Skript zum Ferienkurs Analysis I für Physiker

Transkript

1 Skript zum Ferienkurs Analysis I für Physiker Florian Kollmannsberger, Jonas Habel Folgen und Grenzwerte Nachdem wir uns gestern mit den Grundlagen der Mengenlehre und den Beweistechniken beschäftigt haben, wenden wir uns heute den Folgen und den Reihen zu.. Definition Eine reelle Folge ist eine Auflistung unendlich vieler reeller Zahlen, die fortlaufend nummeriert sind. Jedem Folgenglied wird dabei eine eindeutige, positive, ganzzahlige Nummer zugewiesen. Diese Nummer nennt man Index. Wir definieren: Eine reelle Folge ist eine Abbildung n bezeichnet den Index und a n das n-te Folgenglied. Wir schreiben (a n ) n N, oder kürzer (a n ). a : N R; n a(n) =: a n () Häufig wählt man den Index nicht aus N, sondern aus N 0, der Index startet dann von 0 statt von. Man kann auch Folgen mit komplexen Folgengliedern definieren, diese heißen dann logischerweise komplexe Folgen. Manchmal wird zur Definition einer Folge nicht die Abbildungsvorschrift n a n selbst angegeben, sondern eine Rekursionsvorschrift. Zum Beispiel wird das erste Folgenglied a angegeben, und wie man das n + -te Folgenglied aus dem n-ten Glied erhält. a n = ( ) n definiert eine Folge, deren Glieder nur die Werte und annehmen..2 Eigenschaften von Folgen und Konvergenz Nachdem wir jetzt wissen, was eine Folge ist, können wir uns etwas genauer anschauen, wie wir Folgen charakterisieren und einordnen können. Dazu schauen wir uns ein paar grundlegende Eigenschaften von Folgen an: Sei (a n ) n N eine reelle Folge. a n heißt nach oben beschränkt, wenn es ein C R gibt, sodass a n C für alle n N gilt. nach unten beschränkt, wenn es ein c R gibt, sodass a n c für alle n N gilt. beschränkt, wenn es ein c R gibt, sodass a n c für alle n N gilt; das heißt, wenn die Folge nach oben und nach unten beschränkt ist.

2 Anders ausgedrückt: Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, finden wir eine reelle Zahl, sodass alle Folgenglieder unterhalb dieser reellen Zahl liegen (analog für Beschränktheit nach unten). Solche reellen Zahlen nennt man obere Schranken (bzw. untere Schranken für Beschränktheit nach unten). Natürlich kann es sehr viele Zahlen geben, die als obere oder untere Schranken in Frage kommen. Wenn C eine obere Schranke ist, dann ist offensichtlicherweise auch C + eine obere Schranke (Wenn C eine untere Schranke ist, dann ist C auch eine untere Schranke). Es gibt aber auf jeden Fall eine kleinste Zahl, die als obere Schranke in Frage kommt, bzw. eine größte Zahl, die als untere Schranke in Frage kommt. Diese nennt man kleinste obere Schranke oder Supremum, bzw. größte untere Schranke oder Infimum. Die Folge a n = n ist durch nach oben und durch 0 nach unten beschränkt. Andererseits ist sie zum Beispiel auch durch 2 nach oben und durch nach unten beschränkt. Die kleinste obere Schranke einer Folge heißt Supremum, die größte untere Schranke einer Folge heißt Infimum. Infimum und Supremum darf man nicht mit Minimum und Maximum gleichsetzen. Man betrachte als Beispiel die Folge (a n ) n N mit a n := n. Diese hat als kleinste obere Schranke die und als größte untere Schranke die 0. Das Maximum der Folge ist, allerdings nimmt die Folge kein Minimum an! Sie nähert sich zwar immer weiter der 0 an, erreicht sie aber nie. Was allerdings immer gilt, ist Folgendes: Falls ein Minimum oder ein Maximum existiert, ist es gleich dem Infimum bzw. dem Supremum. Sei (a n ) n N eine reelle Folge. a n heißt monoton steigend, wenn a n+ a n für alle n N gilt. streng monoton steigend, wenn a n+ > a n für alle n N gilt. monoton fallend, wenn a n+ a n für alle n N gilt. streng monoton fallend, wenn a n+ < a n für alle n N gilt. Beispiele: Die Folge a n = n 2 ist streng monoton steigend. { n gerade n Die Folge b n = n ungerade hat die Folgenglieder ( 2, 2, 4, 4, 6,...) und ist damit monoton, n+ aber nicht streng monoton fallend. Eine reelle Folge (a n ) n N konvergiert gegen a R, falls gilt: a heißt Grenzwert oder Limes und man schreibt: ɛ > 0 N N n N : a n a < ɛ (2) a = lim a n oder a n a oder kürzer a n a (3) 2

3 Anders ausgedrückt: Die Folgenglieder nähern sich immer weiter dem Grenzwert a an. Schauen wir uns einen kleinen Streifen der Breite 2ɛ um die Zahl a an (entspricht dem Intervall (a ɛ, a+ɛ); solch einen Streifen nennt man auch ɛ-umgebung). Diesen können wir so klein machen, wie wir wollen. Wenn irgendwann (d.h. ab dem Index N) alle weiteren Folgenglieder (d.h. mit Index n N) in diesem Streifen liegen (d.h. a n a < ɛ), dann konvergiert die Folge gegen a. Das N, ab dem alle Folgenglieder in der ɛ-umgebung sind, ist im Allgemeinen von ɛ selbst abhängig. Je kleiner wir ɛ wählen, desto später sind alle weiteren Folgenglieder in dieser ɛ- Umgebung. Man nennt diese Charakterisierung der Konvergenz auch,,ɛ-kriterium. Es ist dabei egal, ob die Bedingung a n a < ɛ oder a n a ɛ lautet. Konvergiert eine Folge gegen a = 0, so heißt sie Nullfolge. Beispiele: Die konstante Folge a n = 42 konvergiert gegen den Grenzwert 42. Die Folge a n = n konvergiert gegen den Grenzwert 0. Schauen wir uns eine beliebige ɛ-umgebung um den Grenzwert 0 an (ɛ > 0). Die Folge n wird nie größer als, das bedeutet, wenn ɛ ist, liegen alle Folgenglieder auf jeden Fall in der ɛ-umgebung um 0. Daher kann man das N, das ja gerade der Index ist, dem alle Folgenglieder in der ɛ-umgebung sind, zu wählen. Ist 0 < ɛ <, liegen erst alle Folgenglieder mit Indizes größer als ɛ in der ɛ-umgebung. Wir können N allerdings nicht gleich ɛ wählen, weil N N sein muss, aber ɛ i.a. eine reelle Zahl ist. Daher müssen wir ɛ noch auf die nächstgrößere natürliche Zahl aufrunden. { Zusammenfassend kann man also für ein beliebiges ɛ > 0 die Wahl N = ɛ 0 < ɛ < treffen ɛ (dabei bedeutet,,aufrunden auf die nächstgrößere natürliche Zahl ). Dann nämlich gilt für alle n N: { { a n 0 = n N = 0 < ɛ < ɛ ɛ 0 < ɛ < ɛ (4) ɛ ɛ Wir haben also gezeigt: Zu jeden ɛ > 0 gibt es ein N, sodass für alle n N gilt, dass a n 0 ɛ ist. Damit ist das ɛ-kriterium erfüllt und a n konvergiert gegen 0..3 Konvergenzkriterien und Grenzwertarithmetik Wir wissen jetzt, wie Konvergenz und Grenzwerte definiert sind. Allerdings ist die Konvergenzdefinition ziemlich sperrig. Im Folgenden wollen wir uns anschauen, wie Konvergenz und Grenzwerte einfacher zu handhaben sind. Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt. Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht. Nicht jede beschränkte Folge konvergiert auch. Man betrachte zum Beispiel die Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n. Diese Folge ist nach oben und nach unten beschränkt durch bzw., allerdings konvergiert sie nicht. Jedoch gilt: Satz: Jede beschränkte und monoton steigende oder fallende Folge konvergiert. Satz (Sandwich-Kriterium): Seien (a n ) und (c n ) konvergente Folgen mit demselben Grenzwert a = lim a n = lim c n. Sei außerdem (b n ) eine Folge mit a n b n c n. Dann gilt: lim b n = a (5) 3

4 Bemerkung: Anders ausgedrückt: Die Folge (b n ) wird zwischen den beiden Folgen (a n ) und (c n ) eingesperrt. Weil (a n ) und (c n ) aber gegen denselben Grenzwert konvergieren, kommen sie sich immer näher. (b n ) kann die Umklammerung durch (a n ) und (c n ) aber nicht verlassen und hat schließlich keine andere Wahl mehr, als gegen den Grenzwert von (a n ) und (c n ) zu konvergieren. Wir wollen wissen, ob die Folge b n = n gegen 0 konvergiert. Dazu können wir sie zwischen 2 die Folgen a n = 0 und c n = n einsperren, denn es gilt für n N: 0 n 2 n. Sowohl a n als auch c n konvergieren gegen 0. Damit muss nach dem Sandwichkriterium die Folge n 2 + auch gegen 0 konvergieren. Eine Folge (a n ) heißt Cauchy-Folge, falls gilt: ɛ > 0 N N m, n N : a n a m < ɛ (6) Bemerkung: Im Gegensatz zum ɛ-kriterium sagen wir hier nicht, dass sich die Folgenglieder immer weiter einem Grenzwert annähern, sondern dass sich die Folgenglieder immer näher zusammenrücken. Beide Definitionen sind sehr ähnlich, allerdings nicht äquivalent, wie wir später sehen werden. Satz (Cauchy-Kriterium): Für reelle oder komplexe Folgen gilt: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge und jede Cauchy-Folge ist eine konvergente Folge. Bemerkung: Für nicht-reelle und nicht-komplexe Folgen (also zum Beispiel rationale Folgen) gilt,,cauchy-folge konvergente Folge im Allgemeinen nicht! Wir werden später sehen, wieso. Satz (Rechenregeln): Seien (a n ) und (b n ) konvergente Folgen mit a = lim a n und b = lim b n, sowie c R. Dann gelten für die Limites folgende Rechenregeln: a) lim (a n + b n ) = a + b b) lim (a n b n ) = a b a n c) lim bn = a b falls b 0 d) (i) lim abn n = a b (ii) lim ac n = a c e) (i) a n b n a b (ii) a n < b n a b Bemerkung: Einige wichtige Grenzwerte sollte man kennen: 0 k < 0 n k k = 0 k > 0 a n n! 0 n a 0 k 0 k n n k = n! k > n n n 0 a n n k = { 0 0 a a > n n! ( + n) n e ( ) n n e ( ) + x n n = e x 4

5 Ein gutes Beispiel dafür, was man mit der Grenzwertarithmetik ( alles anstellen ) kann, ist den Grenzwert der Differenz zweier Wurzeln zu berechnen, also z.b. lim n + n. Aufgaben dieses Typus sind relativ häufig, und es gibt einen Standardtrick, mit dem man sie recht leicht lösen kann: Wir erweitern mit n + + n und wenden die dritte binomische Formel an! ( ) ( ) ( ) n + n n + + n 3.Binom n + n lim n + n = lim = lim (7) n + + n n + + n = lim = lim n + + n n + n + 0 (8) Wir haben jetzt also einige nützliche Kriterien für Konvergenz (Monotonie+Beschränktheit, Sandwichkriterium, Cauchy-Kriterium) sowie die wichtigsten Formeln der Grenzwertarithmetik zur Hand..4 Bestimmte Divergenz, Limes inferior, Limes superior Bisher haben wir uns nur mit konvergenten Folgen beschäftigt. Was aber, wenn eine Folge nicht konvergiert? Dann gibt es zwei Fälle: Entweder springt die Folge wild und ungeordnet umher. Oder aber sie strebt gegen ±. Im letzteren Fall nennt man die Folge,,bestimmt divergent oder auch,,uneigentlich konvergent. Eine reelle Folge (a n ) heißt bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent gegen +, falls gilt: Man schreibt lim a n =, a n oder kurz a n. c R N N n N : a n c (9) bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent gegen, falls gilt: c R N N n N : a n c (0) Man schreibt lim a n =, a n oder kurz a n. Bemerkung: Anders ausgedrückt: Egal wie groß ich c wähle, wenn die Folge bestimmt gegen + divergiert, liegen irgendwann (d.h. ab dem Index N) alle weiteren Folgenglieder (d.h. mit Index n N) oberhalb von c. Die Folge hat folglich keine obere Schranke (analog für bestimmte Divergenz gegen ). Die Folge a n = n divergiert bestimmt gegen +. Sei (a n ) n N eine beliebige Folge und n : N N; k n k eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt Teilfolge von (a n ). a n : N R; k a nk () Bemerkung: Wie ist die Teilfolge (a nk ) zu verstehen? Die ursprüngliche Folge (a n ) enthält alle Folgenglieder mit Indizes n N. Wir wählen aus allen Folgengliedern jetzt Folgenglieder mit bestimmten Indizes aus. Die ausgewählten Indizes benennen wir mit n k, wobei n der erste ausgewählte Index ist und so weiter. So erhalten wir eine neue Folge (a nk ) k N, die nur die aus der ursprünglichen Folge (a n ) n N ausgewählten Folgenglieder enthält. Weil wir die Reihenfolge der ausgewählten Folgenglieder nicht abändern wollen, muss die,,index-auswahl-funktion k n k zudem streng monoton steigend sein. 5

6 Schauen wir uns die Folge a n = n an. Dann ist z.b a 2k = 2k eine Teilfolge von (a n), wobei die,,index-auswahl-funktion k n k = 2k ist. Die Folgen a n+ = n+, a 2n = 2n oder a n 2 = n sind ebenfalls Beispiele für Teilfolgen. 2 a R heißt Häufungspunkt der Folge (a n ), falls es eine Teilfolge (a nk ) gibt mit a = lim k a n k. Dazu äquivalent ist folgende a R heißt Häufungspunkt der Folge (a n ), wenn gilt: ɛ > 0 N N n N : a n a < ɛ (2) Anders ausgedrückt: In jeder noch so kleinen ɛ-umgebung um jeden Häufungspunkt befinden sich unendlich viele Folgenglieder. Ist eine Folge konvergent, so ist ihr Grenzwert zugleich ihr einziger Häufungspunkt. Unterschied zwischen Grenzwert und Häufungspunkt: In einer ɛ-umgebung um den Grenzwert liegen alle bis auf endlich viele Folgenglieder, in einer ɛ-umgebung um einen Häufungspunkt liegen,,nur unendlich viele Glieder. Gegen den Grenzwert müssen alle Teilfolgen konvergieren, gegen einen Häufungspunkt nur eine. Die Folge a n = ( ) n ( + n) hat die Häufungspunkte + und. Satz (Bolzano-Weierstraß): Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen enthält mindestens eine konvergente Teilfolge und damit auch mindestens einen Häufungspunkt. Sei (a n ) eine beschränkte reelle Folge. Wir definieren den Limes superior und den Limes inferior der Folge: ( ) ( ) lim sup := lim sup a k lim inf := lim inf a k (3) k n k n Der Limes inferior ist der kleinste Häufungspunkt, der Limes superior ist der größte Häufungspunkt einer beschränkten reellen Zahlenfolge. Ist eine Folge konvergent, so sind Limes inferior und Limes superior identisch und gleich dem Grenzwert der Folge. Limes inferior und Limes superior sind für wohldefiniert für beschränkte reelle Folgen, weil der Satz von Bolzano-Weierstraß die Existenz mindestens eines Häufungspunktes garantiert. Die Folge a n = sin(n π 2 ) ( n) hat die Häufungspunkte, 0 und und damit gilt lim inf a n = und lim sup a n = +..5 Metrische Räume Bis jetzt haben wir uns nur Folgen mit reellen oder komplexen Gliedern angesehen. Allerdings neigen Mathematiker immer gerne dazu, Dinge zu verallgemeinern. Schauen wir uns an, welche Eigenschaften der reellen bzw. komplexen Zahlen wir zum Beispiel bei der Definition der Konvergenz nur benutzt haben. Das Einzige, was wir da brauchten, war ein Abstandsbegriff, um zu überprüfen, ob ein Folgenglied in einer ɛ-umgebung um den Grenzwert liegt. Im Falle der reellen und komplexen Zahlen liefert der Betrag einen solchen Abstandsbegriff ( a n a < ɛ). Was aber, wenn man sich nicht nur auf die reellen oder die komplexen Zahlen beschränkt, sondern einfach beliebige Mengen zulässt, auf denen ein solcher Abstandsbegriff existiert? Etwas anderes 6

7 braucht man beispielsweise für die Definition der Konvergenz einer Folge ja gar nicht. Mengen, die mit einem Abstandsmaß versehen sind, nennen wir metrischen Raum, und das Abstandsmaß heißt Metrik. Allerdings müssen wir einige Voraussetzungen an das Abstandsmaß stellen. So sollte es zum Beispiel nicht negativ werden, denn negative Abstände sind nicht sinnvoll. Wir definieren daher: Eine Menge M mit einer Abbildung d : M M R heißt metrischer Raum mit Metrik d, falls für alle x, y, z M gilt: a) d(x, y) 0 und d(x, y) = 0 x = y (positive Definitheit) b) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) c) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung) Man nennt d(x, y) den Abstand von x und y. Bemerkung: Beispiele für metrische Räume sind z.b. R n oder C n zusammen mit dem Betrag, oder auch Q n zusammen mit dem Betrag. Ein metrischer Raum heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge konvergiert. Bemerkung: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge, aber jede Cauchy-Folge konvergiert nur, wenn der metrische Raum, auf dem die Folge definiert ist, vollständig ist! Die rationale Folge (a n ) Q, die definiert ist durch a n+ = + a n und a =, ist eine Cauchy-Folge und nähert sich immer weiter dem goldenen Schnitt an. Dieser ist aber selbst keine rationale Zahl. Die Folge hat also keinen Grenzwert, der Element des metrischen Raums ist, auf dem die Folge definiert ist (nämlich Q). In den rationalen Zahlen konvergiert (a n ) also nicht. Trotzdem ist (a n ) eine Cauchy-Folge. Dies bedeutet, dass in Q nicht jede Cauchy-Folge konvergiert und Q damit kein vollständiger metrischer Raum sein kann. 2 Reihen Nachdem wir das Thema Folgen abgeschlossen haben, widmen wir uns jetzt einem sehr verwandten Themenkomplex, den Reihen. 2. Definition Eine Reihe ist im Wesentlichen nichts anderes als die Summe über die Glieder einer Folge. definieren: Wir Sei (a n ) n N eine komplexe Folge. Für n N heißt s n := n a k (4) die n-te Partialsumme. Die Folge der Partialsummen (s n ) n N heißt die (unendliche) Reihe mit Gliedern (a n ) n N. k= Falls (s n ) n N konvergiert mit s := lim s n, heißt s der Wert der Reihe. Wir schreiben in diesem Fall: s = a k (5) k= Falls (s n ) n N nicht konvergiert, heißt die Reihe divergent. 7

8 Falls (a n ) n N eine reelle Folge ist und (s n ) n N bestimmt gegen ± divergiert, heißt die Reihe bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent gegen ±. Wir schreiben in diesem Fall: a k = ± (6) k= Oft identifiziert man die Folge der Partialsummen (s n ) n N direkt mit dem Ausdruck k= a n. Die Reihe muss nicht zwingend bei k = anfangen, sondern kann zum Beispiel auch bei k = 0 oder k = 2 etc. anfangen. Beispiele: Einige wichtige Reihen sollte man kennen: Die geometrische Reihe: Ihre Partialsummen sind: k=0 s n = z k = z n k=0 z k = zn+ z für z < (7) z < z (8) Die harmonische Reihe: Die harmonische Reihe divergiert bestimmt. k= 2.2 Absolute Konvergenz und Umordnung k = (9) Eine Reihe n= a n heißt absolut konvergent, wenn n= a n konvergiert. n= a n. Sei σ : N N eine Bijektion. Dann heißt n= a σ(n) eine Umordnung der Reihe Bemerkung: dadurch um. Die bijektive Abbildung σ vertauscht die Indizes der Reihenglieder und ordnet sie Satz (Riemannscher Umordnungssatz): Für jede konvergente Reihe n= a n, die nicht absolut konvergiert, und jedes x R gibt es eine Umordnung n= a σ(n), die gegen x konvergiert. Bemerkung: Dieses Verhalten mag einem ziemlich merkwürdig erscheinen. Zum Beispiel kann man die alternierende harmonische Reihe ( ) n n= n, die konvergiert, aber nicht absolut konvergiert, immer so umordnen, dass jeder beliebige Wert herauskommt, den man sich wünscht. Man stellt allerdings fest, dass sich absolut konvergente Reihen weniger seltsam verhalten: Satz: Konvergiert die Reihe n= a n absolut gegen einen Wert, konvergiert jede beliebige Umordnung gegen denselben Wert. 2.3 Konvergenzkriterien und Grenzwertarithmetik Wie können wir bestimmen, ob eine Reihe überhaupt konvergiert? Die Reihenglieder können beliebig kompliziert sein, und den Wert einer Reihe direkt zu berechnen ist nur selten möglich. Zum Glück gibt es einige Kriterien, mit denen wir eine Reihe auf Herz und Nieren prüfen können. 8

9 Satz (Nullfolgenkriterium): Sei n= a n eine Reihe. Dann gilt: n= a n konvergent lim a n = 0 (20) Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Man betrachte nur die harmonische Reihe: 0, aber n= n =. lim n = Interessant ist dieser Satz insbesondere, wenn man herausfinden möchte, ob eine Reihe nicht konvergiert. Dazu schaut man sich die Negation der Aussage an: lim a n 0 a n divergent (2) n= Ist die Folge der Reihenglieder (a n ) nämlich keine Nullfolge, kann die Reihe gar nicht konvergieren. Dies ist intuitiv klar, denn konvergiert (a n ) gegen einen endlichen Grenzwert, so summiert man in der Reihe irgendwann näherungsweise immer nur noch diesen Grenzwert auf. Die Partialsummen werden in jedem Schritt etwa um den Grenzwert größer und wachsen damit über alle Grenzen. Die Reihe n= n n konvergiert nicht, da n n keine Nullfolge ist. Satz (Cauchy-Kriterium): Analog zum Cauchy-Kriterium für Folgen findet man für Reihen ein ähnliches Konvergenzkriterium: n a n konvergent ɛ > 0 N N n m N : a k < ɛ (22) n= k=m Satz (Leibnitz-Kriterium): die Reihe n= ( )n a n. Sei (a n ) eine monoton fallende Nullfolge mit a n 0. Dann konvergiert Bemerkung: Das Leibnitzkriterium trifft keine Aussage über absolute Konvergenz, wie man am folgenden Beispiel sieht: Die alternierende harmonische Reihe ( ) n n= n konvergiert nach dem Leibnitzkriterium, da n eine monoton fallende Nullfolge ist. Allerdings konvergiert sie nicht absolut, da n= ( )n n = n= n = ist. Satz (Majorantenkriterium): Sei n= b n konvergent mit b n 0. Falls a n b n für fast alle n N, dann konvergiert n= a n absolut. Der Ausdruck,,für fast alle n N bedeutet,,für alle n N bis auf endlich viele. Analog kann man auch die Divergenz von Reihen zeigen, indem man sie gegen bekanntermaßen divergente Reihen abschätzt. Die Reihe n= n+ konvergiert nicht, da man sie gegen die harmonische Reihe abschätzen kann. Es gilt nämlich n+ 2n und damit n= n+ n= 2n =. 9

10 Satz (Quotientenkriterium): Sei a n 0 für fast alle n N. Dann gilt: lim sup an+ a n < n= a n absolut konvergent lim sup an+ a n > n= a n divergent lim sup an+ a n = keine Aussage möglich Die Reihe n= n2 n! konvergiert nach dem Quotientenkriterium, denn es gilt: (n+) 2 (n+)! n 2 n! ( n + = n ) 2 0 < (23) n + Satz (Wurzelkriterium): Es gilt: n lim sup an < n= a n absolut konvergent lim sup lim sup n an > n= a n divergent n an = keine Aussage möglich Die Reihe n= 2 konvergiert nach dem Wurzelkriterium, denn es gilt: n n 2 n = 2 2 < (24) Bemerkung: Wann ist es sinnvoll, das Quotientenkriterium und wann das Wurzelkriterium anzuwenden? Das Quotientenkriterium ist häufig sinnvoll, wenn in den Reihengliedern a n Fakultäten (z.b. n!) oder feste Potenzen von n (z.b. n 2 ) auftreten. Das Wurzelkriterium hingegen ist hilfreich, wenn n als Exponent auftritt (z.b. 2 n ). Satz (Rechenregeln): Seien n= a n = a und n= b n = b zwei konvergente Reihen, sowie c R. Dann gelten folgende Rechenregeln: a) n= (a n + b n ) = a + b b) n= (c a n) = c n= a n = c a Sind n=0 a n und n=0 b n sogar absolut konvergent, so gilt die Cauchy-Produktformel: c) n=0 ( n k=0 a kb n k ) ist absolut konvergent und n=0 ( n k=0 a kb n k ) = a b 2.4 Potenzreihen und Konvergenzradius Kommen wir nun zu einem speziellen Typ Reihen, den sogenannten Potenzreihen. Diese sind von außerordentlicher Wichtigkeit auch in der Physik, da man mit ihnen jede ausreichend,,gutmütige Funktion durch ein Polynom approximieren kann (Taylor-Reihe). Doch schauen wir uns zunächst an, was eine Potenzreihe überhaupt ist: Jede Reihe der Form n=0 a n(z a) n mit Koeffizienten a n C, Variable z C und Entwicklungspunkt a C wird Potenzreihe genannt. Man nennt R := sup{ z a z C und den Konvergenzradius der Potenzreihe. n=0 a n (z a) n konvergent} (25) 0

11 Im Komplexen ist der Konvergenzradius der Radius der Kreisscheibe um a, auf der die Potenzreihe konvergiert. Im Reellen gibt der Konvergenzradius die Breite des Intervalls (a R, a + R) um a an, auf dem die Potenzreihe konvergiert. Es gibt zum Beispiel auch Potenzreihen der Form n=0 a nz 2n. Diese sind zu verstehen als Potenzreihen der Form { n=0 b nz n a, wobei b n = n/2 n gerade 0 n ungerade. Die Reihe n= zn n ist eine Potenzreihe. Satz: Sei R [0, ) der Konvergenzradius der Potenzreihe n=0 a n(z a) n. Es stellt sich heraus, dass gilt: z a < R n=0 a n(z a) n konvergiert absolut z a > R n=0 a n(z a) n divergiert z a = R keine Aussage möglich Satz: Aus dem Wurzel- und dem Quotientenkriterium folgen zwei Formeln für den Konvergenzradius einer Potenzreihe n=0 a n(z a) n : R = lim sup n an R = lim sup a n+ an (Formel von Cauchy-Hadamard) Die Potenzreihe n= zn n hat den Konvergenzradius R = lim sup n n =. 2.5 Die Exponentialreihe und ihre Freunde Beschäftigen wir uns zum Schluss noch mit einer ganz besonderen Potenzreihe, nämlich der Exponentialreihe. Die Exponentialreihe ist für z C definiert als exp(z) = n=0 z n n! (26) Sie hat Konvergenzradius. Die ( Exponentialreihe ist die Reihendarstellung der Exponentialfunktion e z, denn es gilt exp(z) = lim + z n n) = e z für alle z C. Satz: Die Exponentialreihe hat einige interessante Eigenschaften. Seien z, w C, dann gilt: a) exp(0) = exp() = e exp(z) 0 b) exp(z + w) = exp(z) exp(w) exp(z) = exp( z) c) exp(z) = exp(z) Betrachtet man nur reelle Argumente x R, so kommen folgende Eigenschaften hinzu: d) exp(x) > 0 exp(x) + x für x 0 e) exp ist streng monoton steigend exp : R (0, ) ist bijektiv exp(x) f) lim = 0 für k > 0 (Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede feste Potenz von x) x x k

12 Die Umkehrabbildung log : (0, ) R von exp : R (0, ) heißt (natürlicher) Logarithmus. Satz: Aus den Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion kann man folgende Eigenschaften des Logarithmus herleiten. Seien x, y > 0, dann gilt: a) log() = 0 log(e) = b) log(x y) = log(x) + log(y) log ( x) = log(x) c) log ist streng monoton steigend log : (0, ) R ist bijektiv d) log x für x log(x) e) lim = 0 für k > 0 (Der Logarithmus wächst langsamer als jede feste Potenz von x) x x k Bemerkung: Man kann den Logarithmus auch auf komplexe Zahlen verallgemeinern, indem man ausnutzt, dass exp : {z C Im(z) ( π, π]} C\{0} eine Bijektion ist. Man definiert: Der komplexe Logarithmus ist die Funktion Log : C\{0} {z C Im(z) ( π, π]}; z Log(z) := log z + i arg(z) (27) Dabei ist log der bereits bekannte reelle natürliche Logarithmus. Man kann zeigen, dass Log auf C\{0} die Umkehrfunktion von exp ist. Bemerkung: Diese Definition ist nicht gültig für negative reelle Zahlen, da deren Imaginärteil gerade π ist und sie damit nicht in der Definitionsmenge enthalten sind. Weitere wichtige Funktionen, die sich aus der Exponentialreihe herleiten lassen, sind: Name Funktionsdefinition Abbildungsvorschrift Reihendarstellung Darstellung mit exp Sinus sin : C C z sin(z) ( ) n n=0 (2n+)! z2n+ ( 2i e iz e iz) Cosinus cos : C C z cos(z) ( ) n n=0 (2n)! z2n ( 2 e iz + e iz) Tangens tan : C\{(k + 2 )π sin(z) k Z} C z tan(z) = e kompliziert iz +e iz cos(z) i e iz e iz Cotangens cot : C\{kπ k Z} C z cot(z) = cos(z) kompliziert i eiz e iz sin(z) e iz +e iz Sinus hyperbolicus sinh : C C z sinh(z) ( n=0 z2n+ (2n+)! 2 e z e z) Cosinus hyperbolicus cosh : C C z cosh(z) Tangens hyperbolicus tanh : C C z tanh(z) = sinh z cosh z Alle angegebenen Reihendarstellungen haben Konvergenzradius. n=0 z2n (2n)! kompliziert ( e z + e z) 2 e iz +e iz e iz e iz Satz: Es gelten folgende Zusammenhänge. Sei z C und x, y R, dann gilt: a) Eulersche Formel: e ±iz = cos(z) ± i sin(z) e ±z = cosh(z) ± sinh(z) b) Trigonometrischer Pythagoras: cos 2 (z) + sin 2 (z) = cosh 2 (z) sinh 2 (z) = c) Additionstheoreme: sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y) 2