Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der Grezwert wird oft wesetlich detaillierter dargestellt, was eigetlich auch otwedig ist, will ma die Theorie dahiter verstehe. Hier tritt a die Stelle der mathematische Geauheit öfters das sog. had-wavig, sprich das mit dem Häde i der Luft etwas adeute. Zahlefolge Eie Zahlefolge ist geau das, woach es kligt, ämlich eie Folge vo Zahle, z.b. 3, 5, 7, 9. Das hier ist eie edlich Folge, ämlich die der ugerade Zahle bis 0. Ebeso ka ich auch uedliche Folge kostruiere, z.b. die der ugerade Zahle, idem ich bei der kleiste afage: 3, 5, 7, 9,, 3, 5,... Es besteht keie Schwierigkeit, diese Folge beliebig fortzusetze. Ma muss eifach immer zwei weitergehe. Will ma aber alle Glieder dieser Folge aufschreibe besteht i der Tat eie Schwierigkeit, de es sid uedlich viele, ud ma lebt ur eie edlich lage Zeit, welche ma im Zweifelsfall auch icht mit dem Aufschreibe immer größerer ugerader Zahle verbrige will. Also wäre es praktisch, we ma eie Art Formel hätte, die eiem sagt, wie die Folge im Allgemeie aussieht. Glücklicherweise ist das hier icht soderlich schwer, we ma eimal darüber achdekt. Die Folge bestad aus de ugerade Zahle. Die gerade Zahle sid die, die ma durch 2 teile ka. Gerade Zahle ka ma also aufschreibe, idem ma eie bestimmt Zahl mit 2 multipliziert, um die gewüschte Zahl zu erhalte. Ich ehme mir also eie gaze Zahl ud multipliziere sie mit 2. Das gibt mir 2, oder 2, ud das ist eie gerade Zahl. We ich eie ugerade Zahl habe will, muss ich also ur och Eis addiere, de ach eier gerade Zahl kommt eie ugerade. Da habe ich also 2 +, wobei eie gaze Zahl ist. Zur Übug (ud um zu sehe, dass das hier wirklich ugerade Zahle liefert) sollte ma hier 3 oder 4 gaze Zahle i eisetze, um zu überprüfe, ob 2 + da wirklich eie ugerade Zahl ergibt. Damit habe wir die Formel für die Zahlefolge der ugerade Zahle. Sie lautet 2 +. Ma spricht bei so etwas icht vo eier Formel, soder vo eie Vorschrift, ählich wie ma bei eier Fuktio vo eier Fuktiosvorschrift spricht. Formal aufgeschriebe, würde das so aussehe: Die Folge a sei die Folge der ugerade Zahle. Da gilt für a : a = 2 + wobei eie gaze Zahl ist. Was habe ich damit erreicht? Ich habe mir etwas eifalle lasse, wie ich kurz ud kapp auch uedliche Zahlefolge aufschreibe ka, falls (!) ich i de Zahlefolge eie Regelmäßigkeit etdecke. Zur Übug sollte ma eimal versuche, die Regelmäßigkeit i de folgede Zahlereihe zu etdecke ud aufzuschreibe: a =, 5, 9, 3, 7, 2,... b = 3, 5, 7, 9,, 3, 5,... c = 0,, 4, 9, 6, 25, 36, 49,... d = -, 0, 3, 8, 5, 24, 35, 38,... e =, 2, 4, 8, 6, 32,... Grezwerte http://moe.deiger.at
Lösug Übugsaufgabe: a = 4 +, b = 2 + 3, c = 2, d = 2, e = 2 Die Grudidee des Grezwertes Jetzt mag ma sich frage, was das mit dem Grezwert zu tu habe soll. Der Grezwert kommt is Spiel, we ma sich die Frage ach eiem gaz bestimmte Folgeglied stellt. Nehme wir als Beispiel wieder die Folge der ugerade Zahle a = 2 +. Mit Hilfe dieser Vorschrift, ka ma sage, was die siebeuddreißigste ugerade Zahl ist, idem ich = 37 setzte ud das da ausreche. Ma ka sich schließlich auch die Frage stelle, was das letzte Folgeglied ist. Dafür reicht es icht aus, für eie große Zahl zu ehme, wie z.b..000.000.000.000.000.000.000.000. Damit reche ich zwar eie sehr große ugerade Zahl aus, aber diese ist icht das letzte Folgeglied, de ich ka ja immer och um Eis, Zwei, Zeh oder.000.000.000.000.000.000.000.000 größer wähle. Ich muss mich also damit beschäftige, was geschieht, we uedlich groß wird. Dafür beötigt ma schließlich de Grezwert, auch Limes geat. I diesem Beispiel iteressiert mich was geschieht, we uedlich groß wird. Die Atwort ist hier ausahmsweise so eifach wie es aussieht. Ich verdoppele eie uedlich große Zahl ud zähle da och Eis dazu. Was soll dabei scho aderes herauskomme als eie uedlich große Zahl? (WARNUNG: Selte sid Grezwerte so eifach zu bestimme!!!) Also ka ma sage, der Grezwert der Folge a = 2 + ist Uedlich, we gege Uedlich geht. Das gleiche gilt auch für die Folge aus der obige Aufgabe, da diese alle städig größer werde. (Ma sagt dazu auch, die Folge ist mooto wachsed oder mooto steiged.) Die formale Defiitio des Grezwertes Formal stellt ma sich de Grezwert eier Zahlefolge so vor: Ma zeichet die Zahlefolge i ei Koordiatesystem, so wie eie Fuktio. Auf der x-achse zeichet ma das wachsede ab, darüber mit der y-achse das zu eiem bestimmte gehörede Folgeglied a. Für die Folge a = + sieht das da so aus: Die dazugehörige Wertetabelle: 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 a 2,5,33,25,2,66,429,25,,,0909,0833,0769,074,0667 Grezwerte 2 http://moe.deiger.at
Würde ma immer weiter reche, so bekäme ma heraus, dass sich die Nachkommastelle hiter der Eis immer weiter verriger. Je weiter ich mit größer werdedem reche, um so kleier wird das Folgeglied a. Dabei liege die Werte der Folge immer äher a. Sie werde allerdigs icht kleier als. Würde ich also eie Schlauch um lege, so läge ab eiem bestimmte Folglied alle weitere Folgeglieder ierhalb dieses Schlauchs. Bildlich sollte ma sich das so vorstelle: Ich sehe, dass die erste 3 Folgeglieder außerhalb des Schlauchs liege, das vierte liegt irgedwie auf dem Rad, ud alle uedlich viele weitere Folgeglieder liege ierhalb des Schlauchs. Nach meie Berechuge i der obige Wertetabelle liege die Folgeglieder immer äher a. Würde ich also meie Schlauch etwas eger um die Eis ziehe, so würde zu Afags eiige Folgeglieder mehr außerhalb des Schlauchs liege. Allerdigs folge auf diese paar Folgeglieder wieder uedlich viele Folgeglieder, die ierhalb des veregte Schlauchs liege, wie hier i der ächste Grafik agedeutet. Idem wir immer größere Zahle i eisetze ud sie ausreche, betreibe wir das, was wir ebe scho gemacht habe. Im Edeffekt lasse wir gege Uedlich gehe. Ei Uterschied ist allerdigs, dass wir hier keie Folge habe, dere Zahle immer größer werde, soder sie werde immer kleier. (Ma sagt dazu i Aalogie zum Obere: Die Folge ist mooto falled.) Ebe wurde usere Folge uedlich groß. Diese hier wird zwar kleier, aber sie wird icht beliebig klei. Zu Eis addiere wir immer wieder. Das ist ei immer kleier werdeder Bruch, der aber icht Null wird, solage ich größerwerdede Zahle für eisetze. (Ma sagt, die Folge ist ach ute beschräkt, da es eie Schrake gibt, uter die sie icht fällt.) We also gege Uedlich geht, was ist die Kosequez, sprich was ist der Grezwert der Folge a für gege Uedlich? Der Bruch wird immer kleier für größere Grezwerte 3 http://moe.deiger.at
, erreicht Uedlich wird er schließlich Null. Zur Begrüdug dafür muss hier diese Grafik reiche: Der Bruch wird also zu Null, damit bleibt als Ergebis des Grezwertes + 0 = übrig. I Worte gefasst: Für gege Uedlich ist der Grezwert vo a gleich. Dazu sagt ma auch: Für gege Uedlich, kovergiert die Folge gege. ( lim + ) = Zusammegefasst ergebe diese Beobachtuge das Folgede: We eie Folge a mooto fällt bzw. steigt ud we sie ach ute bzw. obe beschräkt ist, da kovergiert sie gege ihre Grezwert a. Das bedeutet, dass ich eie immer kleier werdede Schlauch um ihre Folgeglieder lege ka, ud da immer das gleiche geschieht: Alle Folgeglieder bis zu eiem bestimmte N mit dem zugehörige Folgeglied a N liege außerhalb des Schlauches, alle uedlich viele weitere Folgeglieder a mit > N liege ierhalb des Schlauches. Ud das gilt immer, egal wie klei ich de Schlauch mache. Wie sich das gehört, lässt sich dieser Gedakegag atürlich i eie auf der erste Blick völlig uverstädliche mathematisch Defiitio fasse. Die soll gleich folge, es fehlt ur och eie Überlegug dafür. Ma muss sich och überlege, wie der Abstad zwische eiem Folgeglied a ud dem Grezwert i eiem immer eger werdede Schlau formal erfasst werde ka. Das macht ma wie folgt: Ich wähle mir als Breite des Schlauches eie positive Zahl, klassischerweise immt ma hierfür de griechische Buchstabe Epsilo. (Das ist das Zeiche i de obige Grafike, das aussieht wie ei verkümmertes großes Druckschrift E.) Der Abstad zwische eiem Folgeglied a ud dem Grezwert a ist a - a. Da diese Zahl auch egativ werde köte, ehme ich davo de Absolutbetrag, de ich will ja, dass mei Abstad eie positive Zahl ist. Also ist der Abstad vo eiem beliebige Folgeglied a zum Grezwert a gleich a a. Ebe habe wir festgestellt, dass ich mir eie Schlauch der Breite ε wähle ka, ud da ab eiem N alle Folgeglieder a mit > N ierhalb des Schlauches liege. Das bedeutet, dass der Abstad zwische Folgeglied ud Grezwert kleier ist als der Schlauch breit ist. Wem das jetzt och icht klar ist, empfehle ich eie lage Blick auf diese Grafik. Grezwerte 4 http://moe.deiger.at
Damit komme wir edlich zur formale Defiitio des Grezwertes. Es sei eie Folge a gegebe. Es sei ε > 0 beliebig. a kovergiert für gege Uedlich geau da gege de Grezwert a, we eie gaze Zahl N existiert, so dass a a < ε für alle > N. Die praktische Bestimmug vo Grezwerte - Rechuge Natürlich ka ma auch Grezwerte aders bilde als ur für gege Uedlich. Ma ka gege jede erdekliche Zahl laufe lasse. Das ka zu sehr eifache Rechuge führe, aber auch zu mächtig komplizierte. Soll ma de Grezwert eier Folge ausreche, köe eiem eiige Rechetricks ud die Ketis eiiger Grezwerte vo bestimmte Folge helfe. Eiige dieser Basis-Folge solle hier aufgeführt werde. Wir begie mit a =. Lässt ma gege Uedlich gehe, so wird a immer kleier, bleibt aber eie positive Zahl. Der Grezwert vo a ist also 0. Noch eifacher ist es bei Folge der Art a =, a = 2 oder a = 3. Für immer größer werdedes werde auch diese Folge ubeschräkt immer größer, der Grezwert ist da Uedlich. I diesem Zusammehag merke ma sich auch, dass we eie Folge a gilt, dass sie gege Uedlich geht, so geht ihr Kehrwert a gege Null. So ist also der Grezwert vo a 2 gleich Null für gege Uedlich. Beachte sollte ma auch die Vorzeiche. Ist die Folge a = gegebe, so geht sie gege falls gege geht. Beim Ausreche vo Grezwerte bediet ma sich eiiger Rechetricks, wie z.b. bei der Folge a = 2. Diese berechet ma, idem ma Grezwerte teilweise bestimmt, wie folgt: lim a = lim 2 = lim 2 ( ) = Wieso gehe ich hier so vor ud was ist passiert? We ich de Limes eifach so bilde will, stehe ich vor dem Problem, dass ich Uedlich vo Uedlich abziehe muss. Was das sei soll weiß iemad, de dieser Ausdruck ist icht defiiert. Also hebe ich 2 heraus, ud erhalte so ierhalb der Klammer die Nullfolge, d.h. eie Folge, die gege Null geht für gege Uedlich. Damit geht der Ihalt der Klammer gege, ud da 2 gege Uedlich geht, geht der gesamte Ausdruck gege Uedlich. Auch ka ich beim Bestimme des Grezwertes Brüche kürze, so wie im folgede Beispiel, i dem die Folge ei Bruch ist. Grezwerte 5 http://moe.deiger.at
a = 2 3 + 5 lim a 2 = lim 3 + = lim 2 5 2 + 3 = lim + 3 = 0 Weil ich hier 2 ausklammer ka, erhalte ich im Neer des Bruchs ei Folge, die gege Uedlich geht. Somit ist der Grezwert dieser Folge Null. Als letztes ei Beispiel, bei dem der Grezwert icht existiert. Ich betrachte die Folge a = ( ). Diese Folge ist sowohl ach obe als auch ach ute beschräkt, de sie immt immer abwechseld für gerade de Wert ud für ugerade de Wert - a. Damit ist sie icht mooto. Da wir obe gesehe habe, dass eie Folge da ud ur da kovergiert, we sie beschräkt ud mooto ist, kovergiert diese Folge icht. Mit adere Worte, es lässt sich eifach kei Grezwert bestimme. Grezwerte 6 http://moe.deiger.at