Monte-Carlo-Techniken bei modernen Kreditrisikomodellen ein Beispiel

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1 Monte-Carlo-Techniken bei modernen Kreditrisikomodellen ein Beispiel Verfasser: Dr. Michael Lesko Stephan Vorgrimler GILLARDON financial software GmbH Die Modellierung und das Management von Kreditrisiken sind die zentrale Herausforderung für die Bankinstitute. Eine bedeutende Rolle im Spannungsfeld zwischen "Kernkompetenz Kreditgeschäft und "Hauptrisikoquelle Kreditgeschäft wird in Zukunft den Kreditportfoliomodellen zukommen. 1 Der zentrale Nutzen von Kreditrisikoportfoliomodellen ist die quantitative Messung des Risikos für das Kreditportfolio einer Bank. Diese Information ist von höchster Relevanz, da sie im Gegensatz zum regulatorisch festgelegten Eigenmittelbedarf für Kreditrisiko das tatsächliche ökonomische Risiko und den damit verbundenen Eigenmittelbedarf aufzeigt. 2 Diese Messung stellt auch die Grundlage für anschließende Analysen bezüglich Diversifikation und Konzentrationen dar. Nur basierend auf diesen Erkenntnissen aus Messung und Analyse kann eine ökonomisch adäquate Risiko-Ertrags-Steuerung der Kreditrisiken umgesetzt werden. Modernen Kreditportfoliomodellen wird im Rahmen des Managements des bankeigenen Kreditportfolios zukünftig eine bedeutende Rolle zukommen, da sie ermöglichen, den tatsächlichen Risikogehalt des Portfolios zu messen. Eine zentrale Technik zur Modellierung von Risiken sind Monte-Carlo-Techniken, diese sind auch der Methodenkern verschiedener Kreditportfoliomodelle. Im vorliegenden Aufsatz wird die Simulationstechnik, die bei dem bekanntesten aktuell diskutierten Kreditportfoliomodell CreditMetrics von J.P. Morgan angewandt wird, erläutert. Eine zentrale Einschränkung für die schnelle Einführung von Kreditportfoliomodellen stellen in Deutschland fehlende oder nicht historisierte Daten dar. Die Autoren unterbreiten einen Vorschlag für einen schnellen Einstieg, der auf einer einfachen Modifikation von CreditMetrics beruht. Dieser dürfte v. a. für kleine und mittlere Banken von Interesse sein. Sowohl bei dem bekanntesten Modell CreditMetrics von J.P. Morgan wie auch den makroökonomisch motivierten Modellen von Thomas Wilson und dem Competenz Centrum Risk Management (CCRisk Management) der Universität Regensburg kommen sie zur Anwendung. 5 CreditMetrics besteht aus drei zentralen Bestandteilen (Bewertung der Geschäfte, Simulation von zukünftigen Bonitätszuständen und Risikoauswertungen), die Grundlagen wurden bereits in Schwicht/ Neske (1997) und Schulte- Mattler/Stausberg (1998) vorgestellt. 6 CreditMetrics ist ein Modell, das im Gegensatz zu diversen optionstheoriebasierten Modellen nicht die Feinstruktur des Ausfalls zu erklären versucht, sondern Ausfallwahrscheinlichkeiten als exogen gegeben betrachtet. Das Modell bewertet Markto-Market und bildet sowohl Wertveränderungsrisiken wie auch tatsächliche Ausfallrisiken ab. Marktpreisrisiken werden nicht integriert behandelt. 7 Wie die anderen Portfoliomodelle richtet CreditMetrics seinen Blick auf das Segment der Firmenkunden, gleichwohl gibt es prinzipielle Möglichkeiten, Privatkunden in die Betrachtungen zu integrieren. Die Berücksichtigung verschiedener Geschäftstypen (Swaps, variable Anleihen) ist möglich. 8 Im folgenden werden nur Festzinskredite betrachtet. Zentral bezüglich der Entscheidung über den Einsatz eines bestimmten Portfoliomodells ist zum einen das Verständnis der Prämissen, die einem Modell zu Grunde liegen, zum anderen die Kenntnis der vom Modell benötigten Eingangsdaten. Somit kann man sagen, dass die Entscheidung der Einführung eines Kreditportfoliorisikomodelles durch den Kompromiss aus Modellrisiken und Datenrisiken determiniert wird. Monte-Carlo-Simulationen als eine zentrale Technik Eine zentrale Technik bei der Modellierung von Risiken sind sogenannte Monte-Carlo-Simulationen. 3 Diese Techniken sind relativ vielseitig einsetzbar und kommen als numerische Methoden vor allem dann zum Einsatz, wenn ein Problem nicht mittels geschlossener Formeln, also analytisch, gelöst werden kann. Auch bei den meisten aktuell diskutierten Kreditrisikomodellen spielen Simulationstechniken eine zentrale Rolle. 4 Prämissen und Datenanforderungen Den Daten kommt eine überragende Bedeutung im Kontext der Kreditrisikomessung zu. Im Gegensatz zur Situation bei Marktpreisrisiken sieht man sich mit diversen Problemen konfrontiert. So werden relevante Daten (zum Beispiel Rating) teilweise erst seit kurzem erhoben. Hieraus resultieren unmittelbare Probleme wie fehlende oder statistisch insignifikante Historien dieser Informationen. Andere Daten wie beispielsweise am Markt beobachtbare Risikozuschläge, sogenannte Credit Spreads, sind fast gar nicht verfüg- 55

2 bar. Das beste Modell kann nur dann verlässliche Ergebnisse erbringen, wenn die Eingangsdaten von geeigneter Qualität sind. Eine ausführliche Darstellung der Prämissen findet sich im Technical Document 9, deshalb wird an dieser Stelle auf die zentralen Prämissen nur in knapper Form hingewiesen. Zentral bei CreditMetrics ist die Liquidationsannahme, das heisst man unterstellt, dass eine Liquidation des Portfolios am Zeithorizont (zum Beispiel T = 1 Jahr) möglich ist. 10 Des weiteren wird unterstellt, dass die Kontrahenten geratet sind, Bonitätsänderungen werden über Ratingänderungen 11 abgebildet. Eine weitere Annahme ist, dass am Kapitalmarkt pro Ratingklasse und Laufzeit ein Risikozuschlag im Vergleich zu einer risikolosen Anleihe existiert. Die Übergangswahrscheinlichkeiten (Migrationswahrscheinlichkeiten) einer Ratingklasse sind so aufzufassen, dass sie für alle Kreditnehmer auch individuell gelten. Für die Korrelationen von Kontrahenten wird davon ausgegangen, dass diese zum einen durch einen branchenspezifischen Anteil und zum anderen von einer idiosynkratischen (unternehmensindividuellen) Komponente geprägt sind. Mit Ausnahme der Ratingmigrationen, die simuliert werden, werden alle anderen Parameter als zeitstabil angenommen. Tabelle 1 gibt eine Übersicht der Datenanforderungen. Während für den US-Markt ein hervorragendes "Data-Providing durch J.P. Morgan selbst existiert, müssen kleine und mittlere deutsche Bankinstitute andere Datenquellen nutzen. Struktur von CreditMetrics 13 Die Bausteine von CreditMetrics Baustein 1 Bewertung der Geschäfte Baustein 2 Simulation möglicher Bonitätszustände Baustein 3 Risikoauswertungen und Value-at-Risk Abbildung 1 Der erste Baustein des Modells beinhaltet die Bewertung der Rest-Cash-Flows der Kreditengagements unter Berücksichtigung der durch die Ratingklasse gegebenen Risikozuschläge. Die Bewertung auf den Zeitpunkt T = 0 beinhaltet für jedes Kreditengagement die risikobehaftete Abdiskontierung (risikolose Zero-Bond-Rendite + ratingspezifischer Risikozuschlag je Laufzeit) des jeweiligen Rest-Cash-Flows. Für den Risikohorizont T = 1 erfolgt für jedes mögliche Rating (AAA,.., CCC) eine Bewertung der Rest-Cash-Flows, die zum oder nach dem Horizont anfallen, durch Abdiskontieren (risikolose Forward-Zero-Bond-Rendite + ratingspezifischer Risikozuschlag je Laufzeit). Für den Übergang in den Extremfall der Bonitätsänderung, den Ausfall bis zum Risikohorizont T = 1, wird der Nominalbetrag mal eine Rückzahlungsquote angesetzt. 14 Abbildung 5 und Abbildung 6 visualisieren den Sachverhalt für ein fiktives Beispielportfolio von zehn Kreditnehmern und endfälligen Kreditengagements. 15 Methodik von Credit- Metrics Die Grundstruktur von CreditMetrics zeigt Abbildung 1. Die Abbildungen 2 bis 4 beschreiben die drei Teilbausteine des Modells in detaillierter Darstellung. Die Schritte 1 und 3 werden nur kurz skizziert, den Schwerpunkt der Betrachtungen stellt Schritt 2, der Simulationsvorgang, dar. DATENANFORDERUNGEN UND DATENQUELLEN Tabelle 1 Eingangsdaten Provider 12 Alternativ für deutsche Banken Risikolose Zinsstruktur(en) J.P. Morgan Bundesbank Rating- und laufzeitabhängige Risikozuschläge J.P. Morgan Intern ermitteln oder synthetisch erzeugen Rating-Migrationswahrscheinlichkeitsmatrix J.P. Morgan Intern ermitteln oder synthetisch erzeugen Rückzahlungsquoten J.P. Morgan Intern ermitteln oder synthetisch erzeugen Branchenkorrelationsmatrix J.P. Morgan z.b. CDAX als Ausgangsbasis Nominalkonditionen des einzelnen Intern Intern Kreditengagements Rating und Branchenzugehörigkeit Intern Intern Gewichte für den Einfluss der anteiligen Intern Intern Branchenentwicklung auf die Bonität Gewicht für den Einfluss der schuldner- Intern Intern spezifischen Anteile auf die Bonität 56

3 Die Simulation der Bonitätszustände Zentral ist es, die zufälligen Bonitätszustände (Ratings) der Kreditnehmer und damit des Kreditportfolios am Zeithorizont T = 1 zu bestimmen. Darstellungen der Bewertung eines einzelnen Kreditengagements (Stand-Alone-Bewertung) sowie die analytische Lösung bei einem zweidimensionalen Portfolio auf Basis bivariater Normalverteilung finden sich in Schwicht/Neske (1997) und Schulte-Mattler/Stausberg (1998) 16. In der praktischen Anwendung von CreditMetrics wird eine sogenannte "Structured-Monte-Carlo Simulation durchgeführt. 17 Die Ursache für die Nutzung der Simulationstechnik begründet sich darin, dass der vermeintliche Vorteil die Bewertung mittels geschlossener Formeln, das heisst multivariater Normalverteilungen durchzuführen, bereits für kleinere Portfolien zu numerischer Ineffizienz führt, da zunächst Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ratingkombinationen ermittelt werden müssen. Diese Simulation ist der Kern des zweiten Bausteins des Modells. Ihre Idee wird im folgenden kurz skizziert. Eingangsgrößen Zwischenschritt Ergebnisse Risikolose Zinsstruktur Risikozuschläge Rückzahlungsquoten Engagementinformationen Nominalkonditionen Branche Rating SCHRITT 1 "BEWERTUNG DER KREDITE Erzeugen risikobehafteter Zero-Bond Diskontfaktoren Erzeugen risikobehafteter Forward Zero-Bond Diskontfaktoren Erzeugen der Cash-Flows Bewerten jedes Kredites zu T = 0 gemäß seines Ratings Bewerten jedes Kredites zu T = 1 für jedes mögliche Rating SCHRITT 2 "SIMULATION BONITÄTSZUSTÄNDE Eingangsgrößen Zwischenschritt Ergebnisse Ratingmigrations-Matrix Branchenkorrelations-Matrix Unternehmensindividueller Einfluss Übersetzung Ratingänderung in Firmenwertänderung Bestimmen Portfolio- Korrelationsmatrix Cholesky Faktorisierung Zufällige korrelierte Firmenwertänderung je Engagement Rückübersetzung in Rating SCHRITT 3 "RISIKOAUSWERTUNGEN Eingangsgrößen Ergebnisse Schritt 1 Ergebnisse Schritt 2 Ergebnisse Individuelle Risikokennzahlen Marginale Risikokennzahlen Portfolio Risikokennzahlen Zufällig erzeugte Bonitätsänderung je Engagement in Zeilenform je Szenario Portfoliowertverteilung 57

4 Die Grundschritte gestalten sich wie in Abbildung 3 dargestellt: Herstellen eines Zusammenhangs zwischen Ratingänderung und Firmenwertänderung Erzeugen unkorrelierter Firmenwertänderungen Bestimmen korrelierter Firmenwertänderungen Zurückführen der Firmenwertänderungen auf die Ratingänderungen Zunächst erfolgt eine Übersetzung der Ratingänderungen in Firmenwertänderungen auf Basis des Asset-Value- Modells von Merton 18. Man erhält Schwellenwerte in Form von Quantilen einer Normalverteilung, die den Übergang von einer Ratingklasse in eine andere beschreiben. Somit wird der zufällige Übergang in eine andere Ratingklasse auf die Simulation zufälliger (standardisierter) Firmenwertrenditen 19 zurückgeführt. Die Grundlage für die Ermittlung der Schwellenwerte stellt die Ratingmigrationsmatrix dar. Sie erfolgt durch Vergleich von Wahrscheinlichkeiten. Beispielsweise ergibt sich aus der Ratingmigrationsmatrix (Abbildung 7) für ein BBB-geratetes Unternehmen eine Wahrscheinlichkeit von 0,17 Prozent für den Ausfall und eine Wahrscheinlichkeit von 1,30 Prozent (= 0,17 Prozent + 0,11 Prozent + 1,02 Prozent), dass das Rating schlechter oder gleich B ist. Dies übersetzt sich in die Standardnormalverteilungsquantile: Schwelle für (besseres Ergebnis als) Default = F -1 (0,0017) = -2,93, Schwelle für (besseres Ergebnis als) B = F -1 (0,013) = -2,23. Dabei ist F -1 die Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Analog werden die weiteren Schwellenwerte der Standardnormalverteilung gebildet, die Ergebnisse sind in Abbildung 8 zu sehen. KREDITPORTFOLIO Branchen- Firma Branche Rating einfluss Laufzeit Zins Nominale E(RZQ) S(RZQ) 1 A BBB 0, ,47 0,27 2 A A 0, ,47 0,27 3 B B 0,95 5 5, ,47 0,27 4 B AAA 0, ,47 0,27 5 C AA 0,50 5 6, ,47 0,27 6 C AA 0,50 3 4, ,47 0,27 7 D CCC 0,10 7 8, ,47 0,27 8 E AAA 0,95 2 3, ,47 0,27 9 F BB 0,30 3 7, ,47 0,27 10 F B 0, ,47 0,27 Abbildung 5 BEWERTETES KREDITPORTFOLIO ZU DEN ZEITPUNKTEN T = 0 UND T = 1 Mögliche Barwerte zu T = 1 gemäß Rating Barwert Firma Rating T = 0 AAA AA A BBB BB B CCC Default 1 BBB 115,16 123,97 123,86 123,17 120,74 114,80 109,29 88,45 47,00 2 A 108,20 113,07 112,83 112,35 110,90 107,12 103,42 89,78 47,00 3 B 99,12 111,06 110,89 110,60 109,76 107,36 104,90 96,72 47,00 4 AAA 103,57 107,40 107,17 106,78 105,70 102,71 199,66 83,99 47,00 5 AA 111,36 115,67 115,50 115,20 114,34 111,89 109,38 101,04 47,00 6 AA 101,28 105,03 104,93 104,80 104,45 103,52 102,43 99,83 47,00 7 CCC 92,23 126,96 126,70 126,20 124,65 120,63 116,68 102,22 47,00 8 AAA 99,47 102,97 102,92 102,86 102,69 102,35 101,84 100,73 47,00 9 BB 106,31 112,95 112,86 112,72 112,35 111,39 110,26 107,56 47,00 10 B 93,75 103,35 103,24 103,04 102,47 100,78 99,03 93,60 47,00 RATINGMIGRATIONSMATRIX 20 Abbildung 6 AAA AA A BBB BB B CCC Default AAA 91,06% 8,05% 0,72% 0,06% 0,11% 0,00% 0,00% 0,00% AA 0,63% 91,14% 7,47% 0,56% 0,05% 0,13% 0,02% 0,00% A 0,08% 2,32% 91,65% 5,02% 0,65% 0,22% 0,01% 0,05% BBB 0,03% 0,29% 5,54% 88,16% 4,68% 1,02% 0,11% 0,17% BB 0,02% 0,11% 0,58% 7,01% 82,77% 7,64% 0,89% 0,98% B 0,00% 0,09% 0,21% 0,39% 5,98% 84,99% 3,42% 4,92% CCC 0,10% 0,00% 0,41% 1,02% 2,20% 9,64% 67,34% 19,29% Abbildung 7 Die Kreditnehmer sind miteinander korreliert. Eine Korrelationsmatrix für die Kreditnehmer des Portfolios wird durch Verknüpfen einer Portfolio-Branchenkorrelationsmatrix mit individuellen Einflussgewichten der Kreditnehmer abgeleitet. 21 Der Umstand, dass die Kreditnehmer in einem funktionalen Zusammenhang stehen, muss auch bei der Simulation berücksichtigt werden. Die Korrelationsmatrix für das Beispielportfolio ist in Abbildung 9 dargestellt. MATRIX DER SCHWELLENWERTE AAA AA A BBB BB B CCC Default AAA unendl. -1,34-2,37-2,93-3,06 (-)unendl. (-)unendl. (-)unendl. AA unendl. 2,49-1,39-2,43-2,88-2,97-3,54 (-)unendl. A unendl. 3,16 1,98-1,56-2,35-2,77-3,24-3,29 BBB unendl. 3,43 2,73 1,57-1,56-2,23-2,77-2,93 BB unendl. 3,54 3,01 2,45 1,42-1,31-2,08-2,33 B unendl. unendl. 3,12 2,75 2,46 1,50-1,38-1,65 CCC unendl. 3,09 3,09 2,57 2,16 1,78 1,11-0,87 Abbildung 8 Der eigentliche Simulationsvorgang gestaltet sich gemäß den zuvor angeführten Schritten. Je Simulationslauf werden genauso viele unkorrelierte, normalverteilte Zufallszahlen erzeugt wie Kreditnehmer im Portfolio sind. Diese werden je Simulationslauf in einem Vektor zusammengefasst. In unserem Beispielportfolio von zehn Kreditnehmern beinhaltet jeder Vektor somit zehn unkorrelierte Zufallszahlen. Die Tatsache, dass die Bonität der einzelnen Kreditnehmer korreliert ist, wird über eine sogenannte Cholesky-Faktorisierung 22 der Korrelationsmatrix berücksichtigt. 23 Dabei wird eine Art "Wurzel A T (s. Abbildung 10) aus der Korrelationsmatrix C (siehe Abbildung 9) gezogen.der Vektor der unkorrelierten Zufallszahlen wird nun mit der Matrix A T multipliziert, und man erhält nun für den n-ten Simulationslauf Maßzahlen für die Firmenwert-Renditen 24 mit Korrelationen gemäß der Matrix C. 58

5 Die Ergebnisse für die ersten zehn Simulationsläufe sind in Abbildung 11 angegeben. Für statistisch gehaltvolle Aussagen muss eine hohe Anzahl dieser Zufallsexperimente durchgeführt werden (zum Beispiel ). 25 KREDITNEHMERKORRELATIONSMATRIX Branche A A B B C C D E F F Firmen-Nr A 1 1,00 0,81 0,56 0,56 0,20 0,20 0,05 0,64 0,07 0,10 A 2 0,81 1,00 0,56 0,56 0,20 0,20 0,05 0,64 0,07 0,10 B 3 0,56 0,56 1,00 0,90 0,18 0,18 0,06 0,63 0,07 0,10 B 4 0,56 0,56 0,90 1,00 0,18 0,18 0,06 0,63 0,07 0,10 C 5 0,20 0,20 0,18 0,18 1,00 0,25 0,02 0,23 0,05 0,08 C 6 0,20 0,20 0,18 0,18 0,25 1,00 0,02 0,23 0,05 0,08 D 7 0,05 0,05 0,06 0,06 0,02 0,02 1,00 0,06 0,01 0,01 E 8 0,64 0,64 0,63 0,63 0,23 0,23 0,06 1,00 0,10 0,15 F 9 0,07 0,07 0,07 0,07 0,05 0,05 0,01 0,10 1,00 0,14 F 10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,08 0,08 0,01 0,15 0,14 1,00 CHOLESKY-MATRIX Abbildung 9 Branche A A B B C C D E F F Firmen-Nr A 1 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 A 2 0,81 0,59 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 B 3 0,56 0,18 0,81 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 B 4 0,56 0,18 0,69 0,42 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 C 5 0,20 0,07 0,07 0,02 0,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 C 6 0,20 0,07 0,07 0,02 0,20 0,95 0,00 0,00 0,00 0,00 D 7 0,05 0,02 0,03 0,01 0,01 0,01 1,00 0,00 0,00 0,00 E 8 0,64 0,21 0,29 0,08 0,07 0,06 0,01 0,67 0,00 0,00 F 9 0,07 0,02 0,03 0,01 0,04 0,03 0,00 0,06 0,99 0,00 F 10 0,10 0,03 0,05 0,01 0,06 0,05 0,00 0,01 0,12 0,98 Abbildung 10 AUSSCHNITT AUS DEN SIMULATIONS- LÄUFEN DARGESTELLT WERDEN DIE Y n Kreditnehmer Ausgangsrating BBB A B AAA AA AA CCC AAA BB B Nr. des Simulationsverlaufs 1-0,42-1,61-0,49-0,51-1,66-1,94-1,07-0,96 1,14-0,25 2-0,34-1,19-1,05-0,94 0,64-0,49-0,05-0,74 0,41 1,66 3 0,48 0,31 1,12 0,33 1,19-0,27-1,51 0,90 0,70-0,18 4-1,05-1,90 1,68 0,63-2,67-0,81 0,41-0,04 0,57-1,64 5 0,02-0,70 0,89 0,98-0,69 1,27 1,01 0,70-0,04 1,75 6-0,66-0,41 0,11-0,19-0,73 0,75-0,85-0,60 1,21-0,24 7 1,87 2,38 0,54 0,62-0,67 1,20 0,40 1,14-0,41-0,01 8 0,77-0,29 0,64 0,55-1,47-0,90-0,52 0,55 0,64-0,49 9-0,36-0,21-0,98-1,18 1,53-0,85-0,05-1,06 1,56 0, ,74-0,95 0,57-0,46-0,68 0,70-0,30-0,87-2,05-0,30 Abbildung 11 RÜCKÜBERSETZUNG IN RATING Kreditnehmer Ausgangsrating BBB A B AAA AA AA CCC AAA BB B Nr. des Simulationsverlaufs 1 BBB BBB B AAA A A Ausfall AAA BB B 2 BBB A B AAA AA AA CCC AAA BB BB 3 BBB A B AAA AA AA Ausfall AAA BB B 4 BBB BBB BB AAA BBB AA CCC AAA BB CCC 5 BBB A B AAA AA AA CCC AAA BB BB 6 BBB A B AAA AA AA CCC AAA BB B 7 A AA B AAA AA AA CCC AAA BB B 8 BBB A B AAA A AA CCC AAA BB B 9 BBB A B AAA AA AA CCC AAA BBB B 10 BB A B AAA AA AA CCC AAA B B Abbildung 12 Exemplarische Darstellung Anschließend müssen die zufälligen Firmenwertrenditen mittels der Schwellenwerte (vergleiche. Abbildung 8) wieder in Ratingaussagen zurückübersetzt ("gemappt ) werden. Man erhält je Szenario eine Zeile, die die zufällig erzeugten Ratings je Kreditnehmer darstellt. Dieser Schritt ist in Abbildung 12 dargestellt. Die Vorgänge werden nun exemplarisch für den Kreditnehmer 1 verdeutlicht. Dieser hat zu T = 0 das Rating BBB. Seine Ausfallwahrscheinlichkeit für den Zeithorizont 1 Jahr ist 0,17 Prozent (vergleiche Abbildung 7). Die gesuchte Schwelle der Standardnormalverteilung für die Wahrscheinlichkeit ist -2,93 (vergleiche Abbildung 8). Betrachtet man die ersten zehn Simulationsläufe in Abbildung 11 für den Kreditnehmer (erste Spalte) und vergleicht diese mit den Schwellenwerten (das heisst der Zeile für das Rating BBB in der Schwellenwertmatrix) erkennt man, dass in Lauf 7 der Wert 1,87 größer als der Schwellenwert 1,57 für einen Übergang in Klasse A ist. Für Lauf 10 sieht man, dass der Wert -1,74 kleiner als der Schwellenwert -1,56 für einen Übergang in Klasse BB ist. In allen anderen Läufen liegen die Zufallszahlen innerhalb der Schwellen für den Verbleib in der Ausgangsklasse BBB. Die erste Spalte von Abbildung 12 zeigt diesen Sachverhalt. Value-at-Risk (VaR) und Risikoauswertungen Im dritten Baustein des Modells wird nun je Szenario jedem Kreditnehmer der Marktwert je Rating aus Baustein 1 zugewiesen. Es ergibt sich eine zufällig erzeugte Stichproben-Matrix mit einer Zeile für jeden Simulationslauf und einer Spalte für jeden Kreditnehmer (siehe Abbildung 13). Der Wert 104,90 in der dritten Spalte der ersten Zeile bedeutet beispielsweise, dass im ersten Simulationslauf der Wert des dritten Kredits zum Zeitpunkt T=1 104,90 beträgt. Die Summe der ersten Zeile ist gleich dem Portfolio- Wert im ersten Simulationslauf. Auf der zufällig erzeugten Stichprobe aufbauend können die Portfolio-Wert-Häufigkeitsverteilung (vergleiche Abbildung 14) sowie verschiedene statistische Kennzahlen wie beispielsweise Value-at-Risk 26 und Mittelwert abgeleitet werden. Des weiteren können die unter anderem zur Ermittlung von Diversifikationseffekten interessanten marginalen Kennzahlen der einzelnen Kreditnehmer bestimmt werden. 27 Im Beispiel beträgt der erwartete Wert des Portfolios 1,066 und das 1 Prozent-Quantil 962. In der Definition von J.P. Morgan ergibt sich damit ein Credit-Valueat-Risk von 104. Beurteilung CreditMetrics ist ein Modell, das sich durch Transparenz und das Bestreben einer Konsistenz zum Value-at-Risk- Konzept beim Marktpreisrisiko auszeichnet. Elegant ist die Verquickung mit dem Asset-Value-Modell 59

6 BEWERTUNG GEMÄß RATING Kreditnehmer Ausgangsrating BBB A AA AAA AA AA CCC AAA BB B Nr. des Simulationslaufs 1 120,74 110,90 104,90 107,40 115,20 104,80 47,00 102,97 111,39 99, ,74 112,35 104,90 107,40 115,50 104,93 102,22 102,97 111,39 100, ,74 112,35 104,90 107,40 115,50 104,93 47,00 102,97 111,39 99, ,74 110,90 107,36 107,40 114,34 104,93 102,22 102,97 111,39 93, ,74 112,35 104,90 107,40 115,50 104,93 102,22 102,97 111,39 100, ,74 112,35 104,90 107,40 115,50 104,93 102,22 102,97 111,39 99, ,17 112,83 104,90 107,40 115,50 104,93 102,22 102,97 111,39 99, ,74 112,35 104,90 107,40 115,20 104,93 102,22 102,97 111,39 99, ,74 112,35 104,90 107,40 115,50 104,93 102,22 102,97 112,35 99, ,80 112,35 104,90 107,40 115,50 104,93 102,22 102,97 110,26 99,03 Abbildung 13 PORTFOLIOWERTVERTEILUNG BEI 1000 LÄUFEN Abb. 14 von Merton, die die Voraussetzung für die oben geschilderte einfache Simulation schafft. Sehr positiv ist zu beurteilen, dass CreditMetrics im Gegensatz zu anderen Modellen wie zum Beispiel Credit Risk+ auch darauf fokussiert, neben den Risiken durch Ausfall (Default Risk) auch die Risiken durch Bonitätsveränderung (Spread Risk) abzubilden. Dieser konzeptionelle Vorteil bringt gleichzeitig den Nachteil höherer Datenanforderungen mit sich. Die zentralen Problemdaten des Modells, aus Sicht des deutschen Marktes sind zum einen die Migrationswahrscheinlichkeitsmatrizen und zum anderen die nicht beobachtbaren Risikozuschläge. Aus akademischer Sicht sind sicherlich auch die Stabilitätsannahmen zum Beispiel bezüglich der Korrelationen oder auch die Markov-Annahme hinsichtlich der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix kritisierbar. Trotz der genannten Kritik stellt CreditMetrics zweifelsohne einen gelungenen flexiblen Ansatz mit geringem Modellrisiko und einer etwas höheren Datenproblematik dar. Um nun einen schnell umsetzbaren Einstieg mit einem konsolidierten Modell unter Berücksichtigung der Datenproblematik vollziehen zu können, empfiehlt es sich, zunächst mit einer modifizierten Variante zu starten. Die Grundidee (Stufe 1) ist die Reduktion der Anwendung des Modells auf einen rein verlustorientierten Ansatz (Default-Modell). Das heisst man kann eine flexible Vollversion von CreditMetrics implementieren und nutzt diese nur auszugsweise. Bei zunehmender Verbesserung der Datenlage kann sukzessive auf das volle Modell (Stufe 2) bezihungsweise gegebenenfalls sogar auf komplexere Varianten (Stufe 3), die beispielsweise auch noch makroökonomische Aspekte wie das Modell von Wilson einbeziehen, gewechselt werden. Die benötigten Daten reduzieren sich in der ersten Stufe erheblich, natürlich auch der Aussagegehalt der Ergebnisse. Nominale Restschuld als Schätzgröße für das Brutto-Exposure Man benötigt wie bei CreditRisk+ die Netto-Exposure (um Sicherheiten und Rückzahlungsquote bereinigte Kapitalgröße) der Kreditnehmer. Als Schätzgröße für das Brutto- Exposure kann zum Beispiel die nominale Restschuld angesetzt werden. Durch die Berücksichtigung von Sicherheiten kann der Blankoanteil und unter zusätzlicher Berücksichtigung der erwarteten Rückzahlungsquote der sogenannte "Loss given default (LGD) bestimmt werden. Statt einer Ratingmigrationsmatrix wird lediglich deren letzte Spalte, die (zum Beispiel 1-Jahres-) Ausfallwahrscheinlichkeit je Ratingklasse, benötigt. Analog zum Standardansatz erfolgt die Übersetzung in Firmenwertrenditen (Quantile), aber jetzt ist nur die Ausfallschwelle relevant. Der Simulationsablauf gestaltet sich wie oben beschrieben. Als Ergebnisse je Szenario und Kreditnehmer resultieren nun statt verschiedener Engagementwerte je Rating nur noch die Zustände Null, wenn der Ausfallschwellenwert nicht unterschritten wird, und LGD, wenn der Ausfall als Simulationsergebnis eintritt. In dem einfachen Beispiel zuvor ergibt sich (für alle Ratingklassen) ein LGD von 100 x (1-E(RZQ)) = 100 x (1-0,47) = Auch bezüglich der Korrelationen kann zunächst vereinfachend verfahren werden, indem zum Beispiel CDAX-Korrelationen herangezogen werden und ein Standardsatz für den Brancheneinfluss gewählt wird. Anschließend können die relevanten individuellen und portfoliospezifischen statistischen Untersuchungen (erwarteter Verlust, Credit-Value-at-Risk, Lower-Partial-Moments, usw.) auf der durch Monte-Carlo-Simulation erzeugten Stichprobe möglicher Verluste erfolgen. 60

7 Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist dadurch gegeben, dass die Datenanforderungen begrenzt und überschaubar sind, eine deutliche Verbesserung der gegenwärtigen Betrachtung des Kreditportfolios vorliegt sowie Offenheit für weitere Schritte geschaffen wird. Anmerkungen 1 Vergleiche unter anderem Basel Komitee (April 1999) Papier Nr. 49: Credit Risk Modelling: Current practices and applica tions. 2 Analog zur Situation im Zinsänderungsrisiko ist bezüglich des Managements die eigentliche ökonomische Optimierung und die Erfüllung extern vorgegebener Nebenbedingungen (Bi lanz, GuV, Aufsicht usw.) zu unterscheiden. Beide Betrachtungsebenen sind aufeinander abzustimmen. Zur Zinsänderungsproblematik vergleiche die Ausführungen von Göbel, R./Schumacher, M./Sievi, Ch. (1998): Bilanz strukturen mit dem Performancekonzept steuern, in: Betriebs wirtschaftliche Blätter 7/98, S Anwendungen von Monte-Carlo Simulationen zur Bewertung von Derivaten mit unterschiedlichen Underlyings finden sich in Eller, R./Deutsch, H. P. (1998): Derivate und interne Mo delle, Stuttgart. 4 Eine Ausnahme stellt der analytische Ansatz CreditRisk+ der Credit Suisse Financial Products (1997) dar. Ein Technical Document zu CreditRisk+ findet sich unter CreditRisk+: A credit risk management framework, London, CSFP, Analytische Ansätze haben prinzipiell den Vorteil, eindeutige Ergebnisse durch Anwendung geschlossener Formeln zu ermitteln. Des weiteren sind sie im Allgemeinen rechenzeiteffizienter. Diese Vorteile werden jedoch zum Teil durch problematische Modellannahmen "erkauft. Des Weiteren kann die Simulationstechnik mittels verschiedener Modifikationen wesentlich performanter gestaltet werden. Vergleiche zum Beispiel Finger, C. C. (1999): Conditional Approaches for CreditMetrics Portfolio Distributions, in CreditMetrics Monitor 4/99. 5 Vergleiche Wilson, T. (1997 a): Measuring and Managing Credit Portfolio Risk, Part I: Modelling Systematic Default Risk, in: The Journal of Lending & Credit Risk Management, 7/97 und (1997 b): Measuring and Managing Credit Portfo lio Risk, Part II: Portfolio Loss Distributions, in: The Journal of Lending & Credit Risk Management, 8/97 sowie Knapp, M. (1998): Multi-Faktor-Modell zur Bestimmung segmentspezifischer Ausfallwahrscheinlichkeiten für die Kredit-Portfolio-Steuerung (Working Paper). Das CCRisk Management (http:// ist Bestandteil des Instituts für Bankinformatik (ibi) der Universität Regensburg. Auch im Rahmen der Weiterentwicklung von Credit- Metrics werden makroökonomische Aspekte berücksichtigt. Vergleiche Kim, J.(1999): Conditional Transition Matrix Builder (CTM): Technical Document, cm/ctm-free/ctm.pdf und Kim, J.(1999): A way to condition the transition matrix on wind, working paper, 6 Vergleiche Schwicht, P./Neske, C. (1997): CreditMetrics neues System zur Risikoanalyse, in: Die Bank 8/1997, S und Schulte-Mattler, H./Stausberg, Th. (1998): Quantifizierung von Kreditrisiken unter Verwendung von Übergangswahrscheinlichkeiten, in: Die Bank 10/98, S Von der Homepage von J.P. Morgan kann nach einer Registrierung das Technical Document (TD) zu CreditMetrics bezogen werden. Gupton, G. M. / Finger, C. C. / Bhatia, M. (1997): CreditMetrics - Technical Document, New York, Morgan Guaranty Trust Co., Marktpreisrisiken werden insofern nicht integriert betrachtet, als lediglich das Expected Average Exposure als konstantes Exposure angenommen wird (vgl. Kapitel 4 des Technical Document zu CreditMetrics, S ). 8 Vergleiche die Ausführungen zu verschiedenen Exposurety pen im Technical Document, Kapitel 4, S Vergleiche Technical Document, Kapitel 1, S Der Hintergrund der Annahmen, dass ein liquider Markt zugrunde liegt, ist dadurch gegeben, dass das Modell originär für den amerikanischen Bond-Markt konzipiert wurde. 11 CreditMetrics unterstellt hier die gängige Annahme der Markov-Eigenschaft, das heisst, dass für den morgigen Wert einer Firma oder eines Finanztitels nur der heutige Wert von Relevanz ist, während die Historie keinen Einfluss hat. 12 J.P. Morgan stellt auf der Homepage unter anderem die Informationen bezüglich Credit Spreads und Übergangswahrscheinlichkeiten auf Basis der 8-stufigen bzw. 18-stufigen Ratings von Moody s und S & P bereit. 13 Darstellung in Anlehnung an Schulte-Mattler, H./Stausberg, Th. (1998), a. a. O., S Ausführlich zur Bewertung vergleiche Schulte-Mattler/Stausberg (1998) a. a. O., S sowie das Technical Document. Zur Ermittlung von erwarteten Rückzahlungsquoten vergleiche die Ausführungen im Technical Document, S Dort wird auch unterbreitet, Rückzahlungsquoten stochastisch zu modellieren und simulativ auf Basis von betaverteilten Zufallszahlen zu ermitteln. 15 Die Abkürzung "Brancheneinfluss steht für den Einfluß der Branchenentwicklung auf den wirtschaftlichen Erfolg des Kreditnehmers. Die hier gewählten Einflüsse sind fiktiv, insbesondere bei kleineren Unternehmen sind relativ hohe unternehmensindividuelle Einflüsse und damit niedrige Brancheneinflüsse zu erwarten. T steht für die Restlaufzeit. Die Branchenkürzel können zum Beispiel als A = Automobil, B = Bau usw. interpretiert werden. Die Abkürzungen E(RZQ) und S(RZQ) stehen für die erwartete Rückzahlungsquote im Ausfall beziehungsweise deren Standardabweichung. Aus Gründen der Vereinfachung wird im Beispiel von einheitlichen Rückzahlungsquoten für alle Ratingklassen ausgegangen. 61

8 16 Vergleiche Schwicht/Neske (1997) a. a. O. und Schulte- Mattler/Stausberg (1998) a. a. O. 17 Im Gegensatz zu der "klassischen Monte-Carlo-Simulation werden hier keine Pfade über die Zeit sondern lediglich Zufallszahlen am Zeithorizont simuliert. Zu Pfadsimulation vergleiche zum Beispiel Eller, R./Deutsch, H. P. (1998), a. a. O., S Vergleiche Merton, R. C. (1974): On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, in: The Journal of Finance, Vol. 29, S Das Modell von Merton kommt in modifizierter Form auch bei den Ansätzen der KMV Corporation sowie der KAMAKURA Corporation zur Anwendung. 19 Vergleiche auch Endnote Für das Beispiel wurde eine fiktive, aber der Struktur der Migrationsmatrizen von S & P sowie Moody s sehr ähnliche Matrix für das 8-stufige Rating verwendet. Anzumerken ist, dass die dominante Hauptdiagonale der Matrix in verschiedenen Untersuchungen in Frage gestellt wird. Vgl. die Untersuchungen der KMV Corporation (vergleiche Technical Document, S. 66) sowie des Center for financial studies (vergleiche Elsas, R./Ewert, R./Krahnen, J. P./Rudolph, B./Weber, M.: (1999): Risikoorientiertes Kreditmanagement deutscher Banken, in: Die Bank 3/99, S. 196). Für unsere Betrachtun gen, die illustrativen Charakter haben, ist dies von untergeordneter Bedeutung. 21 Die ausführliche Beschreibung der Ermittlung der Korrelationsmatrizen findet sich im Technical Document Kapitel 8.5 über Korrelationsschätzung, S Zum Verfahren zur Bestimmung der Cholesky-Faktorisierung vergleiche Eller, R./Deutsch, H. P. (1998), a. a. O., S und S Anstelle der Cholesky-Faktorisierung können auch alternative Verfahren der numerischen linearen Algebra angewendet werden. B. Schwarz, H. R.: Numerische Mathematik, 1998, S. 232 ff. 24 Die Firmenwertrenditen Ri für ein Jahr berechnen sich nach Mertons Modell als 26 Bzgl. des Value-at-Risk sei darauf hingewiesen, dass es sich lediglich um eine Maßzahl für das sogenannte "Normal-Case- Risk handelt. D.h. zusätzlich sind in jedem Fall Stress-Tests durchzuführen, um extreme Situationen zu untersuchen. Des weiteren sind unterschiedliche Definitionen des VaR denkbar, z.b. als maximale Wertänderungen am Risikohorizont gegenüber dem Erwartungswert oder als maximale barwertige Wertänderung des Portfoliowertes. Alternative Ansätze zum VaR wie z.b. Lower Partial Moments unterschiedlicher Ordnungen sollten ebenfalls bei der Analyse des Portfolios herangezogen werden. Vgl. z.b. Guthoff, A./Pfingsten, A./Wolfs, J. (1998) "Der Einfluß einer Begrenzung des Value at Risk oder des Lower Partial Moment One auf die Risikoübernahme, S in: Oehler, A. (Hrsg.) (1998) "Credit Risk und Value-at-Risk Alternativen, Stuttgart. 27 Marginal-Kennzahlen werden gebildet indem man eine statistische Kennzahl, z.b. die Standardabweichung für das Portfolio einmal ohne und einmal mit einem bestimmten Teilnehmer bildet. Die Differenz aus diesen beiden Werten kann als Risikobeitrag (Risk Contribution) bzw. marginales Risiko (Marginal Risk) des betrachteten Kreditnehmers interpretiert werden. Stellt man diese Kennzahl der sogenannten Stand Alone Standardabweichung gegenüber, hat man einen Indikator für die Diversifikation des Potrtfolios. Zu Bestimmung der Stand-Alone-Kennzahlen vgl. die Ausführungen im Technical Document Kapitel 2, S Ausführungen zu den Marginalkennzahlen finden sich auf den Seiten Bei der realen Anwendung sind erwartete Rückzahlungsquoten zu schätzen (z.b. in Abhängigkeit von der Branche). Hier wird der LGD in Geldeinheiten angegeben. Häufig wird als LGD auch als Prozentsatz vom Exposure verstanden. 29 Ob die im Technical Document beschriebene Simulationstechnik in exakt dieser Form auch in der Softwarerealisierung von CreditManager umgesetzt ist, entzieht sich der Kenntnis der Verfasser des vorliegenden Aufsatzes. Da der Zusammenhang zwischen Y i und der Firmenwertrendite monoton ist, reicht es aus, Quantile für die Y i zu berechnen. Alternativ könnte man bei Kenntnis von m i und s i auch Quantile für die Firmenwertrenditen berechnen; dies würde bei höherem Aufwand zu genau dem gleichen Ergebnis der Simulation führen. 25 Anzumerken ist, dass sich bestimmte Parameter (z. B. der Erwartungswert) je nach zugrunde gelegtem Konfidenzniveau bereits bei kleineren Simualtionsanzahlen in einem stabilen Zustand befinden. Andere Parameter, z.b. sehr kleine Quantile, die ja die Risikopräferenz der Bank widerspiegeln, benötigen jedoch einen deutliche höheren Simulationsumfang. Vgl. Technical Document, S Alte Wilhelmstraße Bretten Fon / Fax / Internet: 62

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