2 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dominik Tsndy) 9.August 2
Inhltsverzeichnis Integrlrechnung 2. Definition und Bedeutung.............................. 2.2 Unbestimmtes Integrl................................ 6.3 Bestimmtes Integrl.................................. 7.4 Prtielle Integrtion..................................5 Integrtion durch Substitution............................ 2.6 Uneigentliche Integrle................................ 6
Integrlrechnung Wir hben in den letzten Tgen bereits die Ableitung, respektive ds Differenzieren, kennengelernt. Wir kommen nun zur entgegengesetzten Richtung, der Integrlrechnung. Ziel des ersten Teils ist, zu zeigen, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen dem Ausrechnen des Flächeninhltes unter dem Grphen einer Funktion f und dem Finden einer Funktion F mit der Eigenschft F = f, einer sogennnten Stmmfunktion von f. Im zweiten und dritten Teil werden wir Integrtionsregeln und Integrtionsmethoden behndeln, welche uns helfen eine gegebene Funktion f zu integrieren. Schliesslich werden wir im vierten und letzten Teil uns noch mit sogennnten uneigentlichen Integrlen beschäftigen.. Definition und Bedeutung Wir betrchten eine Funktion f(), welche überll ist. Wie gross ist die Fläche, welche zwischen dem Grphen der Funktion und der Achse sowie den vertiklen Gerden = und = b liegt? f() b Wir teilen diese Fläche in n Stücke uf, und zwr so, dss wir sie einerseits von unten und ndererseits von oben pproimieren: 2
b f() Wir bruchen fogende Bezeichnungen: Innere Treppenfläche U n : Äussere Treppenfläche O n : Die schrffierte Fläche Die schrffierte plus die gekreiselte Fläche Unterteilen wir nun die Fläche in immer kleinere Stücke, so wird die Approimtion immer besser. Anders gesgt, bekommen wir den korrekten Flächeninhlt, sobld wir n lufen lssen. Definition. Flls lim U n = lim O n, n n wird dieser Limes ls bestimmtes Integrl bezeichnet, und wir schreiben b f() d. Für eine positive Funktion entspricht lso ds Integrl gerde der Fläche unter der Kurve. Bemerkung. Für eine stetige Funktion ist obige Bedingung immer erfüllt. Es gibt ber Funktionen, bei welchen ds nicht mehr zutrifft. Betrchte, Q [, ] f() =, / Q [, ] Dnn gelten U n = und O n = für lle n N und somit lim n U n = = lim n O n. Der Grph dieser Funktion lässt sich nicht zeichen, d der Wert beliebig schnell zwischen und 3
hin und her springt. In diesem Fll ist uch nicht klr, ws die Fläche unter diesem Grphen sein soll. Dies erfordert eine tiefergehende Behndlung der Integrtionstheorie. Beispiel. Wir betrchten die Funktion f() = 2 und wollen die Fläche von bis zu einer Zhl b berechnen. 25 2 5 5 2 3 4 5 Wir unterteilen die Fläche zuerst wieder in n Teile und pproimieren sie von oben sowie von unten. 24 24 2 2 6 6 2 2 8 8 4 4 2 3 4 5 2 3 4 5 Wir werden folgende Formel benutzen: n k= Wir erhlten für die äussere Treppenfläche k 2 = n(n+)(2n+) 6. O n = b ( ) 2 b n + b ( ) 2 2b n n + b ( ) 2 3b n n + + b ( nb n n n ( ( = b ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ) 2 b 2b 3b nb n + + + + n n n n = b3 n ( 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2) 3 ( ) ( ) n(n + )(2n + ) = b3 (n 2 + n)(2n + ) 6 n 3 6 ( ) ( 2n 3 + 3n 2 + n) = b 3 6 3 + 2n + ) 6n 2 = b3 n 3 = b3 n 3 ) 2 4
lso ( lim O n = lim b 3 n n 3 + 2n + ) = b3 6n 2 3. Auf die gleiche Art und Weise erhlten wir für die innere Treppenfläche und für den Limes U n = b n 2 + b n ( ) 2 b + b n n ( ) 2 2b + + b n n = b3 n ( 2 + 2 + 2 2 + + (n ) 2) 3 ( ) = b3 (n ) n (2(n ) + ) n = b 3 3 6 ( lim U n = lim b 3 n n 3 2n + ) = b3 6n 2 3. Die zwei Grenzwerte stimmen überein, und somit erhlten wir ( (n )b n ) 2 ( 3 2n + ) 6n 2 Allgemein bekommen wir sogr b b 2 d = b3 3. 2 d = b3 3 3 3. 5
.2 Unbestimmtes Integrl Eine Funktion F () heisst Stmmfunktion der Funktion f(), flls F () = f(). Wenn F () eine Stmmfunktion von f() ist, dnn bezeichnet mn f() d = F () + C ls unbestimmtes Integrl. Dbei ist C R eine Konstnte. Es reicht us, die Integrle von ein pr wichtigen Funktionen zu kennen, um integrieren zu können. Zusmmen mit den Eigenschften der Integrtion sowie wie mit den Methoden prtiellen Integrtion (Kpitel.4) Substitution (Kptiel.5) können wir fst lle Integrle berechnen. Drum gleich zu Beginn, die wichtigsten Funktionen integriert (überprüfen durch Ableiten):. 2. 3. 4. 5. 6. d = 2 2 + C n d = n + n+ + C, e d = e + C d = ln( ) + C sin() d = cos() + C cos() d = sin() + C wobei n R\{ } D konstnte Zhlen bgeleitet ergeben, setzten wir nch der Integrtion immer eine Konstnte C dzu, dmit wir den möglichst llgemeinen Fll erhlten. Diese Konstnte wird Integrtionskonstnte gennnt. Eigenschften: c f() d = c f() d für c R (f() + g()) d = f() d + g() d 6
.3 Bestimmtes Integrl Wir hben gesehen, dss ds bestimmte Integrl b f() d die Fläche zwischen dem Grphen der positiven Funktion f() und der -Achse zwischen den Integrtionsgrenzen und b ngibt. Im Unterschied zum unbestimmten Integrl ist dies eine Zhl, keine Funktion. f() b Zusätzliche Eigenschften: Für c b gilt: b c b f() d = f() d + f() d Vertuschen der Integrtionsgrenzen: c b f() d = f() d b Nun wollen wir ber ds Integrl b f() d berechnen. Ds wird mit Hilfe der Stmmfunktion F () gemcht und zwr nch dem Huptstz der Integrlrechnung: und wir schreiben uch b f() d = F (b) F () b b f() d = F (). 7
Beispiel. 5 3 d = 4 4 3 5 3 = 54 4 34 4 = 544 4 = 36 Gesucht ist die Fläche, die zwischen der y-achse, dem Grphen von e und der konstnten Funktion y = e eingeschlossen ist. ep e Der Schnittpunkt von e und e liegt bei, dher sind und die Integrtionsgrenzen. (e e ) d = [ e e ] = e e ( ) = Bis jetzt hben wir immer Funktionen f betrchtet. Ws pssiert mit dem Flächeninhlt, wenn die Funktion negtiv wird? Flächen unterhlb der Achse werden negtiv gezählt (denn bei der Berechnung der jeweiligen Ober- und Untersumme wird die Intervlllänge (positiv) mit dem Funktionswert (negtiv!) multipliziert). + + 8
Beispiel. Wir wollen die Fläche zwischen dem Grphen von sin() und der Achse zwischen und 2π berechnen:.8.4. 2 3 4 5 6.4.8 Berechnen wir 2π sin() d = cos(2π) + cos() = + =, entspricht dies nicht der Fläche. Die Fläche oberhlb der -Achse und diejenige unterhlb der -Achse heben sich gegenseitig uf. Die Fläche ber entspricht dem Integrl 2π sin() d. Wir teilen die Funktion in die positiven und in die negtiven Teile uf:, flls π sin(), flls π 2π und erhlten somit 2π sin() d = π sin() d + 2π π ( sin()) d = cos() π + cos() 2π π = cos(π) ( cos()) + cos(2π) cos(π)) = ( ) + + ( ) = 4. 9
.4 Prtielle Integrtion Die Prtielle Integrtion entspricht der Produktregel der Differentition, welche lutet: (f g) = f g + f g, respektive etws umgeformt f g = (f g) f g. Durch integrieren beider Seiten, erhlten wir f g d = (f g) d f g d D h d = h + C für jede Funktion h, entspricht dies f g d = f g f g d (+C) Dies nennt mn die prtielle Integrtion. Die zu integrierende Funktion muss lso usgedrückt werden können ls Produkt zweier Funktionen f() g (). Diese Regel gilt sowohl für unbestimmte ls uch für bestimmte Integrle. In solchen Formeln wird die Konstnte C häufig weggelssen, d sie in den unbestimmten Integrlen bsorbiert werden knn. Überhupt muss mn mit Formeln, die unbestimmte Integrle enthlten vorsichtig sein. Die Version für bestimmte Integrle nimmt folgende Form n: b f g d = f g b b f g d Beispiel. Um cos() d zu bestimmen, wählen wir die Funktionen: f() = f () = g () = cos() g() = sin() Dnn gilt: cos() d = f()g () d = f()g() f ()g() d = sin() sin() d = sin() + cos() + C. Zur Kontrolle, dss dies uch die richtige Stmmfunktion ist, können wir die Stmmfunk-
tion bleiten: ( sin() + cos() + C) = sin() + cos() sin() + = cos(), ws der ursprünglichen Funktion entspricht. Wir hben lso richtig integriert! Für e 2 ln() d betrchten wir: f() = ln() g () = f () = g() = Dmit gilt: e2 ln() d = e2 ln() d = ln() e 2 e2 d = e 2 ln(e 2 ) ln() e 2 = e 2 2 ln() e 2 + = e 2 +. Dieses Beispiel zeigt, weshlb mn vorsichtig sein muss mit den Formeln für unbestimmte Integrle d = d = d = + ( ) d 2 Niv könnte mn drus schliessen, dss =! Ds Problem ist, dss uf beiden Seiten der Gleichung unbestimmte Integrle stehen, die implizit jeweils eine Konstnte enthlten, ber eben nicht zwingend die gleiche. Mn drf dmit nicht rechnen wie mit Zhlen!
.5 Integrtion durch Substitution Wenn die zu integrierende Funktion von der Form f(g())g () ist, ds heisst, ds Integrl ht folgende Form f(g())g () d, dnn können wir die Funktion g() durch eine Vrible u ersetzten und dnch über u integrieren. Nicht immer ist diese Form einfch bzulesen. Vermuten wir, dss wir Substitution nwenden können, probieren wir es einfch us, und zwr wie folgt: (i) Suche eine Funktion, welche wir ersetzten wollen: u = g(). (ii) Leite u nch b: du d = g (). (iii) Löse diese Gleichung nch d uf: d = du. g () (iv) Ersetzte im Integrl g() durch u und d durch du. Flls es ein bestimmtes Integrl ist g () und Integrtionsgrenzen und b vorkommen, werden diese ersetzt durch u() und u(b). g() u d du g () Integrtionsgrenzen, b u(), u(b) (v) Ds g () sollte sich nun ruskürzen, so dss im Integrl kein mehr vorkommt. Pssiert ds nicht, können wir nicht Substitution nwenden oder müssen eine ndere Substitution vornehmen. Sonst weiter zum nächsten Schritt. (vi) Es gilt nun: f(g())g () d = f(u)du respektive b f(g())g () d = u(b) u() f(u)du Ds neue Integrl entspricht lso dem lten Integrl. (vii) Beim unbestimmten Integrl müssen wir wieder g() für u einsetzen um die Lösung zu bekommen. 2
Bemerkung. Ansttt ds bestimmte Integrl mit Integrtionsgrenzen direkt zu lösen, knn ds Integrl uch zuerst nur unbestimmt, ds heisst ohne Integrtionsgrenzen, betrcht werden. Dnn müssen nch dem Lösen des Integrls und der Rücksubstitution (u durch g() ersetzen) noch die Integrtionsgrenzen eingesetzt werden. Beispiel. Wir wollen ds Integrl e 2 d lösen und setzen dfür u() = 2. Es folgt, dss du d = 2, und somit d = du 2. Wir erhlten somit e 2 d = e u du 2 = e u du 2 = 2 eu + C = 2 e2 + C. Nun ein bestimmtes Integrl. Wir berechnen Wir setzen u = + und erhlten du d + d: =, lso du = d. + d = u() u du = u() 2 u 2 du = 2 u 2 2 = 2 2 2. 3
Bemerkung. Vergleich Prtielle Integrtion Substitution: Wnn benutzen wir prtielle Integrtion, wnn die Substitution? Grundsätzlich können wir drei Punkte festhlten.. Finden wir im Integrl eine Funktion einer Funktion? Also sows wie f(g())? Substitution (d.h. g() ersetzen) 2. Werden im Integrl zwei Funktionen multipliziert, es kommen ber keine Funktionen in Funktionen vor? Prtielle Integrtion 3. Ist ds Integrl nch Anwendung einer der Methode komplizierter ls vor dem integrieren, dnn wurde entweder die flsche Methode gewählt, oder es muss etws nderes substituiert oder die prtielle Integrtion nders ngewendet werden. (In seltenen Fällen muss ds Integrl zuerst komplizierter gemcht werden, um es dnn lösen zu können, ber ds ist für Fortgeschrittene.) Es brucht etws Intuition um jeweils die richtige Methode richtig uszuwählen... mit etws Übung klppt ds ber schon. Einfch nicht ufgeben und usprobieren. 4
Beispiel. Wnn soll welche Methode wie ngewendet werden? Ein pr Beispiele: Funktion Methode Ws wird wie ersetzt? sin( 3 2 + π 6 ) t cos(t) e y cos(y) 5 ln() ln ( ) 8 3 ln() 2 cos() (3 2 5) 6 5
.6 Uneigentliche Integrle Frgestellung: Knn mn eine nicht beschränkte Fläche berechnen? Ws pssiert, wenn die Integrtionsgrenzen unendlich oder Polstellen der Funktion sind? Fll : Knn mn die Fläche unter dem Grphen von f() uf dem Intervll [A, [ messen? Wenn lim N N A f() d eistiert, dnn nennt mn dies ein uneigentliches Integrl und schreibt: A f() d Beispiel. Wir lösen ds Integrl N d = lim e n n e d. e d mit prtieller Integrtion: f() = f () = g () = e g() = e N N e d = e + N e d = Ne N e N ( e ) = e N (N + ) + Wegen lim N ( e N (N + )) eistiert der Grenzwert und es gilt: e d = lim N N e d =. 6
Fll 2: Knn mn die Fläche unter dem Grphen von f() uf einem Intervll messen, welches eine Polstelle bei A beinhltet? Anlog zum ersten Fll: Wenn B lim α A α eistiert, dnn eistiert ds uneigentliche Integrl: f() d B A f() d Beispiel. Betrchte d = lim ε ε d. D ε d = 2 ε = 2 2 ε und lim ε ε =, folgt Beispiel. Betrchte ε d = 2 eistiert. d = lim ε d = ln() ε ɛ d. D = ln() ln(ε) = ln(ε) für ε folgt d eistiert nicht. 7