Prof. Dr. Albert D e f a n t, und beglückwünsche Ihn zur Erreichung des hohen Alters. von 9o Jahren. Ich wünsche Ihm noch viele weitere Jahre

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1 Diese Arbeit widme ich meinem Vater, Prof. Dr. Albert D e f a n t, und belückwünsche Ihn zur Erreichun des hohen Alters von 9o Jahren. Ich wünsche Ihm noch viele weitere Jahre in eistier und körperlicher Frische so, wie sie Ihm bisher verönnt war. Auch danke ich ihm damit fur die verständnisvolle Fürsore an meinem Fortkommen und dafür, daß er mir neben einem lieben Vater, auch ein uter Lehrer, ein steter Berater bei meiner wissenschaftl~chen Arbeit und auch ein Richtunsweiser für wissenschaftliche Qualität war. Glück ~~ch war ich immer, mit ihm zusammenarbeiten zu dürfen, um von seinem roßen Talent zu lernen, wenn auch der Standard, den er esetzt hat, schwer erreichbar ist. Mit Dankbarkeit und Liebe zum 12. Juli 1974 überreicht von

2 Berichte aus dem Institut für Meereskunde an der Chris.tian-Albrechts-Uni versi tät Kiel (Abt. Meteoroloie) Nr. 4 DAS ANFANGSSTADIUM DER ENTWICKLUNG EINER BAROKLINEN WELLENSTÖRUNG IN EINEM BAROKLINEN GRUNDSTROM (Eine mathematisch-physikalische Dianose) von FRIEDRICH DEFANT Bezieher können Kopien dieser Arbeit erhalten von: Requesters may obtain copies of this paper from: Prof. Dr. Fr. Oefant Inatitut tür Mear~skunde Direktor der Abt. Meteoroloqie D 23oo K i e 1 1 Düsternbrooker We 22 BRD

3 Zusammenfassun INHALTSVERZEICHNIS I. Einleitun, Problernstellun II. Die theoretischen Grundlaen zur Dianose barokliner Wellenstörunen II.1. Die fundamentaten Gesetze II.2. Zusammenfassun de:p FundamentaZ-Gesetze zu zwei dianostischen GZeichunen~ weite~e App~oximationen 2.1. Die eostrophische eopotentielle Dicke Gleichun 2.2. Die quasi-eostrophische Vorticity Gleichun II.3. Die Ableitun de~ GeopotentielZen Tendenz Gleichun und de:p w-gzeiahun (Das quasi-eostpophische System} III. Die Konstruktion eines realistischen analytischen Modells einer baroklinen Welle im anfänlichen Entwicklunsstadium III.1. Die Wel~enstöPun und ihp ve~tikazep Aufbau 1.1. Vier Beispiele als Richtschnur für die Modellestaltun 1.2. Das Modell IV. Der Grundstrom v. Analytische Ausdrücke zum Zweck einer Dianose des baroklinen Systems (Grundstroro plus überlaerter Wellenstörun) VI. VII. Die Anwendun des quasi-eostrophischen Systems auf eine einem baroklinen Grundstrom überlaerte barokline Wellenstörun VI.1. Das VePtikaZesohwindikeitsfeZd~ Lösun dep w GZeichun 1.1. Eine dianostis.che Reel VI. 2. Di:e E'Pebnisse de'i' L8sun dep w-gzeiohun und ih'i'e synoptisahe Inte'i'p'i'etation 2.1. Das wr-feld als Fole absoluter Vorti-city Advektion 2.2. Das wii-feld als Fole von Temperatur-Advektion 2.3. Das totale w-feld als Fole beider Antriebseffekte (absolute Vorticity Advektion und horizontale Temperatur Advektion) und das Feld der horizontalen Geschwindikeitsdiverenz 2.4. Die Größe der Vertikaleschwindikeit und der horizontalen Diverenz Die lokalzeitlichen Änderunen der relativen Vorticity ~ und der eopotentiellen Höhe ~ {Tendenz) VIII. Die erzwunene Sekundär Zirkulation Literaturverzeichnis

4 -1- Zusammenfassun Diese Arbeit beschäftit sich mit einer Dianose einer sich im junen Entwicklunsstadium befindlichen baroklinen Wellenstörun in einem baroklinen westl~chen Grundstrom und den aus ihr zu ziehenden Folerunen für seine zeitliche Fortentwicklun (barokline Instabilität). Die Dianose beruht auf der Anwendun aller wichtien dynamischen sowie thermodynamischen Gleichunen in nur leicht approximierter Form, die zuerst zu zwei Fundamentalesetzen (quasi-eostrophisches System) zusammenefaßt werden. Nach der Erstellun eines analytischen naturnahen und hydrostatisch balancierten Modells für eine solche Wellenstörun kurzer Wellenläne (etwa 32oo km) und der damit mölichen Verfübarmachunq analytischer Ausdrücke für individuelle meteoroloische Elemente und verschiedene horizon~ale Advektionsprozesse, werden letztere als Antriebsfunktionen für die Ermittlun der erzwunenen Vertikalbeweun verwendet. Die w-gleichun wird unter verschiedenem solchen Antrieb elöst, zuerst als Konsequenz der Wirkun der vertikalen Variation der horizontalen Advektion absoluter Vorticity, dann als Fole der horizontalen Temperatur-Advektion. Schließlich wird das totale Vertikaleschwindikeitsfeld in einem solchen System als Fole der Summe beider Antriebe ermittelt und daraus die horizontale Diverenz-Verteilun bestimmt, zusammen mit den sich einstellenden lokalzeit-

5 -2- liehen Änderunen der relativen Vorticity und der eopotentiellen Höhe. Schließlich wird die Sekundärzirkulation, die in einem solchen junen System operiert, zusammen mit jenen Prozessen, die sie erzeut, besprochen. Man kommt zum Schluß, daß solche Systeme erst der horizontalen Vorticity Advektion ihre Weiterentwic~lun und Fortpflanzun nach Osten verdanken, bald nach dem Junstadium aber die horizontale Temperatur Advekt~on leichrani wird und für die weitere Amplitudenverrößerun der Störun maßeblich Einfluß nimmt. Es bestätit sich die synoptische Erfahrun, daß hohe Jetwinde über der Störun henötit werden (hohe Baroklinität des Massenfeldes quer zum Grundstrom) um jene Größenordnun im Vertikaleschwindikeitsfeld auszulösen, die die Erfahrun erkennen elehrt hat (nahes zusammentreten von Polar- und Subtropenjet). Auch die Verrinerun der vertikalen Stabilität erweist sich als wichti.

6 -3- Summary This paper is concerned with a dianosis of a baroclinic wave disturbance in the nascent stae of its life history embedded in a baroclinic westerly basic current and is concerned with the consequences of the dianosis for the development in time (baroclinic instability). The dianosis rests upon the application of all important dynamic, as well as thermodynamic equations in only slihtly approximated form, which are condensed into two fundamental laws (quasi-eostrophic system) After construction of an analytic and hydrostatically b~lanced model of such a wave disturbance of short.wave lenth (ca. 32oo km) accordin to synoptic experience, analytic expressio~s are thus available for individual meteoroloical elements and various horizontal advectionprocesses which can be used as forcin functions for the determination of the forced vertical motion. The w-equation is solved for different forcin terms of this kind; firstly as a conseq~ence of the action of the vertical variation of absolute vorticity advection and secondly as a consequence of horicontal temperature advection. Further the total vertical motion field in such a system is obtained due to the sum of the above mentioned processes and from that the horizontal diverence field can be derived taether with the local chanes of relative vorticity and eopotential heiht.

7 Finally the "secondary circulation" Operatin inside such a nascent system is discussed taether with those processes, which are responsible for it. One arrives at the conclusion, that such systems owe their further development and their propaation towards east at first to the hori~ontal advection of absolute vorticity. But soon after the nascent stae horizontal temperature advection plays an equal role and will be responsible for the amplitude rowth of the disturbance. It is seen that top velocity jet winds above the disturbance are required {t.i. lare baroclinicity in the massfield cross current) in order to obtain an order of manitude in the vertical motion which is in accordance with experience. Synoptic evidence shows that the development is particu1arily intense, when polar and subtropical jet are closely distant above such a nascent disturbance. Also the decrease(increase)of the vertical stability seems of rather important influence.

8 I. Einleitun, Problemstellun In der Strömunsdynamik ist es eine bekannte Tatsache, daß Strömunen mit jet-artiem Geschwindikeitsprofil und daher mit starken Stromscherunen beiderseits sowie oberhalb und unterhalb der Jet-Achse mit Hinsicht auf überlaerte kleine Wellenstörunen instabil werden können. Man meint damit den Umstand, daß jede solche Störun, die man einer solchen jet-artien Grundströmun aufprät, dazu neit, ih~e Amplitude zu verrößern, während sie im Verlaufe ihres Wachstums dem Grundstrom Enerie entzieht. Dies trifft in leicher Weise auch für die atmosphärische Westwinddrift (Polarfrontjet) über den e~äßiten und höheren Breiten der Erde zu, da in ihr einebettete Systeme von synoptisch beobachtbarer Größe sich als ein Resultat von Instabilität der atmosphärischen Jet-Störmun zu entwickeln pfleen. Diese soenannte "barokline Instabilität" hänt primär von der vertikalen Windscherun der Jet-Grundströmun ab, d.h. sie hänt entsprechend der thermischen Windleichun vom meridionalen Temperaturefälle ab und wird daher pri~är in der Reion der Polarfront-Zone auftreten. Diese Art von Instabilität ist jedoch nicht identisch mit der soenannten frontalen Instabilität. Von jahrelan durcheführten synoptischen Studien und synoptischen Routine Analysen in den Wetterdiensten aller Länder weiß man, daß Zyklonen der emäßiten und-höheren Breiten sich entlan der Polarfront als eine Konsequenz barokliner Instabilität zu entwickeln pfleen. Man weiß auch, daß sie

9 -7- Fi. 1 Drei Zeitmomente aus der Lebenseschichte einer sich entwickelnden Zyklone der emäßiten Breiten (schematisch). Links~ Wellenstadium mitte: Idealstadium rechts: schon okkludiertes Wirbelstadium Dick ausezoene Linien: GeopotentiaZfeZd der 5oo mb FZäche dünn ausezoene Linien: Bodenisobaren estriahe~te Linien: rezative Toporaphie Boden-5oombJ (eopot. Schichtdicke oder MitteZtemperatur)

10 -8- repräsentiert ist, erscheint der Umstand besonders wichti, daß im Anfansstadium (nascent stae) das Zentrum der Störun~ warm, die Rückseite kalt ist, daß also in den tiefen 0 Niveaus das Druck- und Temperaturfeld um nahezu 18o außer Phase sind. Mit wachsender Höhe und damit allmählichem Eintreten in die darüber sich befindliche kurze obere Wellenstörun richtet sich das Temperaturfeld weitehend in Phase auf das Druckfeld ein, ~o daß der Wellentro kalt, der Wellenrücken warm sind. Dies heißt dann, daß sich die Achse mit rößter Druckerniedriun nach oben hin westwärts neit, während sich die Achse wärmster Luft nach oben hin vorwärts oder ostwärts neit, also eine umekehrte Neiun (tilt) aufweist. Dieses "out of phase" Verhalten eines junen baroklinen Systems ist enorm wichti für den Ablauf eneretischer Umsetzunen und für seine weitere Fortentwicklun zu einem intensiven zyklonischen und hochreichenden Wirbel, welcher sich im End- Stadium durch eine fast vertikale Achsenlae (oder soar nach vorne, also ostwärts, eneiten) auszeichnet,[s],[7],fs],[1o], [11],[2o]. Wie man bald erkannt hat, wird die in der näheren Umebun der Polarfront als Luftmasseneensatz espeicherte potentielle Enerie durch Hebun von warmer und Senken von kalter Luft im sich entwickelnden Vertikaleschwindikeitsfeld freiemacht und in kinetische Enerie umesetzt (Sturmerzeuun nach M. Marules oder E. Lorenz), ~sj, ~4]. Den physikalisch-dynamischen Geebenheiten innerhalb eines solchen baroklinen zusammenesetzten atmosphärischen Systems und den sich daraus zwansläufi erebenden wichtien Konsequenzen für seine instabile Entwicklun kommt daher hohe

11 -9- Bedeutun zu. Zur völlien Klarstellun des Geenstandes, mit dem sich die nachfolende Arbeit befaßt, soll noch ein Beispiel (siehe Fi. 2) eines derartien Voians, der sich immer und immer wieder innerhalb der atmosphärischen Westwinddrift vollzieht, präsentiert werden. Es handelt sich um eine intensive Zykloenese beinnend westlich von Enland am 11. Februar 197o, oo GMT (Wellenstörun, nascent stae) aus der sich im Verlaufe von nur 36 Stunden bis zum 12. Februar 197o, 12 GMT ein schon okkludierter Sturmwirbel mit einem Kerndruck von 969 mb über dem enlischen Kanal entwickelt. Das Idealstadium liet irendwo zwischen dem 11. und 12. II, oo GMT, wurde also rasch durchlaufen. Nach der extremsten Wirbelphase mit tiefstem K~rndruck füllt sich der Wirbel bei weiterer Okklusion erst rascti, dann etwas verlansamt auf, während er sich bis zur östlichen Ostsee ENE-wärts fortbewet. Der in der Fi. 2 ein~rahmte Geburtszustand (siehe l~nke,, ~ildseite) zeit nun eine wellenhafte Bodenstörun~ (Kerndruc~ 1oo7,5 mb)_ efolt von einem Bodenhoch östlich von N ufundland, (> 1o3omb) überlaert von einer oberen Wellenstörun~ re~at~~ kurzer Wellenläne in den höheren Druckniveaus d'r Troposphä~~' repräsentiert durch die estrichelt ezeichneten Linien (= Geopotentialfeld der Soo mb Fläche). Diese Wellenläne beträt in So 0 N etwa 4o bis 45 Länenrade, d.h. etwa 9 oder 8 solche Wellen auf dem esamten Bre.itenkreis rund um die Erde. Vom Bodentief anefanen neit sich also die Achse tiefen Drucks deutlich bis zum oberen Tro mit wachsender Höhe (,

12 -lo- / ' 1./... :.-..:~-?-:- -_..; fv..r-; '-J- (. fr._ f.-----::--: ' Zyklonrmlt nlrurn Drucknndl rtm.j 1...._,. I;! PfiM Fi. 2 Tatsächlicher Fall einer Zyklonenentwicklun über dem östlichen Atlantik und Westeuropa vom 11. Februar 197o, oo GMT (Wellenstadium) bis zum 14. Februar 197o, oo GMT

13 -11- westwärts (Achsenneiun etwa 1:171). Was das Temperaturfeld aneht, so ist der weit offene Warmsektor der Bodenstörun von warmer Meeresluft mit Temperaturen zwischen 12 und ~5 C (oo GMT) erfüllt, während westlich der Kaltfront kalte Polarluft (3 bis 7 C) im Bereich bis zum Bodenhoch mit NNEwinden südwärts strömt. Das Temperaturfeld am Boden ist also mit dem Bodendruckfeld um fast 18o 0 außer Phase. Das Temperatu~feld ~n der Höhe ist durch das wellenförmie schatt~ert~ Band in Fi. 2 repräsentiert, welches die Polarfront in Soo mb symbolisiert. Innerhalb dieses Bandes sind in charakteristi~cher Weise die 0. 0 Isothermen von -27 bis etwa -33 C konzentriert, so daß nördlich der Polarfront die kalten Massen {-33 bis -39 C).und südlich von ihr die recht warmen z.t. tropischen Mas..Sen {-27 bis -17 C) in der Soo mb Fläche beob~chtet sind. D~durch wird offenbar, daß sich die Achse maximaler Temperatur aufwä:;r:t$, I : etwas nach Osten neit und sich das obere Temperaturfeld in Soo.';mb mit dem Geopotentialfeld schon weitehend in fhase befindet. ' (kalter Tro ve:rsus w~rmer R~cken). In der 3oo bzw. 2oo mb Fläche wird dieses Störunssystem von I ",I intensivsten Jet-Winden überweht (siehe Tälichen Wetterber.idhtl.,,,., Deutscher Wetterdienst, Jahran 95, Nr Seite 7), wbbei ' I ' ' ' neben den Radiosond~nstationen Winde während,ines F1uqes von Neufundland nach Enland direkt über der Störun von einer Stärke von 115 Knoten = 59 m/sec = 213 km/std. beobachtet wurden. Auch Camborne, Valentia und Belmullet melden in diesen Höhen durchwes Winde >1oo Knoten. Das Wolken- bzw. Strömu~sfeld dieser Störun soll noch eine

14 -12- Satellitenaufnahme verdeutlichen (siehe Fi. 3) (siehe FORTAK [9], Titelbild und s. 32). Das Satellitenbild bezieht sich etwa auf eine Zeit zwischen 11. II.v oo GMT und 12. II., oo GMT, also das Zeitstadium der Idealzyklone oder etwas früher. Deutlieh erkennt man den As bzw. N -Schirm an der Vorderseite s (Warmfront Aufleitvoran) sowie die bandartie Struktur des Kaltfront-Wolkenfeldes sowie in ihrer Rückseite vorhandene offene Zellen von Zellular-Konvektionswolken verschiedenster Größe und bandartie Konvektions-Wolken, aus deren Verlauf man deutlich den Zustrom der polaren Kaltluft erkennen kann. Einer detaillierten Analyse und Dianose eines solchen Anfanszustandes unter Zuhilfenahme der ültien mathem.-physikalisahen Gesetze und den daraus sich erebenden Folerunen für die weitere instabile Zyklonenentwicklun hinsi~htlich des. Antriebs und der sich einstellenden Vertikalbeweun, die.. maßeblich das Wolken- und Niederschlasfeld verursacht, sowie der Einrichtun von typischen sekundären Zirkulationen ist die nachfolende Arbeit ewidmet.

15 -13- Fi. 3 Satellitenaufnahme der Wellenzyklone vom 11. Februar 197o westlich von Irland (aus H. FORTAK, Meteoroloie, Deutsche Buch-Gern., 1971, Titelbild und Seite 32)

16 -14- II. Die theoretischen Grundlaen zur Dianose barokliner Wellenstörunen II.l. Die fundamentalen Gesetze Um die beobachtete Struktur barokliner Wellenstörunen d~a~ nostizieren zu können und Konsequenzen, die sich aus ihrem physikalischen Aufbau und ihrer internen Struktur ereben, analysieren und ableiten zu können, ist es nöti, (A) alle auf die atmosphärische Beweun anwendbaren fundamentalen Gesetze hydrodynamischer und thermodynamischer Art heranzuziehen und sie in mathematischer Form darzuleen. Da sich die meteoroloischen Beobachtunen in der freien Atmosphäre nach internationaler Übereinkunft auf Flächen konstanten Drucks beziehen, ist es anebracht, die Gesetze auf ein mit der Erde mitrotierendes (relatives) Koordinatensystem zu beziehen (die beiden horizontalen... Koordinaten x, y weisen positiv nach Osten bzw. nach ~orden und als vertikale Koordinate, di~ zum lokalen ~en~th weist, wird der Luftdruck p ewählt, der nach u~ten zu~: nimmt (nach oben abnimmt); das bedeutet die Wahl eines soenannten isobaren Koordinaten~systems ~der kur~ p-sy.tems. Weiterhin erscheint es notwendi, (B) diese Gesetze zu einem etwas vereinfachten GleichunSSatz zusammenzufassen, weil sie sich in ursprünlicher Form weni für eine Dianose schwieri aufebauter Störunen einen, obwohl sie einzeln für sich stren anwendbar sind. Auch läuft man bei Einzelanwendun Gefahr, Konsequenzen aus einem ebenso ültien Nachbaresetz zu neieren und schließlich wird zu zeien sein,

17 -15- (C) daß eleitet durch soenannte ''scale" Analysis (Ana~yse der Größenskala einzelner Terme) anewandt auf dies~., Gleichunen schließlich Beziehunen resultieren, die\;es erlauben, wichtie physikalische Voräne innerhalb barokliner Störunen, welche sich allein durch die räumliche V~rteilun des Geopotentials ~ = z beschreiben lassen, mit den Feldern der lokalzeitl.ichen Veränderun des Geopotantials ~ (Druckänderun) und der zu einem Gleichewicht nötien Vertikaleschwindikeit w = dp/dt in Verbindun zu brinen. Um diese esteckten Ziele (A), (B), (C) zu realisieren, beinnt man am zweckmäßisten mit den Gesetzen selbst: Für Störunen im synoptisch beobachtbaren "scale" elten für die horizontal (entlan im Raum ewellter Druckflächen) ablaufende Beweun, die nach dem 2. Newton'schen Gesetz für das relative Koordinatensystem ültien beiden Beweunsleichunen: du - fv = dt dv + fu = dt ( 1 ) ( 2) Horizontale Komponentenlei7 chunen der relativen Bew~un b.. du dv d. t wo el dt' dt Le ota 1 en, d ~ a a mj.t dt = at + u ax + v ay ' individuellen Beschleuniunen der Luft a + w äp und -fv, fu die entsprechenden ' corioli aesohleuniqunen in der x- b~w, -s -1 am mit~= 2 n sin ~, n = 7,292 lo sec Die Glieder-~~ y-riohtun ba~eiohnen -!1 sind die jeweilien Komponenten der Druckkraft pro Massenay einheit mit $ = z = Geopotential und = Schwerebeschleuniun. Hier und im folenden ilt ween des ewählten p-systems, daß alle partiellen Ableitunen auf isobaren Flächen und nicht auf

18 -16- * Flächen konstanter Höhe zu nehmen und zu deuten sind. w = ist die "eneralisierte" Vertikaleschwindikeit im p-system. Keine Berücksichtiun erfährt dabei di~ Reibun, deren Einflußnahme auf die Beweun durch den Einbau von Komponenten einer Reibunskraft in Gleich. (1) und (2) erfolen müßte. Obwohl rundsätzlich in verschiedenster Weise mölich, soll hier Reibunseinfluß noch unberücksichtit bleiben. Die dritte Komponentenleichun der Beweun reduziert sich durch "Saale-Analyse" mit rößter Näherun auf das hydrostatische Gleichewicht, welches im p-system durch die allbekannte Beziehun: J;; ~ - p 1 p ( 3) Hydrostatische Grundleichun 1 seinen Ausdruck findet, wobei a = -das spez. Volumen und p die p Dichte der Luft bezeichnen. Die Beziehun {3) kann mit Hinzunahme der Zustandsleichun für feuchte Luft modifiziert werden. Letztere lautet: ( 4) Zustandsleichun feuchter Luft worin Tv = T(1+o,61 q) die virtuelle Temperatur und Rd die Gaskonstante der trockenen Luft bezeichnen. Der virtuelle Temperaturzuschla o,61 qt enthält die spez. Feuchte q [1o- 3 r Wasserdampf/ r feuchter Luft] und ist nur in tieferen Niveaus von solcher Größe, das T V sich wesentlich von T unterscheidet. Kombination von Gleich. (4) und (3) eribt daher die Beziehun: I*=-(~) TI (3a)

19 -17- und ihre Interation über eine Schichte kleiner Dicke (Oberrenze b, Unterrenze a) liefert die bei der Auswertun eines RadioS.Q.Jl-ä_ena ufs ties erforderli ehe "barometrische Höhenformel": b ~b- ~a = b~ =- Rd I Tv o(lnp) = a T V (3b) die eine eindeutie Zuordnun des Geopotentials (oder der eopotentiellen Höhe einer Druckfläche) zu emessenen Druck-, Temperatur- sowie Feuchtewerten in der Vertikalen ermölicht. (Siehe auch INT. METEOROL. TABLES, WMO No. 188.TP /3/4, Genf 1966). Ein weiteres wichties Gesetz ist jenes von der Erhaltun der Masse, das für das p-koordinatensystem die einfache Fom: au av aw + + = 0 ax ay ap (5) Kontinuitätsleichun annimmt. Sie ist dem Bau nach ähnlich der Kontinuitätsleichun fu.. r.. k. b 1 M d. a u a v + a w o e~n ~n ompress~ es e ~um ä; + ay äz = ülti für ein z-system, unterscheidet sich aber neben den unterschiedliehen Ableitunen auf p- oder z-flächen im dritten Gliede auf der linken Seite(~:), wobei w =*die soenannte "eneralisierte" Vertikaleschwindikeit bezeichnet. Ihre Verknüpfun mit der Vertikaleschwindikeit w ist etwas schwieri: also w = und nur in erster Näherun ilt w "' = w p Ein weiteres Gesetz ist der erste Hauptsatz der Wärmelehre oder die thermodynamische Enerieleichun, wie man sat.

20 -18- In Entropieform lautet sie: Q ds d ln T d ln p T = dt = cp dt - R dt = cp d ln e dt (6) Thermodynam. Enerieleichun worin Q das Ausmaß an externer nicht-adiabatischer Wärmezufuhr pro Masseneinheit, S die Entropie, cp die spez. Wärme bei konstantem Druck und e die potentielle Temperatur kennzeichnen. Letztere ist definiert als: R/c p = pa R R/c p ( 7) Definitionsleichun der pot. Temperatur Die Beziehunen zwischen den abhänien Variablen u,v,w,~,a,e (T) sind durch den Satz fundamentaler Gleichunen (1) bis (7) vollständi spezifiziert. Natürlich ist dieser Gleichunssatz seit lanem ein wohlbekanntes Gut meteoroloischer Lehre und in jedem kompetenten Textbuch nachlesbar z.b. [1o], [11], [12}, [14]. II.2. Zusammenfassun der Fundamental-Gesetze zu zwei dianostischen GZeiehunen~ weitere Approximationen obwohl schon etwas vereinfacht erscheint die simultane Verwendunaller in II.1. dareleten Gesetze schwieri. zum Zwecke der Dianose synoptischer qtörunen empfiehlt es sich daher zu versuchen, wenn mölich, fast alles in Termen des Geopotentials ~ auszudrücken und weitere Näherunen nur insoweit zuzulassen~ wenn sie mit synoptischer Erfahrun im Einklan sind und wenn sie mit theoretischer " sc ale" Beründun und anderen loischen Arumenten vertretbar erscheinen.

21 Die eostrophische eopotentielle Dicke Gleichun Hier beinnt man am sinnvollsten mit Gleich. (6). Sie lautet in entwickelter Form: ds ::::: cp l ~t (ln El) + u L. (ln 0) + V L(ln 8)+w d (ln e) l (6a) Cl.t o Clx ay ap ~ Aus Gleich. ( 7) folt durch loarithmieren: c ln 8 ::::: ln a - ~ ln p + Konst c p (7a) und daraus eribt sich, daß p keine abhänie Variable ist (p = Konst auf jeder Druckfläche} a u ä;cln e) Cl u a a = u -(ln a) a= ax a Clx d at(ln 8) = Cl 1 a a:t<ln a} = et at a d v ä'y(ln 8) = v Lc 1n a > = v 3y Cl. aa ay Verwendet man jetzt noch die hydrostatische Gleich. (3), so ilt a"' Cl. = - a~ Dann ist leicht einzusehen, daß sich Gleich. (6a) umschreiben läßt in: a <- arj>)+ u a at ap ax (- dqj)+ ap v a ()y c-!p..> ()p - aw = et ds c dt p a = c T Q p (6b) mit a 5 et ae was einem "statischen Stabilitätsparameter" ent - e Cl p, spricht. (;: < 0,o> 0 stabil; ;:> o, o<o labil; ;:~o, o~o indifferent) Im ersten F a 11, wo e mit dem Druck nbnimmt (mit der Höhe zu nimmt), wird ein sich von einem beliebien Niveau aus adiaba. h d h mit konstantem e, auf- bzw. absteiendes LufttJ.sc,.. teilchen mit einer niedrieren bzw. höheren pot.temperatur,. d' Umebun besitzt, ausezeichnet sein und das Teilals s1e 1e

22 -2ochen wird einem Absinken bzw. Auftrieb unterworfen und stets zum Ausansniveau zurückkehren. Es zeit also stabiles Verhalten. Im zweiten Fall ist es so, daß es sich stets weiter von der Ausanslae entfernt (labiles Verhalten). Im letzten Fall behält es, wie immer das Teilchen auch verschoben wird, leiches e wie die Umebun und verhält sich somit neutral (indifferent). Bis auf eine näherunsweise Konstanz des Parameters cr, die anenommen wird, und zwar mit uter Rechtfertiun, sind bisher keine Approximationen erfolt. Nun soll aber die Gleich. (6b) durch Annahme eines eostrophisch balancierten Windes noch weiter abewandelt werden, d.h. es entfallen in den Gleich. ( 1) un d (2) d ~e t o t a 1 en Besc hl eun~unsl~e d er dt du un d dt dv un d sie lauten dann: -f V = - ll 0 ax (la) oder in Vektor-Notation: f u = ll 0 ay ( 2 a).ij u V = IK X \\7 ~ f 0 worin W den horizontalen del-operator der Vektorrechnun bezeichnet. Die Annahme eines in erster Näherun eostrophisch balancierten Horizontal~indes ist deshalb nicht zu einschränkend, weil die vernachlässiten Beschleuniunen entsprechend einer "Scale Analyse" eine anze Größenordnun -2-2 (1o cm sec ) kleiner sind als die verbleibenden Glieder { 10 -l -2 cm sec ). schließlich vernachlässien wir noch die nicht-adiabatische... Gl. h (6b) d h Q d ds - 0 d f" k Erwarmun ~n e~c, o er dt =, a.ur so urze Zeiträume, die während der Entwicklun einer junen baroklinen

23 -21- Welle verstreichen z.b. die Strahlunseinwirkun keinesfalls den Effekt anderer beibehaltener Entflüsse erreicht und z.b. die Zufuhr latenter Kondensationswarme bei noch nicht voller zyklonaler Entwicklunsphase ebenfalls zurücktritt. Für Zeit- Epannen von mehreren Taea jedoch aollte die diabntische Erwärmun stets berücksichtit werden. Mit diesen beiden Näherunen wird dann die Gleich. (6b): d i:lt ::: - \V \'if (8) Da in dieser Gleichun sowohl v a ()9 a 2 <j> _ 1 li (-R _ l) als auch cr = - -- = reine Funktionen von ~ sindv e ap ~ 2 p ap c op p sind in ihr nur zwei abhänie Variable, nämlich ~ und w enthalten. Sie entstand, um es noch einmal klar zu saen, aus der thermodynamischen Enerieleichun (6) mit Verwendun der Definitionsbeziehun für die pot. Temperatur {7) sowie der hydrostatischen Grundleichun (3) und den eostrophisch approximierten Beweunsleichunen (la, 2a). Die nicht-adiabatische Erwärmun wurde vernachlässit. Dies ist nun eine der esuchten Dianose-Gleichunen und es erscheint anebracht, nacheinander die in ihr enthaltenen Glieder physikalisch zu interpretieren: Das Glied auf der linken Seite von (8): ist die lokalzeitliche Änderun an feststehendem Ort der soenannten "eopotentiellen Schichtdicke - ~: ". Diese wiederum ist durch die hydrostatische Grundleichun (3a) direkt pr ;:Jportional der Temperatur T. Der Proportionalitätsfaktor (:d) ist für jedes Druckniveau konstant. Also bedeutet dieses Glied nichts anderes als die lokalzeitliche Änderun der Temperatur in jeder isobaren Fläche ewichtet mit

24 -22- dem Faktor ( :a). Das elsta Glied auf der rechten Seite von (8):. kann als die "horieontale Dicke-Advektion w W ~~: } bezeicfinet werden, oder als die horizontale Temperatur-Advektion w WT" inter Und schließlich bedeutet das zweite Glied auf der rechten Seite von (8) physikalisch ein "adiabatisches Erwärmuns-(Abkühluns-) Glied 11 und brint jene Temperaturänderunen (Dicke-Änderunen) zum Ausdruck, die sich durch Aufsteien und Expansion oder Absinken und Kompression von Luftteilchen in einer stabil eschichteten Umebun einstellen. Hat man aber keine unendlich dünnen Schichten, sondern Schichten von endlichem Druckintervall 6p mit einer Mitteltemperatur T, so entspricht diesem ein endliches eopotentielles Dicke-Intervall (-6$). [oa der Druck abwärts zunimmt (vertikale Koordinate) wird 6$ stets neativ, -6 also stets positiv sein, da $ mit dem Druck abnimmt!] Die Gleichun {8) kann dann in einer der beiden nachfolenden äquivalenten Formen umeschrieben werden: I [ Cl - T = - (\V WT) + ( ~ a) w at. I (8a) a (-~<P) = - <w W(-6$)) + ( 0 ßp) l!j (Sb) at oder Mit Hilfe der Gleich. (8a und b) kann der physikalische operati ve Mechanismus von Gle i eh. ( 8) bestens darelet werden: Hat man eine horizontale Zufuhr warmer Luft, also Warmluft- Advektion oder eine Advektion rößerer eopot. Dicke,

25 -23- so ist: W \V'T<O \V W(-flcp)<O und daraus folt eine lokalzeitliche Zunahme der Temperatur(~~ > o) oder der eopot. Dicke (8{-6cp)/Bt>O) Hat man hineen eine horizontale Zufuhr kalter Luft, also eine Kaltluft-Advektion oder eine Advektion kleinerer eopot. Dicke, so ist: \V \'VT>O \V W (- 6 tjl) > 0 und daraus folt eine lokalzeitliche Abnahme der Temperatur (;~ < 0 ). oder der eopot. Dicke (8(-6~)Bt<O): Andererseits hat man aufst~iende Luft mit adiabatischer Abkühlun, so ist: oo<o oder(~ cr)w<o (a6p)w<o so folt daraus stets eine lokalzeit (at ) liehe Abnahme der Temperatur a t<~.. oder der eopot. Dicke (8(-Atj>)/Bt) Hat man hineen absinkende Luft mit adiabatischer ~rwärmun~ so ist: w>o oder (~ a)w>o (cr6p)w>o um einen noch tieferen quantitativen Einblick zu ewinnen, soll' ein numerisches Beispiel präsentiert werden.!m ~iveau von 5So mt.,.. ' (siehe Fi. 4, linkes Bild) erfolt mit einem leichförmi~en Westwind u = lo rn/sec eine Warmluftadvektion im P~nkt~ A. Drei enau S N orientierte Isothermen repräsentiere~ das Tampe~! raturfeld. Ihr horizontaler Abst~nd voneinander b~trät Soo k~~ Oie rechte Seite der Fi. ( 4) zeit einen vertikalen Quersch.nit.t entlan der Linie BAC und enthält in der Mitte durch A eine vertikale Druckschicht von 1oo mb zwischen D und E. Die im Punkte A bestimmbare Warmluftadvektion \V WT = uat/ax be

26 mb I N t-500 km E y I 8-20 WARM I A c U=10 rn/sec s KALT I A c 1321, pm X D X 638,5 p (mb) Fi. 4 Skizze zur Erklärun der Wirkunsweise horizontaler Temperaturadvektion

27 -25- trät dann -1o- 4 rad/sec und dies führt entsprechend (8a bzw. Sb) dann zu einer lokalzeitlichen Zunahme der Temperatur in A von 8,64 C/Ta oder einer Erweiterun der Schichtdicke um 46 pm/ta (von 1321,5 auf 1367,5 pm). Der Effekt der Advektion warmer Luft in die 1oo mb-schicht (ED) kinein ist also beträchtlich. Nimmt man jetzt an, daß die Mitteltemperatur (T = -25 C) im PunktAoder die Schichtdicke (ED) von 1321,5 pm lokalzeitlich trotz der Warmluft-Advektion erhalten bleiben sollen (~~ :: a (-Ä<j>)/3t = o), so folt zwansläufi, daß zur Aufrechterhaltun der Stationärität in Gleich. (8a und b) das Vertikaleschwindikeitslied wirksam werden muß. Die durch horizontale Advektion resultierende Temperatur- oder Dicke~Steierun muß durch eine Abkühlun kompensiert werden, wozu adiabatisches Aufsteien der Luft zu fordern ist. Die Durchrechnun eribt, daß dieses Gleichewicht durch ein w von der Größe -3,48 1o~ 3 mb/sec 'V (was etwa w = 4,6o cm/sec entspricht) erreicht werden kann Die quasi-eostrophische Vorticity Gleichun. -- ' Nun suchen wir nach einer zweiten Beziehun, die wiederum nur <1> und w enthält und aus mehreren der Fundamentalesetze herzuleiten wäre. Dabei eht man jetzt von den bis auf den Reibunsfluß vollständien beiden Komponentenleichunen (1) und (2) für die relative Luftbeweun aus, wendet auf (1) den und auf (2) den Operator (~x) an und addiert. Operator ( -~y) Dann elant ma:n als Zusammenfassun auf die jedem modernen Textbuch der Meteoroloie entnahmbare Vorticity-Gleichun: '

28 -26- dt'<n> 0 ~ + u R + v R + w ~ + ßv Clt Clx Cly Clp + <n> div \V +(~av_aw~)=o ax ap Cly Clp + (~+f) div \V + ( dw dv - dw du)= 0 Clx Clp Cly Clp (9) worin die relative Vorticity s ~ ~v. ox ~ientlich au ay der beweten Luft als vertikale Komponente des dreidimensionalen ot oder ~url Vektors anzusprechen) und die absolute vorticity n = s + f, die Summe der relativen Vorticity der atm. Luft plus der Vorticity der sich drehenden Erde f = 2 Q sin ~, Clf bezeichnen. ß = äy 2Q =-- cos ~ ist ein Parameter, der die Vera änderlichkeit von f mit der eor. Breite kennzeichnet und div w ist die reine Horizontaldiverenz. Die Gleichun (9) wird nun in mehrfacher, aber wohl be~~ndeter Hinsicht v~reinfacht, wie folt: (a) "Scale Analyse"und Erfahrun zeien, daß die Glieder:, w ~;, die vertikale Vorticity-Advektion, und ~ 2.2:, _ ~ Clu. ax Clp ay op, das soenannte Vertikaldrehuns- oder Twistin-Glied, klein (lo- 11 ) verlichen mit anderen Gliedern der Gl~i eh. ( 9) ( 1 o- 1 0 ) sind. Sie werden daher vernachl!ssit. (b) Im Diverenz-Glied (~ +f) div w zeit di~ "Saale analyi~s~, daß s die Größe lo- 5, f die Größe 1o- 4 und div w die GröS~ -6 1o besitzt für mittelroße synoptische syst~me. Hier wird daher ~ eenüber f vernachlässit. Das Glied lautet dann f div \V. (c) Der Coriolis-Parameter f kann in eine Taylor-Reihe entwickelt werden mit Bezu auf eine Breite ~ = ~ Dabei 0 werden Glieder höherer Ordnun vernachlässit:

29 -27- f=f 0 +(df) y mit (df) = ß und y = 0 dy ~ dy ~ bei ~ = cj> 0 Die beiden verbleibenden Glieder rechts stehen dann, was ßL rv cos ~ 0 L ihre Größenordnun aneht im Verhältnis fo = ~, sin ~ 0 wenn L die seitliche Ausdehnun der Beweun bezeichnet. L a Wenn L << a oder-<< 1, folt f = f o = Konst, wenn f in undifferenzierter Form auftritt, mit der Ausnahme des Advektionsliedes ßv, wo dann ß als konstant behandelt wird (soenannte ß-Ebenen Approximation). (d) Der Horizontalwind w und die relative Vorticity ~ werden nun eo~trophisch approximiert: 1!2. u=u = f ()y ov ou 0 \\7 2 p t;=t; = 5l 5l = ox ay f ' 1 0 v=v =!2. f ox 0 mit der einzien Ausnahme~ nämlich im Diverenzlied f div w. Hier wäre eine eostroph io sehe Approximation unsinni, denn div w wäre in ebenen V Koordinaten:: 0 oder in Polarkoordinaten = -.a ct cj>, was sicherlich mit der wahren Horizontaldiveren~ weni emeinsam hat. Mit allen diesen Näherunen und Vernachlässiunen reduziert sich dann die Vorticity Gleichun (9) auf: ~~ ~ - w \V (9 a). mit I; Verwendet man jetzt noch im letzten Glied die Kontinuitätsleichun, so.folt:

30 -28- at;!l = - W \'V s - \V W f + f ~ at o ap (9b) Quasi-eostrophische Vorticity-Gleichun mit \V W f E v ß Die lokalzeitliche Änderun der eostr. Vorticity (Glied links) wird daher durch 3 separate Prozesse erzeut: (a) durch horizontale eostr. relative Vorticity-Advektion (\V W s ) (b) durch meridionale eostr. Advektion planetarischer Vorticity (\V ~f = v ß) (c) durch Horizontaldiverenz oder durch eine vertikale Änderun der Vertikaleschwindikeit w. Die Gleichun (9b) ist nun eine zweite Gleichun, neben Gleich. (8), die zusammenfassend aus den Fundamentalesetzen heraus entwickelt wurde und die wieder nur das Geopotential.t und dte.. Vertikaleschwindikeit w zum Inhalt hat. Wieder erscheint es sinnvoll, die Glieder die$er Gleichun... physikalisch zu interpretieren, um ihren ArbeitsmechanismU~ aufzudecken. Zuerst muß festestellt werden, daß positive bzw. neative relative Vorticity (t; > oder < p) iri de~ Atmbso~äre... ', ' der Nordhe~isphäre Zyklonische bzw. anti~yklonische relativ~. Vorticity bedeuten, d.h. die Lineareschwindikeit.des Wipd~~ ni~mt in der Nordhemisphäre im Falle zyklonisoher nach rechtat ~m Falle antizyklonischer relativer Vorticity n~ch links von der Beweunsrichtun zu. Was das erste Glied re eh ts in Glei eh. ( 9) betrifft, ilt das Folende: Weht der eostr. Wind w, wie man sat, Vorticity radient-abwärts, liet also der Winkel y zwischen den Vektoren

31 -29- w und w~ irendwo zwischen 9o 0 über 18o 0 bis 27o 0, so ist W W ~ = Iw II~'Vl; I cos y<o ween cos y<o. Dann nimmt die eostrophische Vorticity als Fole der horizontalen Vorticity- Advektion lokalzeitlich zu, d.h. entweder wird früher vorhandene antizyklonische Vorticity abeschwächt und schließlieh in zyklonische umeändert oder früher vorhandene zyklonische Vorticity wird an festem Ort mit der Zeit verstärkt. Weht hineen der eostr. Wind w Vorticityradient-aufwärts. - (ist y irendwo zwischen 27o 0 über 0 bis 9o 0, also cos y>o), so folt das Umekehrte (Abschwächun zyklonischer, Steierun antizyklonischer relativer Vorticity an festem Ort mit wachsender Zeit als Fole horizontaler Vorticity-Advektion). Hinsichtlich des zweiten Gliedes rechts in Glei eh. ( 9) ilt; Für einen nach Norden wehenden Meridionalwind (v >0), d.h.. einen radient-aufwärts wehenden Wind, da der Gradient der planetarischen Vorticity (Wf = 9f/9y: ß) stets positiv (~or~wärts erichtet ist), folt w Wf > O und daher eine'zl.:mabme. antizyklonischer, bzw. eine Abnahme zyklonisoher relativer.vorticity mit der Zeit am festen Ort als Fole der planetarischen Vorticity-Advektion (9~ /9t < 0). Für einen nach Süd wehenden Meridionalwind (v < 0) ist das entsprechend Geensätzliche zu folern. Die physikalische Wirkunsweis~ des dritten Gli$des in Ql. (9) ist ebunden an das Vorzeichen der Horizontaldiverenz. div w > 0 bedeutet wahre Diverenz, div w < 0 hineen bedeutet K onvere nz de s aorizontalwindes.

32 -3oaw Im ersteren Fall (div w > o, d.h. äp < 0) bei diverentem eostrophischen Horizontalwind, stellt sich eine Abnahme der zyklonischen oder eine Zunahme der antizyklonischen relativen Vorticity an festem Ort mit wachsender Zeit ein (o~ /ot < O). Hineen wird bei konverentem ~ostrophischen Horizontalwind (div w < o, d.h. ~; > 0), die antizyklonische relative Vorticity abebaut oder die zyklonische intensiviert. <a~ /at > o>. Nachdem nun beide im Abschnitt (II.2.) ewonnenen Gleichunen, nämlich G. ( 8). bzw. ( 9b) eine hinreichende Darleun und Interpretation erfahren haben, verbleibt der letzte anekündite Schritt (C) zu tun. Die Tatsache, daß beide Gleichunen nur die abhänien Variablen ~ und w enthalten, let nahe, wechselwiese eine der Variablen zu eliminieren. Dies soll im Abschnitt (II.3.) jetzt eschehen. II.3. Die AbZeitun der soenannten "eopotentiezzen Tenden GZeiahun" und der "w-gzeiahun" Zuerst soll vermerkt werden, daß ~ = \v2 <I> f. 0 und daher a~ /Bt;~ '... ': t 3.1. Das quäsi eostrophische System Um aus den Gl. (8) und (9b) die Vertikaleschwind~keit w zu 'I eliminieren, multipliziert zuerst die Gl. (8) mit dem Konstan~en Faktor f 2 /o und differenziert sie dann liedweise nach dem 0 a Druck (äp) und addiert das Resultat zu Gl. (9b). Der Rechenvoran ist so elementar, daß hier nur das Enderebnis aufeführt ist:

33 -31- f 0 \V W ( ~ + f) + 0 a fw W-!1) Clp \ Clp (lo) Diese Gleich. (lo) ist nun von besonderem Interesse, da sie die lokalzeitliche Änderun der eopotentiellen Höhe ~ = z (die soenannte ''eopotentielle Tendenz") zu der eometrischen Verteilun von ~ im Raum zu feststehender Zeit in Beziehun setzt, weil die Glieder auf der rechten Seite von (lo) alleinie Funktionen von ~ sind. ~v, ~, o sind alle nur von ~ abhäni). Diese Gleichun ist daher "pronostischer Natur" und man nennt Gleich. (lo) verständlicherweise "Geopotentielle Tendenzleichun". Ihr physikalischer Arbeitsmechanismus ist nach den voraus ell. stellten Diskussionen leicht übersehbar. Die Tendenz Clt oder besser 2er beim ersten Besehen schwieri erscheinende Operato~ f 2 w 2 + ~ :p 2 anewendet auf ff eribt sich als Fole zweier Prozesse. Das erst~ Glied rechts ist wieder die horiz. Advektion. I der absoluten Vorticityi die aus entsp~echenden Advektionen der relativen und planetarischen Vorticity ~usammenesetzt ist.' bas zweite Glied beinhaltet eine vertikale Änderun der hori-. R. zontalen Temperatur-Advektion (w W- f1 - - \V \'VT) op p 3.2. Die Ausanslei eh unen ( 8) bzw. ( 9b) können aber auch in anderer Weise behandelt werden, um ft zu eliminieren. Dazu wendet man auf jedes Glied der Gleich. (8) den Laplace-Operatur w 2 an und differenziert die Gleich. Cl (9b) nach dem Druck (Clp). Subtrahiert man dann das erste vom zweiten Erebnist so ist

34 -32- ~: eliminiert und es resultiert eine dianostische Gleichun für die Vertikaleschwindikeit w als alleinie Funktion der räumlichen Verteilun von ~ zu feststehender Zeit wie folt: L) w = fo L { \V \'V (t;; +f)} +..!. w 2 f~ W (- aq,\~ 2 cr ap cr ap } ap (11) Diese Gl~i~hun wird sinnvoll als "w-gleichun~ bezeichnet. Auch in dieser Gleichun (11) eribt sich die linke Seite als Fole zweier separater Einflüsse, die auf der rechten Seite der Gleichun erscheinen. Davon enthält der erste Term wieder die horiz. Advektion absoluter (relativer + planetaris~her) Vorticity. Aber jetzt steht deren Veränderlichkeit <'*--> in der op. Vertikalen zur Diskussion. Der zweite Term ist eprät durch die zweifache Ableitun oder Veränderlichkeit (W 2 ) der Temperatur-Advektion in horizontaler Richtun. Abschließend soll nochmals dieses näherunsweis~ dltie theo~ retische Grundkonzept bekannt unter dem Namen: "quasi-eöstrophisches System" schematisch zusammenefast werden (siehe umseiti Fi. 5 ), [12]. Besonders zu betonen ist noch der Umstand, daß Gleich. (1o) und (11) es erlauben, aus einem eebenen dreidimensionalen Feld des Gabpotentials ~ für eine eebene Zeit heraus ohne detaillierte Messun des Windfeldes die wichtien Größen!1 Clt und w zu ermitteln. Eine solche Dianose soll nun einehend an Hand eines analytischen Modells für eine june barokline Wellenstörun, die einem baroklinen Grundstrom überlaert wird, vorenommen werden.

35 -33- horiz. Beweunsleichunen (1) (2). ohne Einbau der Reibun hydrostatische Grundleichun (3) Zustandsleichun feuchter Luft (4) Kontinuitätsleichun (Masseoerhaltun) (5) Thermodyn. Enerieleichun I L L (6) Vernach lässi. diabatischer Erwärmun r- 1 Definitionsleichun der J potentiellen Temperatur ~-- (7)... I I I eostroph ische Bew.Gieichunen (1a) (2a) quasi-eostrophische Vorticity-Gleichun (9b) \ I ' , ~ \ I I I I : I J--t l I I I I,f y,, I. \ I \ / \ eostrophische \ I===:.; eopot.dickegieichun (a) Geopotentielle Tendenz Gieichun (10) W- Gleichun (11) Fi. 5 Schema für den Ablauf der Gewinnun des quasieostrophischen Gleichunssystems

36 -34- III. Die Konstruktion eines realistischen analytischen Modells einer baroklinen Welle im anfänlichen Entwicklunsstadium III.l. Die WeZZenst8run und ihr vertikazer Aufbau Die einleitende Diskussion über june barokline Wellenstörunen, die eine roße Bereitschaft für eine rasche Fortentwicklun instabiler Art zeien und sich also vorzusweise ras~h über ein soenanntes Idealstadium hinaus in ein okkludiertes Wirbelstadium mit leichzeitier rascher Vertiefun ihres Kerndrucks entwickeln, h~t ezeit, daß ihr vertikaier Aufbau kompliziert ist. Die synoptische Erfahrun lehrt, daß zwischen Erdboden und Tropopause erhebliche Phasenverschiebunen, sowohl im Druckfeld, als auch im Tempraturfeld feststellbar sind. Es. sind also Neiunen der Achsen des Tiefdruckt~oes und Hocbdruckrückens mit wachsender Böhe nach rückwärts (nach Westen, wenn die Wellenstörun sich ostwärts fortpflanzt) vorhanden,. während das aie beleitende Temp~raturfeld eine anz andere,phasenverschiebun mit der Höhe aufweist; vorzus~eise aind die Achsen maximaler oder minimaler Temperatur vorwärts {also ostwärts mit wachsender Höhe) eneit. Man kann sich also fraen,, ob ein so earteter vertikalaufbau überhaupt hydro-. ~tatisoh balanciert ist und welche enerellen theoretischen Grundprinzipien erfüllt sein müssen, um eine so schwierie vertikale hydrostatische Koppelun aufwärts bis zur Tropopause (ca. 25o mb oder 1o,5 km Höhe), also durch eine mächtie vertikale Schicht hindurch, mölich zu machen. Um dieser Frae nachzuehen, wird die Störun als eine sinus-

37 -35- förmie Welle im Geopotentialfeld anenommen, die nur von der horizontalen zonalen Koordinate (x) und der vertikalen (p) abhäni sein soll: <f>w (p) = A<l> (p) sin [kx - a (p) ] (12) wobei k = 2~/L die Wellenzahl, L die Wellenläne und A(p) bzw. a(p) die vom Druck (oder Höhe) abhänie Amplitude bzw. Phase bezeichnen. Nunmehr koppeln wir diesen druckabhänien Wellenveran im Geopotentialfeld stren hydrostatisch und erhalten bei Erfüllun der hydrostatischen Grundleichun (3a) das druckabhänie und zur Geopotentialwelle hydrostatisch passende Temperaturfeld in der Form: T (p) w {- A' sin [kx-a] + a' A cos [ kx-a]} ( 13) wobei R die Gaskonatante der trockenen Luft bedeutet, wenn T I als virtuelle Temperatur aufefaßt wird. A a 1 aa = ap bzw. = ;: bezeichnen die vertikalen Gradienten von A bzw. a mit Hinsicht auf den Druck. Entwickelt man die beiden Wellen im eschweiften Klammerausdruck von (13) durch Anwendun der bekannten trionometrischen Additionsformeln, so lassen sie sich zu einer einzien Welle zusammenfassen: I deren druckabhänie Amplitude C bzw. Phase y mit A,A,a,a' (14)' wie folt verknüpft sind: I 2 2] 1/2 C(p) = (A ) +(a'a) und t y = [ ' -A sin a - a'a cos a I I -A cos a + a A sin a (15 a,b)

38 -36- Damit charakterisieren~ C(p) = AT(p) und y(p) die Amplitude bzw. Phase des druckabhänien Temperaturfeldes der Wellenstörun. Aus t y in (15) läßt sich durch Umruppierun leicht ein interessanter Zusammenhan ewinnen: dct ap = a' = A A t (a-y) = A A t E ( 16) wobei a-y = e: den Phasenunterschieds-Winkel zwischen Geopotential- und Temperaturfeld bezeichnet. Die Beziehun (16) zeit, daß die vertikale Änderun der Phase et der Geopotentialwelie mit Hinsicht auf p direkt proportional dem Verhältnis (~:)/A und dem Tanens von e; ist. Aus (16) er~. b t s~c. h d ann m~t. AI I A -- ( 1 /A) da = d ( 1 n A ) durc h ap ap Interation vom beliebien Druckniveau (p) bis zum ~rdboden p = p 0 herab: (ln A) = fp\t:'.). dp oder A ln...e- == A Po p ~ (p(a'/t oder = e p (17) e;) dp Jede beliebie Wahl des Phasenwinkels a als Funktion von p 1, d.h. Wahl der Phase der Geopotentialwalle und zusätzliche be I liebie Wahl des Phasenwinkels y, d.h. Wahl der Phase der Temperaturwelle als Funktion von p, eröffnet den Lösunsan: mit Wahl A~A(p)~A 1 Po (p)/c(p) ~~(p) (17a)

39 -37- Auch ist es mölich, die Amplitude A und die Phase ~ als Funktionen von (p} vorzueben, dann ist der Aufbau des Geopotentialfeldes bekannt und der weitere Bestimmunswe ist, wie folt: A(p)--~A)- <C (p)--7at (p) ( 1 5) ~ (p)--?)ci. I y (p)----7 (p) (17b) Im Prinzip ist es nun (durch Anwendun dieses hydrostatischen Koppelunsmechanismus) mölich, eine solche Wahl der Achsenneiunen der Geopotential- und der Temperaturwelle zu treffen, wie sie die synoptische Erfahrun für june WeLlenstö~unen erkennen elehrt hat. (Andere Neiunen interessieren hier nicht, die Wahl ist aber beliebi~ frei!) Wie schon einans erwähnt, ist es für das GeopotentiaLfeld solcher Anfansstörunen charakteristisch, daß sich die Troachse nach rückwärts neit (westwärts mit zunehmender Höhe) und die Achse kältester Temperatur des sie b~leit~n~en. Temperatur1eldes nach vorne neit (ostwärts mi~ wachscinder Höhe), d.h. entsprechend der F6rm der Beziehunen (12) und (14); CI.>O} y<o 0 ~- = a 1 ~ 0 und e: (PhasenunterschiedswinkeJ.) =e~...,.ß>o ap Letzteres ist deshalb anzunehmen, da die Neiun im Geopötential~ feld stets und immer rößer ist als jene im Temperaturfeld. zusätzlich zeit die synoptische Erfahrun, daß das Geopotentialfeld und Temperaturfeld am Erdboden und in den unteren Niveau's mit 8 o oder etwas wenier außer Phase sind, d.h. der Tief 1 o d ruc n Bodennähe oder die unmittelbare Vorderseite des kk ern l.. d warm Hineen verschiebt sich dieses Außerphase- Tiefs s:t.n

40 -38- Verhalten mit wachsender Höhe (abnehmendem Druck) bald so, daß in rößeren Höhen (etwa oberhalb Soo mb bis zum Tropepausenniveauhinauf (etwa 25omb)) die eopotentielle und die thermische Welle weitehend in Phase sind, d.h. der Tro ist kalt, der Rücken warm. Diese Feststellunen zeien, daß E unten roß ist (maximal 18o 0 ) und mit wachsender Höhe abnimmt (auf minimal 0 ), wobei E enerell > 0 bleibt. Daraus folt dann für den Tanens von s, daß er bei e: = 9o 0 in irendeinem Niveau zwischen Boden und der 25o mb Fläche unendlich roß wird: Erdboden krit.niveau 25o mb Fläche 18o 0 oder et- 18o 0 < e: < 9o 0 was kleiner e: = 9o o < e: < 0 0 oder etwas mehr t s: 0 oder etwas neativ neativ (klein) (roß) t E= 00. positiv ~. 0 oder etwas (roß) (klein) mehr Nun ehen wir zurück auf die Beziehun (16) und diese eribt, ween a' = > o, A > o, im kritischen Niveau A I = ~ (a'a)/oo '==.o oder die Amplitude A der Geopotentialwelle (in looo mb A ~ A ) Po nimmt vom Boden an bis zu diesem kritischen Niveau mit wachsen~ ~er Höhe ab (mit wachsendem Druck zu) Dort nimmt sie dann eine~ Minimalwert an und von dort aufwärts nimmt sie wieder zu (mit dem Druck ab) 1.1. Vier Beispiele als Richtschnur für die Modellestaltun Vier Beispiele sollen nun die Wirkunsweise der hydrostatischen, vertikalen Koppelun von Geopotential- und Temperaturfeld einer baroklinen Wellenstörun deutlich machen. Dazu dient die Fi. (6). In der obersten Reihe der Fiur 6 ) sind für einen Vertikalschnitt (x horizontal, p vertikal) 4 unterschiedliche Anfans-

41 -39- p l -x -x cb 0 cb rso cb o 1 cbo Q5 1,0 1,5 2,0 2, p l p ~ 50 r cb 30 Ir 70 40pm I p I : I 70 ' Ar= ~ c ',.., 70 ~ 90..., T( C) -T( C) cb A Ap. Fi. 6 4 Beispiele für die Struktur einer baroklinen Wellen-: störun. obe~e B~td~eihe: 4 Annahmsn Ube~ die Phasenwinket ~ bzw. y de~ GeopotentiaZ- bzw. de~ Tempe~atul:'wette mittze~e BiZd~eihe: 4 E~ebnisse fu~ das AmpZitudenve~häZtnis L Ao unte~e BiZd~eihe: 4 E~ebnisse fur die AmpZitude AT der Temperaturwette

42 -4oannahmen für die Phasen a und y zwischen 25o mb und looo mb darest~llt. I~ linken Bild ist eine lineare und roßß Zunahme von a mi~ wachsendem Druck (Abnahme mit wachsender Höhe) einer sinusförmien eenüberestellt. Die Verteilun von y ist linear und für beide Fälle leich. = 90 0 a - y = (t E = oo) wird enau zwischen 25o und looo mb, also in 625 mb, erreicht. Im rechten Bild ist wieder eine lineare aber viel kleinere Zunahme von a mit zunehmendem Druck ewählt. Die Verteilun ist wieder identisch jener im Bild links. Damit rückt jetzt das kritische Niveau tiefer berab (s=9o 0, t s=oo in Boo mb). Eine weitere sinusförmie Verteilun von a wurde so ewählt, daß zwischen 25o mb und einem fiktiv hohen Druck von 135o mb eine Sinus-Welle von a ewählt wurde mit einem Wendepunkt bei Boo mb. Geht man jetzt den früher dareleten Lösunswe (17a), so ereben sich vertikale Verteilunen At(p) und AT(p) (Amplituden der Geopotential- und der Temperaturwelle) für alle 4 Fälle (siehe Bilder links und rechts in Fi. ( 6 ), Mitte und entsprechend für AT in Fi. ( 6), untere Reihe). A~ in looo mb, als A.be- ~ Po zeichnet, soll 4o pm betraen. In allen 4 Fäll~n reduziert sich die Amplitude A oder das nor~ mi~rt~ V~rhältnis A/A,wie erwartet, mit wachsender Habe bis Po zum kritischen Niveau und dies erfolt stärker in den beid~n Fällen links, wenier auseprät in den beiden Fällen rechts. weiterhin zeit sich, daß je tiefer dieses Niveau herabesetzt ist, desto eriner ist die Reduktion von A. Bei symmetrischer Lae dieses Niveaus (beide Fälle, linkes Bild) sind die Kurven A/A Po symmetrisch, so daß in 25o mb wieder die Bodenamplitude A Po