7.3 Modell mit qualitativer abhängiger Variablen

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1 7.3 Modll mi qualiaivr abhägigr Variabl Modll mi qualiaiv abhägig Variabl rgb sich ischrwis bi ir Erklärug vo ökoomisch Wahlhadlug i Abhägigki vo bsimm Charakrisika. Bisil: - Durch wlch Fakor läss sich di Eschidug is Idividuums, si Arbiskraf azubi, ökoomisch rklär? - Wlch Eiflussgröß sid maßgblich für d Eschluss is Kosum für d Kauf odr Nichkauf is Produks? - Wodurch wird di Wahl is Vrkhrs- odr Trasormils ökoomisch rklär? Ar dr ökoomrisch Aals: Qurschisaals mi Mikroda (mikroökoomrisch Aals)

2 Ar vo Modll mi qualiaivr abhägigr Variabl Liars Wahrschilichkismodll \ Biomials Logi-Modll Logi-Modll Probi-Modll \ \ Muliomials Logi-Modll Biomials Probi-Modll Muliomials Probi-Modll Im Folgd sll wir das liar Wahrschilichkismodll ud das Logi- Modll vor. Szill fokussir wir di Aals auf das biomial Logi-Modll, bi dm di abhägig Variabl dichoom is, d.h. zwi Ausrägug wi z.b. Kauf () ud Nichkauf (0) ha. Muliomial Logi-Modll sll isofr i Vrallgmirug dar, als dass di abhägig Variabl mhr als zwi Ausrägug ha wi z.b. bi dr Wahl is Vrkhrsmils Pkw (), Bah () ud Bus (3). Logi-Modll: basir auf dr logisisch Vrilug Probi-Modll: basir auf dr Normalvrilug

3 Bisil: Dr Kauf is Produks wird i Abhägigki vom Eikomm ud Gschlch is Kosum ursuch. Aus ir Qurschisrhbug ha sich folgd Dabasis rgb: Mrkmalsrofil ds Kosum, dr das Produk ich gkauf ha ( =0): ' x 500 Mrkmalsrofil ds Kosum, dr das Produk gkauf ha ( =): x ' Kosum Produkkauf Eikomm x Gschlch x 3 i (0) 500 wibl. () ja () 3000 mäl. (0) 3 ja () 300 mäl. (0) 4 ja () 3500 mäl. () 5 i (0) 800 wibl. () 6 i (0) 3000 wibl. () 7 ja () 4000 mäl. (0) 8 i (0) 00 wibl. () 9 ja () 3800 mäl. (0) 0 i (0) 900 wibl. () ja () 600 wibl. () i (0) 400 mäl. (0) 3 ja () 400 mäl. (0) 4 ja () 3700 mäl. (0) 5 i (0) 3300 wibl. () 6 ja () 400 wibl. () 7 i (0) 500 wibl. () 8 ja () 3900 mäl. (0) 9 ja () 4400 mäl. (0) 0 i (0) 000 wibl. () i (0) 300 wibl. () ja () 3400 mäl. (0) 3 ja () 3500 wibl. () 4 ja () 3800 mäl. (0) 5 i (0) 00 wibl. ()

4 Liars Wahrschilichkismodll Di dichoom abhägig Variabl imm d Wr mi dr Wahrschilichki a, falls i Erigis wi z.b. dr Kauf is Produks ralisir wird odr di Erwrbsrso rwrbsäig is. Falls das brach Erigis ich iri, imm di Zufallsvariabl d Wr 0 a. Währd di Kaufschidug vo Größ wi z.b. dm Eikomm, dm Gschlch ud dr sozial Sllug abhäg mag, sid z.b. dr Lohsaz ud das Gschlch maßgblich Drmia für di Eschidug übr di Erwrbsäigki ir Prso. Allgmi wird bi im Wahlhadlugsmodll di Wahrschilichki dafür, dass sich i Idividuum z.b. für d Kauf is Produks odr i Pariziaio am Erwrbslb schid, durch di Eiflussgröß x, x,..., x k rklär: (7.9) P Fβ' x,,,, mi x x x x k ' ud β k '

5 Dr Vkor häl di ubka Paramr ds Wahlhadlugsmodlls, d i Abhägigki vo dr Szifikaio dr Vrilugsfukio F i urschidlich Irraio zukomm. I dr Rgl is x i Schivariabl (x = für all ), so dass dr Paramr das absolu Glid bzich. Im ifachs Wahlhadlugsmodll vrädr sich z.b. di Kaufwahrschilichki liar mi ir Vrädrug dr Eiflussgröß. Ma rhäl das liar Wahrschilichkismodll (liar robabili (LP) modl), i dm als Basisvrilug i Glichvrilug ursll wird: (7.0) F β' x β' x Di Wahrschilichki is bi ggbm Vkor x glichziig dr (bdig) Erwarugswr dr Zufallsvariabl irrir: (7.) E x = β' x Di Zufallsvariabl sz sich dmach aus dr ssmaisch Komo ud ir Sörgröß u zusamm, di d möglich Abwichug zwisch d bobach ud rwar Wahlhadlugsschidug dr Idividu Rchug räg: (7.) u β' x u

6 Da ur di Wr ud 0 ahm ka, folg u ir Zwiukvrilug, di aus dr folgd Tabll rsichlich is: u Pu β'x β'x 0 β'x β'x Erwarugswr vo u : (7.3) E Variaz vo u : (7.4) u β'x β'x β'x β' x 0 Var u u β'x βx β'x β'x β'x β'x β'x β'x β'x Mhodisch Problm ds LP Modlls: β'x - Ki Gwähr, dass di gschäz Wahrschilichki im Irvall zwisch 0 ud lig, - Di Variaz dr Sörgröß u häg vo d rklärd Variabl (x-variabl ) ab, so dass di Sörgröß vo vorhri hroskdasisch is, - Di Särk dr Imuls, di vo d x-variabl auf di Vrädrug dr Wahrschilichki is Erigisss ausgh, sid uabhägig vom ihrm ralisir Nivau.

7 Bisil: Gwöhlich Klis-Quadra-Schäzug (OLS-Schäzug) ds liar Wahrschilichkismodlls (LP-Modlls): Dd Variabl: KAUF Mhod: Las Squars Mhod: Las Squars Icludd obsrvaios: 5 Variabl Coffici Sd. Error -Saisic Prob. C EINKOMMEN GESCHLECHT R-squard Ma dd var Adjusd R-squard S.D. dd var S.E. of rgrssio Akaik ifo cririo Sum squard rsid Schwarz cririo Log liklihood Haa-Qui crir F-saisic Durbi-Waso sa Prob(F-saisic)

8 Bobachugswr dr abh. Variabl, gschäz Wahrschil., Rsidu ˆ û Gschäz Wahrschilichki < 0: Kosum 8, 0, 5 Gschäz Wahrschilichki > : Kosum 7, 3, 8, 9.

9 Logi-Modll I dr mirisch Wirschafsforschug wrd aus dis Grüd asll ds liar Wahrschilichkismodlls Probi- ud Logi-Modll zur Erklärug ökoomischr Wahlhadlug hragzog. Währd im Probi-Modll z.b. di Kaufwahrschilichki durch i Sadard-Normalvrilug ggb is, lig dm Logi-Modll di Vrilugsfukio ir logisisch Vrilug zugrud. Da sich di Wahrschilichkisfukio ds Probi- ud Logi-Modlls i ihrr Form srch, wird das schäzchisch bssr hadhabbar Logi-Modll bi mirisch Ursuchug bvorzug. Dr Urschid bsh im Wslich dari, dass bi di logisisch Wahrschilichkisvrilug a d Rädr i größr Wahrschilichkismass als di Normalvrilug bsiz, was dr Emiri of bssr srich. Das Logi-Modll is durch di Szifikaio dr Vrilugsfukio F [Gl. (7.9)] i Form dr logisisch Vrilug ggb: (7.5) Fβ'x β'x β'x -β'x -(ββ x... βkxk )

10 Bgrüdug für di Normalvrilug asll dr Glichvrilug Di Normalvrilug läss sich bgrüd, w ma für i Idividuum di ubobachbar Idxvariabl * β' x u iführ, di d Grad dr Nigug ds Idividuums z.b. für i Kaufschidug odr Arbisariziaio rfass. Das Idividuum wird sich für d Kauf is Gus schid, w di Idxvariabl * i bsimm Schrak übrschri, bi dr dr Bsiz ds Gus als vorilhaf agsh wird. W wir di Schrak oh Eischräkug dr Allgmihi glich Null sz, da läss sich di Bzihug zwisch d ubobachbar Idxvariabl * ud dr bobachbar abhägig Variabl durch * falls 0 * 0 falls 0 widrgb. Di Wahrschilichki, dass sich i Idividuum z.b. für d Kauf is Produks odr di Aufahm ir Erwrbsäigki schid, is da durch P * 0 Pβ' x u 0 P u β' x ud bi ir Smmri dr Wahrschilichkisvrilug durch ggb. P * 0 Pu β' x F β' x

11 W ma sich vorsll, dass sich di Idxvariabl * aus ir Vilzahl uabhägigr Eiflussfakor zusammsz, ka aufgrud ds Zral Grzwrsazs für F di Vrilugsfukio ir Normalvrilug zugrud glg wrd. Dis bgrüd di Vrwdug ds Probi-Modlls i dr ökoomrisch Aals vo ökoomisch Wahlhadlug. W bi Awdug i größrr Ail vo "ousid valus" als bi ir Normalvrilug rwar wrd ka, bi das Logi-Modll jdoch i gigr Modllirugsbasis. Abbildug: Wahrschilichkisvrilug ds Logi-Modlls

12 Odds ud Effkkoffizi Di Odds drück das Wahrschilichkisvrhälis (7.6) P P aus, d.h. di Odds gb das Vrhälis dr Wahrschilichki für i Ralisirug ds Erigisss = rlaiv zur Wahrschilichki für i Ralisirug ds Ggrigisss =0 widr. I dr Logi-Aals sid di Odds durch (7.7) β'x + β'x + β'x β'x ggb. Dami gb di Effkkoffizi j a, wi sich di Odds vrädr, w di rklärd Variabl x j um i Eihi rhöh wird: ββx... β j(x j )... β jxk ββx... β jx j... β jxk Odds β j β j

13 Nach Logarihmirug vo (7.7) rhäl ma das Logi-Modll i dr Form (7.8) l β' x aus dr rsichlich is, dass di Rgrssioskoffizi β j bim Logi-Modll di Imuls auf di sog. Log Odds l mss, di aus ir Vrädrug dr xog Grö ß um i Eihi rsulir. Di Log Odds gb di Chac für i Ralisirug ds brach Erigisss im Vrglich zum Komlmärrigis widr. Für si ha sich di Bzichug "Logi" igbürgr.

14 Margialr Effk dr rklärd Variabl x j auf di abhägig Variabl Di Eiflüss ir Vrädrug dr rklärd Variabl auf di Wahrschilichki ds brach Erigisss lass sich dagg durch di arill Abliug (7.9) x j F β'x x j f β'x β j agb, i dr f di Dichfukio dr Logi-Vrilug bzich: f β'x β'x β'x Durch di Koffizi β j alli is ur och di Richug drmiir, i di sich di Wahrschilichki bi bsimm Imuls dr xog Variabl vrädr. Das Ausmaß dr Vrädrug häg jdoch zusäzlich vo dr Silhi dr Vrilugsfukio dr Logi-Vrilug im Puk β'x ab. J silr di Vrilugsfukio bim akull Nivau vrläuf, umso größr is dr Effk ir Vrädrug dr rklärd Variabl auf di Wahrschilichki ds brach Erigisss.

15 Maximum-Liklihood-Schäzug ds Logi-Modlls : Wahrschilichki, dass di Zufallsvariabl d Wr aimm bi Güligki ds Logi-Modlls: = x Vkor x dr rklärd Variabl: Mrkmalsrofil dr Idividu Schäzug ds Logi-Modlls mi dr Maximum-Liklihood-Mhod β'x Prizi dr Maximum-Liklihood-Mhod (ML-Mhod): Aus wlchr Grudgsamhi samm i kokr Sichrob mumaßlich? W ma di Paramr dr Grudgsamhi variir, wird sich auch di Wahrschilichki dafür ädr, dass sich di vorligd Sichrob ralisir. Ur wlch Wr dr Paramr komm abr dr ggb Sichrob di maximal Wahrschilichki zu, sich zu ralisir? Dis Wr hiß Maximum-Liklihood-Schäzr (ML-Schäzr). β' (Gl. 7.5) Sichrob dr Wr (0 odr ) dr abhägig Variabl :,,..., Wahrschilichki, dass bim Idividuum = odr =0 iri: f( ) ( ) für =: f( =) =, für =0: f( =0) = -

16 Gmisam Wahrschilichkisfukio f für Y =, Y =,..., Y = bi im Broulli-Prozss (uabhägig Zihug): ) (... ) ( ) ( ),,...,, ( f x β (7.6) Liklihood-Fukio: (7.7) Π ),,...,, L( Π β'x β'x β'x β'x x x x β Zum Zwck ir Schäzug ds Paramrvkors β brach wir di logarihmir Liklihood-Fukio L*: β'x β'x β'x l l Σ l l Σ L l L* (7.8)

17 Bdigug rsr Ordug für i Maximum dr Liklihood-Fukio: L * β (7.9) β'x β'x x x 0 β x 0 mi β β'x β'x x β'x β'x 0 Da (7.9) i ich-liars Glichugsssm i β is, ka dr ubka Paramrvkor allrdigs ich aalisch rmil wrd. Vilmhr is i iraivs Vrfahr azuwd, mi dm dr Maximum-Liklihood-Schäzr ˆβ ML für β umrisch bsimm wrd ka. Ei solchs Iraiosvrfahr. Das i hoh Kovrgzgschwidigki bsiz, is das Nwo-Rahso-Vrfahr.

18 Ausghd vo im Afagsschäzr β wird mi dm Nwo-Rahso-Vrfahr im m- Schri i vrbssrr Paramrschäzr aus im iraiv Schma dr Form rmil: β L * ββ' 0 m * L β m m m β β β β β Di Iraiosvorschrif basir auf ir Talor-Rihzrlgug zwir Ordug. Für das Logi-Modll sid dr Vkor dr rs Abliug (= Gradi) ud di Marix dr zwi Abliug (= Hss-Marix) durch ud ggb. L * β β'x β'x L * ββ' β'x β'x x x x ' Di Hss sch Ivrs ka zuglich als Schäzr für di Kovariazmarix ds ML-Schäzrs ˆβ ML vrwd wrd. Ihr Diagoallm, di di Variaz dr Komo vo ˆβ ML hal, lass sich für i Sigifikazs dr gschäz Koffizi ds Logi-Modlls vrwd.

19 Bisil: Logi-Modll für d Produkkauf () i Abhägigki vom Eikomm (x ) ud Gschlch (x 3 ) lau: βx 3x3 βx 3x3 ( βx 3x3 ) Maximum-Liklihood-Schäzug (ML-Schäzug) ds Logi-Modlls Til : Rgrssioskoffizi mi Sadardfhlr, z- ud -Wr Dd Variabl: KAUF Mhod: ML - Biar Logi (Quadraic hill climbig) Saml: 5 Icludd obsrvaios: 5 Covrgc achivd afr 5 iraios Covariac marix comud usig scod drivaivs Variabl Coffici Sd. Error z-saisic Prob. C EINKOMMEN GESCHLECHT McFadd R-squard Ma dd var S.D. dd var S.E. of rgrssio Akaik ifo cririo Sum squard rsid.64677

20 Gschäzs Logi-Modll für d Produkkauf ˆ (ˆ βˆ x ˆ 3 x 3 ),7644-0,00448 x,87446 x 3 Effk dr rklärd Variabl Eikomm (x ) ud Gschlch (x 3 ) auf di Kaufwahrschilichki : βˆ 0,00448 > 0: Eikomm (x ) Kaufwahrschilichki βˆ3,87446 < 0: Gschlch (x 3 ) wibl. () sa mäl. (0) Kaufwahrsch. Kaufwahrschilichki für d Kosum, dr sich für d Nichkauf ( =0) schid ha, aufgrud sis Mrkmalsrofils x = ( 500 ): ˆ 0,033,76440, ,87446 Kaufwahrschilichki für d Kosum, dr sich für d Kauf ( =) schid ha, aufgrud sis Mrkmalsrofils x = ( ): ˆ 0,8473,76440, ,874460

21 Bobachugswr dr abh. Variabl, gschäz Wahrschil., Rsidu ˆ û Rsidual Acual Fid

22 Variaz-Kovariaz-Marix dr Rgrssioskoffizi - brch als Ivrs dr Marix dr zwi Abliug (= Hss sch Ivrs) L * β β' ββˆ ML β'x ˆ βˆ 'x x x ' (Hss-Marix a dr Sll β ˆβ ML) Cov(ˆ βml) L * ββ' ββˆ ML E Sadardfhlr dr Rgrssioskoffizi: ˆ ˆ 35,547 5, ˆ ˆ 0, ,00040 ˆ ˆ 3 3,3758,83644

23 Vrlauf dr gschäz kumulir Kaufwahrschilichki für Frau ud Mär i Abhägigki vom Eikomm (x ) 0,8 0,6 0,4 0, für Frau: für Mär: 000 ˆ ˆ Mär,7644-0,00448x,7644-0,00448x Frau Eikomm,87446 Aus dr Grafik wird abr auch dulich, dass di Rgrssioskoffizi ich gauso irrir wrd kö wi bi dr liar Rgrssio. Wird das Eikomm im milr Brich bi 3000 um i Eihi rhöh, da sig di Kaufwahrschilichki vil särkr als bi ir glich sark Vrädrug i d Radbrich (bisilswis bi 000 odr bi 5000 ).

24 Margialr Effk ds Eikomms (x ) auf di Kaufwahrschilichki ˆ x f β'x ˆ ˆ β'x βˆ βˆ β'x ˆ - Effk ir Erhöhug ds Eikomms um 00 bim Kosum (=) auf di Kaufwahrschilichki ds Produks: ˆ 00 x,76440, ,87446,76440, , ,0330, ,040 0, Effk ir Erhöhug ds Eikomms um 00 bim Kosum (=) auf di Kaufwahrschilichki ds Produks: ˆ x 00,76440, ,874460,76440, , ,9380, ,0580 0,

25 Effkkoffizi - Gschäzr Effkkoffizi ds Eikomms (x ) βˆ 0,00448,0045 > Mi zuhmdm Eikomm sig di Odds, d.h. imm das Chacvrhälis für d Produkkauf ggübr dm Nichkauf zu. ( 0,00448 ) 00% 0,45% Erhöh sich das Eikomm um GE, da sig di Odds irhalb dr Gru wiblichr ud mälichr Kosum um d Fakor,0045, d.h. um 0,45%. - Gschäzr Effkkoffizi ds Gschlchs (x 3 ) βˆ3 -, ,0564 < Bi im Übrgag vo dr Gru dr mälich Kosum (x = 0) zur Gru dr wiblich Kosum (x 3 = ) sik di Odds, d.h. imm das Chacvrhälis für d Produkkauf ggübr dm Nichkauf ab. -,87446 ( ) 00% 94,36% Gh ma vo dr Gru dr mälich Kosum (x = 0) zur Gru dr wiblich Kosum (x 3 = ) übr, sik di Odds bi Kosahalug ds Eikomms um d Fakor 7,7, d.h. um 94,36%.

26 Liklihood-Vrhälis-Ts ud Psudo-R Di Güligki ds Logi-Modlls übrhau läss sich ur Vrwdug ds Liklihood-Vrhälis-Tss übrrüf. W di Nullhohs (7.0) H 0 : 3 0 gülig is, ka di Wahrschilichki dafür, dass di Zufallsvariabl d Wr aimm, dadurch gschäz wrd, dass ma di Azahl dr saisisch Eihi, di di brach Mrkmalsausrägug hab, auf di Azahl dr Bobachug bzih: ˆ Ei Bdighi durch xog Variabl fäll da, da si kirli Erklärugsghal bsiz. Ur dr Nullhohs is di logarihmir Liklihood- Fukio durch (7.) * L l L l 0 0 l ggb. Währd L * 0 als rsrigir log-liklihood-fukio bzich wird, hiß di ur dm Logi-Modll rsulird logarihmisch Liklihood-Fukio L* ursrigir. Ur dr Nullhohs (7.0) folg di Liklihood-Raio-Saisik (7.) l L * 0 L *

27 asmoisch ir χ -Vrilug mi k- Frihisgrad. Ei Aahm dr Nullhohs imlizir, dass xog Variabl x,x 3,...,x k ki Eifluss auf di Wahrschilichki ds brach Erigisss hab, so dass ihr Schäzug alli durch d Ailswr ˆ grchfrig is. Als Maß für di Gü dr Aassug is i dm Drmiaioskoffizi vrglichbars Maß wickl word, das aus dism Grud als Psudo-R bzich wird * L (7.3) PR * L 0 Das Psudo-R ka als Gümaß vrsad wrd, das d Grad dr "Usichrhi" i d Da miss, dr durch das Logi-Modll "rklär" wird. Sofr ss is, w = is ud 0, w =0 is, da gil für di ursrigir Log- Liklihoodfukio L*=l=0, d.h. PR rrich da si maximal Wr. I dism Exrmfall lis di rklärd Variabl i rfk Modllaassug Offbar ka dis Siuaio jdoch ur da ir, w β'x gg - ud + gh. Dr miimal Wr ds Psudo-R wird gau da rrich, w di ursrigir log-liklihoodfukio mi dr rsrigir übrisimm, d.h. w di xog Variabl kirli Erklärugsghal bsiz. Zwar ka grudsäzlich mi wachsdm PR vo ir vrbssr Modllaassug gsroch wrd, doch bsiz di Wr ds Psudo-R ich di aschaulich Irraio, di dm Drmiakoffizi bim mulil Rgrssiosmodll zukomm.

28 Covariac marix comud usig scod drivaivs Bisil: Variabl Coffici Sd. Error z-saisic Prob. Kgröß ud Tss übr di Modllaassug für das gschäz Logi-Modlls: C EINKOMMEN GESCHLECHT McFadd R-squard Ma dd var S.D. dd var S.E. of rgrssio Akaik ifo cririo Sum squard rsid Schwarz cririo Log liklihood Haa-Qui crir Rsr. log liklihood LR saisic.560 Avg. log liklihood Prob(LR saisic) Obs wih D=0 Toal obs 5 Obs wih D= 4

29 Psudo-R - Wr dr Log Liklihood-Fukio ur dr Nullhohs (rsrigir log Liklihood-Fukio L * 0 ): * L l L l 0 0 l 4 4l l 7, (Eviws-Ouu: Rsr. log liklihood) - Wr dr log Liklihood-Fukio für das gschäz Logi-Modll (ursrigir log Liklihood-Fukio L*): L* 6,07 (EViws-Ouu: Log liklihood) Brchug s. ächs Si) PR L L * 0 * 6,07 7,48 0,646 (EViws-Ouu: McFadd R-squard)

30 Brchug dr ursrigir log Liklihood-Fukio L*: ˆ l l l l 0 0, ,0000-0,038-0,038 0, ,655 0,0000-0, , ,0709 0,0000-0, , ,9 0,0000-0, ,3473 0,0000-0,04-0, ,3878 0,0000-0,78-0,78 7 0, ,000 0,0000-0, , ,0000-0,0087-0, , ,0050 0,0000-0, , ,0000-0,86-0,86 3 0, ,007 0,0000-3, ,7493 0,0000-0,305-0,305 0, ,0008 0,0000-0, ,994-0,0078 0,0000-0, , ,0000-0,7896-0, , ,08 0,0000-0, , ,0000-0,038-0, , ,003 0,0000-0, , ,0003 0,0000-0, , ,0000-0,0035-0, ,3940 0,0000-0,3993-0,3993 0, ,095 0,0000-0, , ,9 0,0000-0,9 4 0, ,0050 0,0000-0, , ,0000-0,0087-0,0087 Σ ,900 -,78 * L 6,079

31 Liklihood-Vrhälis-Ts Nullhohs H 0 : β = β 3 = 0 Prüfgröß (Liklihood-Vrhälis-Saisik): l, 5 L * 0 L * 7,48 6,07 Kriischr Wr (α = 0,05): Χ² k-;-α = Χ² ;0,95 = 5,99 Tsschidug: (l =,5) > (Χ² ;0,95 = 5,99) => H 0 ablh

32 Klassifikaiosabll Dd Variabl: KAUF Mhod: ML - Biar Logi (Quadraic hill climbig) Saml: 5 Icludd obsrvaios: 5 Prdicio Evaluaio (succss cuoff C = 0.5) Esimad Equaio Cosa Probabili D=0 D= Toal D=0 D= Toal P(D=)<=C P(D=)>C Toal Corrc % Corrc % Icorrc Toal Gai* Prc Gai** 90.9 NA 8.8 Esimad Equaio Cosa Probabili D=0 D= Toal D=0 D= Toal E(# of D=0) E(# of D=) Toal Corrc % Corrc % Icorrc Toal Gai* Prc Gai** *Chag i "% Corrc" from dfaul (cosa robabili) scificaio **Prc of icorrc (dfaul) rdicio corrcd b quaio