivgesetz: A (B C (A B (A C und A (B C (A B (A C Beweis: (von (iv, erste Gleichung Wir zeigen zuerst A (B C (A B (A C. Es gilt x A (B C x A oder x B C. Es sei x A. Dnn folgt x A B und x A C. Somit gilt x (A B (A C. Es sei x B C. Dnn folgt x B und x C. Somit gilt uch x A B und x A C, worus wieder x (A B (A C folgt. Also gilt A (B C (A B (A C. Wir zeigen noch (A B (A C A (B C. Es gilt x (A B (A C x A B und x A C. Es sei x A. Dnn folgt x A (B C. Es sei x A. Dnn folgt x B und x C, lso x B C. Somit gilt uch x A (B C. Also gilt uch (A B (A C A (B C und dmit die Behuptung. 6
. Die Menge der reellen Zhlen Für den Zhlenufbu gelten die folgenden Inklusionen: Dbei gilt: Menge der ntürlichen Zhlen: sowie N N 0 Z Q R. N {,, 3,...} N 0 {0,,, 3,...} N {0}. Die Menge N ist bgeschlossen bzgl. der Addition und der Multipliktion, d.h. n, m N (N 0 gilt n + m N (N 0 und n m N (N 0. Aber: N (N 0 ist nicht bgeschlossen bzgl. der Differenz: 3 5 N (N 0. Menge der gnzen Zhlen: Z {0,,, 3,...} N. Die Menge Z ist bgeschlossen bzgl. der Addition, Subtrktion und der Multipliktion, d.h. n, m Z gilt n + m Z, n m Z und n m Z. Aber: Z ist nicht bgeschlossen bzgl. der Division: 3 Z und 5 Z, ber 3 5 Z. Menge der rtionlen Zhlen: Für q, q Q gilt jetzt Q {x: x m, m Z, n N}. n q ± q Q, q q Q und q q Q, flls q 0. Also ist Q bgeschlossen gegenüber den vier Grundrechenrten. Hinweis: Die Menge der rtionlen Zhlen ist dennoch zu klein! Will mn jedem Punkt uf der Zhlengerden eine Zhl zuordnen, so reichen die obigen Zhlenmengen nicht us..6 Stz: Es gibt kein x Q mit x x x. Beweis: (indirekt, tertium non dtur Hilfsüberlegung: Es sei p N und p eine gerde Zhl, lso p. Dnn ist uch p eine gerde Zhl. 7
Beweis: Wir nehmen n, p sei ungerde. Dnn sind p + und p gerde, womit uch (p + (p p gerde ist. Dnn wäre ber p ungerde, ein Widerspruch. Beweis des Stzes: Wir nehmen n, es gelte p q mit p N, q N und p und q seien teilerfremd. Dnn gilt p q p q, womit p gerde ist und nch der Hilfsüberlegung somit uch p. Also gilt p r, worus p 4r q q r folgt. Somit ist q und dmit uch q gerde, d.h. q s. Also könnte mn p q durch kürzen, ein Widerspruch. Dmit ist die Annhme flsch, weswegen die Behuptung gilt. Ergänzung: Anlog gilt: hben keine rtionlen Lösungen. x 3, x 3, x 7 Menge der reellen Zhlen: Die Menge R besteht us den rtionlen un den irrtionlen Zhlen. R : {x: x ist Dezimlbruch x m, 3..., m Z,,, 3... {0,,,..., 9}}. Hinweis: rtionle Zhl: endlicher oder periodischer Dezimlbruch irrtionle Zhl: unendlicher nichtperiodischer Dezimlbruch. Beispiele: 3. 4 0, 75 Q (rtionl. 3 0, 333 Q, denn x 0, 333... lso x 3. (0x 3, 333... 9x 3, 3. 0, 5675 Q, denn lso x 77 50. 000x 567, 5... (0000x 56755... 9000x 508, 8
4. Q (irrtionl 5. π Q (irrtionl 6. e Q (irrtionl Für rtionle Zhlen gilt noch der folgende Stz: Eine rtionle Zhl m n Q ist ls endlicher oder (gemischt- periodischer Dezimlbruch drstellbr. Beispiele:. 3, 57 3, 570. 0, 85963 3. 0, 785.3 Anordnung der reellen Zhlen Identifiziert mn die reellen Zhlen mit der Zhlengerden, so erhält mn eine Ordnung uf R: kleiner ls b : links von b < b. Beispiele: 0 < 3, < 7, 3 <. Nottion: b > : < b b : < b oder b b : b > oder b..7 Rechenregeln: Für ds Rechnen mit Ungleichungen gelten die folgenden Regeln: Für lle, b, c, d R gilt (R0 < b oder b oder > b (R < b und c < d + c < b + d c < b c für c > 0 (R < b c b c für c 0 c > b c für c < 0. (R3 > 0, b > 0, < b 0 < b < (R4 < 0, b < 0, < b b < < 0 (R5 < b, b < c < c (Trnsitivität 9
.8 Definition: Der (bsolute Betrg einer reellen Zhl R (Schreibweise: ist { für 0 für < 0. Interprettion: Abstnd der Zhl uf der Zhlengerden vom Nullpunkt. Eigenschften des Betrges:. 0. 3. 4. 0 0 5. b b 6. b b für b 0 7. + b + b (Dreiecksungleichung Beweis: Wenn + b 0, dnn gilt + b + b + b. Flls + b 0, dnn gilt + b b ( + ( b + b + b. 8. b c c b c Beweis: Offenbr gilt c 0. Flls b 0, dnn folgt b c c 0 b c. Flls b 0, dnn folgt b c b c c b 0 c..4 Summen und Produkte.9 Definition: Für m, n C mit m n und x k R, k N, sei 0
n x l x m + x m+ +... + x n lm Beispiele: 4 ( l l + + + 3 4 4 l (l + ( + + 0 + + + + + + 3 + + 4 + 3 l l + 0 + + + 3 5 l3 ( l ( 3 + ( 4 + ( 5 Es gelten die folgenden Rechenregeln.0 Stz: Für n N gilt. n l x l + n l y l n l (x l + y l, wobei x l, y l R.. n l x l n l x l, wobei R 3. n l0 x l+ n+ l x l (unterschiedliche Drstellung desselben Wertes. Beweis: (nur zu 3. n l0 x l+ x + x +... + x n n+ l x l x + x +... + x n.. Stz: Für n N, n gilt. n i n. n k k n (n+ 3. n k (x k+ x k x n+ x (Teleskopsumme 4. n Beweis:. Trivil k xk xn+ x, x (geometrische Summenformel. Beweisen wir später mit vollständiger Induktion.
3. Beweisen wir später mit vollständiger Indutkion. 4. n n n n n ( x x k x k x x k x k x k+ k0 k0 k0 k0 k0 (x 0 + x + x +... + x n (x + x +... + x n + x n+ x 0 x n+ x n+ Definition.: Für m, n N mit m < n sei. n km x k : x m x m+... x n. n! : n k k 3... n (n-fkultät 3. 0! : Beispiel:. 3 k k 3 6. 4! 3 4 4.5 Vollständige Induktion und Bernoulli-Ungleichung Idee: A(n sei eine Aussge, die von einer ntürlichen Zhl n N bhängt. Um zu zeigen, dss A(n für lle ntürlichen Zhlen n N gilt, geht mn in zwei Schritten vor:. Zeige: A( ist gültig;. Zeige: us der Gültigkeit von A(n folgt stets die Gültigkeit von A(n + ; dnn ist die Aussge A(n für lle n N gültig.. Lemm: (Vollständige Induktion. n k k n (n+ Beweis: Für n folgt k k ( +, ws eine whre Aussge ist (Induktionsnfng. Die Behuptung gelte nun für ein n N (Induktionsvorussetzung. Zu zeigen ist, dss die Behuptung uch für n + gilt: n+ n k k + (n + k k n (n + + n +,
wobei die letzte Gleichheit nch Induktionsvorussetzung gilt. Weiter folgt n (n + + n + n (n + + (n + (n + (n + und dmit die Behuptung.. n k (x k+ x k x n+ x Beweis: Für n folgt (x k+ x k x x x + x, k ws eine whre Aussge ist. (Induktionsnfng. Die Behuptung gelte nun für ein n N (Induktionsvorussetzung. Zu zeigen ist, dss die Behuptung uch für n + gilt: n+ (x k+ x k k n (x k+ x k + (x n+ x n+ x n+ x + x n+ x n+ x n+ x, k wobei die vorletzte Gleichheit nch Induktionsvorussetzung gilt. 3. Bernoulli-Ungleichung Sei x >, x R; dnn gilt für lle n N: ( + x n + n x Beweis: Für n folgt ( + x + x, ws eine whre Aussge ist. (Induktionsnfng. Die Behuptung gelte nun für ein n N (Induktionsvorussetzung. Zu zeigen ist, dss die Behuptung uch für n + gilt: ( + x n+ ( + x n ( + x ( + n x ( + x, wobei die Ungleichung us der Induktionsvorussetzung folgt. Weiter gilt: ( + n x ( + x + n x + x + n x + (n + x + n x + (n + x, weil n x > 0. Dmit folgt die Behuptung. 4. Die Zhl 9 n ist für jedes n N durch 8 teilbr (ohne Rest, d.h. 9 n 8 N 3
Beweis: Für n folgt 9 8 N, 8 ws eine whre Aussge ist. (Induktionsnfng. Die Behuptung gelte nun für ein n N (Induktionsvorussetzung. Zu zeigen ist, dss die Behuptung uch für n + gilt: 9 n 8 k N 9 n 8k +. Weiter gilt: 9 n 8 9 9n 8 9 (8k + 8 7k + 8 9k +, 8 worus die Behuptung folgt, weil 9k + N. 7k + 9 8 5. Bei vollständiger Induktion sind beide Schritte wichtig; dies zeigen die beiden folgenden Beispiele: Nch Leonhrd Euler liefert p n n + 4 für n,, 3,..., 40 die Primzhlen p 4, 43, 47,..., 60 ; die Vermutung, dss dies für lle n N gilt ist flsch: n 4 liefert p 4 (keine Primzhl. unvollständige Induktion Behuptung: n k k n (n + ws nch. flsch ist. Es gibt keine Induktionsvernkerung ber der Induktionsschluss lässt sich durchführen: + 3, n+ n k k + (n + k k nch Induktionsvorussetzung. Weiter gilt n (n + + 3 + n +, n (n + + 3 + n + n (n + + 3 + (n + (n + (n + + 3. unvollständige Induktion.6 Der Binomische Lehrstz Motivtion. In ein Bücherregl sollen 0 Bücher eingeordnet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese einzuordnen?.buch: 0 Möglichkeiten.Buch: 9 Möglichkeiten 4
3.Buch: 8 Möglichkeiten... 0.Buch: Möglichkeit Anzhl der Möglichkeiten: 0 9 8... 0!. Wie viele Möglichkeiten gibt es, us diesen 0 Büchern 3 Exemplre zu entnehmen? 0 9 8 0! 7! 3. Legt mn in. keinen Wert uf die Reihenfolge, so reduziert sich die Anzhl von 0! 7! uf 0! 7! 3! Hinweis: Die Anzhl der Anordnung von n Zhlen ist gegeben durch 3... n n! Beispiel: X {,, 3}, 3! 6; Dies gibt Anlss zu folgender Definition: (,, 3; (, 3, ; (3,, ; (, 3, ; (,, 3; (3,, Definition. (Binomilkoeffizient Für k N 0, n N 0 mit 0 k n sei ( n : k n! k! (n k! ( n k heißt Binomilkoeffizient; speziell: ( n 0 Sprechweise: n über k Beispiele:. ( 5 3. ( 4 4 5! 3! (5 3! 5! 3!! 4 5 0 4! 4! (4 4! 0! 3. ( 6 6! 3 3! 3! 4 5 6 3 0 Stz.4(Eigenschften des Binomilkoeffizienten 5
. für n N gilt n! (n! n. für k, n N mit k n gilt ( ( n k n n k 3. für k, n N mit k > n setzen wir ( n k 0 4. für k, n N mit k n gilt ( ( n k + n ( k+ n+ k+ Beweis. trivil. ( n k n! k! (n k! und ( n n k 3. nichts zu zeigen n! (n k! (n (n k! n! (n k! k! 4. sei k < n. Dnn ( ( n n + k k + n! (n k! k! + (n +! (n k! (k +! n! (k + (n +! (n k + (n k! k! (k + (n k! (k +! und ( n + k + Es gilt die Binomische Formel für, b R n!(k + + n k (k +!(n k! Diese Formel knn mn verllgemeinern durch Stz.5 Für, b R, n N gilt. ( + b n n ( n k0 k k b n k. ( b n n ( n k0 k k ( b n k Beweis: Wir gehen induktiv vor Induktionsschritt: Behuptung gilt für n (n +! (k +!(n k! (n +! (k +! (n + k! (n +! (k +!(n k!. ( + b + b + b Linke Seite: ( + b + b Rechte Seite: k0 ( k k b k b + Induktionsschritt:Die Behuptung gelte für ein n (Induktionsvorussetzung, wir zeigen, dss sie dnn uch für n + gilt. 6
( n 0 ( n + 0 ( + b n+ ( + b n ( + b b n+ + ( n 0 ( n + 0 [( n 0 [( n 0 b n+ + n k0 b n + b n+ + + + ( n k+ b n k + k ( n ( n ( n ( n b n + b n + ] b n + ] b n + k0 ( n ( n [( n [( n n k0 n k0 ( n k ( b n k ( + b k ( n k b n k+ k 3 b n +... + b n +... + + + ( n ( n n ( n + k b n+ k. k ( n n+ + n ( n n b n ] b n +... + ] b n +... + ( n n+ n ( n + n+ n + Beispiele:. ( + x 5? Binomischer Stz für, b x, n 5 : ( + x 5 5 k0 ( 5 ( k k (x 5 k Frge: Welcher Fktor steht bei x 4? Antwort: Für k 3 gilt ( 5 ( 3 3 5! 3!! ( 3... 5 4. ( n k ist die Anzhl der Möglichkeiten, us eienr n-elementigen Menge M eine k-elementige Teilmenge uszuwählen: M {, b, c,...x, y, z}, Alphbet; M 6 Frge: Wieviele 3-elementige Teilmengen gibt es? Antwort: ( 6 3 6! 3!3! M {,, 3,...49}, Lottozhlen ; M 49 Frge: Wieviele 6-elementige Teilmengen gibt es? Antwort: ( 49 6... 398386 7
.7 Funktionen Definition.6: Seien X, Y R; eine Vorschrift, die jedem x X genu ein y Y zuordnet, heißt Funktion (oder Abbildung von X nch Y. Nottion: f : X Y, f(x y X: Definitionsbereich von f Y : Bildbereich von f (nicht jedes y Y muss ein Funktionswert sein! für A X ist f(a {y y f(x, x A} f(a heißt ds Bild von A unter f f(x heißt Wertbereich von f Definition.7: Für X, Y R und eine Funktion f : X Y ist der Grph von f definiert über grph(f : {( x f(x }, x X Definition.8: (Ergänzung zum Grphen einer Funktion Für X, Y R und eine Funktion f : X Y heißt {( } x epi(f :, x R, α R, f(x α α Epigrph von f. 8
Kpitel Folgen und Reihen. Folgen Definition.: Für, b R sind Intervlle definiert:. offenes Intervll. geschlossenes Intervll 3. hlboffene Intervlle (, b : {x R, < x < b} < b [, b] : {x R, x b} b (, b] : {x R, < x b} < b [, b : {x R, x < b} < b Im Zusmmenhng mit Funktionen und Folgen wird noch eine Erweiterung der reellen Zhlen benötigt. Definition.: und seien zwei Objekte, die keine reellen Zhlen sind, und für die gilt:. < < R. +, + ( R 3. ± 0, R 4. nicht definiert sind und + ( Beispiel: Für f : R R mit f(x x gilt f(r [0, Für g : R R mit g(x x gilt g(r (, 0] 9
Definition.3: Eine Folge ist eine Vorschrift, die jeder Zhl n N 0 eine reelle Zhl s n zuordnet. Eine Folge ist demnch eine Abbildung von N 0 nch R. Der Definitionsbereich einer Folge knn uch eine echte Teilmenge von N 0 sein. Beispiele:. ( n n,, 3,.... (( n n0,,,,... 3. ( n+ n n, 3, 4 3, 5 4,... 4. ( n n5 5, 6, 7,... Oft ist dnch gefrgt wie sich eine Folge lngfristig entwickelt. Definition.4: Eine Folge (s n nk, k N heißt konvergent genu dnn, wenn es ein s R gibt mit der Eigenschft: s heißt Grenzwert(Limes von (s n nk, k N; ε > 0 n 0 n 0 (ε : n > n 0 (ε : s n s < ε; Schreibweise: lim n s n s oder s n s (n Beispiel. lim n n 0 denn: für ε > 0 wähle n 0 (ε ε ; für n > n 0(ε gilt dnn n < ε und lso gilt lim n n 0. lim n ( n+ n lim n ( + n 3. lim n q n 0 für q <, d.h. < q < n 0 n n < ε; Beweis: q n < ε q n < ε n q n < n ε q < n ε q < ε ln(ε n ln(q < ln(ε n > n ln q mit 0 < ε <, d.h. ln(ε < 0, gilt n 0 ln(ε ln q ; 0
dnn gilt n > ln(ε ln q n ln q < ln(ε ln q n < ln(ε q n < ε q n < ε Stz.5: Seien ( n n0 und (b n n0 Folgen mit n, b n b (n ; dnn gilt. lim n ( n + b n + b, lim n ( n b n b. lim n ( n b n b, b n, b 0 3. lim n n Beispiel: n 4n3 + n 5n 3 + 8 n3 (4 + n 3 n 3 (5 + 8 4 + n 5 + 8 4 (n 5 n 3 n 3 Stz.6: Seien ( n n0 und (b n n0 Folgen mit n, b n (n und (c n n0 eine Folge mit n c n b n n N 0, dnn gilt lim n c n. Spezilfll: Sei c n 0, n N 0, c n b n, n N 0, dnn gilt b n 0 (n c n 0 (n Beispiele:. 0 (n k N, denn n k 0 und n k n k n 0.. n 0 (n, denn n + Definition.7:(Bezeichnung n n + n n n +. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent;. ( n n0 heißt Nullfolge, flls n 0 für n. n + n + n 0.
Hinweis:. Ist ( n n0 eine Folge mit n 0 für n, so ist ( n n0 eine Nullfolge; es gilt n n 0 (n. Der Grenzwert einer Folge ( n n0 ist eindeutig: n, n â â Idee: â n + n â n + n â 0 + 0 lso â 0, d.h. â. Definition.8: Eine Folge ( n n0 nennt mn. beschränkt genu dnn, wenn K > 0 : n K n N 0.. monoton whchsend genu dnn, wenn gilt n+ n n N 0. 3. monoton fllend genu dnn, wenn gilt n+ n n N 0 4. streng monoton wchsend (fllend genu dnn, wenn gilt n+ > n ( n+ < n N 0 Beispiel (. ( n n0 n+ ist streng monoton fllend und beschränkt, denn n0 n + < n + und. ( n n0 (( n n0 n + : K n N 0. ist beschränkt, ber nicht monoton, sondern lternierend! Stz.9
. Jede konvergente Folge ist beschränkt Idee: Für ε > 0 und n n(ε gilt n < ε ε < n < ε ε + < n < ε + ; lso sind die Folgeglieder b n n(ε beschränkt; die ersten n(ε (endlich viele Elemente der Folge sind uch beschränkt, lso sind lle Elemente der Folge beschränkt.. jede monoton wchsende (oder fllende beschränkte Folge ist konvergent Beispiel: Sei q > 0 und n : qn n! ; Monotonie: n+ n q n+ (n+! q n n! qn+ n! q n (n +! weiter gilt q n + n q +, lso ist n monoton fllend für n q +. q (n + ; Beschränktheit: Die ersten (endlich vielen Elemente der Folge stören nicht. Wegen der Monotonie und n > 0 ist die Folge beschränkt. D n beschränkt ist und. Potenzen reeller Zhlen q n+ eine Nullfolge ist, folgt insgesmt, dss n gegen 0 konvergiert: q n+ (n +! q n + qn n! Bisher ist beknnt: für x R und n N gilt: x n n i x x 0 Definition.0:. Für n N, x 0, ist x n : x n. 0 (n.. Für n N x 0 existiert eine eindeutige Lösung der Gleichung x y n ; diese Lösung wird mit bezeichnet. y n x x n 3
3. Für q Q mit q m n, m Z, n N und x 0 schreibt mn x q x m n (x n m 4. Für q R und eine Folge (q n n0 mit q n Q, n N und lim n q n q setzt mn für x > 0 x q lim n xqn Hinweis: Für n N, x < 0 existiert eine eindeutige Lösung y der Gleichung x y n mit y n x / R; y heißt dnn komplexe Zhl. Beispiel: Für x > 0 gilt es gilt Monotonie: für x < y gilt 5 y > 5 x 4 x 0.8 x 4 5 5 x ( 5 x 4 ; ( ( ( y 5 > x 5 y 4 ( 5 > x 4 5 y 4 5 < x 4 5 y 0.8 < x 0.8 Stz.:. Sei > 0 und b, c R; dnn gilt b c b+c ; b c b c. Seien, b > 0, c R; dnn gilt c b c (b c ; c ( c b c b 3. Sei > 0, b, c R; dnn gilt ( b c bc Beispiele:. 3 4 ( ( 7 4+3 5 3 5 3 4
. 3. 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 3 3 3 3 ( 3 3 3 3 3 ( 3 4 ( 4 ( ( ( ( 3 4 Stz. (Reltionen:. Für, b R mit b > gilt: für x > und für x (0,. x b > x x x b < x x. Für, b R mit 0 < < b gilt: für x > und für x (0,. x x b > x x x b < x Beispiele:., b 3, x 4, dnn gilt 4 6 < 4 3 64., b 3, x, dnn gilt ( 3 8 < 3. 3, b, x 4, dnn gilt 4. 3, b, x, dnn gilt Hinweis: Anloge Resultte erhält mn für, b < 0 mit ( 4 4 4 4 > 3 4, 59 3 0, 7 < 0, 79 x α x α Beispiel: (s n n ( n α n, α R; ws gilt für lim n s n? 5
. α 0; s n. α > 0; s n 0 3. α < 0; s n n α n α wegen α > 0 Definition.3:. Sei α > 0; dnn heißt die Funktion f : R (0, mit Exponentilfunktion zur Bsis. f(x : x. Sei > 0; dnn ht die Gleichung x y eine eindeutige Lösung y log (x; die Funktion f : (0, R mit f(x log (x wird Logrithmusfunktion zur Bsis gennnt..3 Exponentilfunktion Bisher f(x x g(x log (x y x y. Beispiel: Beobchtung einer Zellteilung über eine Stunde (h. Anfngsbestnd: s 0 Bestnd nch h.: s Modellnnhme: Die Zhl der Zellen, die sich teilen, ist proportionl zur Zeit:.Modell: Alle Zellen teilen sich in h. s s 0.Modell: Die Hälfte der Zellen teilen sich in h. s ( + ( + ( + 6
3.Modell: Ein Drittel der Zellen teilen sich in 3 h. s ( + 3 ( + 3 ( + 3 ( + 3 3 n.modell: Der Anteil n der Zellen teilen sich in n h. s ( + n n Lemm.3: Die Folge ist konvergent. (( (s n n + n n n Um dieses Lemm zu beweisen, ist zu zeigen, dss s n sowohl beschränkt ls uch monoton wchsend ist. Der Beweis folgt später. Bezeichnung(Definition: lim n ( + n n e nennt mn die Eulersche Zhl. e ist eine irrtionle Zhl und es gilt e, 78... Lemm.5:. Es gilt ( e x lim n ( + n n x ( lim + x n n n. Trotz Gleichheit der Grenzwerte gilt i.a. ( + n nx ( + x n n Beweis: Für x und n gilt ( + n nx 4 ( + x n n 3 3 Zum Beweis von.3:. Wir zeigen, dss für n gilt wir berechnen s n s n s n s n, d.h. s n ist monoton wchsend. ( + ( + n n n n (n + n (n n n n n n 7
( n n ( n (n n n n n n Abschätzung mit der Bernoullischen Ungleichung (( + x n + nx liefert lso gilt s n s n, für n. ( + n ( n ( n ( ( n n. Wir zeigen, dss für lle n N gilt ( + n n 3, d.h. sn ist beschränkt. nch. ist s n monoton wchsend, lso gilt für lle n N wir berechnen eine obere Schrnke für s n : nch dem Binomischen Lehrstz gilt ( + n n + s s s 3... s n... n k0 ( ( n k n k k n ( n n + ( n n k0 n +... + ( ( n k k n ( n n n n ; für k gilt die Abschätzung ( n k n k n! n(n (n... (n k + k!(n k! k!n k n(n (n... (n k + k! n k k! n n n n n n... n k + n k! 3 4... k... k. Also gilt ( + n n + ( n n + ( n n +... + ( n n n n + 0 + +... + n ( k n +, k0 ws nch. gleich + ( n 8
ist. Weiter berechnen wir + ( n + n < + + 3 lso folgt s n 3 für lle n N. Definition.6: Die Logrithmusfunktion zur Bsis e heißt ntürlich Logrithmus. Schreibweise f(x ln(x log e (x, x > 0; es gilt y ln(x x e y. Hinweis: ln(x ist die Umkehrfunktion zu e x, es gilt deshlb ln(e x x ln(e x. Hinweis: Die Log-Funktion lässt sich uch für eine Bsis b > definieren: f(x log b (x; diese Funktion ist die Umkehrfunktion zu b x ; wichtig sind nur b e und b 0; Merkregel: log b ( c b c Spezilfll: log e ( : ln(e c e c neben der Bsis e ist die Bsis 0 eine Stndrdbsis log 0 ( : lg(e c 0 c Umrechnung zwischen verschiedenen Bsen, hier z.b. zwischen Bsis e und Bsis 0: lg( lg(e ln( ln( lg(e 9
Die verschiedenen Umrechnungen ergeben sich us den Rechenregeln für die log-funktion: Stz.7 Es seien x, y > 0; Dnn gelten. log (xy log (x + log (y log ( x y log (x log (y. log ( 0 log ( log ( y log (y 3. log (y y log ( x x 4. log (y x x log (y 5. log (x log (b log b (x,, b > 6. für > ist log (x streng monoton wchsend uf (0,. Speziell gilt y x e ln(yx e x ln(y.4 Reihen Beispiele sind bereits beknnt:. Für x gilt s n n k0 (vergleiche..4.: geometrische Summenformel. Für x < gilt x k xn+ x lim n xn lim n xn+ 0 (vergleiche Beispiel nch Definition.4; dnn gilt 3. Schreibweise k0 xk s n xn+ x x ( xn+ x Definition.8: Gegeben sei eine Folge ( n n0 ; mit s n n k0 k heißt die Folge (s n n0 (unendliche Reihe; sie wird mit k0 k bezeichnet. Hinweis: Eine Reihe ist lso eine Folge von Prtilsummen; 30
Definition.9: Eine Reihe heißt konvergent genu dnn, wenn die Folge der Prtilsummen konvergiert. Schrebweise: s k0 k mit s lim n n k0 k Stz.0 (notwendige Bedingung für Konvergenz. Wenn k0 k konvergiert, dnn ist die Folge ( k k0 eine Nullfolge. Beweis: Sei k0 k konvergent, d.h. R : lim n k0 n k bzw. mit s n k0 k; es gilt dnn R : lim n s n n n k0 n k k s n s n k0 und deshlb lim n lim s n lim s n 0 n n n. Die Umkehrung von. ist flsch. Lemm.(Konvergenzbedingung Sei ( n n0 eine Folge.. flls lim k k+ k. flls lim k k+ k 3. flls lim k k+ k <, so ist n0 n konvergent (Quotientenkriterium >, so ist n0 n divergent. >, so ist Konvergenz und Divergenz möglich. Beispiel:. k k ; Es gilt k0 k. k k ; Hinweis: Es gilt k0 k ist divergent. lim k+ k k lim k+ k k ist konvergent. k+ k k lim lim k (k+ k lim k k. k + lim k. k (k + 3
. Allgemein gilt k k α ist konvergent für α > und divergent für α.. k. k Konvergenz wegen 3. k k! k k ist konvergent. Zur Unbeschränktheit von k k k+ k k+ k k k+ <.. Behuptung: n k k > n, n,, 3 Wir beweisen diese Behuptung induktiv: n : k k + > ist eine whre Aussge. n n + : Die Behuptung gelte für n, wir zeigen, dss sie uch für n + gilt: n+ k n k k n+ k + k n + k > n n+ + k n + die zweite Summe ht n+ ( n + + n Summnden; der kleinste Wer ist ; deshlb n+ gilt und deshlb für die Gesmtsumme n+ k n + n+ k. Behuptung: lim n n k k k k. Wir zeigen k n n+ k > n + n +. K > 0 N(K N : N(K k Beweis: Zu K > 0 wähle N(K K ; dnn gilt nch. N(K k K k k k > K k > K K. k. 3
Kpitel 3 Elementre Funktionen Wir berchten Funktionen f : R R mit x f(x oder f : (0, R; bisher beknnt Exponentilfunktion Logrithmusfunktion f(x x f(x e x f(x log (x f(x log 0 (x lg(x f(x log e (x ln(x f(x x n 3. Polynome Definition 3.: Eine Funktion f : R R heißt Polynom genu dnn, wenn Konstnten 0,,..., n R existieren mit n f(x k x k k0 0 + x + x +... + n x n für lle x R. Die Konstnten 0,,..., n heißen Koeffizienten von f; für n 0 heißt f ein Polynom vom Grd n: grd(f n. Beispiele:. f(x x + x + ht Grd 33
. f(x 5 5x 0 ht Grd 0 Definition 3. Seien f : R R und g : R R Polynome; für lle x R mit g(x 0 heißt die Funktion rtionle Funktion. h(x : f(x g(x Beispiel: f(x x 3 +, g(x x (g(x 0 für x h(x x3 + x, x Definition 3.3 Sei f : R R ein Polynom;. R heißt Nullstelle des Polynoms f genu dnn, wenn gilt f( 0.. R heißt eine r-fche Nullstelle des Polynoms f genu dnn, wenn gilt f(x g(x (x r und g( 0 Beispiele:. f(x x + ht keine Nullstelle.. f(x x ht die einzige Nullstelle. 3. f(x x x + ht die zweifche Nullstelle, denn f(x (x (x (x und g(x. 4. f(x x 4 x 3 + x x + ht die zweifche Nullstelle, denn f(x (x + (x x + (x + (x : g(x (x Hinweis:. Ein Polynom f ht höchstens grd(f Nullstellen in R.. Ein Polynom f ht genu grd(f Nullstellen in C (Menge der komplexen Zhlen. 34
3. Trigonometrische Funktionen Definition 3.4: Für x R sei. sin(x : ( n x n+ n0 (n+!. cos(x : ( n x n n0 (n! für diese Funktionen ist die Zhl π 3, 45... (irrtionl interessnt: sin(π 0 cos(π. Hinweis: Im Einheitskreis (Kreis um den Nullpunkt mit Rdius r gilt für den Kreisumfng U(r rπ U( π. Dmit lässt sich ein Winkel, gemessen in Grd, umrechnen in ds sogennnte Bogenmß: Der Winkel α entsprich dem Bogenmß x α π 80 (π ist die Länge des oberen Hlbkreises des Einheitskreises; α entspricht der Bogenlänge π Hinweis: Die Trigonometrischen Funktionen sin(x und cos(x lssen sich m Einheitskreis drstellen. 80. Stz 3.5: Für die Funktionen sin(x und cos(x gelten für lle k Z die folgenden Eigenschften:. sin(x + π k sin(x cos(x + π k cos(x. exkte Werte: sin(kπ 0 cos( π + kπ 0 sin( π + kπ ( k cos(kπ ( k 3. sin( π 4 cos( π 4 4. (sin(x + (cos(x 5. Additionstheoreme sin(x ± y sin(x cos(y ± cos(x sin(y cos(x ± y cos(x cos(y sin(x sin(y 35
Ergänzung: tn(x : sin(x cos(x x, cos(x 0 x π + kπ cot(x : cos(x x, sin(x 0 x kπ sin(x 3.3 Funktionsgrenzwerte Bisher beknnt: Grenzwert von Folgen n ε > 0 n(ε : n > n(ε : n < ε Definition 3.6. Sei f eine Funktion f : [0, R, R; f ht für x den Grenzwert d genu dnn, wenn gilt ε > 0 x 0 : x > x 0 : f(x d < ε; Schreibweise: lim x f(x d oder f(x d(x.. Sei f eine Funktion f : (, R, R; f ht für x den Grenzwert d genu dnn, wenn gilt ε > 0 x 0 : x < x 0 : f(x d < ε; Schreibweise: lim x f(x d oder f(x d(x. 3. Sei f eine Funktion f : (, R, R; f ht für x x 0 den Grenzwert d genu dnn, wenn gilt ε > 0 δ > 0 x x 0 < δ, x x 0 : f(x d < ε; Schreibweise: lim x x0 f(x d oder f(x d(x x 0. Chrkterisierung über Folgen Flls lim x x0 f(x d, dnn gilt für lle Folgen (x n n mit x n x 0 (n und x n x 0, dss lim n f(x n d. Flls lim x f(x d, dnn gilt für lle Folgen (x n n mit x n (n, dss. lim f(x n d n 36
Flls lim x f(x d, dnn gilt für lle Folgen (x n n mit x n (n, dss. lim f(x n d n Hinweis: (Grenzwert-Regeln Aus lim x x0 f(x d, lim x x0 g(x c, d, c R folgt. lim x x0 (f(x ± g(x d ± c. lim x x0 (f(x g(x d c 3. lim x x0 f(x g(x d c für c 0 und g(x 0. Die Regeln gelten uch für x 0 ±, ber weiterhin endlichen c, d. Beispiele: x. lim x x +3 lim x x lim x (+ 3 x x + 3 x. lim x x; gelte x n, x n ; dnn folgt Beobchtung: f(. f(x n x n 3.4 Stetigkeit Idee: Für eine Funktion f : (, R oder f : [, b] R gilt für jedes x 0 (, oder x 0 [, b]: lim x x 0 f(x f(x 0 Definition 3.7: Eine Funktion wie oben heißt stetig in x 0 genu dnn, wenn gilt Beispiele: ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ f(x f(x 0 < ε. f(x x ist stetig in x 0 x 0 R { x, x 0. f(x, x 0 ist in x 0 0 nicht stetig. 3. f(x e x ist stetig (in jedem Punkt, f(x x ist stetig (in jedem Punkt. 37
Kpitel 4 Differentilrechnung 4. Ableitungen.Ordnung Motivtion: Sei I R ein Intervll, f :( I R, x 0 ( I, n N; x0 x0 + h Seknte durch die Punkte, f(x 0 f(x 0 + h. Anstieg der Seknte: Anstieg der Tngente: d(x 0, h : f(x 0 + h f(x 0 h lim d(x 0, h? h 0 Nottion: d(x 0, h heißt Differenzenquotient. Definition 4.. f : I R heißt differenzierbr n der Stelle x 0 I genu dnn, wenn gilt existiert. f (x 0 lim h 0 d(x 0, h. f (x 0 heißt dnn Ableitung (.Ordnung der Funktion f n der Stelle x 0. 3. f heißt differenzierbr im Intervll I genu dnn, wenn f differenzierbr ist für lle x 0 I. Lemm 4. Ist f n der Stelle x 0 I differenzierbr, so ist f n der Stelle x 0 stetig. (Umkehrung gilt nicht! Beispiele: 38
. f(x c für eine Konstnte c. Dnn ist lso f (x 0. d(x 0, h : f(x 0 + h f(x 0 h c c h 0,. f(x x dnn gilt lso f (x. 3. f(x x 3, f (x 3x. d(x 0, h x 0 + h x 0 h h h, 4. f(x x, f (x x, denn Stz 4.4 (Kettenregel x d(x 0, h 0 +h x 0 h ( h h x 0 + x 0 h ( h x0 x 0 h (x 0 + h x 0 x 0 + x 0 h x (h 0 Sind zwei Funktionen hintereinnder geschltet, d.h. h(x (f g(x : f(g(x, dnn gilt bei Differenzierbrkeit h (x (f g (x f (g(x g (x. Beispiel: f(x x, g(x x + h(x f(g(x (x + h (x (x + Stz 4.5: (Ableitung der Umkehrfunktion Ist g die mkehrfunktion von f, d.h. es gilt f(g(x x, dnn gilt nch der Kettenregel (f(g(x f (g(x g (x (x ; deshlb gilt (g(x f (g(x Beispiele von Ableitungen:. f(x e x, f (x e x 39
. f(x x, f (x log( x, denn f(x x ln(f(x ln( x x ln( x e ln(f(x e x ln( f(x e x ln( f (x e x ln( ln( ln( e ln(x ln( x 3. f(x ln(x, f (x x, denn g(x ln(x, f(x e x und f(x log (x f (x ln( x, denn 4. f(x x r, f (x r x r 5. f(x sin(x, f (x cos(x 6. f(x cos(x, f (x sin(x Stz 4.6 (l Hospitlsche Regeln f(g(x e g(x e ln(x x g (x (ln(x e g(x e ln(x x log (x x ( log (x (x ln( log (x (log (x ln( x (log (x (log (x x ln( Seien f, g : [, b] R stetig und diffbr; gilt für x 0 [, b] g(x 0 f(x 0 0 und g(x 0 x x 0, so folgt f(x lim x x 0 g(x lim f (x x x 0 g (x Beispiele:. lim x 0 e x x lim x 0 e x. lim x 0 sin(x x 3. lim x 0 cos(x x lim x 0 cos(x lim x 0 sin(x x lim x 0 cos(x 4. lim x 0 ( + x x lim x 0 e ln((+x x lim x 0 e x ln(+x lim x 0 e ln(+x x lim x 0 e +x lim x 0 e +x e e Hinweis: Unter Ableitungen höherer Ordnung versteht mn Ableitungen von Ableitungen, z.b. f (f, f (f usw. 40
4. Lokle Extrem Stz 4.7 Sei f : I R diffbr;. Gilt f (x 0 x I, dnn ist f monoton wchsend, d.h. x x f(x f(x. Gilt f (x 0 x I, dnn ist f monoton fllend, d.h. Definition 4.8: Sei f : I R gegeben; x x f(x f(x. x 0 I heißt globles Minimum von f uf I genu dnn, wenn gilt f(x f(x 0 x I. x 0 I heißt lokles Minimu von f uf I genu dnn, wenn gilt ε > 0 : f(x f(x 0 x I : x x 0 < ε Stz 4.9: (notwendige Bedingung Sei f : I R, I [, b]; ist x 0 (, b eine Minimumstelle von f uf I, so gilt f (x 0 0. Stz 4.0: Sei f : I R zweiml diffbr und f stetig; ist f (x 0 0 und f (x 0 0, so ht f n der Stelle x 0 ein (lokles Extremum (Minimum oder Mximum; es gilt f (x 0 0 bei Mxim und bei Minim. f (x 0 0 Beispiele. f(x x 3 3x 9x 5 f (x 3x 6x 9 0 x 3, x f (x 6x 6 f (3 > 0 Minimum, f ( < 0 Mximum.. f(x x e x f (x e x + xe x ( e x ( x f (x ( e x ( x + e x ( e x ( x f ( 0, f ( < 0 Mximum. 4
Kpitel 5 Integrlrechnung 5. Riemnn-Integrl Gegeben: Sei f : [, b] [0, (lso f (x 0 x [, b] Ziel: Berechnung des Fl cheninhlts der Fl che zwischen dem Grphen von f und der x-achse uf dem Intervll [, b]: Idee : Mn schchtelt die Fl che durch eine Obersumme und eine Untersumme ein: Idee : Mcht mn die Unterteilung des Intervlls (Definition immer feiner und hben Obersumme und Untersumme den gleichen Grenzwert, so heißt dieser Grenzwert ds Riemnn-Integrl von f u ber [, b]. Rb Bezeichnung: f (x dx. Die Funktion f heißt dnn integrierbr. Hinweis: 4
[ Teilintervlle I kn : + k n (b, + k ] (b, n N, k,..., n n Beispiel n : I [, b] Länge: (b [ n : I, + b ] (b Länge: [ ] + b I, b n 3 : I 3 [, + 3 ] ( b (b Länge: 3 I 3 [ + 3 ( b, + 3 ] ( b I 33 [ + 3 ] ( b, b. Hinweis: n Obersumme: O n (f mx {f(x x I kn } b n k n Untersumme: O n (f min {f(x x I kn } b n Beispiel: k Sei f : [0, ] (0,, f(x x, b und I kn [ k n, k n]. Dnn gilt O n n k k n n n k k n n(n + n + n ( n n (k U n n n n k n ( n(n + n k k ( n n + n n ( + n n lso gilt: 0 x dx n 43
5. Stz (i Fu r f : [, b] R integrierbr gilt mit c [, b] : b Z c Z f (x dx Z f (x dx + b f (x dx; c (ii Ist f stetig, so ist f uf [, b] integrierbr; (iii die Umkehrung von (b gilt i.a. nicht 5. Definition: (Stmmfunktion Sei f : [, b] R; F heißt Stmmfunktion von f genu dnn, wenn gilt: F0 d F (x f (x x [, b] dx {z } u bliche Schreibweise Beispiel: (i f (x x, (ii f (x 4x3, (iii f (x sin(x, F (x x F (x x4 F (x cos(x 5.3 Stz: (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (i Ist F eine Stmmfunktion der uf [, b] integrierbren Funktion f, so gilt: Z b f (x dx F (b F ( : F (x (ii ist f stetig uf [, b], so ist: Z F (x x f (zdz, eine Stmmfunktion von f. D.h.: F 0 (x f (x. 44 x [, b] b
5. Berechnung von Integrlen Beispiele für Stmmfunktionen: (i f(x x c, c R, c ; F (x c+ xc+ ; (ii f(x x ; F (x e log(x ln(x (iii f(x e x ; F (x ex, 0 (iv f(x sin(x; (v f(x cos(x; F (x cos(x F (x sin(x konkret: (vi π 4 0 (vii π 4 sin(x dx cos(x cos(π 0 4 (b ( cos(0 }{{}}{{} F ( F + + + x dx e log(x e log( e log( e log( ln( }{{} 0 5.4 Stz: (Rechenregeln für Integrle Seien f, g : [, b] R integrierbr und c R; dnn gilt: (i f(x g(x x [, b] (ii b b [f(x + g(x] dx c f(x dx x b b 5.5 Stz: (prtielle Integrtion b f(x dx b f(x dx (Monotonie f(x dx + int b g(x dx (Linerität f(x dx Seien f, g : [, b] stetig und differenzierbr; dnn gilt: Idee: b f (x g(x dx f(x g(x b b f(x g (x dx (f(x g(x f (xg(x + f(xg (x (Produktregel b (f(x g(x dx f(x g(x b... Beispiel: b f (xg(x dx + b f(xg (x dx 45
(i (ii b b x e x dx e x x b b e x dx ln(x dx e b b e e x b e b b e e b + e ; b ln(x dx x ln(x b b x x dx b ln(b ln( b + (x ln(x x b Beispiel: schlechte prtielle Integrtion b x e x dx x e x b b x e x dx }{{} uch nicht einfcher ls xe x dx 5.6 Stz: (Substitution Seien f, g : [, b] R, g differenzierbr und g, f seien stetig, dnn gilt: b f (g(x g (x dx g(b g( f(tdt. Beispiele (i x 0 + x dx x dx 0 + x lso: } g(x x f(t +t und: x + x dx 0 f (g(x +x 0 + t dt ln( + t ln( ln( ln(; 0 (ii 0 x sin ( x 3 dx 3 0 3x sin ( x 3 dx lso: g(x x 3, g (x 3x f(t sin(t und } f (g(x sin ( x 3 46
0 x sin ( x 3 dx 3 0 8 0 3x sin ( x 3 dx sin(t dt cos(t cos(8 +. 8 0 cos(8 + cos(0 5.3 Uneigentliche Integrle 5.7 Definition: (uneigentliches Integrl (i Sei f : [, n R und sei f für lle T [, b uf [, T ] integrierbr, dnn versteht mn ls uneigentliches Integrl b f(x dx den Ausdruck flls der Grenzwert existiert. b T f(x dx lim f(x dx, T b (ii Die Definition gilt sinngemäß für T. Beispiele: (i (ii 0 dx lim x T lim T T ( dx lim x T x ( T + ( dx lim dx lim x T 0 T x T 0 ( lim T. T 0 T x T 47
Kpitel 6 Linere Algebr 6. Mtrizen Idee: Einfche Beschreibung von Gleichungen der Form x + b y c x + b y c Koeffizienten bilden Mtrix Definition 6. ( b A b Ein Zhlenschem... n... n A.. ( ij m i,j. m m... mn heißt Mtrix mit m Zeilen und n Splten Schreibweise: (m n-mtrix Die Menge ller (m n-mtrizen wird mit R m n bezeichnet. Bemerkung. Eine (m Mtrix heißt Spltenvektor. eine ( n Mtrix heißt Zeilenvektor 48
0... 0.. 3... heißt Nullmtrix (jeder Eintrg ist 0... 0... 0... 0.. 4. I n.. heißt Einheitsmtrix (uf der Digonlen, sonst 0, qudrtische Mtrix... 0... Definition 6. (Rechenopertionen für Mtrizen. A, B R m n, A ( ij, B (b ij A ± B ( ij ± b ij. A R m n, A ( ij, c R c A (c ij 3. A R m n, A ( ij,b R n p, B (b ij A B n ik b kj k 4. A T ( ji j,...,n;i,...,m heißt die zu A trnsponierte Mtrix Beispiele ( A, B 3 4 A + B ( 5 6 7 8 ( 6 8 0 T 3 4 5 6 ( 3 7 8 4 5 6 9 ( 3 5 4 6 ( ( 7 + 8 + 3 9 50 4 7 + 5 8 + 6 9 Bemerkung Flls A B existiert so muss B A nicht existieren; die Mtrizen müssen zueinnder pssen! I.A. gilt A B B A. Beispiel 49
. A (, B 3 4 ber B A existiert nicht! ( 5, dnn gilt 6 A B ( 3 4 ( 5 6 ( 5 + 6 3 5 + 4 6 ( 7, 39. die Mtrizen A ( ij, B (b ij heißen gleich genu dnn, wenn ( ij (b ij für lle i, j. Seien ( ( 3 5 A, B, dnn gilt 4 6 3 Stz 6.3(Rechenregeln. A(BC (ABC A B ( 8 6 7. (A + BC AC + BC, A(B + C AB + AC 3. A R m n I m A A AI n 4. (AB T B T A T ( 4 6 B A. 4 6. Linere Gleichungssysteme Definition 6.4 Ein System der Form x + x +... + n x n b x + x +... + n x n b... m x + m x +... + mn x n b m. heißt lineres Gleichungssystem (LGS. Mit A ( ij, x.., b x n Mtrixgleichung Ax b schreiben. x b... b m lässt sich ein LGS ls Definition 6.5 x. Die Menge der Spltenvektoren x.. : Ax b heißt Lösungsmenge des LGS Ax b. x n 50
Zur Lösung eines LGS Folgende Umformungen eines LGS sind möglich, ohne dss sich ihre Lösungsmenge verändert.. Vertuschen zweier Zeilen. Multipliktion einer Zeile mit einer reellen Zhl c 0 3. Addition eines Vielfchen einer Zeile u einer nderen Zeile Ziel der Umformungen ist es, ds LGS in Stufenform zu überführen (Guß-Algorithmus: Es gilt Ax b Ãx b. 0 x b.... 0... 0.... x 0.. 0 n bm }{{}}{{} b à 6.3 Die Inverse Mtrix Ziel: Löse LGS Ax b nch x uf. Definition 6.6 A R n n heißt invertierbr genu dnn, wenn es B R n n gibt mit der Eigenschft AB I n. B A heißt Inverse von A. Bemerkung. Nicht jede Mtrix ist invertierbr. existiert A, so ist A eindeutig und es gilt AA A A I n. Stz 6.7 Seien A, B R n n invertierbr, dnn gilt. A T ist invertierbr und es gilt (A T (A T. AB ist invertierbr und es gilt (AB B A 5