4 Übertrager und Transformatoren

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1 4 Übertrager un Transformatoren Skript zum Kurs Elektrizätslehre 3 im Herbstsemester 07 Autoren: Martin Schlup, Martin Weisenhorn Winterthur, im August 07 Zürcher Hochschule für Angewante Wissenschaften Zentrum für Signalverarbeitung un Nachrichtentechnik Technikumstrasse 9 Postfach 840 Winterthur

2 Inhaltsverzeichnis. Magnetisch gekoppelte Spulen.. Gekoppelte Spulen Einzelne felerzeugene Spule Magnetische Ankopplung einer passiven Spule Magnetische Ankopplung einer stromurchflossenen Spule Übertrager 5.. Iealer Übertrager Netzwerktransformation mit iealem Übertrager Ieal festgekoppelter Übertrager Verlustloser Übertrager Transformator Linearisiertes Transformatormoell Messtechnische Bestimmung er Transformatorparameter A. Kettenmatritzen 6 A.. Verlustloser Übertrager mit realer Kopplung A.. Transformator B. Literaturverzeichnis 7 i

3 . Magnetisch gekoppelte Spulen Magnetisch gekoppelte Spulen erlauben ie Übertragung von elektrischer Energie bzw. von elektrischen Signalen. Das Besonere aran ist, ass ie Energie über ein magnetisches Fel von einer Spule zur aneren übertragen wir, ohne ass eine elektrisch leitene, oer mit aneren Worten galvanische Verbinung, zwischen en beien Spulen bestehen muss. Gekoppelte Spulen zur Übertragung von Energie nennt man Transformatoren, währen man gekoppelte Spulen zur Übertragung von Signalen als Übertrager bezeichnet. Das Funktionsprinzip ist für beie Anwenungen asselbe... Gekoppelte Spulen... Einzelne felerzeugene Spule Eine einzelne Spule erzeugt ein Magnetfel, wenn eren Wicklung urch einen Strom i(t) urchflossen wir, siehe Abb... Φ(t) i(t) u(t) u(t) N Abbilung..: Stormurchflossene Spule mit Fellinien Magnetisierungsstrom. Der Strom i(t) bewirkt as Magnetfel Φ(t) un wir als er Magnetisierungsstrom bezeichnet.

4 . Magnetisch gekoppelte Spulen Magnetischer Fluss. Der magnetische Fluss er innerhalb er Wicklung verläuft wir mit Φ(t) bezeichnet. Unter er Annahme, ass alle Winungen er Spule enselben Fluss Φ(t) einschliessen, gilt Φ(t) = A l N i(t) (.) wobei A l er Inuktivitätsbeiwert ist er ist eine Konstante ie von er Geometrie er Spule, er Winungszahl N un en magnetischen un elektrischen Eigenschaften er umliegenen Materialien abhängt. In Datenblättern ferromagnetischer Spulenkerne wir ieser Parameter oft angegeben. Inuzierte Spannung. Änert sich er Strom i(t) als Funktion er Zeit un amit auch er Fluss Φ(t), so entsteht an en Anschlüssen er Spule ie Spannung u(t) = N t Φ(t) = A l N }{{} L i(t), (.) t wobei L als ie Inuktiviät er Spule bezeichnet wir. Zusammenfassen gilt ie Bauteilgleichung er Inuktivität: u(t) = L i(t) (.3) t... Magnetische Ankopplung einer passiven Spule Die Spule welche en Magnetisierungsstrom führt, bezeichnen wir nun als ie Primärspule. In en Bereich ihres Magnetfeles wir eine weitere aber vorerst stromlose Spule entsprechen Abb.. gebracht. Diese zweite Spule wir als ie Sekunärspule bezeichnet. Inuzierte Spannung. Die Winungen er Sekunärspule schliessen nur einen Teil k Φ (t) es Flusses Φ (t) ein, wobei k ist. Die Konstante k wir als ie Kopplung bezeichnet. An en Anschlüssen er passiven Spule liegt nun ie vom magnetischen Fluss k Φ (t) inuzierte Spannung u (t) = N t k Φ (t)...3. Magnetische Ankopplung einer stromurchflossenen Spule Schliesst man nun an ie Sekunärspule einen Verbraucherwierstan R an, so wir iese Spule von em Strom i (t) = u (t)/r urchflossen, siehe Abb..3. Als Folge es Stromes i (t) entsteht er Fluss Φ (t) von em er Anteil k Φ (t) von en Winungen er linken Spule umschlossen wir. Daurch sin ie elektrischen Grössen, er Primär- un er Sekunärspule miteinaner gekoppelt.

5 . Magnetisch gekoppelte Spulen 3 k Φ (t) Φ (t) i (t) u (t) u (t) N N u (t) Abbilung..: Spule mit Fellinien inuziert eine Spannung in zweiter Spule. k Φ (t) k Φ (t) i (t) i (t) i R (t) = i (t) u (t) u (t) N u (t) R Abbilung.3.: Gekoppelte Spulen. Es sin nur Fellinien argestellt, ie urch beie Spulen laufen. Zweitor. Die beien Anschlüsse einer Spule weren als ein Tor bezeichnet. Der Übertrager mit seinen zwei gekoppelten Spulen ist ementsprechen ein Zweitor. Das Tor mit em Inex ist ie Primärspule, Der Inex steht für ie Sekunärspule. Die beien Flüsse Φ (t) un Φ (t) weren entsprechen (.) urch ie beien Ströme i (t) un i (t) verursacht: Φ (t) = A l N i (t) (.4) Φ (t) = A l N i (t) (.5)

6 . Magnetisch gekoppelte Spulen 4 Inuzierte Spannungen. Innerhalb einer Spule überlagern sich ie Magnetfeler ie von en beien Spulen erzeugt weren. Mit aneren Worten, ie Amplituen er Magnetfeler aieren sich. Dementsprechen weren ie folgenen Spannung in en beien Spulen inuziert: u (t) = N t u (t) = N t ( Φ (t) ) + k Φ (t) ( ) k Φ (t) + Φ (t) Mit (.3), (.5) un (.) ergibt sich as System von Differentialgleichungen u (t) = L t i (t) + k A L N N t i (t) u (t) = k A L N N t i (t) + L t i (t). Der Faktor k A L N N wir als ie Gegeninuktivität L bezeichnet: L := k A L N N = k L L Darstellung mit komplexen Zeigern. Dieses Differentialgleichungssystem kann mit Hilfe von komplexen Zeigern urch as lineare Gleichungssystem U = j ω L I + j ω k L L I U = j ω k L L I + j ω L I argestellt weren. Der Faktor k L L wir auch als ie Gegeninuktivität L := k L L bezeichnet. Impeanzmatrix. Alternativ bietet sich ie Darstellung in Matrix-Vektor Notation an: [ ] [ ] [ ] U j ω L j ω k L L I = U j ω k L L j ω L I }{{} Z (.6) Die Matrix Z wir als ie Impeanzmatrix es verlustlosen Übertragers bezeichnet, siehe Abschnitt.4.

7 . Übertrager Gekoppelte Spulen weren zur galvanisch getrennten Kopplung elektrischer Kreise oer zur Pegelanpassung es Ausgangssignals eines Kreises an as Eingangssignal es Folgekreises eingesetzt. Zwei gekoppelte Spulen weren als sogenannter Übertrager bezeichnet, wenn ie übertragenen Signalformen also ie Spannung u (t) un er Strom i (t) möglichst unverzerrt von er Primär auf ie Sekunärseite übertragen weren sollen. Übertrager besitzen meist einen ferromagnetischen Kern, essen Vorzüge sich im Laufe ieses Kapitels un in en Übungen erschliessen weren... Iealer Übertrager Ein Übertrager mit iealen Eigenschaften lässt sich zwar nicht realisieren, stellt aber ein nützliches theoretisches Mittel für ie Analyse von Netzwerken mit realen Übertragern bzw. Transformatoren ar. Beim iealen Übertrager ist ie Kopplung k =,.h. urch ie Primär- wie ie Sekunärspule fliest erselbe magnetische Fluss. Ausserem ist beim iealen Übertrager nur ein verschwinen kleiner bzw. kein Magnetisierungsstrom nötig, um as Magnetfel zu erzeugen. Dies erforert beliebig grosse Inuktivitäten bzw. einen Inuktivitätsbeiwert A L er gegen geht. Abb.. symbolisiert en iealen Übertrager. Φ (t) Φ (t) A l, k = i (t) i (t) u (t) u (t) N Abbilung..: Iealer Übertrager mit A l un k =. eng. linear transformer Ein Signal ist auch ann unverzerrt, wenn es mit einem faktor skaltiert wir. Man spricht in iesem Zusammenhang auch von einer linearen Übertragung. 5

8 . Übertrager 6 Spannungsübersetzungsverhältnis es iealen Übertragers. Wegen er Kopplung k = gilt Φ(t) := Φ (t) + Φ (t) un amit u (t) = N t Φ(t) u (t) = N t Φ(t). Daraus errechnet sich as Spannungsübersetzungsverhältnis := u (t) u (t) = U U = N N. (.) Stromübersetzungsverhältnis es iealen Übertragers. Beim iealen Übertrager sin ie Spulen bereits ohne einen Magnetisierungsstrom ensprechen er Primärspannung magnetisiert. Für en magnetischen Fluss Φ(t) gilt ie Gleichung u (t) = N Φ(t). (.) t Demnach ist er Fluss Φ(t) urch ie Primärspannung festgelegt. Dies gilt auch, wenn zusätzlich ein Primärstrom i (t) un ein Sekunärstrom i (t) fliessen. Die Einflüsse ieser beien Ströme auf en Gesamtfluss sin laut ((.3)) un (.5) jeoch unabhängig. Damit ennoch von en beien Strömen i (t) un i (t) kein zusätzlicher Fluss verursacht wir, müssen sich ie Flüsse Φ (t) = A l N i (t) un Φ (t) = A l N i (t) in eren Wirkungen aufheben: Φ (t) = Φ (t) A l N i (t) = A l N i (t) i (t) i (t) = N N Die Ströme stehen also in einem festen Stromübersetzungsverhältnis zueinaner: i (t) i (t) = N N = I I = (.3) Kettenmatrix. [ ] U = I In Matrixschreibweise ergibt sich ie Gleichung ] [ ] U, (.4) I [ü 0 0 ü }{{ } A wobei A ie sogenannte Kettenmatrix es iealen Übertragers ist. Diese Gleichung verknüpft ie Ausgangsgrössen U un I es Zweipols mit essen Eingangsgrössen U un I.

9 . Übertrager 7 Schaltsymbol. Das Schaltsymbol es iealen Übertragers ist in Abb.. zu sehen. Die beien schwarzen Punkte symbolisieren ie Polarität er Spulen. Befinen sich beie Punkte oben, beeutet ies, as ie beien Spannungen u (t) un u (t) asselbe Vorzeichen besitzen. Befinet sich ein Punkt oben un einer unten, wie in Abb.. rechts, sin ie Vorzeichen er beien Spannungen umgekehrt. i (t) i (t) I p (t) u (t) u (t) p (t) S S U U I Abbilung..: Schaltbil eines iealen Übertragers mit Verbraucherfeilsystem für beie Spulen. Es ist separat mit en zeitabhängigen elektrischen Grössen un en entsprechenen komplexen Zeigern beschriftet. Frequenzunabhängigkeit Der ieale Übertrager verhält sich Frequenzunabhängig un könnte eshalb, un falls er realisierbar wäre, auch Gleichspannung un Gleichstrom übertragen. Verlustlosigkeit. Die Scheinleistung ie in ie Primärseite fliesst ist gleich S = U I. Den Zusammenhang zur Scheinleistung ie in ie Sekunärseite fliesst erhält man urch Anwenung von (.4): S = U I = U ( I ) = U I = S Die Scheinleistung S ist also gleich er Scheinleistung S ie aus er Sekunärseite herausfliesst. Mit aneren Worten, er ieale Übertrager überträgt en Wirk- als auch en Blinanteil er Scheinleistung. Er ist also verlustlos. Weil er auch ie Blinleistung irekt übertägt, stimmt zu jeem Zeitpunkt ie Momentanleistung am Eingang mit er Momentanleistung am Ausgang überein: p (t) = u (t) i (t) = u (t) ( i (t)) = u (t) i (t) = p (t) (.5).. Netzwerktransformation mit iealem Übertrager Stellt ein iealer Übertrager ie einzige Verbinung zwischen zwei Netzwerken ar, so kann urch eine Transformation er Netzwerkgrössen er einen Seite auf ie anere (z. B. von er Sekunär- auf ie Primärseite) er Einfluss es iealen Übertragers berücksichtigt weren. Diese Netzwerktransformation liefert ein äquivalentes Ersatzschaltbil as ohne Übertrager auskommt.

10 . Übertrager 8 Beispiel: Transformation eines passiven Zweipols auf ie Primärseite. Das Schaltbil in Abb..3 links stellt einen Zweipol mit er Impeanz Z = U /I ar. Diese Impeanz hängt von er Impeanz Z un em Übersetzungsverhältnis ab: U Z = U = ü U = ü = ü Z I I / I I I I ü I I U U Z U Z U I Abbilung.3.: Transformation eines passiven Zweipols auf ie Primärseite. Der komplexe Wierstan auf er Sekunärseite es iealen Übertragers wir auf ie Primärseite Transformiert. Das Ersatschaltbil ohne Übertrager zeigt Abb..3 rechts. Beispiel: Transformation eines aktiven Zweipols auf ie Sekunärseite. Gegeben ist as Schaltbil in Abb..4 links. Das Ersatzschaltbil ohne Übertrager ist in erselben Abb. rechts argestellt. Zur Herleitung weren Leerlauf- un Kurzschlussbeingungen für Z I I ü Z I U q U U U U q Abbilung.4.: Transformation einer linearen Spannungsquelle auf ie Sekunärseite ie originale un ie transformierte Schaltung gleichgesetzt: Leerlauf (I = 0 I = 0) : U q = U = U = U q Kurzschluss (U = 0 U = 0) : U q I = I = Z Z = U q = Z I ü Zusammenfassung für ie Transformation von Impeanzen bzw. Amittanzen. Auf ie Primärseite transformierte Grössen weren mit einem Strich ( ) gekennzeichnet, auf ie Sekunärseite transformierte Grössen mit zwei Strich ( ): Z = ü Z Y = ü Y

11 . Übertrager 9 Z = ü Z Y = ü Y Mit iesem Formeln können alle (linearen) Bauteile einer auch komplizierteren Schaltung auf eine beliebige Seite es iealen Übertragers einzeln transformiert weren. Die Struktur er Schaltung bleibt abei erhalten. Zusammenfassung für ie Transformation von Spannungs- un Stromquellen. Auf ie Primärseite transformierte Grössen weren mit einem Strich ( ) gekennzeichnet, auf ie Sekunärseite transformierte Grössen mit zwei Strich ( ): Spannungsquelle: U q = U q Stromquelle: I q = I q Spannungsquelle: U q = U q Stromquelle: I q = I q.3. Ieal festgekoppelter Übertrager Der ieal festgekoppelte Übertrager besteht aus zwei ieal gekoppelten, verlustlosen Spulen mit en Inuktivitäten L un L. Der entsprechene Kopplungsfaktor beträgt emzufolge k =. Somit nimmt ie Gegeninuktivität L = k L L en Wert L L an. I I k = U L L U Abbilung.5.: Ieal festgekoppelter Übertrager (k = L = L L )

12 . Übertrager 0 Kettenmatrix. Durch Auflösen er Wechselstromgleichungen für gekoppelte Spulen (.6) bzw. [U ] [ jω L jω ] [ ] L L = jω I (.6) L L jω L U I nach en Eingangsgrössen U un I, erhält man ie Kettenmatrix A es festgekoppelten Übertragers: [ ] L [ ] U = L 0 U I jω L (.7) I L L L }{{} A Ersatzmoell. Das Spannungsübersetzungsverhältnis ist offensichtlich unabhängig von er sekunärseitigen Stromstärke bzw. Last sowie er Frequenz un entspricht er Quaratwurzel es Inuktivitätsverhältnisses: U L = = U L Der Primärstrom I setzt sich aus em Magnetisierungsstrom I M = U jω L L = U jωl un em auf ie Primärseite transformierten Strom I zusammen. Dementsprechen erhält man ie Moelle in Abb..6. k = I I I I I M L L L L Abbilung.6.: Ieal festgekoppelter Übertrager (k = = L /L ) Links ie ieal gekoppelten Spulen, rechts zwei gleichwertige Moelle, welche sich urch Transformation er Inuktivität auf ie jeweils anere Seite ergeben. Anwenungsbeispiel: Berechnung er Primärimpeanz. Gegeben sei er ieal gekoppelte Übertrager mit em Lastwierstan R aus Abb..7a. Gesucht ist ie auf er Primärseite beobachtbare Impeanz Z := U /I. Das Ersatzschaltbil in Abb..7b ermöglicht ie folgene Berechnung: Z = jωl R = jωl ür = jωl L L R jωl + L = jω L L R jω L R + = L L R jω L R + jω L R Interpretation. Oberhalb er Grenzfrequenz ω ω g = R /L erscheint ie Eingangsimpeanz Z unabhängig von er Frequenz mit em Wert Z = R L /L = ü R. Diese Vereinfachung würe für alle Frequnzen gelten, wenn er Übertrager ieal wäre. Beim betrachteten realen Tranformator ominiert unterhalb er Grenzfrequenz ω g er Einfluss er Inuktivität L.

13 . Übertrager I I k = I I U L L U R U L U R (a) Schaltil mit ieal gekoppeltem Übertrager. (b) Ersatzschaltbil mit iealem Übertrager. Abbilung.7.: Ieal festgekoppelter Übertrager mit Lastwierstan R = U /( I )..4. Verlustloser Übertrager Eine ieale magnetische Kopplung,.h. k = kann praktisch nicht realisiert weren: er Kopplungsfaktor ist auch im besten Fall etwas kleiner als (0 < k < ). Um ies zu berücksichtigen, wir ie Forerung k = fallen gelassen. Der sogenannte verlustlose Übertrager besteht also aus zwei gekoppelten, verlustlosen Spulen wie sie in Abschnitt. beschrieben wuren un eren Kopplung k < ist. I I k < U L L U Abbilung.8.: Verlustloser Übertrager (k < L = k L L ). Kettenmatrix. Auflösen er Wechselstromgleichungen (.6) für gekoppelte Spulen nach en Eingangsgrössen U un I unter er Annahme L = k L L liefert ie Gleichung [ ] U I = k L L k k jω L L L k L }{{} A k jω L L [ ] U, (.8) I wobei A ie Kettenmatrix es verlustlosen Übertragers ist. Der Faktor σ := k wir als Streufaktor bezeichnet. Eigenschaften er Spannungsübersetzung. Offensichtlich ist jetzt ie Spannungsübersetzung U /U abhängig von er Laststromstärke I. Auch im Leerlauf (I = I = 0) entspricht ie Spannungsübersetzung nicht mehr em Verhältnis L /L sonern U = L L >. U k L L Ausserem ist ie Spannungsübersetzung es belasteten Übertragers jetzt frequenzabhängig.

14 . Übertrager Ersatzmoell. Ein Ersatzmoell für en verlustlosen Übertrager ist in Abb..9 angegeben. Die beien Inuktivitäten L A un L C weren als Streuinuktivitäten bezeichnet. Sie stellen grob gesagt jenen Teil er Primär un er Sekunärspule ar, er nur vom eigenen Magnetfel, nicht aber von em er aneren Spule urchflossen wir. Die Streuinuktivitäten weren eshalb im Ersatzschaltbil als unabhängige bzw. magnetisch nicht gekoppelte Inuktivitäten argestellt, siehe Abb..9. Die Inuktivität L B wir als ie sogenannte Hauptinuktivität bezeichnet, sie magnetisiert en Übertrager. k < L A L C L L LB Abbilung.9.: Verlustloser Übertrager (k < L = k L L < L L ). Links ie gekoppelten Spulen mit en rei Parametern L, L un k, rechts as äquivalente Moell mit vier Parametern:, L A, L B un L C. Parameter es Ersatzmoells. Die vier Parameter es Ersatzsmoells müssen so gewählt weren, ass sich ie Kettenmatrix A in (.8) ergibt. Letztere besitzt jeoch nur rei Parameter. Daraus folgt ein Freiheitsgra bei er Festlegung er Inuktivitäten L A, L B, L C un er Spannungsübersetzung. Drei verschieene Parametrisierungen, von enen sich je nach Anwenung eine als geschickt erweist, sin in Tabelle. angegeben. Tabelle..: Moellparameter für verlustlosen Übertrager Parametrisierung L A L B L C L L ( k ) L k L ( k ) L L k L ( k ) L k L 0 3 L k k L 0 L L k Bemerkungen. Um as Verhalten von Transformatoren nachzubilen, wir im Allgemeinen vom symmetrischen T-Moell entsprechen er Wahl er Tabelle. ausgegangen (Dazu mehr im Abschnitt 3). Eine numerische Simulation nach em Moell Wahl gemäss Abb..9 ist nicht ratsam, a sie wegen em möglichen Wierspruch zwischen em Knotensatz am Berührungspunkt er rei Inuktivitäten un en Anfangsbeingungen er Stromstärken in en Inuktivitäten aufgrun von Runungsfehlern zu numerischen Schwierigkeiten führen

15 3. Transformator Der Transformator ist eine besonere Art von Übertrager er primär zur Hoch-, bzw. Herunter-Transformation von Wechselspannungen bei er Energieübertragung ient. Er funktioniert emzufolge bei einer festen Frequenz. Im Allgemeinen weren amit hohe Leistungen übertragen. Die Linearität steht beim Transformator im Gegensatz zum Übertrager nicht im Vorergrun, anstattessen ist er Wirkungsgra bei grösseren Leistungen eine wichtige Kenngrösse. Was ie magnetische Kopplung betrifft, verhalten sich Transformatoren wie er verlustlose Übertrager. Grunsätzlich aber müssen ie issipativen Verluste wie sie bei Spulen auftreten, mitberücksichtigt weren. 3.. Linearisiertes Transformatormoell Das lineare Moell es Transformators wir aus em Ersatzschaltbil es verlustlosen Übertragers gemäss Abb..9 aufgestellt. Dabei ist as symmetrische T-Moell üblich bzw. ie Parametrisierung aus er Tabelle.. Das Spannungsübersetzungsverhältnis es eingesetzten iealen Übertragers lautet abei = L /L un entspricht nicht er Spannungsübersetzung es gesamten Transformators, auch nicht im Leerlauf! Üblicherweise un wegen er einfachen Bestimmbarkeit wir für as Winungszahlverhältnis er Spulen verwenet: = N N L L Die Kupfer- un Kernverluste weren berücksichtigt, inem as Moell mit en Wierstänen R Cu, R Cu un R F e ergänzt wir. I R Cu L σ L σ R Cu I I F e I µ U R F e L h U h U Abbilung 3..: Linearisiertes Transformator-Moell mit issipativen Verlusten. L h un ie beien L σ weren Hauptinuktivität bzw. Streuinuktivitäten genannt. R F e bilet ie Kernverluste un ie beien Wierstäne R Cu un R Cu ie Wicklungswierstäne nach. Für as Ersatzschaltbil in Abb. 3. gilt ie Kettenmatrix in Anhang??. 3

16 3. Transformator Messtechnische Bestimmung er Transformatorparameter Die Moellparameter L h, L σ, R F e, sowie R Cu un R Cu können messtechnisch bestimmt weren. Vor er Messung sollten ie Nennwerte S n, U n, I n, R n, U n es Transformators ermittelt weren. Nennwerte sin stets reelle Grössen. Die Nennwerte S n, U n, U n sowie as Winugszahlverhältnis = N /N weren in er Regel urch en Hersteller angegeben. I n I n Transformator U n S n = P + jq S n = P n U n R n U n, U n, S sn Abbilung 3..: Nennbetrieb mit Transformator als Vierpol (Zweitor) Kupferwierstäne. Die Drahtwierstäne er Wicklungen bzw. eren Kupferwierstäne lassen sich urch eine Gleichspannungsmessung einfach bestimmen. Der Kupferwierstan R Cu kann mittels Netzwerktransformation auf ie linke Seite genommen weren, was folgenes Schaltbil ergibt: I R Cu L σ L σ = Lσ R Cu I = I / I I F e I µ U R F e L h U h U = U U Abbilung 3.3.: Linearisiertes Transformator-Moell mit issipativen Verlusten Dabei wure er Wierstan R Cu auf ie Primärseite umgerechnet: R Cu = ü R Cu. Hauptinuktivität un Eisenverlustwierstan. Diese beien Grössen können urch eine Leerlaufmessung bestimmt weren. Im sekunärseitigen Leerlauf kann, falls L h L σ un R F e R Cu, as Moell nach Abb. 3.3 wie folgt vereinfacht weren: I 0 I = 0 I = 0 I F e0 I µ0 Vorgabe: U n R F e L h U h U U = U 0 Abbilung 3.4.: Vereinfachtes Leerlaufmoell

17 3. Transformator 5 Gemessen weren U n, I 0, U 0 sowie ie primärseitige Wirkleistung P 0. Damit lassen sich folgene Grössen berechnen: S 0 = U n I 0 Q 0 = S0 P 0 L h = U n ω Q 0 R F e = U n P 0 U n U 0 (ungefährer Wert) Streuinuktivität un gesamter Kupferverlustwierstan. Diese beien Grössen können urch eine Kurzschlussmessung bestimmt weren. Im sekunärseitigen Kurzschluss kann, falls L h L σ un R F e R Cu, as Moell nach Abb. 3.3 wie folgt vereinfacht weren: I k R Cu + R L Cu σ Vorgabe: I n U = U k U = 0 U = 0 Abbilung 3.5.: Vereinfachtes Kurzschlussmoell Gemessen weren U k, I k sowie ie primärseitige Wirkleistung P k. Damit lassen sich folgene Grössen berechnen: S k = U k I k Q k = Sk P k Q k L σ = ω Ik R Cu + R Cu = P 0 I k I n I k (ungefährer Wert)

18 A. Kettenmatritzen A.. Verlustloser Übertrager mit realer Kopplung L k L j ω ( k ) k L L A = L j ω k L L k L = k j ω ( k ) k L L L 0 0 L j ω k L k L = jω( k )L 0 jω( k )L 0 jωk L 0 0 L L 0 L L Das Proukt er vier Matritzen beschreibt ie Kettenmatrix er Schaltung in Abb..9 für ie Parametrisierung in Tabelle.. A.. Transformator A = R Cu + jω( k )L 0 R Cu + jω( k )L 0 jωk L + R Fe 0 L L 0 0 L L Das Proukt er vier Matritzen beschreibt ie Kettenmatrix es Ersatzschaltbiles in Abb. 3.3 für ie Parametrisierung in Tabelle.. Das ausmultiplizierte Proukt ist unübersichtlich un wir eshalb nicht argestellt. 6

19 B. Literaturverzeichnis [] A. Führer, K. Heiemann, W. Nerreter: Grungebiete er Elektrotechnik, Ban : Stationäre Vorgänge Hanser, 8. Auflage, ISBN-3: , Preis: 9.90 e [] A. Führer, K. Heiemann, W. Nerreter: Grungebiete er Elektrotechnik, Ban : Zeitabhängige Vorgänge Hanser, 8. Auflage, ISBN-3: , Preis: 9.90 e [3] A. Führer, K. Heiemann, W. Nerreter: Grungebiete er Elektrotechnik, Ban 3: Aufgaben Hanser,. Auflage, ISBN-3: , Preis: 9.90 e [4] E. Hering, K. Bressler, J. Gutekunst: Elektronik für Ingenieure un Naturwissenschaftler Springer, 5. Auflage, ISBN-3: , Preis: e [5] K. Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: Theoretische Elektrotechnik: Eine Einführung Springer, 7. Auflage, ISBN-3: , Preis: ab 4.00 e 7